Главное однородное пространство

Термин «торсор» в алгебраической геометрии см. В разделе торсор (алгебраическая геометрия).

В математика, главное однородное пространство или торсор для группы G является однородным пространством X для G, в котором стабилизирующая подгруппа каждой точки тривиальна. Эквивалентно, главное однородное пространство для группы G - это непустое множество X, на котором G действует свободно и транзитивно (что означает, что для любого x, y в X, существует единственный g в G такой, что x · g = y, где · обозначает (правое) действие G на X). Аналогичное определение имеет место и в других категориях, где, например,

• G - это топологическая группа, X - топологическое пространство и действие непрерывный,
• G - группа Ли, X - гладкое многообразие и действие гладкое,
• G - алгебраическая группа, X - это алгебраическое разнообразие, а действие - обычное.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Приложения
• 4 Другое использование
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Если G неабелевский, то нужно различать левый и правый торсоры в соответствии с находится ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правильные действия.

Чтобы сформулировать определение более явно, X является G-торсором или G-главным однородным пространством, если X непусто и снабжено отображением (в соответствующей категории) X × G → X такое, что

x · 1 = x

x · (gh) = (x · g) · h

для всех x ∈ X и всех g, h ∈ G и таких, что отображение X × G → X × X, заданный как

$(x,\; g)\; \mapsto \; (x,\; x\; \cdot \; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; g)\; \backslash \; mapsto\; (x,\; x\; \backslash \; cdot\; g)\}$

, является изоморфизмом (множеств или топологические пространства или..., в зависимости от ситуации, т. е. в рассматриваемой категории).

Обратите внимание, что это означает, что X и G изоморфны (в рассматриваемой категории; не как группы: см. Ниже). Однако - и это важный момент - в X нет предпочтительной точки «идентичности». То есть X выглядит точно так же, как G, за исключением того, что точка, которая является идентичностью, была забыта. (Эта концепция часто используется в математике как способ перехода к более внутренней точке зрения под заголовком «выбросить источник».)

Поскольку X не является группой, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их «частное». То есть существует отображение X × X → G, которое переводит (x, y) в единственный элемент g = x \ y ∈ G такой, что y = x · g.

Однако композиция последней операции с правильным групповым действием дает тернарную операцию X × (X × X) → X, которая служит аффинным обобщением группового умножения и которого достаточно как для алгебраической характеристики главного однородного пространства, так и для внутренней характеристики группы, с которой оно связано. Если мы обозначим $x\; /\; y\; \cdot \; z:\; =\; x\; \cdot \; (y\; \setminus \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; /\; y\; \backslash \; cdot\; z\; \backslash ,:\; =\; \backslash ,\; x\; \backslash \; cdot\; (y\; \backslash \; backslash\; z)\}$результат этой тернарной операции, то следующие тождества

$x\; /\; y\; \cdot \; y\; =\; x\; =\; y\; /\; y\; \cdot \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; /\; y\; \backslash \; cdot\; y\; =\; x\; =\; y\; /\; y\; \backslash \; cdot\; x\}$

$v\; /\; вес\; \cdot \; (Икс\; /\; Y\; \cdot \; Z)\; знак\; равно\; (v\; /\; вес\; \cdot \; Икс)\; /\; Y\; \cdot \; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; /\; ш\; \backslash \; CDOT\; (х\; /\; Y\; \backslash \; CDOT\; Z)\; =\; (v\; /\; ш\; \backslash \; CDOT\; х)\; /\; y\; \backslash \; cdot\; z\}$

будет достаточно, чтобы определить главное однородное пространство, в то время как дополнительное свойство

$x\; /\; y\; \cdot \; z\; =\; z\; /\; y\; \cdot \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; /\; y\; \backslash \; cdot\; z\; =\; z\; /\; y\; \backslash \; cdot\; x\}$

определяет те пространства, которые связаны с абелевыми группами. Группа может быть определена как формальные частные $x\; \setminus \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; backslash\; y\}$с учетом отношения эквивалентности

$x\; \setminus \; y\; =\; u\; \setminus \; v\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; v\; =\; u\; /\; x\; \cdot \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; backslash\; y\; =\; u\; \backslash \; backslash\; v\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{iff\}\}\; \backslash \; quad\; v\; =\; u\; /\; x\; \backslash \; cdot\; y\}$,

с групповым произведением, идентичностью и обратной косой чертой, определяемыми, соответственно,

$(Икс\; \setminus \; Y)\; \cdot \; (U\; \setminus \; v)\; знак\; равно\; Икс\; \setminus \; (Y\; /\; U\; \cdot \; v)\; =\; (U\; /\; Y\; \cdot \; X)\; \setminus \; v\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; \backslash \; обратная\; косая\; черта\; у)\; \backslash \; CDOT\; (и\; \backslash \; обратная\; косая\; черта\; v)\; знак\; равно\; x\; \backslash \; обратная\; косая\; черта\; (y\; /\; u\; \backslash \; cdot\; v)\; =\; (u\; /\; y\; \backslash \; cdot\; x)\; \backslash \; обратная\; косая\; черта\; v\}$,

$e\; =\; x\; \setminus \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; x\; \backslash \; backslash\; x\}$,

$(x\; \setminus \; y)\; -\; 1\; =\; y\; \setminus \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \backslash \; backslash\; y)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; y\; \backslash \; backslash\; x,\}$

и групповое действие по

$x\; \cdot \; (y\; \setminus \; z)\; =\; x\; /\; y\; \cdot \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; cdot\; (y\; \backslash \; backslash\; z)\; =\; x\; /\; y\; \backslash \; cdot\; z.\}$

Каждая группа G сама может рассматриваться как левый или правый G-торсор под естественным действие левого или правого умножения.

