Броуновское движение

редактировать
Случайное движение частиц, взвешенных в жидкости

2-мерное случайное блуждание серебряного адатома на Поверхность Ag ( 111) Это моделирование броуновского движения 5 частиц (желтого цвета), которые сталкиваются с большим набором из 800 частиц. Желтые частицы оставляют 5 синих следов случайного движения, и один из них имеет красный вектор скорости. Это моделирование броуновского движения больших частиц (частиц пыли), которые сталкиваются с большим набором более мелких частиц (молекул газа), которые движутся разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение или pedesis (от древнегреческого : πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / «прыгающий»), представляет собой случайное движение частиц, взвешенных в среде (жидкость или газ ).

Этот образец движения обычно состоит из случайных колебаний в положении частиц внутри субдомена жидкости с последующим перемещением в другом подобласть. Этот шаблон представленной жидкости в тепловом равновесии, определенном заданной температурой, существует не существует предпочтительного направления потока (как в явлениях переноса )., общие линейные и угловые моменты жидкости остаются нулевыми с течением времени. кинетические энергии молекулярных броуновских движений, вместе с молекулярными вращениями и колебаниями, суммируются с калорической составляющей внутренней энергии ж идкости (теорема о равнораспределении ).

Это движение названо в честь ботаника Роберта Брауна, который впервые описал это явление в 1827 году, глядя в микроскоп на пыльцу растения Clarkia pulchella погружена в воду. В 1905 году, почти восемьдесят лет спустя, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовал статью, в которой он смоделировал движение частиц пыли, отдельных отдельных молекулами воды, что сделало его одним из первых своих основных принципы научный вклад. Это объяснение броуновского движения послужило доказательством существования атомов и молекул и было подтверждено экспериментально Жаном Перреном в 1908 году. Перрен был удостоен Нобелевской программы по физике в 1926 году »за свою работу над разрывной структурой материи». Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица получает больше ударов с одной стороны, чем с другой, что приводит к кажущемуся случайному характеру движения.

опыты многих тел, которые дают броуновский образец, не могут быть решены с помощью моделей, учитывающей каждую связанную молекулу. Следовательно, только вероятностные модели, применяемые к молекулярным популяциям, могут быть использованы для его описания. Две такие модели статистической механики, разработанные Эйнштейном и Смолуховским, представленным ниже. Другой, чисто вероятностный класс моделей - это класс моделей стохастических процессов. Существуют как используются более простые, так и более сложные случайные процессы, которыеятся (в пределе ) к броуновскому движению (см. случайное блуждание и теорему Донскера ).

Содержание

  • 1 История
  • 2 Теории статистической механики
    • 2.1 Теория Эйнштейна
    • 2.2 Модель Смолуховского
    • 2.3 Другие физические модели с использованием частных производственных
    • 2.4 Астрофизика: движение звезд в галактиках
  • 3 Математика
    • 3.1 Статистика
    • 3.2 Характеристика Леви
    • 3.3 Спектральное содержание
    • 3.4 Риманово многообразие
  • 4 Узкий переход
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дополнительная литература
  • 8 Внешние ссылки

История

В научной поэме римского философа Лукреция «О природе вещей » (около 60 г. до н.э.) есть замечательное описание броуновского движения пыль частицы в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования элементов:

Воспроизведено из книги Жана Батиста Перрена, Les Atomes, Отображаются три записи движения коллоидных частиц размером 0,53 мкм, видимых под микроскопом. Последовательные элементы каждые 30 секунд соединяются отрезками прямых линий (размер ячейки 3,2 мкм).

Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи попадают в здание и проливают свет на его затемненные места. Представляет собой множество способов представления крошечных частиц, которые являются фактическими указаниями основных движений материи, которые скрыты от нашего взора... Это происходит от элементов, которые движутся сами по себе [т. Е. Спонтанно]. Затем они маленькие составные тела, которые меньше всего от импульса импульса, приводятся в движение их невидимых ударов и, в свою очередь, их невидимых ударов и, в свою очередь, ими по чуть более крупным телам. Таким образом, движение происходит в солнечных лучах, которые становятся невидимыми.

Хотя смешанное движение частиц пыли в воздухе вызвано истинно броуновской динамикой.

В то время как Ян Ингенхауз описал неравномерное движение частиц угля пыли на поверхности спирта в 1785 году, Открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберту Брауну в 1827 году. Браун изучал пыльцу растения Clarkia pulchella, взвешенного в воде, под микроскопом, когда он наблюдал за мельчайшими частями, выброшенными пыльцевыми зернами, совершающими нервное движение. Он смог исключить, что движение было связано с жизнью, хотя его происхождение еще не было объяснено.

