Войти
| Александр Гротендик | |
|---|---|
 Александр Гротендик в Монреале, 1970 | |
| Родился | (1928) -03-28) 28 марта 1928 г.. Берлин, Пруссия, Германия |
| Умер | 13 ноября 2014 г. (2014-11-13) (в возрасте 86). Сен-Лизье, Франция |
| Гражданство |
|
| Alma mater | |
| Известен за | Обновление алгебраической геометрии и синтез между ней и теорией чисел и топологией. Список вещей, названных в честь Александра Гротендик |
| Награды |
|
| Научная карьера | |
| Поля | Математика - функциональный анализ, алгебраическая геометрия, гомологическая алгебра |
| Учреждения | |
| Диссертация | Производит тензорные топологические и космические ядерные объекты (1953) |
| Докторанты | |
| Докторанты | |
Александр Гротендик (; Немецкий: ; французский: ; 28 марта 1928 - 13 ноября 2014) был математиком, который стал ведущей фигурой в создании современной алгебраической геометрии. Его исследования расширили сферу деятельности и добавили в ее основы элементы коммутативной алгебры, гомологической алгебры, теории пучков и теории категорий., в то время как его так называемая "относительная" точка зрения привела к революционным достижениям во многих областях чистой математики. Многие считают его величайшим математиком 20 века.
Гротендик родился в Германии, вырос и жил в основном во Франции, и он и его семья подвергались преследованиям со стороны нацистского режима. Однако большую часть своей трудовой жизни он фактически не имел гражданства. Поскольку он постоянно писал свое имя «Александр», а не «Александр», а его фамилия, взятая от его матери, была голландской нижненемецкой «Гротендик», иногда его ошибочно считали голландцем.
Гротендик начал свою продуктивную и общественную карьеру математика в 1949 году. В 1958 году он был назначен профессором-исследователем в Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) и оставался там до 1970 год, когда, движимый личными и политическими убеждениями, он ушел из-за спора о военном финансировании. В 1966 году он получил медаль Филдса за успехи в алгебраической геометрии, гомологической алгебре и K-теории. Позже он стал профессором Университета Монпелье и, продолжая писать соответствующие математические работы, ушел из математического сообщества и посвятил себя политическим вопросам. В 1991 году он переехал во французскую деревню Лассер в Пиренеях, где жил уединенно, продолжая неустанно заниматься математикой до своей смерти в 2014 году.
Гротендик родился в Берлине в семье анархистов. Его отец, Александр «Саша» Шапиро (также известный как Александр Танаров), имел еврейские хасидские корни и до переезда в Германию в 1922 году находился в заключении в России, в то время как его мать, Йоханна «Ханка» Гротендик происходил из протестантской семьи в Гамбурге и работал журналистом. Оба оторвались от своего раннего прошлого в подростковом возрасте. На момент его рождения мать Гротендика была замужем за журналистом Иоганнесом Раддацем, и его имя при рождении первоначально было записано как «Александр Раддац». Брак был расторгнут в 1929 году, и Шапиро / Танаров признал свое отцовство, но так и не женился на Ханке.
Гротендик жил со своими родителями в Берлине до конца 1933 года, когда его отец переехал в Париж уклоняться от нацизма, за которым вскоре последовала его мать. Они оставили Гротендик на попечение Вильгельма Гейдорна, лютеранина пастора и учителя в Гамбурге. В это время его родители принимали участие в гражданской войне в Испании, согласно Винфрид Шарлау, в качестве нестроевых помощников, хотя другие утверждают, что Саша воевал в анархистском ополчении.
