Войти
Символ для набора действительных чисел В математике, вещественное число - это значение непрерывного количества, которое может представлять расстояние вдоль линии (или, альтернативно, количество, которое может быть представлено как бесконечное десятичное представление ). Прилагательное «действительное» в этом контексте было введено в 17 веке Рене Декартом, который различал действительные и мнимые корни из многочленов. Действительные числа включают все рациональные числа, такие как целое число −5 и дробь 4/3, а также все иррациональные числа, например √2 (1,41421356..., квадратный корень из 2, иррациональное алгебраическое число ). В иррациональные числа включены трансцендентные числа, такие как π (3,14159265...). Помимо измерения расстояния, вещественные числа могут использоваться для измерения таких величин, как время, масса, энергия, скорость и многие другие. Больше. Набор действительных чисел обозначается с помощью символа R или 
Действительные числа можно рассматривать как точки на бесконечно длинной линии . называется числовой линией или вещественной линией, где точки, соответствующие целым числам, расположены на одинаковом расстоянии. Любое действительное число может быть определено с помощью возможно бесконечного десятичного представления, например, 8.632, где каждая следующая цифра измеряется в единицах, составляющих одну десятую размера предыдущей. Реальную линию можно рассматривать как часть комплексной плоскости, а действительные числа можно рассматривать как часть комплексных чисел.
вещественных чисел. можно представить себе как точки на бесконечно длинной числовой прямой . Эти описания действительных чисел не являются достаточно строгими по современным стандартам чистой математики. Открытие подходящего строгого определения действительных чисел - действительно, осознание необходимости лучшего определения - было одним из важнейших достижений математики XIX века. Текущее стандартное аксиоматическое определение состоит в том, что действительные числа образуют уникальное Dedekind-complete упорядоченное поле (R; +; ·; <), до - изоморфизм, тогда как популярные конструктивные определения действительных чисел включают объявление их как классов эквивалентности последовательностей Коши (рациональных чисел), Дедекинд сокращает или бесконечное десятичное представление вместе с точными интерпретациями арифметических операций и отношения порядка. Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и, следовательно, эквивалентны.
Набор всех действительных чисел неисчислим в том смысле, что в то время как набор всех натуральных чисел и набор всех действительных чисел равны бесконечных множеств, не может быть однозначной функции от действительных чисел к натуральным числам. Фактически, мощность множества всех действительных чисел, обозначаемая 
Утверждение, что не существует подмножества вещественных чисел с мощностью строго больше, чем
Действительные числа (ℝ) включают рациональные числа (ℚ), которые включают целые числа (ℤ), которые, в свою очередь, включают натуральные числа (ℕ) Простые дроби использовались египтянами около 1000 г. до н.э.; ведические «Шульба-сутры » («Правила аккордов») в ок. 600 г. до н.э., включают то, что может быть первым «использованием» иррациональные числа. Концепция иррациональности была неявно принята ранними индийскими математиками, такими как Манава (c.750–690 до н.э.), которые знали, что квадратные корни некоторых чисел, таких как как 2 и 61, точно определить не удалось. Около 500 г. до н. Э. греческие математики во главе с Пифагором осознали необходимость иррациональных чисел, в частности, иррациональность квадратного корня из 2.
Срединный В возрасте были приняты ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сначала индийскими и китайскими математиками, а затем арабскими математиками, которые также первыми стали рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты (последнее стало возможным благодаря развитию алгебры). Арабские математики объединили понятия «число » и «величина » в более общее представление о действительных числах. Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам ( (c.850–930) был первым, кто принял иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнение (часто в виде квадратных корней, кубических корней и четвертых корней ).
В 16 веке Саймон Стевин создал основу для современных десятичная нотация и настаивал на том, что в этом отношении нет разницы между рациональными и иррациональными числами.
В 17 веке Декарт ввел термин «реальный» для описания корни многочлена, отличая их от «мнимых».
