Мультииндексная нотация

редактировать

Определения
Производная ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий
Концепции
Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора
Правила и личности
Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс

интеграл

Определения
Списки интегралов Интегральное преобразование
Первообразный Интегральный ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций
Интеграция
Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша

Серии

Тесты сходимости
Геометрический ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор
Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель

Вектор

Теоремы
Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности
Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса

Многовариантный

Формализмы
Матрица Тензор Внешний вид Геометрический
Определения
Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен

Специализированный

Разное

Мультииндексная нотация - это математическая нотация, которая упрощает формулы, используемые в многомерном исчислении, уравнениях в частных производных и теории распределений, путем обобщения концепции целочисленного индекса на упорядоченный набор индексов.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение и основные свойства
2 Некоторые приложения
3 Пример теоремы
- 3.1 Доказательство
4 См. Также
5 ссылки

Определение и основные свойства

П - мерный мультииндекс является п - кортеж

{\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2}, \ ldots, \ альфа _ {п})}

\ alpha = (\ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots, \ alpha_n)

из неотрицательных целых чисел (т.е. элемента п - мерный набор из натуральных чисел, обозначается). ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ $\ mathbb {N} ^ n_0$

Для мультииндексов и один определяет: ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ $\ альфа, \ бета \ в \ mathbb {N} ^ n_0$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) \ in \ mathbb {R} ^ n$

Покомпонентная сумма и разность: ${\ displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {п} \ pm \ beta _ {n})}$ $\ alpha \ pm \ beta = (\ alpha_1 \ pm \ beta_1, \, \ alpha_2 \ pm \ beta_2, \ ldots, \, \ alpha_n \ pm \ beta_n)$
Частичный заказ: ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ alpha \ le \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha_i \ le \ beta_i \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}$
Сумма компонентов (абсолютное значение): ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}$ $| \ альфа | = \ alpha_1 + \ alpha_2 + \ cdots + \ alpha_n$
Факториал: ${\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ cdot \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}$ $\ альфа! = \ alpha_1! \ cdot \ alpha_2! \ cdots \ alpha_n!$
Биномиальный коэффициент: ${\ Displaystyle {\ binom {\ alpha} {\ beta}} = {\ binom {\ alpha _ {1}} {\ beta _ {1}}} {\ binom {\ alpha _ {2}} {\ beta _ {2}}} \ cdots {\ binom {\ alpha _ {n}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {\ alpha!} {\ Beta! (\ Alpha - \ beta)!} }}$ $\ binom {\ alpha} {\ beta} = \ binom {\ alpha_1} {\ beta_1} \ binom {\ alpha_2} {\ beta_2} \ cdots \ binom {\ alpha_n} {\ beta_n} = \ frac {\ alpha! } {\ beta! (\ alpha- \ beta)!}$
Полиномиальный коэффициент: ${\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}}$ где. ${\ Displaystyle к: = | \ альфа | \ в \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ Displaystyle к: = | \ альфа | \ в \ mathbb {N} _ {0}}$
Власть: ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n} }}$ $x ^ \ alpha = x_1 ^ {\ alpha_1} x_2 ^ {\ alpha_2} \ ldots x_n ^ {\ alpha_n}$ .
Частная производная высшего порядка: ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = \ partial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ partial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ partial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = \ partial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ partial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ partial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$ где (см. также 4-градиент ). Иногда также используются обозначения. ${\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {\ alpha _ {i}}: = \ partial ^ {\ alpha _ {i}} / \ partial x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {\ alpha _ {i}}: = \ partial ^ {\ alpha _ {i}} / \ partial x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = \ partial ^ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = \ partial ^ {\ alpha}}$

Некоторые приложения

Нотация с несколькими индексами позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления до соответствующего случая с несколькими переменными. Ниже приведены некоторые примеры. Во всех следующих случаях, (или), и (или). ${\ displaystyle x, y, h \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x, y, h \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ nu \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ nu \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f, g, a _ {\ alpha} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f, g, a _ {\ alpha} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Полиномиальная теорема: ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} {\ binom {k} {\ alpha }} \, х ^ {\ альфа}}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} {\ binom {k} {\ alpha }} \, х ^ {\ альфа}}$
Многобиномиальная теорема: ${\ displaystyle (x + y) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, x ^ {\ nu} y ^ {\ alpha - \ nu}.}$ ${\ displaystyle (x + y) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, x ^ {\ nu} y ^ {\ alpha - \ nu}.}$ Обратите внимание: поскольку x + y - вектор, а α - мультииндекс, выражение слева является сокращением от ( x 1 + y 1) ^{α 1} ⋯ ( x n + y n) ^{α n}.
Формула Лейбница: Для гладких функций f и g ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, \ partial ^ {\ nu} f \, \ частичный ^ {\ alpha - \ nu} g.}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, \ partial ^ {\ nu} f \, \ частичный ^ {\ alpha - \ nu} g.}$
Серия Тейлора: Для аналитической функции F в п переменных имеет один ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} { \ alpha!}} h ^ {\ alpha}}.}$ ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} { \ alpha!}} h ^ {\ alpha}}.}$ Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем аналогичное разложение Тейлора ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} {\ alpha!}} h ^ {\ alpha }} + R_ {n} (x, h),}$ ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} {\ alpha!}} h ^ {\ alpha }} + R_ {n} (x, h),}$ где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с целым остатком) получаем ${\ displaystyle R_ {n} (x, h) = (n + 1) \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} {\ frac {h ^ {\ alpha}} {\ alpha!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} \ partial ^ {\ alpha} f (x + th) \, dt.}$ ${\ displaystyle R_ {n} (x, h) = (n + 1) \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} {\ frac {h ^ {\ alpha}} {\ alpha!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} \ partial ^ {\ alpha} f (x + th) \, dt.}$
Общий линейный дифференциальный оператор в частных производных: Формальный линейный оператор в частных производных N-го порядка от n переменных записывается как ${\ Displaystyle P (\ partial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha}}.}$ ${\ Displaystyle P (\ partial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha}}.}$
Интеграция по частям: Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области имеем ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} и (\ partial ^ {\ alpha} v) \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} {(\ partial ^ {\ альфа} и) v \, dx}.}$ ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} и (\ partial ^ {\ alpha} v) \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} {(\ partial ^ {\ альфа} и) v \, dx}.}$ Эта формула используется для определения распределений и слабых производных.

Пример теоремы

Если - мультииндексы и, то ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ $\ альфа, \ бета \ in \ mathbb {N} ^ n_0$ ${\ Displaystyle х = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $х = (х_1, \ ldots, x_n)$

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} = {\ begin {case} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ alpha)!}} x ^ {\ beta - \ alpha } amp; {\ text {if}} ~ \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 amp; {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} = {\ begin {case} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ alpha)!}} x ^ {\ beta - \ alpha } amp; {\ text {if}} ~ \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 amp; {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}

Доказательство

Доказательство следует из правила мощности для обыкновенной производной ; если α и β находятся в {0, 1, 2,…}, то

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha}} {dx ^ {\ alpha}}} x ^ {\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ альфа)!}} x ^ {\ beta - \ alpha} amp; {\ hbox {if}} \, \, \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 amp; {\ hbox {в противном случае.}} \ end {cases}} }

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha}} {dx ^ {\ alpha}}} x ^ {\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ альфа)!}} x ^ {\ beta - \ alpha} amp; {\ hbox {if}} \, \, \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 amp; {\ hbox {в противном случае.}} \ end {cases}} }

( 1)

Предположим, и. Тогда у нас есть это ${\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, \ ldots, \ альфа _ {п})}$ $\ alpha = (\ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n)$ ${\ Displaystyle \ бета = (\ бета _ {1}, \ ldots, \ бета _ {п})}$ $\ beta = (\ beta_1, \ ldots, \ beta_n)$ ${\ Displaystyle х = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $х = (х_1, \ ldots, x_n)$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} amp; = {\ frac {\ partial ^ {\ vert \ alpha \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {\ альфа _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ beta _ { n}} \\ amp; = {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {n} ^ {\ beta _ { n}}. \ end {выровнен}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} amp; = {\ frac {\ partial ^ {\ vert \ alpha \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {\ альфа _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ beta _ { n}} \\ amp; = {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {n} ^ {\ beta _ { n}}. \ end {выровнен}}}

Для каждого i в {1,…, n } функция зависит только от. Таким образом, в изложенном выше каждое частичное дифференцирование сводится к соответствующему обычному дифференцированию. Следовательно, из уравнения ( 1) следует, что обращается в нуль, если α i gt; β i хотя бы для одного i из {1,…, n }. Если это не так, т. Е. Если α ≤ β как мультииндексы, то ${\ Displaystyle х_ {я} ^ {\ бета _ {я}}}$ $x_i ^ {\ beta_i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ ${\ displaystyle d / dx_ {i}}$ $d / dx_i$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta}}$

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha _ {i}}} {dx_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}} = {\ гидроразрыв {\ beta _ {i}!} {(\ beta _ {i} - \ alpha _ {i})!}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i} - \ alpha _ {i}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha _ {i}}} {dx_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}} = {\ гидроразрыв {\ beta _ {i}!} {(\ beta _ {i} - \ alpha _ {i})!}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i} - \ alpha _ {i}}}

для каждого и следует теорема. QED

{\ displaystyle i}

я

Смотрите также

использованная литература

Сен-Раймонд, Ксавье (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов. Глава 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья включает материал из многоиндексной производной мощности на PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.