Трассировка (линейная алгебра)

редактировать

В линейной алгебре, трасса квадрата матрица A, обозначаемая $tr ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A})}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A})$ , определяется как сумма элементов на главная диагональ (от верхнего левого угла до нижнего правого) A.

След матрицы - это сумма ее (комплексных) собственных значений, и он инвариантен в отношении изменения базы. Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. След определяется только для квадратной матрицы (n × n).

След относится к производной детерминанта (см. формулу Якоби ).

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Свойства
- 3.1 Основные свойства
- 3.2 Трассировка продукта
- 3.3 Циклическое свойство
- 3.4 Трасса матричного продукта
- 3.5 След произведения Кронекера
- 3.6 Полная характеристика следа
- 3.7 Инвариантность подобия
- 3.8 След произведения симметричной и кососимметричной матрицы
- 3.9 Связь с собственными значениями
  - 3.9.1 След единичной матрицы
  - 3.9.2 След идемпотентной матрицы
  - 3.9.3 След нильпотентной матрицы
  - 3.9.4 След равен сумме собственных значений
- 3.10 След коммутатора
- 3.11 След коммутатора Эрмитова матрица
- 3.12 След матрицы перестановок
- 3.13 След матрицы проекции
4 Экспоненциальный след
5 След линейного оператора
- 5.1 Отношения собственных значений
- 5.2 Производные
6 Приложения
7 Алгебра Ли
- 7.1 Билинейные формы
8 Внутреннее произведение
9 Обобщения
10 Бескординатное определение
- 10.1 Двойное
- 10.2 Обобщения
11 См. Также
12 Примечания
13 См. ences
14 Внешние ссылки

Определение

Трасса квадратной матрицы n × n Aопределяется как

tr ⁡ (A) = ∑ я знак равно 1 naii = a 11 + a 22 + ⋯ + ann {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ { 11} + a_ {22} + \ dots + a_ {nn}}

\operatorname {tr} (\mathbf {A})=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}

где a ii обозначает запись в i-й строке и i-м столбце A.

Пример

Пусть A - матрица, где

A = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (- 1 0 3 11 5 2 6 12 - 5) {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} \\ a_ {21} a_ {22} a_ {23} \\ a_ {31} a_ { 32} a_ {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 0 3 \\ 11 5 2 \\ 6 12 -5 \ end {pmatrix}}}

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}a_{12}a_{13}\\a_{21}a_{22}a_{23}\\a_{31}a_{32}a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-103\\1152\\612-5\end{pmatrix}}

Тогда

tr ⁡ (A) = ∑ я знак равно 1 3 aii = a 11 + a 22 + a 33 = - 1 + 5 + (- 5) = - 1 {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1 } ^ {3} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} = - 1 + 5 + (- 5) = - 1}

\operatorname {tr} (\mathbf {A})=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=-1+5+(-5)=-1

Свойства

Основные свойства

Трасса - это линейное отображение. То есть

тр ⁡ (A + B) = тр ⁡ (A) + tr ⁡ (B) tr ⁡ (c A) = c tr ⁡ (A) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname { tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \\\ operatorname {tr} ( c \ mathbf {A}) = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {A})+\operatorname {tr} (\mathbf {B})\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A})=c\operatorname {tr} (\mathbf {A})\end{aligned}}

для всех квадратных матриц A и B, и все скаляры c.

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след:

tr ⁡ (A) = tr ⁡ (AT). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ right).}

\operatorname {tr} (\mathbf {A})=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).

Это сразу следует из тот факт, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

Трасса произведения

Трасса квадратной матрицы, которая является произведением двух матриц, может быть переписана как сумма произведений их элементов по элементам. Точнее, если A и B - две матрицы размером m × n, то:

tr ⁡ (ATB) = tr ⁡ (ABT) = tr ⁡ (BTA) = tr ⁡ (BAT) = ∑ я, jaijbij. {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {A} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ sum _ {i, j} a_ {ij} b_ {ij}.}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ij}b_{ij}.

Это означает, что след произведение матриц одинакового размера функционирует аналогично точечному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщение векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включает след матричных произведений.