Первым, кто описал математику, лежащую в основе броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов, опубликованной в 1880 году. Луи Башелье в 1900 году в своей докторской диссертации «Теория спекуляции», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. Модель броуновского движения фондового рынка часто цитируется, но Бенуа Мандельброт отверг ее применимость к движению цен акций отчасти потому, что они прерывистые. в одной из своих статей 1905 года ) и Мариан Смолуховский (1906) довели решение проблемы до внимания физиков и представили его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекулы. Их уравнения, описывающие броуновское движение, были проверены экспериментальной работой Жана Батиста Перрена в 1908 году.

Теории статистической механики

Теория Эйнштейна

Есть две части теории Эйнштейна: первая часть состоит из формулировки уравнения диффузии для броуновских частиц, в которой коэффициент диффузии связан со среднеквадратическим смещением броуновской частицы , вторая часть состоит из коэффициента диффузии с измеренными физическими величинами. Таким образом Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моль, или молекулярную массу в граммах газа. В соответствии с законом Авогадро этот объем одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартной температуре и давлении. Число ядерных значений в этом объеме называется число Авогадро, и определение этого числа равносильно знанию массы атома, поскольку последнее получается делением массы атома. моль газа по постоянный Авогадро.

Характерные колоколообразные кривые диффузии броуновских частиц. Распределение начинается как дельта-функция Дирака, что указывает на то, что все частицы находятся в начале координат в момент времени t = 0. По мере увеличения t распределение сглаживается (хотя и остается колоколообразным) и в конечном итоге становится однородным. в пределе, когда время уходит в бесконечность.

Первая часть аргумента Эйнштейна заключалась в том, чтобы определить, как далеко броуновская часть путешествует в заданном временном интервале. Классическая механика может определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которому подвергнется броуновская частица, примерно порядка 10 столкновений в секунду. Таким образом, Эйнштейн был вынужден рассмотреть коллективное движение броуновских частиц.

Он рассматривает приращение положения частиц во времени τ {\ displaystyle \ tau}\ tau в одномерном (x) пространстве (с координатами, выбранными так, чтобы начало координат лежало в начальном положении частицы)) как случайная величина (Δ {\ displaystyle \ Delta}\ Delta ) с некоторой удельной плотности вероятности φ (Δ) {\ Displaystyle \ varphi (\ Delta)}{\ displaystyle \ varphi (\ Delta) } . Далее, предполагая сохранение числа частиц, он расширил плотность (число частиц в единице объема) за время t + τ {\ displaystyle t + \ tau}{\ displaystyle t + \ tau} в ряду Тейлора,

ρ (x, t) + τ ∂ ρ (x) ∂ t + ⋯ = ρ (x, t + τ) = ∫ - ∞ ∞ ρ (x - Δ, t) ⋅ φ (Δ) d Δ = E Δ [ρ (x - Δ, t)] = ρ (x, t) ⋅ ∫ - ∞ ∞ φ (Δ) d Δ - ∂ ρ ∂ x ⋅ ∫ - ∞ ∞ Δ ⋅ φ (Δ) d Δ + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ - ∞ ∞ Δ 2 2 ⋅ φ (Δ) d Δ + ⋯ = ρ (x, t) ⋅ 1 + 0 + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ - ∞ ∞ Δ 2 2 ⋅ φ (Δ) d Δ + ⋯ {\ Displaystyle {\ begin {align} \ rho (x, t) + \ tau {\ frac {\ partial \ rho (x)} {\ partial t}} + \ cdots = \ rho (x, t + \ tau) = {} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ rho (x- \ Delta, t) \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta = \ mathbb {E } _ {\ Delta} [\ rho (x- \ Delta, t)] \\ = {} \ rho (x, t) \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (\ Delta) \, d \ Delta - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Delta \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta \\ {} + {\ frac {\ частичный ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + \ cdots \\ = {} \ rho (x, t) \ cdot 1 + 0 + {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + \ cdots \ end {align}}}{\ Displaystyle {\ begin {align} \ rho (x, t) + \ tau {\ frac {\ partial \ rho (x)} {\ partial t}} + \ cdots = \ rho ( x, t + \ tau) = {} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ rho (x- \ Delta, t) \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Дельта = \ mathbb {E} _ {\ Delta} [\ rho (x- \ Delta, t)] \\ = {} \ rho (x, t) \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (\ Delta) \, d \ Delta - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Delta \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta \ \ {} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + \ cdots \\ = {} \ rho (x, t) \ cdot 1 + 0 + {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2}} \ cdot \ varph я (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + \ cdots \ end {выравнивается}}}

где второе равенство в первой строке по определению φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi . Интеграл в первом члене равенство по определению вероятности, а второй и другие четные члены (т.е. первые и другие нечетные моменты) исчезают из-за пространственной симметрии. То, что осталось, порождает следующее соотношение:

∂ ρ ∂ t = ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ - ∞ ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ (Δ) d Δ + четные моменты более высокого порядка. {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2 \, \ tau}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + {\ text {выше- порядок четных моментов.}}}{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2 \, \ tau}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta + {\ text {четные моменты высшего порядка.}}}

