Обозначение индекса

Способ ссылки на элементы массивов или тензоров

В математике и компьютерное программирование, индексная нотация используется для указания элементов массива чисел. Формализм использования индексов зависит от предмета. В частности, существуют разные методы для ссылки на элементы списка, вектора или матрицы, в зависимости от того, пишут ли вы формальную математическую статью для публикации или когда пишете компьютерную программу.

• 1 В математике
  • 1.1 Одномерные массивы (векторы)
  • 1.2 Двумерные массивы
  • 1.3 Многомерные массивы
• 2 В вычислениях
• 3 Детали реализации
  • 3.1 Многомерные массивы
  • 3.2 Пример
• 4 На других языках
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

В математике часто бывает полезно ссылаться на элементы массива с помощью индексов. Индексы могут быть целыми числами или переменными. В общем случае массив принимает форму тензоров, поскольку их можно рассматривать как многомерные массивы. Особыми (и более знакомыми) случаями являются векторы (1d массивы) и матрицы (2d массивы).

Следующее является лишь введением в понятие: индексная нотация используется более подробно в математике (в частности, при представлении тензорных операций и манипулировании ими). См. Основную статью для получения дополнительной информации.

Одномерные массивы (векторы)

Вектор, рассматриваемый как массив чисел путем записи в виде вектора-строки или вектора-столбца (в зависимости от того, что используется в зависимости от удобства или контекста):

$a\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; ⋮\; an),\; a\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; \cdots \; an)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{\; 1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Обозначение индекса позволяет указать элементы массива, просто написав i, где индекс i, как известно, проходит от 1 до n, из-за n-мерности. Например, для вектора:

$a\; =\; (10\; 8\; 9\; 6\; 3\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 10\; 8\; 9\; 6\; 3\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

тогда некоторые записи:

$a\; 1\; =\; 10,\; a\; 2\; =\; 8,\; \cdots ,\; a\; 6\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; 10,\; \backslash ,\; a\_\; \{2\}\; =\; 8,\; \backslash ,\; \backslash \; cdots,\; \backslash ,\; a\_\; \{6\; \}\; =\; 5\}$.

Обозначение может применяться к векторам в математике и физике. Следующее векторное уравнение

$a\; +\; b\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$

также может быть записано в терминах элементов вектор (он же компоненты), то есть

$ai\; +\; bi\; =\; ci\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; +\; b\_\; \{i\}\; =\; c\_\; \{i\}\}$

, где индексы принимают заданный диапазон значений. Это выражение представляет собой набор уравнений, по одному для каждого индекса. Если каждый вектор имеет n элементов, то есть i = 1,2... n, то уравнения явно

$a\; 1\; +\; b\; 1\; =\; c\; 1\; a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; ⋮\; an\; +\; bn\; =\; cn\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\}\; =\; c\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{2\}\; =\; c\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n\}\; =\; c\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, индексная нотация служит эффективным сокращением для

1. , представляющего общую структуру уравнения,
2. хотя и применимо к отдельным компонентам.

Двумерные массивы

Элементы матрицы A описываются двумя нижними индексами или индексами.

Для описания массивов чисел используется более одного индекса, в двух или более измерениях, таких как элементы матрицы (см. также изображение справа);

$A\; =\; (a\; 11\; a\; 12\; \cdots \; a\; 1\; na\; 21\; a\; 22\; \cdots \; a\; 2\; n\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; am\; 1\; am\; 2\; \cdots \; amn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{11\; \}\; a\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{1n\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{2n\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{m1\}\; a\_\; \{\; m2\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{mn\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Запись в матрице A записывается с использованием двух индексов, скажем i и j, с запятыми или без них для разделения индексы: a ij или a i, j, где первый нижний индекс - это номер строки, а второй - номер столбца. Сопоставление также используется для обозначения умножения; это может быть источником путаницы. Например, если

$A\; =\; (9\; 8\; 6\; 1\; 2\; 7\; 4\; 9\; 2\; 6\; 0\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 9\; 8\; 6\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; 7\; \backslash \backslash \; 4\; 9\; 2\; \backslash \backslash \; 6\; 0\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

тогда некоторые записи:

$a\; 11\; =\; 9,\; a\; 12\; =\; 8,\; a\; 21\; =\; 1,\; \cdots ,\; a\; 23\; =\; 7,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{11\}\; =\; 9,\; \backslash ,\; a\_\; \{12\}\; =\; 8,\; \backslash ,\; a\_\; \{21\}\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; cdots,\; \backslash ,\; a\_\; \{23\}\; =\; 7,\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\}$.

Для индексов больше 9 в обозначении через запятую можно быть лучше (например, 3,12 вместо 312).

Матричные уравнения записываются аналогично векторным уравнениям, например

$A\; +\; B\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}$

в члены элементов матриц (также известные как компоненты)

$A\; ij\; +\; B\; ij\; =\; C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{ij\}\; +\; B\_\; \{ij\}\; =\; C\_\; \{ij\}\}$

для всех значений i и j. Это выражение снова представляет собой набор уравнений, по одному для каждого индекса. Если каждая матрица имеет m строк и n столбцов, то есть i = 1, 2,…, m и j = 1, 2,…, n, то существует mn уравнений.

Многомерные массивы

Обозначение позволяет сделать четкое обобщение на многомерные массивы элементов: тензоры. Например,

$A\; i\; 1\; i\; 2\; \cdots \; +\; B\; i\; 1\; i\; 2\; \cdots \; =\; C\; i\; 1\; i\; 2\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\}\; +\; B\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\}\; =\; C\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\}\}$

, представляющий набор многих уравнений.

В тензорном анализе верхние индексы используются вместо нижних индексов, чтобы отличать ковариантные от контравариантных сущностей, см. ковариация и контравариантность векторов и повышения и понижения индексов.

В некоторых языках программирования индексная нотация - это способ адресации элементов массива. Этот метод используется, поскольку он наиболее близок к тому, как он реализован на языке ассемблера, при этом адрес первого элемента используется в качестве основы, а кратное (индекс) размера элемента используется для адресации внутри массива.

Например, если массив целых чисел хранится в области памяти компьютера, начиная с ячейки памяти с адресом 3000 (базовый адрес ), и каждое целое число занимает четыре ячейки ( байтов), то элементы этого массива находятся в ячейках памяти 0x3000, 0x3004, 0x3008,…, 0x3000 + 4 (n - 1) (обратите внимание на нумерацию с нуля ). В общем случае адрес i-го элемента массива с базовым адресом b и размером элемента s равен b + is.

В языке программирования C мы можем записать вышеизложенное как * (base + i)(форма указателя) или base [i](форма индексации массива), что в точности эквивалентно, потому что стандарт C определяет форму индексации массива как преобразование в форму указателя. По совпадению, поскольку добавление указателей является коммутативным, это позволяет использовать непонятные выражения, такие как 3 [base], что эквивалентно base [3].

Многомерные массивы

Все становится лучше Интересно, когда мы рассматриваем массивы с более чем одним индексом, например, двумерную таблицу. У нас есть три возможности:

• сделать двумерный массив одномерным путем вычисления единственного индекса из двух.
• рассмотреть одномерный массив, где каждый элемент является другим одномерным массивом, то есть массивом массивов
• использовать дополнительное хранилище для хранения массива адресов каждой строки исходного массива и хранить строки исходного массива как отдельные одномерные массивы

В C все три метода могут быть используемый. Когда используется первый метод, программист решает, как элементы массива располагаются в памяти компьютера, и предоставляет формулы для вычисления местоположения каждого элемента. Второй метод используется, когда количество элементов в каждой строке одинаково и известно на момент написания программы. Программист объявляет, что массив имеет, скажем, три столбца, написав, например, тип элемента имя таблицы [3];. Затем один обращается к конкретному элементу массива, записывая tablename [первый индекс] [второй индекс]. Компилятор вычисляет общее количество ячеек памяти, занимаемых каждой строкой, использует первый индекс, чтобы найти адрес нужной строки, а затем использует второй индекс, чтобы найти адрес желаемого элемента в строке. Когда используется третий метод, программист объявляет таблицу как массив указателей, как в elementtype * tablename;. Когда программист впоследствии указывает конкретный элемент tablename [первый индекс] [второй индекс], компилятор генерирует инструкции для поиска адреса строки, указанной первым индексом, и использования этого адреса в качестве основы, когда вычисление адреса элемента, указанного вторым индексом.

Пример

Эта функция умножает две матрицы 3x3 с плавающей запятой вместе.

void mult3x3f (float result [3], const float A [3], const float B [3]) {int i, j, k; for (i = 0; i < 3; ++i) { for (j = 0; j < 3; ++j) { result[i][j] = 0; for (k = 0; k < 3; ++k) result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; } } }

В других языках программирования, таких как Pascal, индексы могут начинаться с 1, поэтому индексирование в блоке памяти может быть изменено, чтобы соответствовать началу по 1 схема адресации с помощью простого линейного преобразования - в этой схеме ячейка памяти i-го элемента с базовым адресом b и размером элемента s равна b + (i - 1) s.

• Programming with C ++, J. Hubbard, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1996, ISBN 0-07-114328-9
• Тензорное исчисление, округ Колумбия Kay, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6
• Математические методы для физики и инженерии, KF Riley, MP Hobson, SJ Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3