В мае 1939 года Гротендика посадили на поезд в Гамбурге во Францию. Вскоре после этого его отец был интернирован в Ле Верне. Затем он и его мать были помещены в различные лагеря с 1940 по 1942 год как «нежелательные опасные иностранцы». Первым был лагерь Рьёкрос, где его мать заболела туберкулезом, который в конечном итоге стал причиной ее смерти, и где Александру удалось посещать местную школу в Менде. Однажды Александру удалось сбежать из лагеря, намереваясь убить Гитлера. Позже его мать Ханка была переведена в лагерь для интернированных Гурс до конца Второй мировой войны. Александру было разрешено жить отдельно от матери в деревне Ле Шамбон-сюр-Линьон, укрывшись и спрятавшись в местных пансионатах или пансионах, хотя ему иногда приходилось искать убежище в лесу во время налетов нацистов, временами выживая без еды и воды в течение нескольких дней. Его отец был арестован в соответствии с антиеврейским законодательством Виши и отправлен в Дранси, а затем передан французским правительством Виши немцам для отправлен на убийство в концлагерь Освенцим в 1942 году. В Шамбоне Гротендик учился в Collège Cévenol (теперь известном как Le Collège-Lycée Cévenol International ), уникальной средней школе, основанной в 1938 году местными протестантскими пацифистами и антивоенными активистами. Многие дети-беженцы, спрятанные в Шамбоне, посещали Севеноль, и именно в этой школе Гротендик, по-видимому, впервые увлекся математикой.
После войны молодые Гротендик изучал математику во Франции, первоначально в Университете Монпелье, где он сначала не успел хорошо учиться, провалив такие уроки, как астрономия. Работая самостоятельно, он заново открыл меру Лебега. После трех лет самостоятельной учебы в 1948 году он продолжил учебу в Париже.
Первоначально Гротендик посещал семинар Анри Картана в École Normale Supérieure, но у него не было необходимой подготовки, чтобы следить за мощным семинаром. По совету Картана и Андре Вейля он перешел в университет Нанси, где написал свою диссертацию под заголовками Лорана Шварца и Жана Дьедонне <341.>по функциональному анализу, с 1950 по 1953 год. В то время он был ведущим специалистом по теории топологических векторных пространств. С 1953 по 1955 год он перешел в университет Сан-Паулу в Бразилии, куда он иммигрировал по паспорту Нансена, учитывая, что он отказался принимать французское гражданство. К 1957 году он отказался от этой темы, чтобы заняться алгебраической геометрией и гомологической алгеброй. В том же году он был приглашен в Гарвард Оскаром Зариски, но это предложение не удалось, когда он отказался подписать обещание, пообещав не работать над свержением правительства Соединенных Штатов, о чем, как его предупредили, мог бы посадить его в тюрьму. Перспектива не беспокоила его, пока у него был доступ к книгам.
Сравнивая Гротендика, когда он учился в Нэнси, с École Normale Supérieure обученными студентами того времени: Пьер Самуэль, Роджер Годеман, Рене Том, Жак Диксмье, Жан Серф, Ивонн Брюа, Жан-Пьер Серр, Бернар Мальгранж, Лейла Шнепс говорит:
Он был совершенно неизвестен этой группе и их профессорам, происходил из такой лишенный и хаотичный фон, и по сравнению с ними он был настолько невежественным в начале своей исследовательской карьеры, что его стремительное восхождение к внезапной славе становится еще более невероятным; совершенно уникальное явление в истории математики.
Его первые работы по топологическим векторным пространствам в 1953 году были успешно применены в физике и информатике, достигнув высшей точки в связи между неравенством Гротендика и Эйнштейном- Парадокс Подольского-Розена в квантовой физике.
В 1958 году Гротендик был установлен в Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), новый частный исследовательский институт, который, по сути, был создан для Жана Дьедонне и Гротендика. Гротендик привлек внимание интенсивной и высокопродуктивной деятельностью семинаров (де-факто рабочие группы вводили в основную работу некоторых из самых способных французских и других математиков молодого поколения). Сам Гротендик практически прекратил публикацию статей посредством обычного научного журнала. Однако он был в состоянии играть доминирующую роль в математике около десяти лет, собрав сильную школу.
В это время он официально учился в качестве ученика Мишеля Демазура (который работал над SGA3, на групповых схемах ), Люк Иллюзи (котангенс комплекс), Мишель Рейно, Жан-Луи Вердье (соучредитель производная категория теория) и Пьер Делинь. В число соавторов проектов SGA также входили Майкл Артин (étale cohomology ) и Ник Кац (теория монодромии и карандаши Лефшеца ). Жан Жиро разработал торсор расширения теории неабелевых когомологий. Многие другие, такие как Дэвид Мамфорд, Робин Хартшорн, Барри Мазур и C.P. Рамануджам также был замешан.