Другим примером является концепция аффинного пространства : идею аффинного пространства A, лежащего в основе векторного пространства V, можно кратко выразить, сказав, что A является главным однородным пространство для V, действующего как аддитивная группа переводов.

flags любого правильного многогранника образуют торсор для его группы симметрии.

Для данного векторного пространства V мы можем взять G как общую линейную группу GL (V), а X как набор всех (упорядоченных) базисы матрицы V. Тогда G действует на X так же, как на векторы V; и он действует транзитивно, поскольку любой базис может быть преобразован через G в любой другой. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, фиксирует все v в V, следовательно, являясь нейтральным элементом общей линейной группы GL (V): так что X действительно является главным однородным пространством. Один из способов проследить базисную зависимость в аргументе линейной алгебры - это отслеживать переменные x в X. Аналогично, пространство ортонормированных базисов (многообразие Штифеля $V\; n\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$из n-frame ) является основным однородным пространством для ортогональная группа .

В теории категорий, если два объекта X и Y изоморфны, то изоморфизмы между ними, Iso (X, Y), образуют торсор для автоморфизма группа из X, Aut (X) и аналогично для Aut (Y); выбор изоморфизма между объектами приводит к изоморфизму между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, давая торсору групповую структуру (так как теперь у него есть базовая точка ).

Концепция главного однородного пространства является частным случаем концепции главного пучка : это означает главный пучок с базой в одной точке. Другими словами, локальная теория главных расслоений - это теория семейства главных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров в базе. «Источник» может быть предоставлен разделом пакета - обычно предполагается, что такие разделы существуют локально на основе - пакет является локально тривиальным, так что локальная структура является структурой декартово произведение. Но разделы часто не существуют глобально. Например, дифференциальный коллектор M имеет основной пучок кадров, связанный с его касательным пучком. Глобальная секция будет существовать (по определению) только тогда, когда M распараллеливаема, что подразумевает строгие топологические ограничения.

В теории чисел есть (внешне отличная) причина рассматривать главные однородные пространства для эллиптических кривых E, определенных над полем K (и в более общем смысле абелевы разновидности ). Как только это было понято, под заголовком были собраны различные другие примеры, для других алгебраических групп : квадратичные формы для ортогональных групп и разновидности Севери – Брауэра для проективных линейных групп равно двум.

Причина интереса к диофантовым уравнениям в случае эллиптической кривой заключается в том, что K не может быть алгебраически замкнутым. Могут существовать кривые C, которые не имеют точки, определенной над K, и которые становятся изоморфными над большим полем кривой E, которая по определению имеет точку над K, служащую тождественным элементом для ее закона сложения. То есть для этого случая мы должны отличать C, имеющую род 1, от эллиптических кривых E, у которых есть K-точка (или, другими словами, предоставить диофантово уравнение, имеющее решение в K). Кривые C оказываются торсорами над E и образуют множество, несущее богатую структуру в случае, когда K является числовым полем (теория группы Сельмера ). Фактически, типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет особой причины иметь рациональную точку ; стандартная модель Вейерштрасса всегда это делает, а именно точка на бесконечности, но вам нужна точка над K, чтобы преобразовать C в эту форму над K.

Эта теория была разработана с большим вниманием к локальному анализу, что привело к определению группы Тейт-Шафаревич. В общем, подход, основанный на теории торсора, простой над алгебраически замкнутым полем и попытка вернуться «вниз» к меньшему полю - это аспект спуска. Это сразу же приводит к вопросам когомологий Галуа, поскольку торсоры представляют классы в групповых когомологиях H.

Концепция главного однородного пространства также может быть глобализирована следующим образом. Пусть X - "пространство" (схема / многообразие / топологическое пространство и т. Д.), И пусть G - группа над X, т. Е. A группирует объект в категории пространств над X. В этом случае (скажем, правый) G-торсор E на X - это пространство E (того же типа) над X с a (справа) G действие такое, что морфизм

$E\; \times \; XG\; \to \; E\; \times \; XE\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; times\; \_\; \{X\}\; G\; \backslash \; rightarrow\; E\; \backslash \; times\; \_\; \{X\}\; E\}$

заданный как

$(x,\; g)\; \mapsto \; (x,\; xg)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; g)\; \backslash \; mapsto\; (x,\; xg)\}$

, является изоморфизмом в соответствующем категории и такой, что E локально тривиально на X, в том, что E → X имеет сечение локально на X. Классы изоморфизма торсоров в этом смысле соответствуют классам в группе когомологий H ( X, G).

Когда мы находимся в гладком многообразии категории, тогда G-торсор (для G a группа Ли ) тогда в точности является главным G- расслоением. как определено выше.

Пример: если G - компактная группа Ли (скажем), то $EG\; \{\backslash \; displaystyle\; EG\}$является G-торсором над классифицирующим пространством $BG\; \{\backslash \; displaystyle\; BG\}$.

• Однородное пространство
• Куча (математика)

• Garibaldi, Skip ; Меркурьев Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа. Серия университетских лекций. 28 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311.
• Скоробогатов А. (2001). Торсоры и рациональные точки. Кембриджские трактаты по математике. 144 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80237-7. Zbl 0972.14015.

• Torsors made easy Джон Баез