Где коэффициент после лапласиана, второй момент вероятности смещения Δ {\ displaystyle \ Delta}\ Delta , интерпретируется как массовая диффузия D:

D = ∫ - ∞ ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ (Δ) d Δ. {\ Displaystyle D = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2 \, \ tau}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm { d} \ Delta.}{\ displaystyle D = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {2}} {2 \, \ tau}} \ cdot \ varphi (\ Delta) \, \ mathrm {d} \ Delta.}

Тогда плотность броуновских частиц удовлетворяет уравнению диффузии :

∂ ρ ∂ t = D ⋅ ∂ 2 ρ ∂ x 2, {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = D \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}},}{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = D \ cdot {\ frac {\ частичный ^ {2} \ rho} {\ частичный x ^ {2}}},

Предполагаемая, что N частиц атома с начала координат в начальный момент времени t = 0, уравнение диффузии имеет решение

ρ (x, t) = N 4 π D te - x 2 4 D t. {\ displaystyle \ rho (x, t) = {\ frac {N} {\ sqrt {4 \ pi Dt}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}}}.}\ rho (x, t) = {\ frac {N} {\ sqrt {4 \ pi Dt}}} e ^ {- {\ frac {x ^ { 2}} {4Dt}}}.

Это выражение (которое является нормальным распределением со средним значением μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}{\ displaystyle \ mu = 0} и дисперсией σ 2 = 2 D t { \ displaystyle \ sigma ^ {2} = 2Dt}{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 2Dt} , обычно называемое броуновским движением B t {\ displaystyle B_ {t}}{\ displaystyle B_ {t}} ), благодаря Эйнштейну вычислить моменты напрямую. Видно, что означает первый момент исчезает, а это означает, что броуновская часть с одинаковой вероятностью движется влево и вправо. Второй момент, однако, не равенство нулю и задается выражением

x 2 ¯ = 2 D t. {\ displaystyle {\ overline {x ^ {2}}} = 2 \, D \, t.}{\ overline {x ^ {2}}} = 2 \, D \, т.

Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через прошедшее время и коэффициент диффузии. Исходя из этого выражения, Эйнштейн утверждал, что смещение броуновской частицы порошкообразно не прошедшему времени, а скорее его квадратному корню. Его аргумент основан на концептуальном переключении от «ансамбля» броуновских частиц к «единственной» броуновской частице: мы можем говорить об относительных величинах в один момент, а также о времени, которое требуется броуновской частицы, чтобы достичь заданной точки.

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как средний квадратный размер частиц за данный интервал времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекулы. Эйнштейн проанализировал динамическое равновесие, установленное между противостоящими силами. Красота его аргумента заключается в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы задействованы в установлении динамического равновесия.

В первоначальном трактовке Эйнштейн рассматривал эксперимент осмотического давления, но к тому же выводу своей системы другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация заставляет частицы оседать, в то время как диффузия способствует их гомогенизации, перемещая их в области с концентрацией концентрации. Под действием силы тяжести части приобретает скорость движения вниз v = μmg, где m - частицы массы, g - ускорение силы тяжести, а μ - подвижность частиц в жидкости. Джордж Стоукс показал, что подвижность сферической частицы с радиусом r составляет μ = 1 6 π η r {\ displaystyle \ mu = {\ tfrac {1} {6 \ pi \ eta r}}}\ mu = {\ tfrac {1 } {6 \ pi \ eta r}} , где η - динамическая вязкость жидкости. В состоянии динамического равновесия и согласно гипотезе изотермической жидкости частицы распределяются в соответствии с барометрическим распределением

ρ = ρ 0 e - mghk BT, {\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} e ^ {- {\ frac {mgh} {k _ {\ rm {B}} T}}},}{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} e ^ {- {\ frac {mgh} {k _ {\ rm {B}} T}}},}

где ρ - ρ 0 - разница в плотности частиц, разделенных разность высот h, k B - это постоянная Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной , R, к постоянной Авогадро, N A), а Т - абсолютная температура..

Равновесное распределение для частиц гамбоге показывает тенденцию гранул перемещаться в области с более низкой концентрацией под действием силы тяжести.