Работа Александра Гротендика в период «Золотого века» в IHÉS установила несколько объединяющих тем в алгебраической геометрии, теории чисел, топология, теория категорий и комплексный анализ. Его первым (до IHÉS) открытием в алгебраической геометрии была теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха, обобщение теоремы Хирцебруха – Римана – Роха, доказанная алгебраически; в этом контексте он также представил K-теорию. Затем, следуя программе, которую он изложил в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1958 года, он представил теорию схем, подробно развивая ее в своих Éléments de géométrie algébrique. (EGA) и обеспечивает новые более гибкие и общие основы алгебраической геометрии, которые были приняты в этой области с того времени. Далее он представил теорию схем этальных когомологий, предоставив ключевые инструменты для доказательства гипотез Вейля, а также кристаллических когомологий и алгебраических когомологии де Рама, чтобы дополнить его. Тесно связанный с этими теориями когомологий, он создал теорию топоса как обобщение топологии (актуально также в категориальной логике ). Он также дал алгебраическое определение фундаментальных групп схем и в более общем плане основных структур категориальной теории Галуа. В качестве основы для своей теории когерентной дуальности он также ввел производные категории, которые были развиты Вердье.
Результаты работы по этим и другим темам были опубликованы в EGA и в менее изысканной форме в примечаниях к Seminaire de géométrie algébrique (SGA), который он направил в IHÉS.
Политические взгляды Гротендика были радикалами и пацифистами, и он решительно выступал против интервенции США во Вьетнам и советского военного экспансионизма. Он читал лекции по теории категорий в лесах, окружающих Ханой, когда город подвергался бомбардировке, в знак протеста против войны во Вьетнаме. Он ушел из научной жизни примерно в 1970 году, узнав, что IHÉS частично финансировался военными. Через несколько лет он вернулся в академические круги в качестве профессора Университета Монпелье.
Хотя вопрос военного финансирования был, пожалуй, наиболее очевидным объяснением ухода Гротендика из IHÉS, те, кто его знал, говорят, что причины разрыв стал глубже. Пьер Картье, visiteur de longue durée («постоянный гость») в IHÉS, написал статью о Гротендике для специального тома, опубликованного по случаю сороковой годовщины IHÉS. Grothendieck Festschrift, опубликованный в 1990 году, представлял собой трехтомный сборник исследовательских работ, приуроченных к его шестидесятилетию в 1988 году.
В нем Картье отмечает, что как сын антивоенного анархиста и тот, кто вырос среди бесправные, Гротендик всегда испытывал глубокое сострадание к бедным и обездоленным. По словам Картье, Гротендик нашел Бюрес-сюр-Иветт «une cage dorée» («позолоченная клетка»). Пока Гротендик работал в IHÉS, сопротивление Вьетнамской войне накалялось, и Картье предполагает, что это также усиливало отвращение Гротендика к тому, чтобы стать мандарином научного мира. Кроме того, после нескольких лет в IHÉS Гротендик, казалось, занялся новыми интеллектуальными интересами. К концу 1960-х он начал интересоваться научными областями за пределами математики. Дэвид Руэлль, физик, поступивший на факультет IHÉS в 1964 году, сказал, что Гротендик несколько раз приходил к нему поговорить о физике. Биология гораздо больше интересовала Гротендика. чем физика, и он организовал несколько семинаров на биологические темы.
В 1970 году Гротендик вместе с двумя другими математиками, Клодом Шевалле и Пьером Самуэлем, создали политическую группу называется Survivre - название позже было изменено на Survivre et vivre. Группа опубликовала бюллетень, посвященный антивоенным и экологическим вопросам, а также резко критиковал неизбирательное использование науки и технологий. Гротендик посвятил этой группе следующие три года и был главным редактором ее бюллетеня.
Хотя Гротендик продолжал заниматься математикой, его стандартная математическая карьера по большей части закончилась, когда он покинул IHÉS. После ухода из IHÉS Гротендик стал временным профессором в Collège de France на два года. Затем он стал профессором Университета Монпелье, где все больше отдалялся от математического сообщества. Он официально вышел на пенсию в 1988 году, через несколько лет после того, как принял должность исследователя в CNRS.
. Не публикуя математические исследования традиционными способами в 1980-х, он подготовил несколько влиятельные рукописи с ограниченным распространением как с математическим, так и с биографическим содержанием.