Для вещественных матриц A и B след продукта также может быть записан в следующих формах:

tr ⁡ (ATB) = ∑ i J (A ∘ В) ij {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ sum _ {i, j} ( \ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B}) _ {ij}}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\sum _{i,j}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B})_{ij}

(с использованием произведения Адамара, также известного как начальное произведение).

тр ⁡ (ATB) = vec ⁡ (B) T vec ⁡ (A) = vec ⁡ (A) T vec ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ { \ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B}) ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {B})}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B})^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A})=\operatorname {vec} (\mathbf {A})^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B})

(с использованием оператора векторизации ).

Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: Если A является матрицей m × n, а B является матрицей n × m, то

$тр ⁡ (AB) = тр ⁡ (BA) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A})}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A})$

Кроме того, для вещественных матриц столбцов $a ∈ R n {\ displaystyle \ mathbf {a} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ и $b ∈ R n {\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ , след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:

$tr ⁡ (ba T) = a T b {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {b} \ mathbf {a} ^ {\textf {T}} \ right) = \ mathbf {a} ^ {\textf {T} } \ mathbf {b}}$ $\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Циклическое свойство

В более общем смысле, трасса инвариантна относительно циклических перестановок, то есть

$tr ⁡ (ABCD) = tr ⁡ ( BCDA) = tr ⁡ (CDAB) = tr ⁡ (DABC). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C} \ mathbf {D}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {C} \ mathbf { D} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {D} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}).}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D})=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A})=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C}).$

Это известно как циклическое свойство.

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

tr ⁡ (A B C) ≠ tr ⁡ (A C B). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C})\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B}).

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, любая перестановка разрешена, так как:

tr ⁡ (ABC) = tr ⁡ ((ABC) T) = tr ⁡ (CBA) = тр ⁡ (ACB), {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ left (\ left (\ mathbf {A}) \ mathbf {B} \ mathbf {C} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}),}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C})=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B}),

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирование равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

Трасса матричного произведения

В отличие от детерминанта , трасса продукта не является произведением трасс, то есть существуют матрицы A и B такие, что

tr ⁡ (AB) ≠ tr ⁡ (A) tr ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B})}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A})\operatorname {tr} (\mathbf {B})

Например, если

A = (0 1 0 0), B = (0 0 1 0), {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}, \ \ \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \ end {pmatrix}},}

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}},\ \ \mathbf {B} ={\begin{pmat rix}00\\10\end{pmatrix}},

, тогда произведение равно

AB = (1 0 0 0), {\ displaystyle \ mathbf {AB} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix} },}

\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}},

и следы имеют вид $tr ⁡ (AB) = 1 ≠ 0 ⋅ 0 = tr ⁡ (A) tr ⁡ (B). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B}).}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=1\neq 0\cdot 0=\operatorname {tr} (\mathbf {A})\operatorname {tr} (\mathbf {B}).$

Кроме того:

tr ⁡ (AB) = tr ⁡ (BA) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A})}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A})

След произведения Кронекера

След произведения Кронекера двух матриц является произведением их следов:

tr ⁡ (A ⊗ B) = tr ⁡ (A) tr ⁡ (B). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {A})\operatorname {tr} (\mathbf {B}).

Полная характеристика следа

Следующие три свойства:

tr ⁡ (A + B) = tr ⁡ (A) + tr ⁡ (B), tr ⁡ (c A) = c tr ⁡ (A), тр ⁡ (AB) знак равно тр ⁡ (BA), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr } (\ mathbf {A}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}), \\\ operatorname {tr} (c \ mathbf {A}) = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A }), \\\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A}), \ end {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {A})+\operatorname {tr} (\mathbf {B}),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A})=c\operatorname {tr} (\mathbf {A}),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A}),\end{aligned}}

полностью характеризуют след в следующем смысле. Пусть f - линейный функционал на пространстве квадратных матриц, удовлетворяющий условию f (xy) = f (yx). Тогда f и tr пропорциональны.

Инвариантность подобия

Трасса инвариантна подобия, что означает, что для любой квадратной матрицы A и любой обратимая матрица P одинаковых размеров, матрицы A и PAPимеют одинаковый след. Это потому, что

tr ⁡ (P - 1 AP) = tr ⁡ (P - 1 (AP)) = tr ⁡ ((AP) P - 1) = tr ⁡ (A (PP - 1)) = tr ⁡ (А). {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^ { -1} (\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ right) = \ operatorname {tr} \ left ((\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ mathbf {P} ^ {- 1} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ left (\ mathbf {P} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ right) \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf { A}).}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} \right)=\operatornam e {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P})\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P})\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \left(\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1}\right)\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A}).