устанавливается, потому что чем больше частицы притягиваются в динамике силы тяжести, тем больше у частиц тенденция к движению в области с более низкой концентрацией. Поток задается законом Фика,

J = - D d ρ d h, {\ displaystyle J = -D {\ frac {d \ rho} {dh}},}J = -D {\ frac {d \ rho} {dh}},

где J = ρv. Вводя формулу для ρ, находим, что

v = D mgk B T. {\ displaystyle v = {\ frac {Dmg} {k _ {\ rm {B}} T}}.}{\ displaystyle v = {\ frac {Dmg} {k _ {\ rm {B}} T}}.}

В состоянии динамического равновесие эта скорость также должна быть равна v = мкм. Оба выражения для v пропорциональны mg, что означает, что вывод не зависит от типа рассматриваемых сил. Точно так же можно вывести эквивалентную формулу для идентичных заряженных частиц заряда q в однородном электрическом поле величина E, где mg заменяется на электростатическую силу qE. Приравнивание этих двух выражений дает формулу для коэффициента диффузии, не зависящего от mg, qE или других сил:

x 2 ¯ 2 t = D = μ k BT = μ RTNA = RT 6 π η r N A. {\ displaystyle {\ frac {\ overline {x ^ {2}}} {2t}} = D = \ mu k _ {\ rm {B}} T = {\ frac {\ mu RT} {N _ {\ text {A }}}} = {\ frac {RT} {6 \ pi \ eta rN _ {\ text {A}}}}.}{\ displaystyle {\ frac {\ overline {x ^ {2}}} {2t}} = D = \ mu k _ {\ rm {B}} T = {\ frac {\ mu RT} {N _ {\ text {A}}}} = {\ frac {RT} {6 \ pi \ eta rN _ {\ text {A}}}}.}

Здесь первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье равенство следует из определения Больцмана как k B = R / N A, а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Путем измерения среднего квадрата ущерба за интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной R, температурой T, вязкостью η и радиусом частиц можно определить постоянную Авогадро N A.

Тип динамического равновесия, предложенный Эйнштейном, не был новым. На это ранее указывал Дж. Дж. Томсон в своей серии лекций в Йельском университете в мае 1903 года показал динамическое равновесие между скоростью, порождаемой градиентом, заданным законом Фика, и скоростью, обусловленной изменением парциального давления, когда ионы приводятся в движение "дает нам метод постоянной Авогадро, которое не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул, или от того, как они друг на друга".

Выражение, идентичное формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии, было найдено также Вальтером Нернстом в 1888 году, в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению силы трения и скорость, с которой он возникает. Первый приравнен к закону Ван 'т Гоффа, а второй был дан по закону Стокса. Он пишет k ′ = p 0 / k {\ displaystyle k '= p_ {0} / k}k'=p_{0}/kдля коэффициента диффузии k ′, где p 0 {\ displaystyle p_ {0} }p_ {0} - осмотическое давление, а k - отношение силы трения к молекулярной вязкости, которая, как он полагает, определяется формулой Стокса для вязкости. Вводя закон идеального газа на единицу объема для осмотического давления, формула становится идентичной формуле Эйнштейна. Использование закона Стокса в Нернста, а также в случае Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, поскольку оно не применяется в случае использования сферы малой по сравнению со средней длиной свободного пробега .

Сначала предсказания формулы Эйнштейна были опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, а также Генри в 1908 году, который обнаружил смещения в 3 раза больше, чем Формула Эйнштейна предсказала. Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены в серии экспериментов, проведенных Шодесайгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. Подтверждение теории Эйнштейна явилось эмпирическим прогрессом кинетической теории тепла. По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели теплового равновесия. Важность теории заключалась в том, что она подтвердила представление кинетической теории о втором законе термодинамики как о существенно статистическом законе.

Модель броуновского движения траектории частицы красителя в

Модель Смолуховского

Теория Броуновского движения Смолуховского исходит из той же посылки, что и Эйнштейн, и выводит такое же распределение вероятностей ρ (x, t) для смещения броуновской частицы вдоль x за время t. Таким образом, он получает то же выражение для среднего квадрата смещения: (Δ x) 2 ¯ {\ displaystyle {\ overline {(\ Delta x) ^ {2}}}}{\ overline {(\ Delta x) ^ {2}}} . Однако, когда он соотносит его с частицей массы m, движущейся со скоростью u {\ displaystyle u}u , которая является результатом силы трения, регулируемой законом Стокса, он обнаруживает

( Δ Икс) 2 ¯ знак равно 2 D T знак равно T 32 81 U 2 π μ a знак равно t 64 27 1 2 u 2 3 π μ a, {\ displaystyle {\ overline {(\ Delta x) ^ {2}}} = 2Dt = t {\ frac {32} {81}} {\ frac {u ^ {2}} {\ pi \ mu a}} = t {\ frac {64} {27}} {\ frac {{\ frac {1} {2}} u ^ {2}} {3 \ pi \ mu a}},}{\ displaystyle {\ overline {(\ Delta x) ^ {2}}} = 2Dt = t {\ frac {32} {81}} {\ frac {u ^ {2} } {\ pi \ mu a}} = t {\ frac {64} {27}} {\ frac {{\ frac {1)} {2}} u ^ {2}} {3 \ pi \ mu a} },}

