Обозначение абстрактного индекса

редактировать

Обозначение абстрактного индекса- математическая запись для тензоров и спиноров который использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов на определенной основе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с исчислением Риччи. Обозначения были введены Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения о суммировании Эйнштейна для компенсации трудности описания сокращений и ковариантное дифференцирование в современной абстрактной тензорной нотации с сохранением явной ковариации используемых выражений.

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет векторным пространством и $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$ его двойной. Рассмотрим, например, ковариантный тензор порядка 2 $h ∈ V ∗ ⊗ V ∗ {\ displaystyle h \ in V ^ {*} \ otimes V ^ {*}}$ ${\ displaystyle h \ in V ^ {*} \ otimes V ^ {*}}$ . Тогда $h {\ displaystyle h}$ $h$ можно идентифицировать с помощью билинейной формы на $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Другими словами, это функция двух аргументов в $V {\ displaystyle V}$ $V$ , которые могут быть представлены как пара слотов:

h = h (-, -). {\ displaystyle h = h (-, -).}

{\ displaystyle h = h (-, -).}

Абстрактная индексная нотация - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т. е. не являются числовой):

h = hab. {\ displaystyle h = h_ {ab}.}

{\ displaystyle h = h_ {ab}.}

A сжатие тензора (или трасса) между двумя тензорами представлено повторением метки индекса, где одна метка контравариантна (верхний индекс соответствует фактору $V {\ displaystyle V}$ $V$ ), и одна метка является ковариантной (нижний индекс, соответствующий множителю $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$ ). Так, например,

tabb {\ displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}

{t_ {ab}} ^ b

- это след тензора $t = tabc {\ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$ ${\ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$ за последние два слота. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально аналогичен соглашению о суммировании Эйнштейна. Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной, независимой от базиса операции трассировки (или естественному объединению ) между тензорными множителями типа $V {\ displaystyle V}$ $V$ и типа $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$ .

Содержание

1 Абстрактные индексы и тензорные пространства
2 Сжатие
3 Плетение
4 Антисимметризация и симметризация
5 См. Также
6 Ссылки

Абстрактные индексы и тензорные пространства

Общий однородный тензор - это элемент тензорного произведения копий из $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$ , например

V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗. {\ displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*}.}

V \ время V ^ * \ время V ^ * \ время V \ время V ^ *.

Обозначьте каждый множитель в этом тензорном произведении латинской буквой в приподнятом положении для каждого контравариантный $V {\ displaystyle V}$ $V$ фактор и в пониженном положении для каждой ковариантной $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$ позиции. Таким образом, запишите продукт как

V a V b V c V d V e {\ displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}

{\ displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}

или просто

V abcde. {\ displaystyle {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}.}

{{{V ^ a} _ {bc}} ^ d} _e.

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

h a b c d e ∈ V a b c d e = V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗. {\ displaystyle {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ in {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e } = V \ время V ^ {*} \ время V ^ {*} \ время V \ время V ^ {*}.}

{{{h ^ a} _ {bc}} ^ d} _e \ in {{{V ^ a} _ {bc}} ^ d} _e = V \ otimes V ^ * \ otimes V ^ * \ otimes V \ otimes V ^ *.

Сжатие

В общем, когда встречаются один контравариантный и один ковариантный факторы в тензорном произведении пространств есть ассоциированное сжатие (или следовое) отображение. Например,

T r 12: V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {12}: V \ otimes V ^ {* } \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ to V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*}}

\ mathrm {Tr} _ {12}: V \ время V ^ * \ время V ^ * \ время V \ время V ^ * \ к V ^ * \ время V \ время V ^ *

- это след на первых двух пространствах тензора товар.

T r 15: V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {15}: V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ время V \ время V ^ {*} \ to V ^ {*} \ время V ^ {*} \ время V}

\ mathrm {Tr} _ {15}: V \ otimes V ^ * \ otimes V ^ * \ otimes V \ ot imes V ^ * \ to V ^ * \ otimes V ^ * \ otimes V

- это след на первом и последнем пробелах.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки задается как

T r 12: habcde ↦ haacde {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ mapsto {{{h ^ {a}} _ {ac}} ^ {d}} _ {e}}

\ mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ a} _ {bc}} ^ d} _e \ mapsto {{{ h ^ a} _ {ac}} ^ d} _e

, а второй -

T r 15: habcde ↦ habcda. {\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ mapsto {{{h ^ {a}} _ {bc }} ^ {d}} _ {a}.}

\ mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ a} _ {bc}} ^ d} _e \ mapsto {{{h ^ a} _ {bc}} ^ d} _a.