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы

Если A является симметричным и B равно кососимметричный, тогда

tr ⁡ (AB) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=0

Отношение к собственным значениям

След единичной матрицы

След единичной матрицы n × n - это размерность пространства, а именно n.

tr ⁡ (I n) = n {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n

Это приводит к обобщениям измерения с использованием следа.

След идемпотентной матрицы

След идемпотента матрица A(матрица, для которой A= A) - это ранг для A.

След нильпотентной матрицы

След нильпотентной матрицы нуль.

Когда характеристика базового поля равна нулю, верно и обратное: если tr (A ) = 0 для всех k, то A является нильпотентным.

Когда характеристика n>0 положительна, идентичность в n измерениях является контрпримером, так как $tr ⁡ (I nk) = tr ⁡ (I n) = n ≡ 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} ^ {k} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n \ эквив 0}$ $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$ , но идентичность не является нильпотентной.

Трассировка равна сумме собственных значений

В общем, если

f (x) = ∏ i = 1 k (x - λ i) di {\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (x- \ lambda _ {i} \ right) ^ {d_ {i}}}

f(x)=\prod _{i=1}^{k}\left(x-\lambda _{i}\right)^{d_{i}}

- это характеристический многочлен матрицы A, тогда

$tr ⁡ (A) = ∑ я = 1 kdi λ я {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1} ^ { k} d_ {i} \ lambda _ {i}}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A})=\sum _{i=1}^{k}d_{i}\lambda _{i}$

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора

Когда и A, и B являются матрицами размера n × n, след (теоретико-кольцевой) коммутатор из A и B исчезает: tr ([A,B]) = 0, потому что tr (AB ) = tr (BA ) и tr линейный. Можно сформулировать это как «след - это отображение алгебр Ли gl n → k от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.

И наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок

След матрицы перестановок - это количество фиксированных точек, потому что диагональный член a ii равно 1, если i-я точка фиксирована, и 0 в противном случае.

Трасса матрицы проекции

Трасса матрицы проекции - это размер целевого пространства.

P X = X (X T X) - 1 X T ⟹ tr ⁡ (P X) = ранг ⁡ (X). {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} = \ mathbf {X} \ left (\ mathbf {X} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {X} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {X} ^ {\ mathsf {T}} \\ [3pt] \ Longrightarrow \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} \ right) = \ operatorname {rank} (\ mathbf {X}). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)=\operatorname {rank} (\mathbf {X}).\end{aligned}}

Матрица PXидемпотентна и, в более общем смысле, является следом любой идемпотентной матрицы равняется своему рангу.

Экспоненциальный след

Выражения типа tr (exp (A )), где A - квадратная матрица, так часто встречаются в некоторых полях ( например, многомерная статистическая теория), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:

tre ⁡ (A): = tr ⁡ (exp ⁡ (A)). {\ displaystyle \ operatorname {tre} (A): = \ operatorname {tr} (\ exp (A)).}

\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).

tre иногда называют функцией экспоненциальной трассы ; он используется в неравенстве Голдена – Томпсона.

След линейного оператора

В общем, для некоторого линейного отображения f: V → V (где V - конечное мерное векторное пространство ), мы можем определить след этой карты, рассматривая след матричного представления функции f, то есть выбирая базис для V и описав f как матрицу относительно этого базиса, и взяв след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы приведут к аналогичным матрицам, что дает возможность независимого от базиса определения следа линейной карты.

Такое определение может быть дано с использованием канонического изоморфизма между пространством End (V) линейных отображений на V и V ⊗ V *, где V * - дуальное пространство из V. Пусть v находится в V, а f находится в V *. Тогда след неразложимого элемента v ⊗ f определяется как f (v); след общего элемента определяется линейностью. Используя явный базис для V и соответствующий дуальный базис для V *, можно показать, что это дает такое же определение следа, как дано выше.

