Войти
В математике, теория поля локальных классов, представленная Гельмутом Хассе, представляет собой исследование абелевых расширений. из локальных полей ; здесь «локальное поле» означает поле, которое является полным по абсолютному значению или дискретной оценке с конечным полем вычетов: следовательно, каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) действительные числа R, комплексные числа C, конечное расширение p-адических чисел Qp(где p - любое простое число ) или конечное расширение поля формального ряда Лорана Fq((T)) над конечным полем Fq.
Поле локального класса Теория дает описание группы Галуа G максимального абелевого расширения локального поля K через отображение взаимности, действующее из мультипликативной группы K = K \ {0}. Для конечного абелевого расширения L поля K отображение взаимности индуцирует изоморфизм фактор-группы K / N (L) поля K по группе норм N (L) расширения L в группу Галуа Gal (L / K)
Теорема существования в локальной теории полей классов устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K и конечными абелевыми расширениями поля K. Для конечного абелевого расширения L группы K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является группой норм N (L). Карта взаимности отправляет более высокие группы единиц в более высокие подгруппы ветвления, см., Например, Гл. IV of.
Используя локальную карту взаимности, можно определить символ Гильберта и его обобщения. Нахождение явных формул для него - одно из направлений теории локальных полей, оно имеет долгую и богатую историю, см., Например, Обзор Сергея Востокова.
Существуют когомологические и некогомологические подходы к локальной теории поля классов. Когомологические подходы, как правило, не являются явными, поскольку они используют куб-произведение первых групп когомологий Галуа.
О различных подходах к теории поля локальных классов см. Гл. IV и разд. 7 гл. IV из них включает подход Хассе с использованием группы Брауэра, когомологические подходы, явные методы Юргена Нойкирха, Мишель Хазевинкель, Любин- Теория Тейт и другие.
Обобщения локальной теории полей классов на локальные поля с квазиконечным полем вычетов были простым расширением теории, полученной Дж. Уэплсом в 1950-х годах, см. Глава V из.
Явная теория поля p-класса для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна иметь дело с новым вопросом о группах норм бесконечного индекса. Соответствующие теории построил Иван Фесенко. Некоммутативная локальная теория полей классов Фесенко для арифметически проконечных расширений Галуа локальных полей изучает соответствующее отображение локального коцикла взаимности и его свойства. Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу теоретическому представлению локального соответствия Ленглендса.
Для многомерного локального поля 
Теория полей высших локальных классов является частью теории полей высших классов, изучающей абелевы расширения (соответственно абелевы накрытия) полей рациональных функций правильных регулярных схем, плоских над целыми числами.
