Локальное поле

В математике локальное поле - это особый тип поля, который является локально компактным топологическое поле по отношению к недискретной топологии. Для такого поля можно определить абсолютное значение . Есть два основных типа локальных полей: те, в которых абсолютное значение равно архимедово, и те, в которых его нет. В первом случае локальное поле называется архимедовым локальным полем, во втором случае его называют неархимедовым локальным полем . Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения из глобальных полей.

Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже не менее 250 лет, первые примеры Из неархимедовых локальных полей поля p-адических чисел для положительного простого целого числа p были введены Куртом Хенселем в конце 19 века.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих:

• Архимедовы локальные поля (характеристика ноль): действительные числа Rи комплексные числа C.
• неархимедовы локальные поля с нулевой характеристикой: конечные расширения p-адических чисел Qp(где p - любое простое число ).
• Неархимедовы локальные поля характеристики p (для p любого данного простого числа): поле формального ряда Лорана Fq((T)) над конечным полем Fq, где q - степень числа p.

Существует эквивалентное определение неархимедова локального поля: это поле, которое завершено по отношению к дискретной оценке и чье поле вычетов конечно. В частности, что важно для теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретной оценки, соответствующей один из их максимальных идеалов. Исследования в современном номере Теория часто рассматривает более общее понятие, требующее только, чтобы поле вычетов было совершенным положительной характеристикой, не обязательно конечным. В этой статье используется первое определение.

• 1 Индуцированное абсолютное значение
• 2 Основные характеристики неархимедовых локальных полей
  • 2.1 Примеры
  • 2.2 Высшие группы единиц
  • 2.3 Структура группы единиц
• 3 Теория локальные поля
• 4 многомерные локальные поля
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Учитывая такое абсолютное значение в поле K, на K может быть определена следующая топология: для положительного действительного числа m определите подмножество B m поля K как

$B\; m:\; =\; \{a\; \in \; K:\; |\; а\; |\; \le \; m\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{m\}:\; =\; \backslash \; \{a\; \backslash \; in\; K:\; |\; a\; |\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \}.\}$

Тогда b + B m составляют основу окрестности of b в K.

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить с помощью меры Хаара из аддитивной группы поля.

Для неархимедовых локальных полей F (с абсолютным значением, обозначенным | · |) важны следующие объекты:

• его кольцо целых чисел $O\; =\; \{a\; \in \; F:\; |\; а\; |\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; =\; \backslash \; \{a\; \backslash \; in\; F:\; |\; a\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$, которое является кольцом дискретной оценки, является замкнутый единичный шар в F и является компактным ;
• единицами в своем кольце целых чисел $O\; \times \; =\; \{a\; \in \; F:\; |\; а\; |\; =\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; =\; \backslash \; \{a\; \backslash \; in\; F:\; |\; a\; |\; =\; 1\; \backslash \}\}$, который образует группу и является единичной сферой F;
• уникальным ненулевым простым идеалом $m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\}$в его кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром ;
• a генератор ϖ из $m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\}$называется uniformizer of F;
• его поле вычетов $k\; =\; O\; /\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\}$, которое является конечным (поскольку оно компактно и дискретный ).

Каждый ненулевой элемент a из F может быть записан как a = ϖu с единицей ua, а na - уникальным целым числом. нормализованная оценка F - это сюръективная функция v: F → Z ∪ {∞}, определяемый отправкой ненулевого a в уникальное целое число n, такое что a = ϖu с единицей ua, и отправкой 0 на ∞. Если q равно мощность поля вычетов, абсолютное значение на F, индуцированное его структурой как локального поля, определяется как

$|\; a\; |\; =\; q\; -\; v\; (a).\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\; |\; =\; q\; ^\; \{-\; v\; (a)\}.\}$

Эквивалентным и очень важным определением неархимедова локального поля является то, что это поле завершено относительно дискретной оценки и чье поле вычетов конечно.