Произведенный в 1980 и 1981 годах, La Longue Marche à travers la théorie de Galois (The Long March Through Galois Theory) представляет собой рукописную рукопись на 1600 страниц, содержащую многие идеи, которые привели к Esquisse d Программа un. Он также включает исследование теории Тайхмюллера.
. В 1983 году, вдохновленный перепиской с Рональдом Брауном и Тимом Портером из Бангорского университета, Гротендик написал рукопись на 600 страницах под названием Погоня Стэкс, начиная с письма, адресованного Дэниелу Квиллену. Это письмо и последующие части были распространены из Бангора (см. Внешние ссылки ниже). В них, неформально, как в дневнике, Гротендик объяснил и развил свои идеи о взаимосвязи между алгебраической геометрией и перспективами некоммутативной теории стеков. Рукопись, редактируемая для публикации Дж. Мальциниотисом, впоследствии стала его монументальным произведением «Les Derivateurs». Написанный в 1991 году, этот последний опус объемом около 2000 страниц развил гомотопические идеи, начатые в «Преследовании стопок». Большая часть этой работы предвосхищала последующее развитие теории мотивационной гомотопии Фабьена Мореля и Владимира Воеводского в середине 1990-х годов.
В 1984 году Гротендик написал предложение Esquisse d'un Program («Набросок программы») о должности в Национальном центре научных исследований ( CNRS). В нем описаны новые идеи для изучения пространства модулей комплексных кривых. Хотя сам Гротендик никогда не публиковал свои работы в этой области, это предложение вдохновило других математиков на работы, став источником теории детского рисунка и анабелевой геометрии. Позже он был опубликован в двухтомнике Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).
В этот период Гротендик также дал свое согласие на публикацию некоторых из своих проектов для EGA по теоремам типа Бертини (EGA V, опубликовано в Ulam Quarterly в 1992-1993 гг., А затем стало доступным на веб-сайте Grothendieck Circle в 2004 г.).
В автобиографической рукописи на 1000 страниц Récoltes et semailles (1986) Гротендик описывает свой подход к математике и свой опыт в математическом сообществе, сообществе, которое первоначально принимало его открыто и приветливо, но которое он постепенно воспринимал регулироваться конкуренцией и статусом. Он жалуется на то, что он считал «захоронением» своей работы, и на предательство со стороны своих бывших студентов и коллег после того, как он покинул общину. Работа Récoltes et semailles теперь доступна в Интернете на французском оригинале, и сейчас идет перевод на английский язык. Части Récoltes et semailles были переведены на испанский и русский языки и опубликованы в Москве.
В 1988 году Гротендик отклонил Премию Крафорда в открытом письме к средствам массовой информации. Он писал, что такие авторитетные математики, как он, не нуждаются в дополнительной финансовой поддержке, и критиковал то, что он считал упадком этики научного сообщества, характеризуемым откровенным научным воровством, которое, по его словам, стало обычным явлением и допускалось. В письме также выражалась уверенность в том, что совершенно непредвиденные события до конца века приведут к беспрецедентному краху цивилизации. Гротендик добавил, однако, что его взгляды «никоим образом не предназначены для критики целей Королевской академии в управлении ее фондами», и добавил: «Я сожалею о неудобствах, которые мой отказ принять премию Крафорда мог причинить вам и Королевской академии.. "
La Clef des Songes, 315-страничная рукопись, написанная в 1987 году, представляет собой отчет Гротендика о том, как его размышления об источнике снов привели его к выводу, что Бог существует. В примечаниях к этой рукописи Гротендик описал жизнь и работу 18 «мутантов», людей, которых он восхищался как провидцы, далеко опередившие свое время и знаменующие новую эру. Единственным математиком в его списке был Бернхард Риман. Под влиянием католического мистика Марты Робен, которая, как утверждалось, выжила только благодаря Святой Евхаристии, Гротендик чуть не умер от голода в 1988 году. Его растущая озабоченность духовными вопросами также была очевидна в письме, озаглавленном Lettre de la Bonne. В январе 1990 года Nouvelle отправил 250 друзьям. В нем он описал свои встречи с божеством и объявил, что «Новый век» начнется 14 октября 1996 года.