Отношения собственных значений

Если A - линейный оператор, представленный квадратной матрицей с вещественными или комплексными элементами, и если λ 1,…, λ n - это собственные значения для A (перечисленные в соответствии с их алгебраическими кратностями ), то

$тр ⁡ (A) = ∑ я λ я {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i}}$ $\operatorname {tr} (\mathbf {A})=\sum _{i}\lambda _{i}$

Это следует из тот факт, что A всегда подобен своей жордановой форме, верхней треугольной матрице, имеющей λ 1, …, Λ n на главной диагонали. В отличие от этого, определитель для A является произведением его собственных значений; то есть

det (A) = ∏ i λ i. {\ displaystyle \ det (\ mathbf {A}) = \ prod _ {i} \ lambda _ {i}.}

\det(\mathbf {A})=\prod _{i}\lambda _{i}.

В общем,

tr ⁡ (A k) = ∑ i λ i k. {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {k} \ right) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {k}.}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.

Производные

След соответствует производной определителя: это алгебра Ли аналог карты (группа Ли ) определителя. Это уточняется в формуле Якоби для производной детерминанта .

В частном случае, при тождестве производная определителя фактически составляет след : tr = det ′ I. Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричной экспоненциальной функцией ), а определитель :

det (exp ⁡ (A)) = exp ⁡ (tr ⁡ (A)). {\ displaystyle \ det (\ exp (\ mathbf {A})) = \ exp (\ operatorname {tr} (\ mathbf {A})).}

\det(\exp(\mathbf {A}))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A})).

Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований задается поворотом на угол θ,

R θ = (cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ). {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta - \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}

\mathbf {R} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta -\sin \theta \\\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}}.

Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства в точке θ = 0, единичное вращение, является антисимметричной матрицей

A = (0 - 1 1 0) {\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \ end { pmatrix}}}

A={\begin{pmatrix}0-1\\10\end{pmatrix}}

, который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, которое сохраняет площадь.

Соответствующая характеристика трассы применяется к линейным векторным полям. Учитывая матрицу A, определите векторное поле F на R с помощью F(x) = Ax . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками A ). Его дивергенция div F является постоянной функцией, значение которой равно tr (A ).

По теореме дивергенции это можно интерпретировать в терминах потоков: если F(x) представляет скорость жидкости в точке x, а U - это области в R, чистый поток текучей среды из U определяется как tr (A ) · vol (U), где vol (U) - объем U.

След является линейным оператором, следовательно, он коммутирует с производной:

d ⁡ tr ⁡ (X) = tr ⁡ (d ⁡ X). {\ displaystyle \ operatorname {d} \ operatorname {tr} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {d} \ mathbf {X}).}

\operatorname {d} \operatorname {tr} (\mathbf {X})=\operatorname {tr} (\operatorname {d} \mathbf {X}).

Приложения

След комплексной матрицы 2 × 2 используется для классификации преобразований Мёбиуса. Сначала матрица нормализуется, чтобы сделать ее определитель равным единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболическим. Если квадрат находится в интервале [0,4), он эллиптический. Наконец, если квадрат больше 4, преобразование локсодромное. См. классификацию преобразований Мёбиуса.

Трассировка используется для определения символов из групповых представлений. Два представления A, B: G → GL (V) группы G эквивалентны (с точностью до замены базиса на V), если tr (A (g)) = tr (B (g)) для всех g ∈ G.

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм.

алгебры Ли

След - это отображение Алгебры Ли $tr: gln → K {\ displaystyle \ operatorname {tr}: {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to K}$ $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ из алгебры Ли $gln {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}$ линейных операторов в n-мерном пространстве (матрицы размером n × n с записями в $K {\ displaystyle K}$ $K$ ) в алгебру Ли скаляров K; поскольку K абелева (скобка Ли равна нулю), тот факт, что это отображение алгебр Ли, в точности означает, что след скобки равен нулю:

tr ⁡ ([A, B]) = 0 для каждого A, B ∈ gln. {\ displaystyle \ operatorname {tr} ([\ mathbf {A}, \ mathbf {B}]) = 0 {\ text {для каждого}} \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ in {\ mathfrak { gl}} _ {n}.}

\operatorname {tr} ([\mathbf {A},\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A},\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.