В XVIII и XIX веках было много работ по иррациональным и трансцендентным числам. Иоганн Генрих Ламберт (1761) дал первое ошибочное доказательство того, что π не может быть рациональным; Адриен-Мари Лежандр (1794) завершил доказательство и показал, что π не является квадратным корнем из рационального числа. Паоло Руффини (1799) и Нильс Хенрик Абель (1842) построил доказательства теоремы Абеля – Руффини : общие уравнения пятой степени или выше не могут быть решены с помощью общей формулы, включающей только арифметические операции и корни.
Эварист Галуа (1832) разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, что положило начало области теории Галуа. Джозеф Лиувилль (1840) показал, что ни е, ни е не могут быть корнем целого квадратного уравнения, а затем установил существование трансцендентных чисел; Георг Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство. Чарльз Эрмит (1873) первым доказал, что e трансцендентен, а Фердинанд фон Линдеманн (1882), показал, что π трансцендентно. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), еще дальше Дэвидом Гильбертом (1893) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу и Полу Гордану.
При разработке исчисления в 18 веке использовался весь набор действительных чисел без их строгого определения. Первое строгое определение было опубликовано Георгом Кантором в 1871 году. В 1874 году он показал, что множество всех действительных чисел бесконечно бесконечно, но множество всех алгебраических чисел равно счетно бесконечному. Вопреки широко распространенному мнению, его первым методом был не знаменитый диагональный аргумент, который он опубликовал в 1891 году. Подробнее см. первое доказательство несчетности Кантора.
система действительных чисел 
Пусть R обозначает набор всех действительных чисел, тогда:
Последнее свойство - это то, что отличает действительные числа от рациональных чисел (и от других более экзотических упорядоченных полей ). Например, набор рациональных чисел с квадратом меньше 2 имеет рациональные верхние границы (например, 1,42), но не имеет рациональной наименьшей верхней границы, потому что квадратный корень из 2 не является рациональным.
Эти свойства подразумевают свойство Архимеда (которое не подразумевается другими определениями полноты), которое утверждает, что набор целых чисел не ограничен сверху в реалы. Фактически, если бы это было ложно, то целые числа имели бы наименьшую верхнюю границу N; тогда N - 1 не будет верхней границей, и будет целое число n такое, что n>N - 1, и, следовательно, n + 1>N, что противоречит свойству верхней границы N.
Действительные числа однозначно задаются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух полных по Дедекинду упорядоченных полей R1и R2существует уникальный изоморфизм поля от R1до R2. Эта уникальность позволяет нам думать о них как об одном и том же математическом объекте.
Для другой аксиоматизации ℝ см. аксиоматизацию вещественных чисел Тарским.
Действительные числа могут быть построены как завершение рациональных чисел таким образом, что последовательность, определяемая десятичным или двоичным расширением, например (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415;...) сходится к уникальному действительному числу - в этом случай π. Подробнее и другие конструкции действительных чисел см. В разделе построение действительных чисел.
Более формально, действительные числа имеют два основных свойства: быть упорядоченным полем и иметь свойство наименьшей верхней границы. Первая гласит, что действительные числа составляют поле со сложением и умножением, а также делением на ненулевые числа, которые могут быть полностью упорядочены в числовой строке способом, совместимым с сложение и умножение. Второй говорит, что если непустой набор действительных чисел имеет верхнюю границу , то он имеет реальную наименьшую верхнюю границу. Второе условие отличает действительные числа от рациональных: например, набор рациональных чисел, квадрат которых меньше 2, является набором с верхней границей (например, 1,5), но без (рациональной) наименьшей верхней границы: следовательно, рациональные числа не удовлетворяют свойству наименьшей верхней границы.