Более 20 000 страниц математических и других работ Гротендика, проведенные в Университете Монпелье, остаются неопубликованными. Они были оцифрованы для сохранения и находятся в свободном доступе в открытом доступе через портал Institut Montpelliérain Александра Гротендика.
В 1991 году Гротендик переехал на новый адрес, что и сделал не сообщать о своих предыдущих контактах в математическом сообществе. После этого к нему приходили очень немногие. Местные жители помогли ему придерживаться более разнообразной диеты после того, как он попытался питаться одним из основных продуктов супа из одуванчиков. В какой-то момент Лейла Шнепс нашла его, а затем начала короткую переписку. Таким образом, они стали одними из «последних членов математического истеблишмента, которые вступили с ним в контакт». После его смерти выяснилось, что он жил один в доме в Лассерре, Арьеж, небольшой деревне у подножия Пиренеев.
. В январе 2010 года Гротендик написал письмо «Декларация d'intention de non-publishing "Люку Иллюзи, утверждая, что все материалы, опубликованные в его отсутствие, были опубликованы без его разрешения. Он просит, чтобы ни одна из его работ не воспроизводилась полностью или частично, а копии этой работы были удалены из библиотек. Сайт, посвященный его творчеству, был назван «мерзостью». Этот приказ мог быть отменен позже в 2010 году.
13 ноября 2014 года в возрасте 86 лет Гротендик скончался в больнице Сен-Жирон, Арьеж.
Гротендик был родился в Веймарской Германии. В 1938 году в возрасте десяти лет он переехал во Францию как беженец. Записи о его гражданстве были уничтожены при падении Германии в 1945 году, и после войны он не подавал заявление о предоставлении французского гражданства. Таким образом, он стал лицом без гражданства, по крайней мере, на большую часть своей трудовой жизни, путешествуя по паспорту Нансена . Отчасти это нежелание иметь французское гражданство объясняется нежеланием служить во французских вооруженных силах, особенно из-за алжирской войны (1954–62). В конце концов, он подал заявление на получение французского гражданства в начале 1980-х годов, намного старше возраста, освобождавшего его от военной службы.
Гротендик был очень близок со своей матерью, которой он посвятил свою диссертацию. Она умерла в 1957 году от туберкулеза, которым она заразилась в лагерях для перемещенных лиц. У него было пятеро детей: сын от квартирной хозяйки во время его пребывания в Нанси, трое детей, Джоанна (1959), Александр (1961) и Матье (1965) с женой Мирей Дюфур, и один ребенок от Жюстин Скалба, с которой он жил. в коммуне в начале 1970-х.
Ранние математические работы Гротендика были в функциональном анализе. С 1949 по 1953 год он работал над докторской диссертацией по этому предмету в Нэнси под руководством Жана Дьедонне и Лорана Шварца. Его ключевые вклады включают топологические тензорные произведения топологических векторных пространств, теорию ядерных пространств как основу для распределений Шварца, а также приложения L пространств при изучении линейных отображений между топологическими векторными пространствами. За несколько лет он превратился в ведущего специалиста в этой области функционального анализа - до такой степени, что Дьедонне сравнивает свое влияние в этой области с влиянием Банаха.
, однако, в алгебраическая геометрия и смежные области, в которых Гротендик проделал свою наиболее важную и влиятельную работу. Примерно с 1955 года он начал работать над теорией связки и гомологической алгеброй, создав влиятельную «статью Тохоку » (Sur quelques points d'algèbre homologique, опубликованную в Tohoku Mathematical Journal в 1957 г.), где он представил абелевы категории и применил их теорию, чтобы показать, что когомологии пучка могут быть определены как определенные производные функторы в этом контексте.
Гомологические методы и теория пучков уже были введены в алгебраическую геометрию Жан-Пьером Серром и другими после того, как пучки были определены Жаном Лере. Гротендик вывел их на более высокий уровень абстракции и превратил в ключевой организационный принцип своей теории. Он переключил внимание с изучения отдельных разновидностей на относительную точку зрения (пары разновидностей, связанных с помощью морфизма ), что позволило широко обобщить многие классические теоремы. Первым крупным приложением была относительная версия теоремы Серра, показывающая, что когомологии когерентного пучка на полном многообразии конечномерны; Теорема Гротендика показывает, что более высокие прямые изображения когерентных пучков при правильном отображении когерентны; это сводится к теореме Серра над одноточечным пространством.
