Войти
В математике, когомологии Галуа - это исследование групповых когомологий из модулей Галуа, то есть применение гомологической алгебры к модулям для групп Галуа. Группа Галуа G, связанная с расширением поля L / K, действует естественным образом на некоторых абелевых группах, например, на тех, которые построены непосредственно из L, но также и через другие группы Галуа. представления, которые могут быть получены более абстрактными способами. Когомологии Галуа объясняют то, как использование инвариантных элементов Галуа не может быть точным функтором.
Текущая теория когомологий Галуа возникла примерно в 1950 году, когда стало ясно, что теория Галуа когомологии идеальных групп классов в теории алгебраических чисел были одним из способов сформулировать теорию полей классов, в то время как она находилась в процессе избавления от связей с L-функции. Когомологии Галуа не предполагают, что группы Галуа являются абелевыми группами, так что это была неабелева теория. Она была сформулирована абстрактно как теория классовых формаций. Две разработки 1960-х изменили положение. Во-первых, когомологии Галуа появились как основа теории этальных когомологий (грубо говоря, теории применительно к нульмерным схемам). Во-вторых, неабелева теория поля классов была запущена как часть философии Ленглендса.
. Самые ранние результаты, идентифицируемые как когомологии Галуа, были известны задолго до этого в алгебраической теории чисел и арифметика эллиптических кривых. Из теоремы о нормальном базисе следует, что первая группа когомологий аддитивной группы L обращается в нуль; это результат общих расширений полей, но в той или иной форме был известен Ричарду Дедекинду. Соответствующий результат для мультипликативной группы известен как Теорема Гильберта 90 и был известен до 1900 года. Теория Куммера была другой такой ранней частью теории, дающей описание связующего гомоморфизма, идущего от m-го.
Фактически какое-то время мультипликативный случай коцикла 1- для групп, которые не обязательно являются циклическими, был сформулирован как разрешимость уравнений Нётер, названных в честь Эмми Нётер ; они появляются под этим именем в трактовке Эмиля Артина теории Галуа и, возможно, были фольклором 1920-х годов. Случай 2-коциклов для мультипликативной группы - это случай группы Брауэра, и последствия, кажется, были хорошо известны алгебраистам 1930-х годов.
В другом направлении, в направлении торсоров, они уже присутствовали в аргументах бесконечного спуска Ферма для эллиптических кривых. Было проведено множество прямых вычислений, и доказательство теоремы Морделла – Вейля должно было проводиться с помощью некоторого суррогата доказательства конечности для конкретной H-группы. «Искривленная» природа объектов над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми, которые не изоморфны, но становятся таковыми из-за алгебраического замыкания, также была известна во многих случаев, связанных с другими алгебраическими группами (такими как квадратичные формы, простые алгебры, разновидности Севери – Брауэра ), в 1930-х годах, до пришла общая теория.
Потребности теории чисел были, в частности, выражены требованием иметь контроль над локально-глобальным принципом для когомологий Галуа. Это было сформулировано с помощью результатов теории полей классов, таких как теорема Хассе о норме. В случае эллиптических кривых это привело к ключевому определению группы Тейта – Шафаревича в группе Сельмера, что является препятствием на пути к успеху локально-глобального принципа. Несмотря на его большую важность, например, в гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, оказалось очень трудно получить какой-либо контроль над ней, пока результаты Карла Рубина не дали возможность проявиться в в некоторых случаях он был конечным (обычно полагали, что его предполагаемый порядок предсказывался формулой L-функции).
Другим важным развитием теории, также затрагивающим Джона Тейта, был результат двойственности Тейта-Пуату.
С технической точки зрения G может быть проконечной группой, и в этом случае определения необходимо скорректировать, чтобы разрешить только непрерывные коцепи.