Ядро этой карты, матрица, трасса которой равна нулю, часто называется бесследной или бесследной, и эти матрицы образуют простую алгебру Ли $sln {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$ ${\mathfrak {sl}}_{n}$ , которая является алгебра специальной линейной группы матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц, не меняющих объема, а специальная линейная алгебра Ли - это матрицы которые не изменяют объем бесконечно малых множеств.

На самом деле существует внутреннее разложение прямой суммы $gln = sln ⊕ K {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl }} _ {n} \ oplus K}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ операторов / матриц в бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Отображение проекции на скалярные операторы может быть выражено в терминах следа, в частности, как:

A ↦ 1 n tr ⁡ (A) I. {\ displaystyle \ mathbf {A} \ mapsto {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ mathbf {I}.}

\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A})\mathbf {I}.

Формально можно составить след ( countit map) с единичной картой $K → gln {\ displaystyle K \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\displaystyl e K\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$ из "включения скаляры "для получения карты $gln → gln {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ отображение на скаляры и умножение на n. Деление на n делает это проекцией, что дает формулу выше.

В терминах коротких точных последовательностей, один имеет

0 → sln → gln → tr K → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathfrak {sl}} _ {n } \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} K \ to 0}

0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0

, что аналогично

1 → SL n → GL n → det K ∗ → 1 {\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} _ {n} \ to \ operatorname {GL} _ {n} {\ overset {\ det} {\ to}} K ^ {*} \ to 1}

1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1

(где $K ∗ = K ∖ {0} {\ displaystyle K ^ {*} = K \ setminus \ {0 \}}$ $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ) для групп Ли. Однако трасса естественным образом разделяется (через $1 / n {\ displaystyle 1 / n}$ $1/n$ умножить на скаляры), поэтому $gln = sln ⊕ K {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ , но разбиение определителя будет таким, как скалярный корень n-й степени, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не расщепляется и общая линейная группа не распадается:

GL n ≠ SL n × K ∗. {\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} \ neq \ operatorname {SL} _ {n} \ times K ^ {*}.}

\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.

Билинейные формы

билинейная форма (где X, Y- квадратные матрицы)

B (X, Y) = tr ⁡ (ad ⁡ (X) ad ⁡ (Y)), где ad ⁡ (X) Y = [X, Y] = XY - YX {\ displaystyle B (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ operatorname {ad} (\ mathbf {Y})) \ quad {\ text {where}} \ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ mathbf {Y} = [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] = \ mathbf {X} \ mathbf { Y} - \ mathbf {Y} \ mathbf {X}}

B(\mathbf {X},\mathbf {Y})=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X})\operatorname {ad} (\mathbf {Y}))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X})\mathbf {Y} =[\mathbf {X},\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}

называется формой Киллинга, которая используется для классификации алгебр Ли.

Трасса определяет билинейную форму:

(X, Y) ↦ tr ⁡ (X Y). {\ displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) \ mapsto \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}).}

(\mathbf {X},\mathbf {Y})\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y}).

Форма симметричная, невырожденная и ассоциативная в том смысле, что:

tr ⁡ (X [Y, Z]) = tr ⁡ ([X, Y] Z). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {Z}]) = \ operatorname {tr} ([\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] \ mathbf {Z}).}

\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y},\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X},\mathbf {Y} ]\mathbf {Z}).

Для сложной простой алгебры Ли (такой как $sl {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$ ${\mathfrak {sl}}$ n) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства.

Две матрицы X и Y называются ортогональными по трассе, если

tr ⁡ (XY) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) = 0}

\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y})=0

Внутренний продукт

Для матрицы m × n A с комплексными (или действительными) элементами и являющейся сопряженным транспонированием, у нас есть

тр ⁡ (AHA) ≥ 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {A} \ right) \ geq 0}

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} \right)\geq 0

с равенством тогда и только тогда, когда A= 0.

Присвоение

⟨A, B⟩ = tr ⁡ (AHB) {\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {B} \ right)}

\langle \mathbf {A},\mathbf {B} \rangle =\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {B} \right)

возвращает внутренний продукт в пространстве всех комплексных (или реальных) m × n матриц.

Норма , полученная из указанного выше внутреннего продукта, называется нормой Фробениуса, которая удовлетворяет субмультипликативному свойству как матричная норма. Действительно, это просто евклидова норма, если матрица рассматривается как вектор длины m ⋅ n.

