Вектор Витта

В математике Вектор Витта представляет собой бесконечную последовательность элементов коммутативного кольца . Эрнст Витт показал, как помочь кольцевую создать на множестве векторов Витта таким образом, чтобы кольца векторов Витта над конечным полем порядка p было кольцом $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адические целые числа.

• 1 История
• 2 Мотивация
  • 2.1 Подробный мотивационный набросок
• 3 Построение колец Витта
• 4 Примеры
• 5 Универсальные Витта
• 6 Производящие функции
  • 6.1 Определение
  • 6.2ма
  • 6.3 Продукт
• 7 Кольцевые схемы
• 8 Коммутативные унипотентные алгебраические группы
• 9 См.
• 10 Ссылки

В XIX Также веке Эрнст Эдуард Куммер изучал циклические расширения полей в рамках своей работы над Великой теоремой Ферма. Это привело к предмету, который известен как теория Куммера. Пусть k - поле, содержащее примитивный корень n-й степени из единицы. Теория Куммера классифицирует циклические расширения поля K степени n поля k. Такие поля находятся во взаимно однозначном соответствии с циклическими группами порядка n $\Delta \; \subseteq \; k\; \times \; /\; (k\; \times )\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; substeq\; k\; ^\; \{\backslash \; times\}\; /\; (k\; ^\; \{\backslash \; times\})\; ^\; \{n\; \}\}$, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$соответствует $K\; =\; k\; (\Delta \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; k\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{n\; \}]\; \{\backslash \; Delta\}\})\}$.

Но предположим, что k имеет характерику p. Проблема изучения расширений степени p для k или, в более общем смысле, расширений степени p может быть внешне похожей на теорию Куммера. Однако в этой ситуации k не может содержать примитивный корень p-й степени из единицы. Если x является корнем p-й степени из единицы в k, то он удовлетворяет условию $x\; p\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{p\}\; =\; 1\}$. Но рассмотрим выражение $(x\; -\; 1)\; p\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; ^\; \{p\}\; =\; 0\}$. Расширяя с помощью биномиальных коэффициентов, мы видим, что операция возведения в p-ю степень, известная здесь как гомоморфизм Фробениуса, вводит множитель p в каждый коэффициент, кроме первого и последнего, и поэтому по модулю p эти совпадают. Следовательно, $x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\}$. Следовательно, теория Куммера никогда не применима к расширению.

Случай, когда характеристика делит степень, теперь называется теорией Артина - Шрайера, потому что первый прогресс был достигнут Артином и Шрайером. Их исходной мотивацией была теорема Артина - Шрейера, которая соответствует действительные замкнутые поля как те, у которых абсолютная группа Галуа имеет второй порядок. Это вдохновило их на вопрос, какие еще поля имеют конечные абсолютные группы Галуа. В процессе доказательства того, что других полей не существует, они доказали, что другие поля расщепления были такими же, как поля расщепления полиномов Артина - Шрайера. Они по определению имеют вид $x\; p\; -\; x\; -\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{p\}\; -x-a.\}$Повторяя свою конструкцию, они описали расширения степени p. Авраам Адриан Альберт использовал эту идею для описания расширений степени p. Каждое повторение влекло за собой сложные алгебраические условия, чтобы расширение поля было нормальным.

Шмид обобщенный на некоммутативные циклические алгебры степени стр. В процессе этого появились полиномы, связанные со сложением $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическое целое число. Витт ухватился за эти многочлены. Используя их систематически, он смог дать простые и унифицированные конструкции расширений полей p и циклических алгебр. В частности, он представил кольцо, которое теперь называется W n (k), кольцо n-усеченных p-типичных векторов Витта . Это кольцо имеет k как фактор, и у него есть оператор F, который называется оператором Фробениуса, потому что он сводится к оператору Фробениуса на k. Витт замечает, что аналог полиномов Артина - Шрайера степени p равен

$F\; (x)\; -\; x\; -\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; -xa,\}$

где $a\; \in \; W\; n\; (k)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; а\; \backslash \; in\; W\_\; \{n\}\; (k)\}$. Чтобы завершить аналогию с теорией Куммера, определите $\wp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wp\}$как оператор $x\; \mapsto \; F\; (x)\; -\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; F\; (x)\; -x.\}$Тогда расширения k степени p находятся в биективном в соответствии с циклическими подгруппами $\Delta \; \subseteq \; W\; n\; (k)\; /\; \wp \; (W\; n\; (k))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; substeq\; W\_\; \{n\}\; (k)\; /\; \backslash \; wp\; (W\_\; \{n\}\; (k))\}$порядок p, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$соответствует полю $k\; (\wp \; -\; 1\; (\Delta ))\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (\backslash \; wp\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; Delta))\}$.