где μ - коэффициент вязкости, а a {\ displaystyle a}a - радиус частицы. Связав кинетическую энергию u 2/2 {\ displaystyle u ^ {2} / 2}{\ displaystyle u ^ {2} / 2} с тепловой энергией RT / N, выражение для среднегоквадрата с ущерба в 64/27 раз больше найденного Эйнштейна. Дробь 27/64 была написана Арнольдом Зоммерфельдом в его некрологии Смолуховского: «Числовой коэффициент Эйнштейна, который отличается от Смолуховского на 27/64, может быть только подвергнут сомнению»

Смолуховский пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна смещаться бомбардировками более мелких частиц, когда вероятности удара в прямом и заднем направлениях равны. Если вероятность выигрышей и n - m потерь следует биномиальному распределению,

P m, n = (nm) 2 - n, {\ displaystyle P_ {m, n} = {\ binom {n} {m}} 2 ^ {- n},}{ \ displaystyle P_ {m, n} = {\ binom {n} {m}} 2 ^ {- n},}

с равными априорными вероятностями, равными 1/2, средний общий выигрыш равен

2 m - n ¯ = ∑ m = n 2 n (2 m - n) P м, n = nn! 2 п [(п 2)! ] 2. {\ displaystyle {\ overline {2m-n}} = \ sum _ {m = {\ frac {n} {2}}} ^ {n} (2m-n) P_ {m, n} = { \ frac {nn!} {2 ^ {n} \ left [\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)! \ right] ^ {2}}}.}{\ overline {2m-n }} = \ sum _ {m = {\ frac {n} {2}}} ^ {n} (2m-n) P_ {m, n} = {\ frac {nn!} {2 ^ {n} \ left [\ le ft ({\ frac {n} {2}} \ right)! \ right] ^ {2}}}.

Если n достаточно велико, чтобы Приближение Стирлинга можно было использовать в виде

n! ≈ (ne) N 2 π N, {\ Displaystyle п! \ Приблизительно \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} {\ sqrt {2 \ pi n}},}п! \ Приблизительно \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} {\ sqrt {2 \ pi n}},

тогда ожидаемый общий выигрыш будет

2 м - n ¯ ≈ 2 n π, {\ displaystyle {\ overline {2m-n}} \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2n} {\ pi}}},}{\ overline {2m-n}} \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2n} {\ pi}}},

показывает, что он увеличивается как квадратный корень от общей численности населения.

Предположим, что броуновская часть массы M окружена более легкими частями массы m, которые движутся со скоростью u. Тогда, рассуждает Смолуховский, при любом столкновении между окружающей и броуновской частью скорость, передаваемая последняя, ​​будет равна μ / M. Это отношение порядка 10 см / с. Следует учитывать, что в газе более 10 столкновений в секунду, а в жидкости, где мы ожидаем, что будет 10 столкновений в секунду, даже больше. Некоторые из этих столкновений будут иметь тенденцию ускорять броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить его. Если среднее превышение одного вида столкновения составляет порядок 10–10 столкновения за одну секунду, то скорость броуновской частицы может быть где-то между 10 и 1000 см / с. Таким образом, несмотря на то, что вероятность прямого и обратного столкновения одинакова, будет наблюдаться чистая тенденция к движению броуновской частицы в движении, как и предсказывает теорема голосования.

Эти порядки величины не точны, потому что они не принимают во внимание скорость броуновской частицы U, которая зависит от столкновений, которые имеют тенденцию ускорять и замедлять ее. Чем больше U, тем больше будет столкновений, которые замедлят его, так что скорость броуновской частицы никогда не может увеличиваться без ограничений. Это было бы равносильно вечному двигателю второго типа. И как известнораспределение энергии, кинетическая энергия броуновской частицы, MU 2/2 {\ displaystyle MU ^ {2} / 2}MU ^ {2} / 2 , будет в среднем равна кинетической энергии окружающей жидкой частицы, mu 2/2 {\ displaystyle mu ^ {2} / 2}му ^ {2} / 2 .

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель для описания частиц, совершающую броуновское движение. Модель предполагает столкновение с M ≫ m, где M - масса тестовой частицы, а m - масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновение частиц ограничено одним измерением и что пробная часть с равной вероятностью может быть поражена как слева, так и справа. Также обязано, что каждое столкновение дает одну и ту же ΔV. Если N R - количество столкновений справа, а N L - количество столкновений слева, то после N столкновений скорость частиц изменится на ΔV (2N R - N). Кратность тогда просто определяется как:

(N N R) = N! N R! (N - N R)! {\ displaystyle {\ binom {N} {N _ {\ rm {R}}}} = {\ frac {N!} {N _ {\ rm {R}}! (NN _ {\ rm {R}})!}}}{\ displaystyle {\ binom {N} {N _ {\ rm {R}}}} = {\ frac {N!} {N _ {\ rm {R}}! (NN _ {\ rm {R}})!}}}

, а общее количество происшествий равно 2. Следовательно, вероятность попадания частиц справа N R раз равно:

PN (NR) = N! 2 N N R! (N - N R)! {\ displaystyle P_ {N} (N _ {\ rm {R}}) = {\ frac {N!} {2 ^ {N} N _ {\ rm {R}}! (N-N _ {\ rm {R}})!}}}{\ displaystyle P_ {N} (N _ {\ rm {R}}) = {\ frac {N!} {2 ^ {N} N _ {\ rm {R}}! (NN _ {\ rm {R}})!}}}

В результате своей простоты одномерная модель Смолуховского может только качественно описывать броуновское движение. Для реалистичной частицы, совершающей броуновское движение в жидкости, многие предположения неприменимы. Например, предположение, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, разваливается, когда частица находится в движении. Кроме того, в реальной ситуации будет оценка различных ΔV одного.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных

Уравнение диффузии дает аппроксимацию временной эволюции функции плотности вероятности, имеет с положением частиц, движущейся под броуновским движением согласно физическому определению. Приближение действительно для коротких временных шкал.

Временную эволюцию положения самой броуновской помощью частиц лучше всегоать с описанием Ланжевена, уравнения, которое включает случайное силовое поле, представляющее эффект тепловых флуктуаций конструкеля на частице.

Смещение частиц, совершающих броуновское движение, получается путем уравнения диффузии при соответствующих граничных и нахождения среднеквадратичного значения решения. Это показывает, что смещение изменяется как квадратный корень из времени (а не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, бессмысленные. Неправильно предполагалась линейная зависимость от времени.

Однако на очень коротких временных масштабах движение частиц определяется ее инерцией, и ее перемещение будет линейно зависеть от времени: Δx = vΔt. Таким образом, мгновенную скорость броуновского движения можно измерить как v = Δx / Δt, когда Δt << τ, where τ is the momentum relaxation time. In 2010, the instantaneous velocity of a Brownian particle (a glass microsphere trapped in air with оптический пинцет ) был успешно измерен. Данные по скорости подтвердили распределение скоростей Максвелла - Больцмана и теорему о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд внутри галактик

В звездной динамике массивное (звезда, черная дыра и т. Д.) Может испытывать броуновское движение поскольку он реагирует на гравитационные силы от окружающих звезд. Среднеквадратичная скорость V массивного объекта массы M со среднеквадратичной скоростью v ⋆ {\ displaystyle v _ {\ star}}v _ {\ star} фоновых звезд величиной

MV 2 ≈ mv ⋆ 2 {\ displaystyle MV ^ { 2} \ приблизительно mv _ {\ star} ^ {2}}MV ^ {2} \ приблизительно mv _ {\ star} ^ {2}

где m ≪ M {\ displaystyle m \ ll M}m \ ll M - масса фоновых звезд. Гравитационная сила массивного объекта заставляет соседние звезды двигаться быстрее, чем они могли бы в результате, увеличивая как v ⋆ {\ displaystyle v _ {\ star}}v _ {\ star} , так и V. Броуновская скорость Sgr A *, сверхмассивная черная дыра в центре галактики Млечный Путь, согласно этой формуле, будет меньше на 1 км / с.

Математика

Файл: 2D-случайное блуждание 400x400.ogv Воспроизвести медиа Анимированный пример броуновского движения случайного блуждания на торе. В пределах масштаб случайное блуждание приближается к винеровскому процессу согласно теореме Донскера.

В математике броуновское движение описывается винеровским механизмом, случайный процесс с непрерывным временем , названный в честь Норберта Винера. Это один из наиболее известных процессов Леви (càdlàg случайных процессов с стационарными независимыми приращениями ) и часто встречается в чистой и прикладной математике., экономика и физика.

Одна реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤ t ≤ 2

Винеровский процесс W t содержит четырьмя факты:

  1. W0= 0
  2. Wtравно почти наверняка непрерывно
  3. Wtимеет независимые приращения
  4. W t - W s ∼ N (0, t - s) {\ displaystyle W_ {t} -W_ {s} \ sim {\ mathcal {N}} (0, ts)}W_ {t} -W_ {s} \ sim {\ mathcal {N}} (0, ts) (для 0 ≤ s ≤ t {\ displaystyle 0 \ leq s \ leq t}0 \ leq s \ leq t ).

N (μ, σ 2) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}{\ mathcal {N }} (\ му, \ сигма ^ {2}) обозначает нормальное распределение с ожидаемым значение μ и дисперсия σ. Условие наличия независимых приращений означает, что если 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2 {\displaystyle 0\leq s_{1}{\ displaystyle 0 \ leq s_ {1} <t_ {1} \ leq s_ {2} <t_ {2}} , то W t 1 - W s 1 {\ Displaystyle W_ {t_ {1}} - W_ {s_ {1}}}W_ {t_ {1}} - W_ {s_ {1}} и W t 2 - W s 2 {\ displaystyle W_ {t_ {2}} - W_ {s_ {2}}}W_ {t_ {2}} - W_ {s_ {2}} - независимые случайные величины.