Отсюда следует, что если A и B являются действительными положительными полуопределенными матрицами одинакового размера, то

0 ≤ [tr ⁡ (AB)] 2 ≤ tr ⁡ (A 2) tr ⁡ (B 2) ≤ [tr ⁡ (A)] 2 [tr ⁡ (B)] 2. {\ displaystyle 0 \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ right] ^ {2} \ leq \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^ { 2} \ right) \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^ {2} \ right) \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ right] ^ {2} \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \ right] ^ {2}.}

0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A})\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B})\right]^{2}.

Обобщения

Понятие следа матрицы обобщается на класс следа компактных операторов на гильбертовых пространствах, а аналог нормы Фробениуса называется нормой Гильберта – Шмидта.

Если K - класс трассировки, то для любого ортонормированного базиса $(φ n) n {\ displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}$ $(\varphi _{n})_{n}$ , след определяется выражением

тр ⁡ (K) = ∑ N ⟨φ n, K φ n⟩, {\ displaystyle \ operatorname {tr} (K) = \ sum _ {n} \ left \ langle \ varphi _ {n}, K \ varphi _ {n} \ right \ rangle,}

\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle \varphi _{n},K\varphi _{n}\right\rangle,

и является конечным и не зависит от ортонормированного базиса.

Частичный след является еще одним операторнозначным обобщением следа. След линейного оператора Z, который живет в пространстве произведения A ⊗ B, равен частичным следам над A и B:

tr ⁡ (Z) = tr A ⁡ (tr B ⁡ (Z)) = tr B ⁡ (tr A ⁡ (Z)). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (Z) = \ operatorname {tr} _ {A} \ left (\ operatorname {tr} _ {B} (Z) \ right) = \ operatorname {tr} _ {B} \ left (\ operatorname {tr} _ {A} (Z) \ right).}

\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).

Для получения дополнительных свойств и обобщения частичного следа см. отслеживаемые моноидальные категории.

Если A является общим ассоциативная алгебра над полем k, то след на A часто определяется как любое отображение tr: A ↦ k, которое обращается в нуль на коммутаторах: tr ([a, b]) для всех a, b ∈ A. Такое след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

A суперслед - это обобщение следа для настройки супералгебр.

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Безкоординатное определение

К следу можно также подойти безкоординатным способом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов на конечном -мерное векторное пространство V (определенное над полем F) изоморфно пространству V ⊗ V посредством линейного отображения

V ⊗ V ∗ → H om (V, V), v ⊗ h ↦ (w ↦ h (w) v). {\ displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ to \ mathrm {Hom} (V, V), v \ otimes h \ mapsto (w \ mapsto h (w) v).}

V\otimes V^{*}\to \mathrm {Hom} (V,V),v\otimes h\mapsto (w\mapsto h(w)v).

Существует также канонический билинейная функция t: V × V → F, которая состоит в применении элемента w из V к элементу v из V, чтобы получить элемент из F:

t (v, w ∗): = w ∗ (v) ∈ F. {\ displaystyle t \ left (v, w ^ {*} \ right): = w ^ {*} (v) \ in F.}

t\left(v,w^{*}\right):=w^{*}(v)\in F.

Это индуцирует линейную функцию на тензорном произведении (по его универсальным свойством ) t: V ⊗ V → F, который, как оказывается, когда это тензорное произведение рассматривается как пространство операторов, равно следу.

В частности, для A (эквивалентно, простой тензор $v ⊗ w ∗ {\ displaystyle v \ otimes w ^ {*}}$ $v\otimes w^{*}$ ), квадрат равен $A 2 = λ A, {\ displaystyle A ^ {2} = \ lambda A,}$ $A^{2}=\lambda A,$ , потому что на его одномерном изображении A - это просто скалярное умножение. В терминах тензорного выражения $λ = w ∗ (v), {\ displaystyle \ lambda = w ^ {*} (v),}$ $\lambda =w^{*}(v),$ , и это след (и только не- нулевое собственное значение) оператора A; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор в n-мерном пространстве может быть выражен как сумма n операторов ранга один; это дает версию суммы диагональных элементов без координат.

