Войти
В математике модуль Галуа является G-модулем, где G является группой Галуа некоторого расширения полей полей. Термин представление Галуа часто используется, когда G-модуль - это векторное пространство над полем или свободный модуль над кольцом в теории представлений, но также может использоваться как синоним G-модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей является важным инструментом в теории чисел.
Пусть K будет значным полем (с оценкой, обозначенной v), и пусть L / K будет конечным расширением Галуа с группой Галуа G. Для расширения w v до L, пусть I w обозначает его инерционная группа. Модуль Галуа ρ: G → Aut (V) называется неразветвленным, если ρ (I w) = {1}.
В классической теории алгебраических чисел пусть L - расширение Галуа поля K, а G - соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O L целых алгебраических чисел группы L можно рассматривать как O K [G] -модуль, и можно спросить, какова его структура. Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [G] -модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существование нормального интегрального базиса, т.е. α в O L такого, что его сопряженные элементы под G дают свободный базис для O L более O K. Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда K - это поле рационального числа Q.
Например, если L = Q (√ − 3), существует ли нормальный интеграл основа? Ответ - да, как видно, отождествляя его с Q (ζ), где
Фактически все подполя циклотомических полей для p-го корни из единицы для простого числа pa имеют нормальные целые основания (по Z ), как можно вывести из теории гауссовских периодов (теорема Гильберта – Шпейзера ). С другой стороны, гауссово поле нет. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер (возможно, известное ранее?). Здесь важно ручное разветвление. С точки зрения дискриминанта D для L, и принимая по-прежнему K = Q, никакое простое число p не должно делить D в степени p. Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы O L был проективным модулем над Z [G]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы это был бесплатный модуль. Остается вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас создана большая теория.
Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта, состоит в том, что у искусно разветвленного абелевого числового поля есть нормальный интегральный базис. В этом можно убедиться, используя теорему Кронекера – Вебера, чтобы встроить абелево поле в круговое поле.
Многие объекты, которые возникают в количестве теории естественно являются представлениями Галуа. Например, если L является расширением Галуа числового поля K, кольцо целых чисел OLполя L является модулем Галуа над O K для группы Галуа. L / K (см. теорему Гильберта – Шпейзера). Если K - локальное поле, мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем для абсолютной группы Галуа поля K, и ее изучение приводит к локальной теории полей классов. Для глобальной теории полей классов вместо этого используется объединение групп классов всех конечных разделимых расширений K.
Существуют также представления Галуа, которые возникают из вспомогательных объектов и могут использоваться для изучения групп Галуа. Важным семейством примеров являются ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий.
Пусть K - числовое поле. Эмиль Артин представил класс представлений Галуа абсолютной группы Галуа G K группы K, которые теперь называются представлениями Артина . Это непрерывные конечномерные линейные представления G K на комплексных векторных пространствах. Изучение Артином этих представлений привело его к формулировке закона взаимности Артина и к предположению того, что сейчас называется гипотезой Артина относительно голоморфности Артина L- функции.
Из-за несовместимости проконечной топологии на G K и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах изображение Артина представление всегда конечно.
Пусть ℓ будет простым числом. ℓ-адическое представление группы G K является непрерывным групповым гомоморфизмом ρ: G K → Aut (M), где M либо конечномерное векторное пространство над Qℓ(алгебраическое замыкание ℓ-адических чисел Qℓ) или конечно порожденный Zℓ-модуль (где Zℓ- интеграл закрытие из Zℓв Qℓ). Первыми возникшими примерами были ℓ-адический циклотомический характер и ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий над K. Другими примерами являются представления Галуа модулярных форм и автоморфных форм, а также представления Галуа на -адические группы когомологий алгебраических многообразий.
В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечное изображение. Например, изображение G Qпод ℓ-адическим циклотомическим символом будет 
Это представления над конечным полем характеристики. Они часто возникают как модуль приведения-адического представления.
Существует множество условий для представлений, задаваемых некоторым свойством представления, ограниченного группой разложения некоторого простого числа. Терминология для этих состояний несколько хаотична: разные авторы придумывают разные названия для одного и того же состояния и используют одно и то же имя с разными значениями. Некоторые из этих условий включают:
Если K - локальное или глобальное поле, теория классовых формаций присоединяется к K его группа Вейля WK, гомоморфизм непрерывных групп φ: W K → G K и изоморфизм топологических групп
где C K - это K или группа классов идеелей I K / K (в зависимости от того, является ли K локальным или глобальным), а W ab. K - это абелианизация Группа Вейля группы K. Через φ любое представление группы G K можно рассматривать как представление группы W K. Однако W K может иметь строго больше представлений, чем G K. Например, через r K непрерывные комплексные символы W K находятся во взаимно однозначном соответствии с символами C K. Таким образом, символ абсолютного значения на C K дает символ W K, изображение которого бесконечно и, следовательно, не является символом G K (как все подобные иметь конечный образ).
ℓ-адическое представление W K определяется так же, как для G K. Они естественным образом возникают из геометрии: если X - гладкое проективное многообразие над K, то ℓ-адические когомологии геометрического слоя X являются ℓ-адическим представлением G K, которое через φ индуцирует ℓ-адическое представление W K. Если K - локальное поле с характеристикой вычетов p ≠ ℓ, то проще изучить так называемые представления Вейля – Делиня для W K.
Пусть K - локальное поле. Пусть E - поле нулевой характеристики. Представление Вейля – Делиня над E группы W K (или просто K) - это пара (r, N), состоящая из
Эти представления такие же, как представления над E группы Вейля – Делиня. of K.
Если характеристика остатка K отличается от ℓ, Grothendieck устанавливает взаимно однозначное соответствие между ℓ-адическими представлениями W K (более Qℓ) и представления Вейля – Делиня W K на Qℓ(или эквивалентно на C ). У последних есть хорошая особенность, состоящая в том, что r непрерывность сохраняется только по отношению к дискретной топологии на V, что делает ситуацию более алгебраической по своему вкусу.