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика вини, которая говорит, что винеровский процесс почти наверняка является непрерывным мартингалом с W 0 = 0 и квадратичная вариация [W t, W t] = t {\ displaystyle [W_ {t}, W_ {t}] = t}[W_ {t}, W_ {t} provided = t .

Третья характеристика в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде серии синусов, коэффициенты независимы N (0, 1) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}{\ mathcal {N}} (0,1) случайными величинами. Это представление может быть получено с помощью теоремы Карунена - Лоэва.

Винеровский процесс может быть построен как предел масштабирования для случайного блуждания или другого стохастического метода дискретного времени. процессы со стационарными приращениями. Это известно как теорема Донскера. Подобно случайному блужданию, винеровский процесс является повторяющимся в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную случайность начала координат), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. В отличие от случайного блуждания, оно инвариантно кбу масштаб..

Временная эволюция положения самой броуновской частицы может быть приблизительно описана уравнением Ланжевена, уравнением включает случайное силовое поле, представляющее влияние тепловых колебаний растворителя на броуновскую частьцу. В долгосрочном плане математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. В небольших временных масштабах в уравнении Ланжевена преобладают инерционные эффекты. Однако математическое броуновское движение не подвержено таким инерционным эффектам. В уравнении Ланжевена необходимо учитывать инерционные эффекты, иначе уравнение станет сингулярным. так что простое удаление члена инерция из этого уравнения не даст точного описания, а скорее приведет к сингулярному поведению, при котором частица вообще не движется.

Статистика

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием. Случайные блуждания в пористой среде или фракталы являются аномальными.

В общем случае броуновское движение является немарковским случайным процессом и описывается стохастическими интегральными уравнениями.

характеристика Леви

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывный R -значный случайный процесс X действительно был n-мерным. Броуновское движение. Следовательно, условие Леви может фактически использоваться как альтернативное определение броуновского движения.

Пусть X = (X 1,..., X n) будет непрерывным случайным процессом в вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ), принимая значения в R . Тогда следующие условия эквивалентны:

  1. X - это броуновское движение относительно P, т. Е. Закон X относительно P такой же, как закон n -мерное броуновское движение, т. е. мера продвижения вперед X∗(P) - это классическая мера Винера на C 0 ([0, + ∞); R).
  2. оба
    1. X - это мартингейл по отношению к P (и его собственная естественная фильтрация ); и
    2. для всех 1 ≤ i, j ≤ n, X i (t) X j (t) −δ ij t равно мартингейл относительно P (и его собственной естественной фильтрации ), где δ ij обозначает дельту Кронекера.

Спектральное содержание

Спектральный состав случайного процесса X t {\ displaystyle X_ {t}}X_ {t} можно найти из спектральной плотности мощности, формально определяемой как

S (ω) = lim T → ∞ 1 TE {| ∫ 0 T e i ω t X t d t | 2} {\ Displaystyle S (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ mathbb {E} \ left \ {\ left | \ int _ {0} ^ {T} e ^ {я \ omega t} X_ {t} dt \ right | ^ {2} \ right \}}{\ displaystyle S (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ mathbb {E} \ left \ {\ left | \ int _ {0} ^ {T} e ^ {i \ omega t} X_ {t} dt \ right | ^ {2} \ right \}} ,

где E {\ displaystyle \ mathbb {E}}\ mathbb {E} означает ожидаемое значение. Спектральная плотность мощности броуновского движения равна

SBM (ω) = 4 D ω 2 {\ displaystyle S_ {BM} (\ omega) = {\ frac {4D} {\ omega ^ {2}}} }{\ displaystyle S_ {BM} (\ omega) = {\ frac {4D} {\ omega ^ {2}}}} .

где D {\ displaystyle D}D - коэффициент диффузии из X t {\ displaystyle X_ {t}}X_ {t} . Для естественных сигналов спектральный состав может быть найден по спектральной плотности мощности одной реализации с конечным доступным временем, то есть

S (1) (ω, T) = 1 T | ∫ 0 T e i ω t X t d t | 2 {\ Displaystyle S ^ {(1)} (\ omega, T) = {\ frac {1} {T}} \ left | \ int _ {0} ^ {T} e ^ {я \ omega t} X_ {t} dt \ right | ^ {2}}{\ displaystyle S ^ {(1)} (\ omega, T) = {\ frac {1} {T}} \ left | \ int _ {0} ^ {T} e ^ {я \ omega t} X_ {t} dt \ right | ^ {2}} ,

который для индивидуальной реализации траектории броуновского движения имеет ожидаемое значение μ BM (ω, T) {\ displaystyle \ mu _ { BM} (\ omega, T)}{\ displaystyle \ mu _ {BM} (\ omega, T)}