Основной причиной использования действительных чисел является то, что действительные числа содержат все пределы. Точнее, последовательность действительных чисел имеет предел, который является действительным числом, если (и только если) ее элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу. Это формально определяется следующим образом и означает, что вещественные числа являются полными (в смысле метрических пространств или однородных пространств, что отличается от Дедекиндская полнота заказа в предыдущем разделе). :
A последовательность (xn) действительных чисел называется последовательностью Коши, если для любого ε>0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние |xn- x m | меньше ε для всех n и m, которые больше N. Это определение, первоначально предоставленное Cauchy, формализует тот факт, что x n в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими к друг друга.
Последовательность (x n) сходится к пределу x, если ее элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими к x, то есть если для любого ε>0 существует целое число N ( возможно в зависимости от ε) такое, что расстояние | x n - x | меньше ε для n больше N.
Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, и это означает, что топологическое пространство действительных чисел завершено.
Набор рациональных чисел не полный. Например, последовательность (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421;...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратного корня из 2, является Коши, но оно не сходится к рациональному числу (напротив, в действительных числах оно сходится к положительному квадратному корню из 2).
Свойство полноты вещественных чисел является основой, на которой строятся исчисление и, в более общем смысле, математический анализ. В частности, проверка того, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная об этом.
Например, стандартный ряд экспоненциальной функции
сходится к действительному числу для каждого x, потому что суммы
можно сделать сколь угодно малым (независимо от M), выбрав N достаточно большим. Это доказывает, что последовательность является Коши, и, таким образом, сходится, показывая, что 
Действительные числа часто описываются как «полное упорядоченное поле», фраза, которую можно интерпретировать по-разному.
Во-первых, заказ может быть завершенным по решетке. Легко видеть, что никакое упорядоченное поле не может быть решеточно-полным, потому что оно не может иметь самого большого элемента (для любого элемента z, z + 1 больше), так что это не тот смысл, который имеется в виду.
Кроме того, заказ может быть Дедекинд-полный, как определено в разделе Аксиомы . Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова «the» во фразе «полностью упорядоченное поле», когда имеется в виду именно «полное». Это чувство завершенности наиболее тесно связано с построением действительных чисел из дедекиндовских разрезов, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел) и затем стандартным образом формирует его дедекиндовое завершение.
Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет структуру uniform, а однородные структуры имеют понятие полноты ; описание в предыдущем разделе Полнота - особый случай. (Мы ссылаемся на понятие полноты в однородных пространствах, а не на родственное и более известное понятие для метрических пространств, поскольку определение метрического пространства опирается на уже имеющуюся характеристику действительных чисел.) Это не так. правда, что R - единственное равномерно полное упорядоченное поле, но это единственное равномерно полное архимедово поле, и действительно часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полностью упорядоченное» поле ". Каждое единообразно полное архимедово поле также должно быть дедекиндовым (и наоборот), оправдывая использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением вещественных чисел из последовательностей Коши (построение полностью проведено в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его единообразное завершение в стандарте. путь.
Но первоначально фраза «полное архимедово поле» была использована Дэвидом Гильбертом, который имел в виду нечто иное. Он имел в виду, что действительные числа образуют самое большое архимедово поле в том смысле, что любое другое архимедово поле является подполем R . Таким образом, R является «полным» в том смысле, что к нему больше ничего нельзя добавить, не делая его больше не архимедовым полем. Это ощущение полноты наиболее тесно связано с построением вещественных чисел из сюрреалистических чисел, поскольку это построение начинается с правильного класса, который содержит каждое упорядоченное поле (сюрреализацию), а затем выбирает из него самое большое архимедово подполе..
Реалы неисчислимы ; то есть: вещественных чисел строго больше, чем натуральных чисел, хотя оба набора бесконечны. Фактически, мощность действительных чисел равна мощности набора подмножеств (то есть набора степеней) натуральных чисел, а диагональный аргумент Кантора утверждает, что мощность последнего набора строго больше, чем мощность N . Поскольку набор алгебраических чисел является счетным, почти все действительные числа являются трансцендентными. Отсутствие подмножества вещественных чисел с мощностью строго между целыми и действительными числами известно как гипотеза континуума. Гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть; оно не зависит от аксиом теории множеств.
