Совершенное поле

редактировать

В алгебре поле k равно идеально, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Каждый неприводимый многочлен над k имеет различные корни.
Каждый неприводимый многочлен над k отделим.
Каждое конечное расширение k является отделимым.
Каждое алгебраическое расширение k отделимо.
Либо k имеет характеристику 0, или, когда k имеет характеристику p>0, каждый элемент k является p-й степенью.
Либо k имеет характеристику 0, либо, когда k имеет характеристику p>0, Эндоморфизм Фробениуса x ↦ x является автоморфизмом k.
сепарабельное замыкание k является алгебраически замкнутым.
редуцированная коммутативная k-алгебра A является сепарабельной алгеброй ; то есть $A ⊗ k F {\ displaystyle A \ otimes _ {k} F}$ $A \ otimes _ {k} F$ уменьшается для каждого расширения поля F / k. (см. ниже)

В противном случае k называется несовершенным .

В частности, все поля с нулевой характеристикой и все конечные поля совершенны.

Совершенные поля важны, потому что теория Галуа над этими полями становится проще, так как общее предположение Галуа о сепарабельности расширений полей автоматически выполняется над этими полями (см. Третье условие выше).

Еще одним важным свойством совершенных полей является то, что они допускают векторы Витта.

В более общем смысле, кольцо характеристики p (pa простое число ) называется идеально, если эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом. (При ограничении областями целостности это эквивалентно приведенному выше условию «каждый элемент k является p-й степенью».)

Содержание

1 Примеры
2 Расширение поля над идеальным поле
3 Идеальное завершение и совершенство
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Примеры

Примеры идеальных полей:

каждое поле с нулевой характеристикой, поэтому $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ и каждое конечное расширение и $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ;
каждые конечное поле $F q {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ $\ mathbb {F} _ {q}$ ;
каждое алгебраически замкнутое поле ;
объединение набора совершенных полей, полностью упорядоченных по расширению ;
поля алгебраические над совершенным полем.

Большинство полей, которые встречаются на практике, идеальны. Несовершенный случай возникает в основном в алгебраической геометрии при характеристике p>0. Каждое несовершенное поле обязательно трансцендентно над своим простым подполем (минимальным подполем), потому что последнее совершенно. Пример несовершенного поля:

поле

F q (x) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (x)}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (x)}

, поскольку Фробениус отправляет $x ↦ xp { \ displaystyle x \ mapsto x ^ {p}}$ $x \ mapsto x ^ {p}$ , следовательно, это не сюръективно. Он встраивается в совершенное поле

F q (x, x 1 / p, x 1 / p 2,…) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (x, x ^ {1 / p}, x ^ {1 / p ^ {2}}, \ ldots)}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} (x, x ^ {1 / p}, x ^ {1 / p ^ {2}}, \ ldots)}

назвал его совершенством . Несовершенные поля вызывают технические трудности, потому что неприводимые многочлены могут стать приводимыми в алгебраическом замыкании основного поля. Например, рассмотрим $f (x, y) = xp + ayp ∈ k [x, y] {\ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} \ in k [x, y]}$ ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} \ in k [x, y]}$ для $k {\ displaystyle k}$ $k$ несовершенное поле характеристики $p {\ displaystyle p}$ $p$ и не a p-я степень в f. Тогда в его алгебраическом замыкании $k alg [x, y] {\ displaystyle k ^ {\ operatorname {alg}} [x, y]}$ ${\ displaystyle k ^ {\ operatorname {alg}} [x, y]}$ выполняется следующее равенство:

f ( x, y) = (x + by) p, {\ displaystyle f (x, y) = (x + by) ^ {p},}

{\ displaystyle f (x, y) = (x + by) ^ {p},}

где b = a и такой b существует в этом алгебраическом замыкании. Геометрически это означает, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ не определяет кривую аффинной плоскости в $k [x, y] {\ displaystyle k [x, y]}$ $k [x, y]$ .

Расширение поля над совершенным полем

Любое конечно порожденное расширение поля K над совершенным полем k порождается сепарабельно, т.е. допускает разделяющую базу трансцендентности, то есть база трансцендентности Γ такая, что K сепарабельно алгебраична над k (Γ).

Совершенное замыкание и совершенство

Одно из эквивалентных условий гласит, что в характеристике p поле, присоединенное ко всем p- корни th (r ≥ 1) совершенны; оно называется идеальным замыканием k и обычно обозначается как $kp - ∞ {\ displaystyle k ^ {p ^ {- \ infty}}}$ $k ^ {{p ^ {{- \ infty}}}}$ .

Идеальное замыкание может использоваться в тест на разделимость. Более точно, коммутативная k-алгебра A отделима тогда и только тогда, когда $A ⊗ kkp - ∞ {\ displaystyle A \ otimes _ {k} k ^ {p ^ {- \ infty}}}$ $A \ otimes _ {k} k ^ {{p ^ {{- \ infty}}}}$ сокращается.

С точки зрения универсальных свойств, совершенное замыкание кольца A характеристики p является совершенным кольцом A p характеристики p вместе с гомоморфизмом колец u: A → A p таким, что для любого другого совершенного кольца B характеристики p с гомоморфизмом v: A → B существует единственный гомоморфизм f: A p → B такое, что v факторно через u (т.е. v = fu). Идеальное завершение существует всегда; доказательство включает в себя «соединение корней p-й степени элементов A», как и в случае полей.

Совершенство кольца A характеристики p является двойственным понятием (хотя это термин иногда используется для идеального закрытия). Другими словами, совершенство R (A) кольца A является совершенным кольцом характеристики p вместе с отображением θ: R (A) → A таким, что для любого совершенного кольца B характеристики p, снабженного отображением φ: B → A существует единственное отображение f: B → R (A) такое, что φ пропускается через θ (т.е. φ = θf). Совершенство A можно построить следующим образом. Рассмотрим проективную систему

⋯ → A → A → A → ⋯ {\ displaystyle \ cdots \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow \ cdots}

\ cdots \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow A \ rightarrow \ cdots

, где карты переходов являются эндоморфизмом Фробениуса. Обратный предел этой системы равен R (A) и состоит из последовательностей (x 0, x 1,...) элементов A таких, что $xi + 1 p = xi {\ displaystyle x_ {i + 1} ^ {p} = x_ {i}}$ $x _ {{i + 1}} ^ {p} = x_ {i}$ для всех i. Отображение θ: R (A) → A отправляет (x i) в x 0.

См. Также

Примечания

Ссылки

Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), Заметки летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF), извлечены 05.02.2010
Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля, Тексты для выпускников по математике, 67(2 изд.), Springer-Verlag, ISBN 978 -0-387-90424-5, MR 0554237
Кон, П.М. (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля
Мацумура, Х. (2003), Коммутативная теория колец, Перевод с японского М. Рейда., 8 (2-е изд.)

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]