В 1956 году он применил то же мышление к теореме Римана – Роха, которая уже недавно была обобщена на любые измерения Хирцебрухом. Теорема Гротендика – Римана – Роха была объявлена Гротендиком на начальном Mathematische Arbeitstagung в Бонне в 1957 году. Она появилась в печати в статье, написанной Арман Борель с Серром. Этот результат был его первой работой по алгебраической геометрии. Он продолжил планировать и выполнять программу восстановления основ алгебраической геометрии, которые тогда находились в состоянии постоянного изменения и обсуждались на семинаре Клода Шевалле ; он изложил свою программу в своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1958 году .
Его фундаментальная работа по алгебраической геометрии находится на более высоком уровне абстракции, чем все предыдущие версии. Он адаптировал использование незамкнутых общих точек, что привело к теории схем. Он также был пионером в систематическом использовании нильпотентов. В качестве «функций» они могут принимать только значение 0, но они несут бесконечно малую информацию в чисто алгебраических установках. Его теория схем стала лучшей универсальной основой для этой области благодаря своей выразительности, а также технической глубине. В этом контексте можно использовать бирациональную геометрию, методы из теории чисел, теории Галуа и коммутативной алгебры, а также близкие аналоги методов. алгебраической топологии, и все это комплексно.
Он также известен своим мастерством абстрактных подходов к математике и перфекционизмом в вопросах формулировки и представления. Относительно небольшая часть его работ после 1960 г. была опубликована обычным способом научного журнала, распространяясь первоначально в виде дублированных томов семинаров; его влияние было в значительной степени личным. Его влияние распространилось на многие другие разделы математики, например, на современную теорию D-модулей. (Это также вызвало негативную реакцию, и многие математики стали искать более конкретные области и проблемы.)
Большая часть опубликованных работ Гротендика собрана в монументальных, но неполных, Éléments de géométrie algébrique (EGA) и Seminaire de géométrie algébrique (SGA). Сборник Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), который объединяет выступления, данные в Séminaire Bourbaki, также содержит важные материалы.
Работа Гротендика включает изобретение теории этальных и l-адических когомологий, которые объясняют наблюдение Андре Вейля о том, что существует связь между топологическими характеристиками многообразия и его диофантовы (теоретико-числовые) свойства. Например, количество решений уравнения в конечном поле отражает топологическую природу его решений для комплексных чисел. Вейль понял, что для доказательства такой связи нужна новая теория когомологий, но ни он, ни другие эксперты не видели, как это сделать, пока такая теория не была найдена Гротендиком.
Эта программа завершилась доказательством гипотез Вейля, последняя из которых была решена учеником Гротендика Пьером Делинем в начале 1970-х годов, после того как Гротендик в значительной степени отказался от математика.
В ретроспективе Гротендика «Récoltes et Semailles» он выделил двенадцать своих работ, которые, по его мнению, были квалифицированы как «великие идеи». В хронологическом порядке они следующие:
Здесь термин йога обозначает своего рода« метатеорию ». at можно использовать эвристически; Мишель Рейно называет другие термины «нить Ариадны» и «философия» эффективными эквивалентами.
Гротендик писал, что из этих тем наибольшей по объему были топои, поскольку они синтезировали алгебраическую геометрию, топология и арифметика. Темой, которая получила наибольшее развитие, были схемы, которые были основой «по преимуществу» для восьми других тем (всех, кроме 1, 5 и 12). Гротендик писал, что первая и последняя темы, топологические тензорные произведения и регулярные конфигурации были более скромного размера, чем другие. Топологические тензорные произведения играли роль инструмента, а не источника вдохновения для дальнейших разработок; но он ожидал, что регулярные конфигурации не могут быть исчерпаны в течение жизни математика, посвятившего себя этому. Он считал, что самыми глубокими темами были мотивы, анабелева геометрия и теория Галуа – Тайхмюллера.