μ BM (ω, T) = 4 D ω 2 [1 - грех ⁡ (ω T) ω T] {\ displaystyle \ mu _ {BM} (\ omega, T) = {\ frac {4D} {\ omega ^ {2}}} \ left [1 - {\ frac {\ sin \ left (\ omega T \ right)} {\ omega T}} \ right]}{\ displaystyle \ mu _ {BM} (\ omega, T) = {\ frac {4D} {\ omega ^ {2}}} \ left [1 - {\ frac {\ sin \ left (\ omega T \ right)} { \ omega T}} \ right]}

и дисперсия σ BM 2 (ω, T) {\ displaystyle \ sigma _ {BM} ^ {2} (\ omega, T)}{\ displaystyle \ sigma _ {BM} ^ {2} (\ omega, T)}

σ S 2 (f, T) = E {(ST (j) (f)) 2} - μ S 2 (f, T) = 20 D 2 f 4 [1 - (6 - cos ⁡ (f T)) 2 sin ⁡ (f T) 5 е T + (17 - соз ⁡ (2 е T) - 16 соз ⁡ (е T)) 10 е 2 T 2] {\ displaystyle \ sigma _ {S} ^ {2} (f, T) = \ mathbb {E} \ left \ {\ left (S_ {T} ^ {(j)} (f) \ right) ^ {2} \ right \} - \ mu _ {S} ^ {2} (f, T) = {\ frac {20D ^ {2}} {f ^ {4}}} {\ Bigg [} 1 - {\ Big (} 6- \ cos \ left (fT \ right) {\ Big)} {\ frac {2 \ sin \ left (fT \ right)} {5fT}} + {\ frac {{\ Big (} 17- \ cos \ left (2fT \ right) -16 \ cos \ left (fT \ right) {\ Big)}} {10f ^ {2} T ^ {2}}} {\ Bigg]}}{\ displaystyle \ sigma _ {S} ^ {2} (f, T) = \ mathbb {E} \ left \ {\ left (S_ {T} ^ {(j)} (е) \ сп рава) ^ {2} \ right \} - \ mu _ {S} ^ {2} (f, T) = {\ frac {20D ^ {2}} {f ^ {4}}} {\ Bigg [} 1 - {\ Big (} 6- \ cos \ left (fT \ right) {\ Big)} {\ frac {2 \ sin \ left (fT \ right)} {5fT}} + {\ frac {{\ Big (} 17- \ cos \ left (2fT \ right) -16 \ cos \ left (fT \ right) {\ Big)}} {10f ^ {2} T ^ {2}}} {\ Bigg]}} .

При достаточно длительном времени реализации ожидаемого объема мощности одной траектории сходится к формально формально спектральной плотности мощности S (ω) {\ displaystyle S (\ omega)}S (\ omega) , но его коэффициент вариации γ = σ 2 / μ {\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ sigma ^ {2}}} / \ mu}{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ sigma ^ {2}}} / \ mu} стремится к 5/2 {\ displaystyle {\ sqrt {5}} / 2}{\ displaystyle {\ sqrt {5}} / 2} . Это означает, что распределение S (1) (ω, T) {\ displaystyle S ^ {(1)} (\ omega, T)}{\ displaystyle S ^ {(1)} (\ omega, T)} широко даже в бесконечном временном интервале.

Риманово m анифолд

броуновское движение в сфере

бесконечно малый генератор (и, следовательно, характерный оператор) броуновского движения на R легко вычисляется как ½Δ, где Δ обозначает Оператор Лапласа. В обработка изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как blob и обнаружение краев. Это наблюдение при определении броуновского движения на m-мерном римановом множестве (M, g): броуновское движение на M определяется как диффузия на M, имеющий A {\ displaystyle { \ mathcal {A}}}{\ mathcal { A}} в локальных координатах x i, 1 ≤ i ≤ m, задается как ½Δ LB, где Δ LB - это оператор Лапласа - Бельтрами, заданный в локальных координатах как

Δ LB = 1 det (g) ∑ i = 1 m ∂ ∂ xi (det (g) ∑ J знак равно 1 mgij ∂ ∂ xj), {\ displaystyle \ Delta _ {\ mathrm {LB}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det (g)}}} \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ sqrt {\ det (g)}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ right),}\ Delta _ {\ mathrm {LB}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det (g)}}} \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ sqrt {\ det (g)}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ right),

где [g] = [g ij ] в смысле обратное квадратная матрица.

Узкий выход

Проблема узкого ухода - это повсеместная проблема в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая им еет новую формулировку: броуно вская часть (ион, молекула или белок ) ограничивается ограниченным доменом (отсек или клетка) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое она может выйти. Узкая проблема ухода - это вычисление среднего времени ухода. Это время расходится по величине окна, таким образом, речь идет о проблеме сингулярного возмущения .

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Броуновским движением.
Викиисточник имеет исходный текст, относящийся к этой статье: Краткий отчет о микроскопических наблюдениях, сделанных над частями, содержащихимися в пыльце растений
Последняя правка сделана 2021-05-13 14:15:47
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте