В математике тензор алгебраический объект, который описывает (полилинейную ) связь между наборами алгебраических объектов, связанных с векторным пространством . Объекты, между которыми могут отображаться тензоры, включают векторы и скаляры и даже другие тензоры. Тензоры могут принимать несколько различных форм - например: скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), двойные векторы, полилинейные карты. между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение. Тензоры определены независимо от любого базиса, хотя на них часто ссылаются их компоненты в базисе, относящемся к конкретной системе координат.
Тензоры важны в физике, потому что они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика (напряжение, упругость, механика жидкости, момент инерции,...), электродинамика (электромагнитный тензор, тензор Максвелла, диэлектрическая проницаемость, магнитная восприимчивость,...) или общая теория относительности (тензор энергии-напряжения, тензор кривизны,...) и другие. В приложениях обычно изучаются ситуации, когда в каждой точке объекта может встречаться другой тензор; например, напряжение внутри объекта может варьироваться от одного места к другому. Это приводит к концепции тензорного поля. В некоторых областях тензорные поля настолько распространены, что их часто называют просто «тензорами».
Тензоры были задуманы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвин Бруно Кристоффель и другие, как часть абсолютного дифференциального исчисления. Эта концепция позволила альтернативную формулировку внутренней дифференциальной геометрии многообразия в форме тензора кривизны Римана.
Несмотря на кажущиеся разные подходы к определяющие тензоры описывают одно и то же геометрическое понятие, используя разный язык и на разных уровнях абстракции. Например, тензоры определяются и обсуждаются для приложений статистики и машинного обучения.
Тензор может быть представлен в виде (потенциально многомерного) массива. Так же, как вектор в n- мерном пространстве представлен одномерным массивом с n компонентами относительно заданного базиса, любой тензор относительно основе представляет собой многомерный массив. Например, линейный оператор представлен в базисе как двумерный квадратный массив n × n. Числа в многомерном массиве известны как скалярные компоненты тензора или просто его компоненты. Они обозначаются индексами, указывающими их позицию в массиве, как нижние индексы и верхние индексы, следующие за символическим именем тензора. Например, компоненты тензора T порядка 2 могут быть обозначены T ij, где i и j - это индексы, идущие от 1 до n, или также как T. j. Отображение индекса в виде верхнего или нижнего индекса зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, хотя T ij и T. jмогут быть выражены как матрицы n на n и численно связаны через манипуляции с индексами, разница в их законах преобразования указывает на то, что это было бы неправильно. чтобы сложить их вместе. Общее количество индексов, необходимых для уникальной идентификации каждого компонента, равно размерности массива и называется порядком, степенью или рангом тензора. Однако термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.
Так же, как компоненты вектора изменяются, когда мы меняем базис векторного пространства, компоненты тензора также изменяются при таком преобразовании. Каждый тип тензора снабжен законом преобразования, в котором подробно описано, как компоненты тензора реагируют на изменение базиса. Компоненты вектора могут реагировать двумя разными способами на изменение базиса (см. ковариацию и контравариантность векторов ), где новые базисные векторы выражаются в терминах старых базисных векторов as,
Здесь R i - элементы изменения базисной матрицы, а в крайнем правом выражении знак суммы был опущен: это - это соглашение Эйнштейна о суммировании, которое будет использоваться в этой статье. Компоненты v вектора-столбца v преобразуются с помощью обратной матрицы R,
где шляпа обозначает компоненты в новом базисе. Это называется контравариантным законом преобразования, потому что компоненты вектора преобразуются путем обратного изменения базиса. Напротив, компоненты w i ковектора (или вектора-строки) w преобразуются с самой матрицей R,
Это называется законом ковариантного преобразования, потому что компоненты ковектора преобразуются по той же матрице, что и изменение базисной матрицы. Компоненты более общего тензорного преобразования преобразуются посредством некоторой комбинации ковариантных и контравариантных преобразований, с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантным и условно обозначается верхним индексом (надстрочным индексом). Если матрица преобразования индекса является самим преобразованием базиса, то индекс называется ковариантным и обозначается нижним индексом (нижним индексом).
В качестве простого примера матрица линейного оператора по отношению к базису представляет собой прямоугольный массив , который преобразуется при изменении базисной матрицы на . Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид Таким образом, тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1).
Комбинации ковариантных и контравариантных компонентов с одним и тем же индексом позволяют выразить геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, можно зафиксировать следующими уравнениями, используя формулы, определенные выше:
где - это дельта Кронекера, которая работает аналогично единичной матрице и имеет эффект переименования индексов (j в k в этом примере). Это показывает несколько особенностей нотации компонентов: возможность переупорядочивать термины по желанию (коммутативность ), необходимость использования разных индексов при работе с несколькими объектами в одном выражении, возможность переименовывать индексы, и способ, которым комбинируются контравариантные и ковариантные тензоры, так что все экземпляры матрицы преобразования и ее инверсии сокращаются, так что выражения типа сразу видно, что они геометрически идентичны во всех системах координат.
Аналогично, линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от основы: это просто линейная карта, которая принимает вектор в качестве аргумента и производит другой вектор. Закон преобразования того, как матрица компонентов линейного оператора изменяется с базисом, согласуется с законом преобразования для контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представляется в координатах как матричное произведение их соответствующие координатные представления. То есть компоненты задаются как . Эти компоненты преобразуются контрвариантно, поскольку
Закон преобразования для тензора порядка p + q с p контравариантными индексами и q ковариантными индексами, таким образом, дается как,
Здесь штриховые индексы обозначают компоненты в новые координаты, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Говорят, что такой тензор имеет порядок или тип (p, q). Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для общей размерности массива (или его обобщения в других определениях), p + q в предыдущем примере, а термин «тип» для пары, дающей количество контравариантных и ковариантных показателей. Тензор типа (p, q) также для краткости называется (p, q) -тензором.
Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение:
Определение. Тензор типа (p, q) - это присвоение многомерного массива
к каждому базису f = (e1,..., en) n-мерного векторного пространства, такое что, если мы применим замену базиса
тогда многомерный массив подчиняется закону преобразования
Определение тензора как многомерного Массив, удовлетворяющий закону преобразования, восходит к работе Риччи.
Эквивалентное определение тензора использует представления общей линейной группы . Существует действие общей линейной группы на множестве всех упорядоченных баз n-мерного векторного пространства. Если - упорядоченный базис, а - обратимый матрица, тогда действие задается как
Пусть F - множество всех упорядоченных базисов. Тогда F - главное однородное пространство для GL (n). Пусть W будет векторным пространством и пусть будет представлением GL (n) на W (то есть, гомоморфизм группы ). Тогда тензор типа является эквивариантным отображением . Эквивариантность здесь означает, что
Когда является тензором представление общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях и легко обобщается на другие группы.
Обратной стороной определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что он Из определения не очевидно, что определенный объект действительно не зависит от базиса, как ожидается от геометрического объекта по своей природе. Хотя можно показать, что законы преобразования действительно обеспечивают независимость от основы, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один из подходов, который является общим в дифференциальной геометрии, заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V, которое обычно считается конкретным векторным пространством некоторого геометрического значения, например касательное пространство к многообразию. В этом подходе тензор типа (p, q) T определяется как полилинейное отображение,
где V - соответствующее дуальное пространство ковекторов, линейное по каждому из своих аргументов. Выше предполагается, что V является векторным пространством над действительными числами, ℝ. В более общем смысле, V можно взять над произвольным полем чисел, F (например, комплексные числа ) с одномерным векторным пространством над F, заменяя ℝ как область значений полилинейной карты.
Применяя полилинейное отображение T типа (p, q) к базису {ej} для V и каноническому кобазису {ε } для V,
может быть получен (p + q) -мерный массив компонентов. Другой выбор основы даст разные компоненты. Но поскольку T линейен по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону преобразования тензора, используемому в определении полилинейного массива. Таким образом, многомерный массив компонентов T образует тензор в соответствии с этим определением. Более того, такой массив может быть реализован как компоненты некоторой полилинейной карты T. Это мотивирует рассматривать полилинейные карты как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.
При рассмотрении тензора как полилинейной карты обычно идентифицируют двойной двойственный V векторного пространства V, т. Е. Пространство линейных функционалов в двойственном векторном пространстве V, с векторным пространством V. Всегда существует естественное линейное отображение из V в его двойное двойное, заданное вычислением линейной формы в V относительно вектора в V. Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных измерениях, и тогда часто бывает целесообразно отождествить V с его двойным двойником.
Для некоторых математических приложений иногда бывает полезен более абстрактный подход. Это может быть достигнуто путем определения тензоров в терминах элементов тензорных произведений векторных пространств, которые, в свою очередь, определены через универсальное свойство . Тензор типа (p, q) определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств,
Базис v i в V и базис w j в W естественным образоминдуцируют базис v i ⊗ w j тензорного произведения V ⊗ W. Компоненты тензора T - это коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса {ei} для V и его двойной базис { ε }, то есть
Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для тензора типа (p, q). Более того, универсальное свойство тензорного произведения дает однозначное соответствие между тензорами, определенными таким образом и тензорами, определенными как полилинейные представления.
Тензорные продукты могут быть в очень общем виде - например, с привлечением модулей с привлечением различных модулей. В принципе, «тензор» можно было бы определить просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин "тензор" обычно используется для элемента любого числа копий единственного пространства V и его двойственного пространства, как указано выше.
Это обсуждение тензоров до сих пор предполагает использование задействованных пространств, где пространства тензоров, полученных каждой из этих конструкций, естественно изоморфны. Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу, без изменений, на работе связки или когерентные пучки. Для различных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы используются в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях тензорное произведение гильбертовых пространств, свойства которого наиболее близки к конечному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что именно структура тензоров как симметричная моноидальная категория кодирует их наиболее важные свойства, а не текстуры этих категорий.
Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, рассматривать тензор с компонентами, которые являются функциями точки в пространстве. Это была установка оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорным полем, часто называемым просто тензором.
В этом контексте для координатного базиса часто выбирается касательное векторное пространство . Закон преобразование может быть выражен через частные производные координатных функций,
определение координат координат,
Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является точечное произведение, который отображает два вектора в скаляр. Более сложным примером является тензор напряжений Коши T, который принимает единичный вектор направления v в качестве входных данных и отображает его в качестве векторных напряжений T, который является силой (на единицу) площади), оказываемого на отрицательной плоскости, ортогональной v к материалу на положительной плоскости, таким образом выражая связь между двумя изображениями, показанными на рисунке (справа). Перекрестное произведение , где два стандартных в третьем, строго не говоря тензором, потому что он меняет свой знак при тех преобразованиях, которые меняют ориентацию системы координат. полностью антисимметричный символ , тем не менее, позволяет удобно обрабатывать кросс-произведение в одинаково ориентированных трехмерных системах.
В этой таблице показаны важные примеры тензоров на векторных пространствах и тензорных полей на разнообразиях. Тензоры классифицируются в соответствии с их типом (n, m), где n - количество контравариантных индексов, m - количество ковариантных индексов, а n + m дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма - это то же самое, что (0, 2) -тензор; внутренний продукт является примером (0, 2) -тензора, но не все (0, 2) -тензоры являются внутренними продуктами. В (0, M) -запись таблицы M обозначает размер лежащего в основе пространства или множества, потому что для каждого измерения пространства отдельный индекс, чтобы выбрать это измерение, чтобы получить максимально ковариантный антисимметричный тензор.
m | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ⋯ | M | ⋯ | ||
n | 0 | Скаляр, например скалярная кривизна | Ковектор, линейный функционал, 1-форма, например дипольный момент, градиент скалярного поля | Билинейная форма, например внутреннее произведение, квадрупольный момент, метрический тензор, кривизна Риччи, 2-форма, симплектическая форма | 3-форма Например, октупольный момент | . М-форма, т.е. объемная форма | ||
1 | евклидов вектор | Линейное преобразование, дельта Кронекера | Например. кросс-произведение в трех измерений | Например. Тензор кривизны Римана | ||||
2 | Обратный метрический тензор, бивектор, например, структура Пуассона | , тензор эластичности | ||||||
⋮ | ||||||||
N | Multivector | |||||||
⋮ |
Повышение индекса на (n, m) -тензоре дает (n + 1, m - 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вниз и влево по столу. Симметрично понижение перемещению по таблице вверх и вправо по диагонали. Сокращение верха с нижним индексом (n, m) -тензор создает (n - 1, m - 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вверх и влево по столу.
Ориентация, определяемая упорядоченным набором векторов. Обратная ориентация соответствует отрицанию внешнего продукта. Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (со знаком точка), 1 (направленный отрезок или точка), 2 (элемент векторной ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов можно визуализировать как любую n-мерную форму (например, n- параллелоэдр, n- эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ) и ориентацией, определяемой тем, что на его n - 1-мерной границы и с какой стороны находится внутренняя часть.Предполагаемая базис реального пространства, например, система координат в окружающем пространстве, тензор может быть представлен как организованный > числовых значений относительно этого базиса. При изменении базиса значения в массиве преобразуются характерным образом, что позволяет определять тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформирующего поведения. Например, инварианты тензоров, которые должны при любом изменении базиса, темяться самым тензором только сохраненные многомерные массивы чисел. представляет это массивом, представляющим не является тензором, для изменения знака при преобразованиях, меняющих ориентацию.