Многие считают Гротендика величайшим математиком 20-го века. В некрологе Дэвид Мамфорд и Джон Тейт писали:
Хотя математика становилась все более и более абстрактной и всеобщей на протяжении 20-го века, именно Александр Гротендик был величайшим мастером этого тенденция. Его уникальное умение заключалось в том, чтобы исключить все ненужные гипотезы и проникнуть в область так глубоко, что ее внутренние шаблоны на самом абстрактном уровне раскрылись сами собой - а затем, как фокусник, показать, как решение старых проблем выпало прямым путем теперь, когда их реальная природа была раскрыта.
К 1970-м годам работы Гротендика стали влиятельными не только в алгебраической геометрии и смежных областях теории пучков и гомологической алгебры, но и повлияли на логику в области категориальной логики.
Гротендик подошел к алгебраической геометрии, прояснив основы этой области и разработав математические инструменты, предназначенные для доказательства ряда известных гипотез. Алгебраическая геометрия традиционно означала понимание геометрических объектов, таких как алгебраические кривые и поверхности, посредством изучения алгебраических уравнений для этих объектов. Свойства алгебраических уравнений, в свою очередь, изучаются с использованием методов теории колец. В этом подходе свойства геометрического объекта связаны со свойствами связанного кольца. Пространство (например, реальное, сложное или проективное), в котором определяется объект, является внешним по отношению к объекту, в то время как кольцо является внутренним.
Гротендик заложил новую основу алгебраической геометрии, сделав внутренние пространства («спектры») и связанные с ними кольца первичными объектами исследования. С этой целью он разработал теорию схем, которые неформально можно представить как топологические пространства, на которых коммутативное кольцо связано с каждым открытым подмножеством Космос. Схемы стали основным объектом изучения практиков современной алгебраической геометрии. Их использование в качестве основы позволило геометрии впитывать технические достижения из других областей.
Его обобщение классической теоремы Римана-Роха относилось к топологическим свойствам комплекса алгебраические кривые к их алгебраической структуре. Инструменты, которые он разработал для доказательства этой теоремы, положили начало изучению алгебраической и топологической K-теории, которые изучают топологические свойства объектов, связывая их с кольцами. Топологическая K-теория была основана Майклом Атьей и Фридрихом Хирцебрухом после прямого контакта с идеями Гротендика на Bonn Arbeitstagung.
Гротендика. Построение новых теорий когомологий, использующих алгебраические методы для изучения топологических объектов, повлияло на развитие теории алгебраических чисел, алгебраической топологии и представления теория. В рамках этого проекта его создание теории топосов, теоретико-категориальное обобщение точечной топологии, оказало влияние на области теории множеств и математическая логика.
Гипотезы Вейля были сформулированы в конце 1940-х годов как набор математических задач арифметической геометрии. Они описывают свойства аналитических инвариантов, называемых локальными дзета-функциями, количества точек на алгебраической кривой или многообразии более высокой размерности. Открытие Гротендиком ℓ-адических этальных когомологий, первого примера теории когомологий Вейля, открыло путь к доказательству гипотез Вейля, которое в конечном итоге было завершено в 1970-х его учеником. Пьер Делинь. Масштабный подход Гротендика получил название «дальновидной программы». ℓ-адическая ког Затем омология стала фундаментальным инструментом для теоретиков чисел с приложениями к программе Ленглендса..
Предполагаемая теория мотивов Гротендика должна была стать «"-адической »теорией, но без выбора« ℓ ", простое число. Он не предоставил предполагаемый путь к гипотезам Вейля, но был позади современных достижений в алгебраической K-теории, теории мотивационной гомотопии и мотивационной интеграции. Эта теория, работа Дэниела Квиллена и теория Гротендика классов Черна, считаются основой теории алгебраических кобордизмов, другого алгебраического аналога топологического
Акцент Гротендика на роли универсальных свойств в разнообразных математических структурах вывел теорию категорий в мейнстрим как организующий принцип по математике в целом. Среди его применений теория категорий создает общий язык для описания подобных структур и методов, встречающихся во многих различных математических системах. Его понятие абелевой категории теперь является основным объектом изучения в гомологической алгебре. Появление отдельной математической дисциплины теории категорий было приписано влиянию Гротендика, хотя и непреднамеренно.
Роман полковника Лагримаса (Colonel Tears на английском языке, доступен в Restless Books) Пуэрто-Рико - Коста-риканский писатель Карлос Фонсека - это полубиографический роман о Гротендике.
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Александром Гротендик. |
 | В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Александром Гротендиком |