Это также поясняет, почему tr (AB ) = tr (BA ) и почему tr (AB ) ≠ tr (A ) tr (B ), поскольку композиция операторов (умножение матриц) и трассировка могут интерпретироваться как одно и то же объединение. Просмотр

Конец ⁡ (V) ≅ V ⊗ V ∗, {\ displaystyle \ operatorname {End} (V) \ cong V \ otimes V ^ {*},}

\operatorname {End} (V)\cong V\otimes V^{*},

можно интерпретировать композиционную карту

Конец ⁡ (V) × Конец ⁡ (V) → Конец ⁡ (V) {\ Displaystyle \ OperatorName {End} (V) \ times \ OperatorName {End} (V) \ to \ operatorname {End} (V)}

\operatorname {End} (V)\times \operatorname {End} (V)\to \operatorname {End} (V)

как

(V ⊗ V ∗) × (V ⊗ V ∗) → (V ⊗ V ∗) {\ displaystyle (V \ otimes V ^ {*}) \ times (V \ otimes V ^ {*}) \ to (V \ otimes V ^ {*})}

(V\otimes V^{*})\times (V\otimes V^{*})\to (V\otimes V^{*})

из пары V × V → F на средних членах. Отслеживание продукта происходит в результате спаривания на внешних условиях, тогда как взятие продукта в обратном порядке, а затем взятие следа просто переключает, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым элементам (а не к внутреннему и внешнему), и поэтому отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

(AB) ik = ∑ jaijbjk, {\ displaystyle (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) _ {ik} = \ сумма _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}

(\mathbf {A} \mathbf {B})_{ik}=\sum _{j}a_{ij}b_{jk},

поэтому

tr ⁡ (AB) = ∑ ijaijbji и tr ⁡ (BA) = ∑ ijbijaji {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ sum _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A }) = \ sum _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B})=\sum _{ij}a_{ij}b_{ji}\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A})=\sum _{ij}b_{ij}a_{ji}

, что то же самое, а

tr ⁡ (A) ⋅ tr ⁡ (B) = ∑ iaii ⋅ ∑ jbjj, {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ cdot \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) = \ sum _ {i} a_ {ii} \ cdot \ sum _ {j} b_ {jj},}

\operatorname {tr} (\mathbf {A})\cdot \operatorname {tr} (\mathbf {B})=\sum _{i}a_{ii}\cdot \sum _{j}b_{jj},

который отличается.

For finite-dimensional V, with basis {ei} and dual basis {e}, then ei⊗ e is the ij-entry of the matrix of the operator with respect to that basis. Any operator Ais therefore a sum of the form

A = a i j e i ⊗ e j. {\displaystyle \mathbf {A} =a_{ij}e_{i}\otimes e^{j}.}

\mathbf {A} =a_{ij}e_{i}\otimes e^{j}.

With t defined as above,

t r ( A) = a i j tr ⁡ ( e i ⊗ e j). {\displaystyle tr(\mathbf {A})=a_{ij}\operatorname {tr} \left(e_{i}\otimes e^{j}\right).}

tr(\mathbf {A})=a_{ij}\operatorname {tr} \left(e_{i}\otimes e^{j}\right).

The latter, however, is just the Kronecker delta, being 1 if i = j and 0 otherwise. This shows that tr(A) is simply the sum of the coefficients along the diagonal. This method, however, makes coordinate invariance an immediate consequence of the definition.

Dual

Further, one may dualize this map, obtaining a map

F ∗ = F → V ⊗ V ∗ ≅ End ⁡ ( V). {\displaystyle F^{*}=F\to V\otimes V^{*}\cong \operatorname {End} (V).}

F^{*}=F\to V\otimes V^{*}\cong \operatorname {End} (V).

This map is precisely the inclusion of scalars, sending 1 ∈ F to the identity matrix: "trace is dual to scalars". In the language of bialgebras, scalars are the unit, while trace is the counit.

One can then compose these,

F → I End ⁡ ( V) → tr F, {\displaystyle F~{\overset {I}{\to }}~\operatorname {End} (V)~{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}~F,}

F~{\overset {I}{\to }}~\operatorname {End} (V)~{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}~F,

which yields multiplication by n, as the trace of the identity is the dimension of the vector space.

Generalizations

Using the notion of dualizable objects and categorical traces, this approach to traces can be fruitfully axiomatized and applied to other mathematical areas.

Notes

References

External links

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]