Как топологическое пространство, действительные числа разделимы. Это потому, что множество рациональных чисел, которое можно счет, плотно в действительных числах. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они неисчислимы и имеют ту же мощность, что и действительные числа.
Действительные числа образуют метрическое пространство : расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | x - y |. Поскольку они являются полностью упорядоченным набором , они также несут топологию порядка ; топология , возникающая из метрики, и топология, возникающая из порядка, идентичны, но дают разные представления для топологии - в топологии порядка как упорядоченные интервалы, в топологии метрики как эпсилон-шары. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление топологии порядка, в то время как конструкция последовательностей Коши использует представление метрической топологии. Реальные числа - это сжимаемый (следовательно, связанный и односвязный ), разделимое и полное метрическое пространство Размерность Хаусдорфа 1. Действительные числа - это локально компактный, но не компактный. Существуют различные свойства, которые однозначно определяют их; например, все неограниченные, связанные и разделимые топологии порядка обязательно гомеоморфны действительным числам.
Каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень в R, хотя отрицательное число не имеет. Это показывает, что порядок на R определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает по крайней мере один действительный корень: эти два свойства делают R главным примером реального закрытого поля. Доказательство этого - первая половина одного доказательства фундаментальной теоремы алгебры.
. Действительные числа несут каноническую меру, меру Лебега, которая является Мера Хаара на их структуре как топологическая группа, нормализованная так, что единичный интервал [0; 1] имеет меру 1. Существуют наборы действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу., например Наборы Витали.
Аксиома супремума вещественных чисел относится к подмножествам вещественных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Невозможно охарактеризовать вещественные числа только с помощью логики первого порядка : теорема Лёвенгейма – Сколема подразумевает, что существует счетное плотное подмножество действительных чисел, удовлетворяющих точно таким же предложениям в логика первого порядка, как и сами действительные числа. Набор гиперреальных чисел удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и R . Упорядоченные поля, которые удовлетворяют тем же предложениям первого порядка, что и R, называются нестандартными моделями из R . Это то, что заставляет нестандартный анализ работать; доказывая утверждение первого порядка в какой-либо нестандартной модели (что может быть проще, чем доказывать его в R ), мы знаем, что то же утверждение должно быть верным и для R.
Поле Rдействительных чисел является полем расширения поля Q рациональных чисел, и поэтому R можно рассматривать как векторное пространство по Q. теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора гарантирует существование базиса этого векторного пространства: существует множество B действительных чисел, такое что каждое действительное число может быть записано однозначно как конечная линейная комбинация элементов этого набора с использованием только рациональных коэффициентов и такая, что ни один элемент B не является рациональной линейной комбинацией других. Однако эта теорема существования является чисто теоретической, поскольку такая основа никогда не описывалась в явном виде.
Теорема о правильном порядке подразумевает, что действительные числа могут быть хорошо упорядоченными, если предполагается аксиома выбора: существует общий порядок на R со свойством, что каждое непустое подмножество из R имеет наименьший элемент в это заказ. (Стандартный порядок ≤ действительных чисел не является правильным, поскольку, например, открытый интервал не содержит элемент наименьшего значения в этом порядке.) Опять же, существование такого хорошего упорядочения является чисто теоретическим., поскольку это не было явно описано. Если V = L предполагается в дополнение к аксиомам ZF, можно показать, что правильный порядок действительных чисел явно определяется формулой.
Действительное число может быть либо вычислимый или невычислимый; либо алгоритмически случайным, либо нет; и либо арифметически случайный, либо нет.
Действительные числа чаще всего формализуются с использованием аксиоматизации Цермело – Френкеля теории множеств, но некоторые математики изучают действительные числа с помощью других логических основ математики. В частности, действительные числа также изучаются в обратной математике и в конструктивной математике.