Компоненты 3D-векторов и их двойники преобразуются по-разному при изменении их двойственных оснований, существует закон ковариантного и / или контравариантного преобразования, связывающий массивы, представляющие тензор с по отношению к одному основанию и по отношению к другому. Количество векторов: n (контравариантных индексов) и двойных векторов: m (ковариантных индексов) на входе и выходе тензора, соответственно, определяют тип (или валентность) тензор, пара натуральных чисел (n, m), которые определяют точную форму закона преобразования. Порядок тензора - это сумма этих двух чисел.
Порядок (также степень или ранг) тензора, таким образом, представляет собой сумму порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размер массива определен, необходимая для представления тензора по отношению к данному массиву, или что эквивалентно, количество индексов, необходимых для маркировки каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартная линейная карта, которая отображает вектор в вектор, представляет матрицей (2-мерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры - это простые числа и, следовательно, тензоры 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, берет два вектора и дает скаляр, имеет 2 + 0 = 2, такой же, как тензор, беря один вектор и возвращая другой 1 + 1 = 2. -символ, отображающий два вектора в один вектор, будет иметь порядок 2 + 1 = 3.
Набор тензоров в векторном пространстве и его двойная форма тензорной алгебры, которая допускает произведения произвольных тензоров. Простые приложения тензоров порядка 2, которые могут быть представлены в виде квадратной матрицы, могут быть решены путем умного размещения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц.
Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.
Исчисление Риччи - это современная формализм и обозначение тензорных индексов: указание внутреннего и внешнего произведения, ковариации и контравариантности, суммирование компонент тензора, симметрия и антисимметрия и частные и ковариантные производные.
В соглашении о суммировании Эйнштейна не пишут знаки суммирования, оставляя суммирование неявным. Суммируется любой другой индексный символ: используется другой член тензорного выражения. Таким образом можно суммировать несколько различных пар индексов.
Графическая нотация Пенроуза представляет собой схематическую нотацию, в которой символы тензоров заменяются фигурами, а их индексы - линиями и кривыми. Он не зависит от базовых элементов и не требует символов для индексов.
Нотация абстрактного индекса - это способ записи тензоров таким образом, что индексы больше не считаются числовыми, а скорее неопределенными. Эта нотация отражает выразительность индексов и независимость от базиса безиндексных нотаций.
A Бескомпонентная обработка тензоров использует нотацию, которая подчеркивает, что тензоры не зависят ни от чего, и определяет в терминах тензорного произведения векторных пространств.
Есть несколько операций над тензорами, которые снова тензор. Линейный характер тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабированию вектора. С компонентами эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не меняют тип тензора; но есть также операции, которые производят тензор другого типа.
Тензорное произведение принимает два тензора, S и T, и создает новый тензор, S ⊗ T, порядок которого является суммой порядков исходные тензоры. Когда описывается как полилинейное отображение, тензорное произведение просто умножает два тензора, т.е.
, который снова создает карту что линейно по всем своим аргументам. На компонентах эффект заключается в попарном умножении компонентов двух входных тензоров, то есть
Если S имеет тип (l, k) и T имеет тип (n, m), то тензорное произведение S ⊗ T имеет тип (l + n, k + m).
Сжатие тензора - это операция, которая сводит тензор типа (n, m) к тензору типа (n - 1, m - 1), из которых trace - это особый случай. Таким образом, общий порядок тензора уменьшается на два. Операция достигается суммированием компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом, для создания нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, (1, 1) -тензор может быть сокращен до скаляра через
Где снова подразумевается суммирование. Когда (1, 1) -тензор интерпретируется как линейная карта, эта операция известна как трассировка.
Сжатие часто используется в сочетании с тензорным произведением, чтобы сократить индекс каждого тензора.
Сжатие также можно понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V на пространство V, сначала разложив тензор на линейную комбинацию простых тензоров, а затем применяя множитель из V к множителю из V. Например, тензор
может быть записывается как линейная комбинация
Тогда сокращение T на первом и последнем слотах будет вектором
В векторном пространстве с внутренним продуктом (также известным как метрика ) g термин сжатие используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с метрическим тензором или его обратным. Например, (2, 0) -тензор может быть сокращен до скаляра через
(снова предполагая соглашение о суммировании).
Когда векторное пространство снабжено невырожденной билинейной формой (или метрическим тензором, как его часто называют в в этом контексте) могут быть определены операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор - это (симметричный) (0, 2) -тензор; таким образом, можно свести верхний индекс тензора к одному из нижних индексов метрического тензора в произведении. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с более низким индексом, обычно показываемым в той же позиции продолжения.