Примеры

1. p-адический числа : кольцо целых чисел Qp- это кольцо целых p-адических чисел Zp. Его простой идеал - p Zp, а поле вычетов - Z/pZ. Каждый ненулевой элемент Qpможет быть записан как up, где u - единица в Zp, а n - целое число, тогда v (up) = n для нормализованной оценки.
2. Формальный ряд Лорана над Конечное поле : кольцо целых чисел Fq((T)) является кольцом формальных степенных рядов Fq[[T]]. Его максимальный идеал - это (T) (т.е. степенной ряд, постоянный член которого равен нулю), а его поле вычетов - Fq. Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:

   $v\; (\sum \; i\; =\; -\; m\; \infty \; ai\; T\; i)\; =\; -\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; -m\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; T\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; m\}$(где a −m не равно нулю).

3. Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле остатка равно C [[T]] / (T) = C, что не является конечным.

Группы высших единиц

n группа высших единиц неархимедова локального поля F равно

$U\; (n)\; =\; 1\; +\; mn\; =\; \{u\; \in \; O\; \times :\; u\; \equiv \; 1\; (modmn)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\; (n)\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{u\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; times\}:\; u\; \backslash \; Equiv\; 1\; \backslash ,\; (\backslash \; mathrm\; \{mod\; \}\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

для n ≥ 1. Группа U называется группой основных единиц, и любой ее элемент называется основной единицей . Полная группа единиц $O\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$обозначается U.

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрация группы единиц

$O\; \times \; \supseteq \; U\; (1)\; \supseteq \; U\; (2)\; \supseteq \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; supseteq\; U\; ^\; \{(1)\}\; \backslash \; supseteq\; U\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; supseteq\; \backslash \; cdots\}$

чьи частные задаются как

$O\; \times \; /\; U\; (n)\; \cong \; (O\; /\; mn)\; \times \; и\; U\; (n)\; /\; U\; (n\; +\; 1)\; \approx \; O\; /\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; /\; U\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash ,\; U\; ^\; \{(n)\}\; /\; U\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\; \}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\}$

для n ≥ 1. (Здесь «$\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\}$» означает неканонический изоморфизм.)

Структура единичной группы

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

$F\; \times \; \cong \; (\varpi )\; \times \; \mu \; q\; -\; 1\; \times \; U\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; cong\; (\backslash \; varpi)\; \backslash \; times\; \backslash \; mu\; \_\; \{q-1\}\; \backslash \; times\; U\; ^\; \{(1)\}\}$

где q - порядок поля остатка d, а μ q − 1 - группа (q − 1) -й корней из единицы (в F). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :

• Если F имеет положительную характеристику p, то

$F\; \times \; \cong \; Z\; \oplus \; Z\; /\; (q\; -\; 1)\; \oplus \; Z\; p\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; \{(q-1)\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{N\}\}\}$

где N обозначает натуральные числа ;

• Если F имеет нулевую характеристику (то есть это конечное расширение Qpстепени d), то

$F\; \times \; \cong \; Z\; \oplus \; Z\; /\; (q\; -\; 1)\; \oplus \; Z\; /\; pa\; \oplus \; Z\; pd\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; (q-1)\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{a\; \}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{d\}\}$

где a ≥ 0 определено так, что группа корней p-степени из единицы в F равна $\mu \; pa\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\; ^\; \{a\}\}\}$.

Эта теория включает изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с помощью леммы Гензеля, Расширения Галуа локальных полей, группы ветвления фильтрации групп Галуа локальных полей, поведение карты норм на локальных полях, локальный гомоморфизм взаимности и теорема существования в теории полей локальных классов, локальном соответствии Ленглендса, теории Ходжа-Тейта (также называемой p -адическая теория Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в теории полей локальных классов, см., например,

Локальное поле - это иногда называют одномерным локальным полем.

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле долей пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в его неособой точке.

Для неотрицательного целого числа n n-мерное локальное поле является полным дискретным полем оценки, поле вычетов которого является (n - 1) -мерным локальным полем. В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле тогда является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем с положительной характеристикой.

С геометрической точки зрения n-мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественным образом связаны с полным флагом подсхем n-мерной арифметической схемы.

• лемму Гензеля
• Группа ветвления
• Теория поля локальных классов
• Высшее локальное поле

• Weil, André (1995), Основная теория чисел, Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 3-540-58655-5
• Фесенко, Иван Б. ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения, Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

• A. Frohlich, "Локальные поля", в J.W.S. Касселс и А. Фрелих (edd), Алгебраическая теория чисел, Academic Press, 1973. Глава I
• Милн, Джеймс, Алгебраическая теория чисел.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]