Плетение

С любым тензорным произведением в одном векторном пространстве связаны карты плетения. Например, карта плетения

τ (12): V ⊗ V → V ⊗ V {\ displaystyle \ tau _ {(12)}: V \ otimes V \ rightarrow V \ otimes V}

\ tau _ {(12)}: V \ время V \ rightarrow V \ время V

меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется как $τ (12) (v ⊗ w) = w ⊗ v {\ displaystyle \ tau _ {(12)} (v \ otimes w) = обычно v}$ $\ tau _ {(12)} (v \ otimes w) = w \ otimes v$ ). В общем, карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем $τ σ {\ displaystyle \ tau _ {\ sigma}}$ $\ tau_ \ sigma$ для обозначения карты плетения, связанной с перестановкой $σ {\ displaystyle \ sigma }$ $\ sigma$ (представлен как произведение непересекающихся циклических перестановок ).

Карты плетения важны в дифференциальной геометрии, например, для выражения идентичности Бьянки. Здесь пусть $R {\ displaystyle R}$ $R$ обозначает тензор Римана, рассматриваемый как тензор в $V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V {\ displaystyle V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ время V ^ {*} \ время V}$ $V ^ * \ иногда V ^ * \ время V ^ * \ время V$ . Первое тождество Бианки затем утверждает, что

R + τ (123) R + τ (132) R = 0. {\ displaystyle R + \ tau _ {(123)} R + \ tau _ {(132)} R = 0.}

R + \ tau _ {(123)} R + \ tau _ {(132)} R = 0.

Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. Для конкретного тензорного произведения фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

R = R abcd ∈ V abcd = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V, {\ displaystyle R = {R_ {abc}} ^ {d} \ in {V_ {abc}} ^ {d} = V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V,}

R = {R_ {abc}} ^ d \ in {V_ {abc}} ^ d = V ^ * \ время V ^ * \ время V ^ * \ время V,

тождество Бианки становится

R abcd + R cabd + R bcad = 0. {\ displaystyle {R_ {abc}} ^ {d} + {R_ {cab}} ^ {d} + {R_ {bca}} ^ {d} = 0.}

{R_ {abc}} ^ d + {R_ {cab}} ^ d + {R_ {bca}} ^ d = 0.

Антисимметризация и симметризация

Общий тензор может быть антисимметризован или симметризован, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Давайте антисимметризуем тензор типа (0,3) $ω abc {\ displaystyle \ omega _ {abc}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {abc}}$ , где $Σ 3 {\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$ $\ Sigma _ {3}$ - симметричная группа из трех элементов.

$ω [a b c]: = 1 3! ∑ σ ∈ Σ 3 (- 1) sign (σ) ω σ (a) σ (b) σ (c) {\ displaystyle \ omega _ {[abc]}: = {\ frac {1} {3!}} \ sum _ {\ sigma \ in \ Sigma _ {3}} (- 1) ^ {{\ text {sgn}} (\ sigma)} \ omega _ {\ sigma (a) \ sigma (b) \ sigma ( c)}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {[abc]}: = {\ frac {1} {3!} } \ sum _ {\ sigma \ in \ Sigma _ {3}} (- 1) ^ {{\ text {sgn}} (\ sigma)} \ omega _ {\ sigma (a) \ sigma (b) \ sigma (c)}}$

Аналогично, мы можем симметризовать:

$ω (abc): = 1 3! ∑ σ ∈ Σ 3 ω σ (a) σ (b) σ (c) {\ displaystyle \ omega _ {(abc)}: = {\ frac {1} {3!}} \ Sum _ {\ sigma \ in \ Sigma _ {3}} \ omega _ {\ sigma (a) \ sigma (b) \ sigma (c)}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {(abc)}: = {\ frac {1} {3!}} \ sum _ {\ sigma \ in \ Sigma _ {3}} \ omega _ {\ sigma (a) \ sigma (b) \ sigma (c)}}$

См. Также

Литература

Роджер Пенроуз, Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной , 2004, есть глава, объясняющая это.
Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время, том I, двухспиновое исчисление и релятивистские поля.