гиперреальные числа, разработанные Эдвином Хьюиттом, Авраам Робинсон и другие расширяют набор действительных чисел, вводя бесконечно малые и бесконечные числа, что позволяет построить бесконечно малое исчисление способом, более близким к первоначальным интуитивным представлениям Лейбниц, Эйлер, Коши и другие.
Внутренняя теория множеств Эдварда Нельсона синтаксически обогащает теорию множеств Цермело – Френкеля, вводя унарный предикат «стандарт». В этом подходе бесконечно малые числа являются (нестандартными) элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).
гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна 
В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная, и физических переменных, таких как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с использованием действительных чисел.. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика, электромагнетизм, квантовая механика, общая теория относительности и стандартная модель описываются с использованием математических структур, обычно гладких многообразий или гильбертовых пространств, которые основаны на действительных числах, хотя фактические измерения физических величин имеют конечную точность и точность.
Физики иногда предполагали, что более фундаментальная теория заменит действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными.
с некоторыми исключения, большинство калькуляторов не работают с действительными числами. Вместо этого они работают с приближениями конечной точности, называемыми числами с плавающей запятой. Фактически, в большинстве научных вычислений используется арифметика с плавающей запятой. Действительные числа удовлетворяют обычным правилам арифметики, но числа с плавающей запятой не удовлетворяют.
Компьютеры не могут напрямую хранить произвольные действительные числа с бесконечным числом цифр. Достижимая точность ограничена количеством битов, выделенных для хранения числа, будь то числа с плавающей запятой или числа произвольной точности. Однако системы компьютерной алгебры могут работать с иррациональными величинами, точно управляя формулами для них (например, 
Действительное число называется вычислимым, если существует алгоритм, который выдает его цифры. Поскольку существует только счетно алгоритмов, но бесчисленное количество действительных чисел, почти все действительные числа не могут быть вычислимы. Более того, равенство двух вычислимых чисел является неразрешимой проблемой. Некоторые конструктивисты признают существование только тех действительных чисел, которые можно вычислить. Набор определяемых чисел шире, но все же только счетный.
В теории множеств, в частности описательной теории множеств, используется пространство Бэра в качестве заменителя действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые доставляют технические неудобства. Элементы пространства Бэра называют «реалами».
Математики используют символ R или, альтернативно, ℝ, букву «R» на доске жирным шрифтом (закодировано в Unicode как U + 211D ℝ DOUBLE-STRUCK CAPITAL R (HTML ℝ·ℝ, ℝ)) для представления набора всех реальных чисел. Поскольку этот набор естественно наделен структурой поля , поле выражения действительных чисел часто используется, когда рассматриваются его алгебраические свойства.
Наборы положительных действительных чисел и отрицательных действительных чисел часто обозначаются как R и R соответственно; Также используются R+и R−. Неотрицательные действительные числа можно обозначить R≥0, но часто можно увидеть этот набор как R ∪ {0}. Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают ноль, и эти множества обозначаются соответственно ℝ + и ℝ -. В этом понимании соответствующие наборы без нуля называются строго положительными действительными числами и строго отрицательными действительными числами и отмечаются ℝ + * и ℝ −*.
Обозначение R относится к декартово произведение из n копий R, которое представляет собой n- мерное векторное пространство над полем действительных чисел; это векторное пространство может быть отождествлено с n- мерным пространством евклидовой геометрии, как только в последнем была выбрана система координат. For example, a value from Rconsists of a tuple of three real numbers and specifies the coordinates of a point in 3‑dimensional space.
In mathematics, real is used as an adjective, meaning that the underlying field is the field of the real numbers (or the real field). For example, real matrix, real polynomial and real Lie algebra. The word is also used as a noun, meaning a real number (as in "the set of all reals").
The real numbers can be generalized and extended in several different directions:
Mathematics portal 