Любое $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическое целое число (элемент $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$, не следует путать с $Z\; /\; p\; Z\; =\; F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\}$) можно записать как степенной ряд $a\; 0\; +\; a\; 1\; p\; 1\; +\; a\; 2\; p\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; p\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$, где $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$обычно берутся из целочисленного интервала $[0,\; p\; -\; 1]\; =\; \{0,\; 1,\; 2,\dots ,\; п\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; p-1]\; =\; \backslash \; \{0,1,2,\; \backslash \; ldots,\; p-1\; \backslash \}\}$. Трудно дать алгебраическое выражение для сложения и умножения, используя это представление, возникает проблема переноса между цифрами. Однако использование репрезентативных коэффициентов $ai\; \in \; [0,\; p\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; [0,\; p-1]\}$является лишь одним из многих вариантов, а Сам Гензель (создатель $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адических чисел) использует корни единства в поле как его представители. Таким образом, указанным является число $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$вместе с $(p\; -\; 1)\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; (p-1)\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$корни единства ; то есть решения $xp\; -\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{p\}\; -x\; =\; 0\}$в $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$, так что $ai\; =\; aip\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; =\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{p\}\}$. Этот выбор естественным образом распространяется на расширение кольца $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$, в поле которых остатка увеличивается до $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; F\}\; \_\; \{q\}\}$с $q\; =\; pf\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; p\; ^\; \{f\}\}$, некоторая степень $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. Действительно, именно эти поля (поля дробей колец) вели выбор Гензеля. Теперь представлены $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$решение в поле для $xq\; -\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{q\}\; -x\; =\; 0\}$. Вызовите поле $Z\; p\; (\eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; eta)\}$с помощью $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$соответствующий примитив $(q\; -\; 1)\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; (q-1)\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$корень из единицы (больше $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$). Тогда будут представлены $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$и $\eta \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; ^\; \{i\}\}$для $0\; \le \; i\; \le \; q.\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; q-2\}$. Предлагают эти образуют мультипликативный набор, их можно рассматривать как персонажей. Примерно через тридцать лет после работ Гензеля Тайхмюллер изучил эти символы, которые теперь носят его имя, и это привело его к характеристике структуры всего поля в терминах поля вычетов. Этих представителей Тейхмюллера можно отождествить с элементами конечного поля $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$из порядка $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$, взяв остатки по модулю $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$в $Z\; p\; (\eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; eta)\}$и элементы $F\; q\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$передаются своим представителям символом Тейхмюллера $\omega :\; F\; q\; \times \; \to \; Z\; p\; (\eta )\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega:\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; eta)\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$. Эта операция определяет набор целых чисел в $Z\; p\; (\eta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; eta)\}$с бесконечными последовательностями элементов $\omega \; (F\; q\; \times )\; \cup \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; ^\; \{\backslash \; times\})\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$.

Взяв этих представителей, выражения для сложения и умножения могут быть написано в закрытом виде. Теперь у нас есть следующая проблема (сформулированная для простейшего случая: $q\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; p\}$): даны две бесконечные следующие элементы $\omega \; (F\; p\; \times )\; \cup \; \{0\; \},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; times\})\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \},\}$описывают свою сумму и произведение как $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адические целые числа явно. Эта проблема была решена Виттом с использованием векторов Витта.

Подробный мотивационный набросок

Мы получаем кольцо $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-adic integer $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$из конечного поля $F\; p\; =\; Z\; /\; p\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$с использованием конструкции, которая естественным образом обобщается на конструкцию конструкции Витта.

Кольцо $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-adic целые число можно понимать как проективный предел для $Z\; /\; pi\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$В частности, он состоит из последовательностей $(n\; 0,\; n\; 1,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\_\; \{0\},\; n\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\}$с $ni\; \in \; Z\; /\; pi\; +\; 1\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$такой, что $nj\; \equiv \; ni\; mod\; pi\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{j\}\; \backslash \; Equiv\; n\_\; \{i\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}$для $j\; \ge \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; geq\; i.\}$То есть, каждый последующий элемент соответствует предыдущим элементам по модулю меньшей степени p; это обратный предел для проекций $Z\; /\; pi\; +\; 1\; Z\; \to \; Z\; /\; pi\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Элементы $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$может быть расширено как (формальный) степенной ряд в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$

$a\; 0\; +\; a\; 1\; p\; 1\; +\; a\; 2\; p\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\; \}\; +\; a\_\; \{1\}\; p\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

где $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$обычно берутся из целочисленного интервала $[0,\; p\; -\; 1]\; =\; \{0,\; 1,\dots ,\; p\; -\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; p-1]\; =\; \backslash \; \{0,1,\; \backslash \; ldots,\; p-1\; \backslash \}.\}$Конечно, этот степенной ряд обычно не сходится в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$с использованием стандартных метрики для вещественных чисел, но она будет сходиться в $Z\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\},\}$с $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адической метрикой. Мы сделаем набросок метода определения кольцевых операций для таких степенных рядов.

Если обозначить $a\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\}$как $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, можно подумать о следующем определении для сложения:

$c\; 0\; \equiv \; a\; 0\; +\; b\; 0\; mod\; pc\; 0\; +\; c\; 1\; p\; \equiv \; (a\; 0\; +\; b\; 0)\; +\; (a\; 1\; +\; b\; 1)\; p\; mod\; p\; 2\; c\; 0\; +\; c\; 1\; p\; +\; c\; 2\; п\; 2\; \equiv \; (a\; 0\; +\; b\; 0)\; +\; (a\; 1\; +\; b\; 1)\; p\; +\; (a\; 2\; +\; b\; 2)\; p\; 2\; mod\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{0\; \}\; +\; b\_\; \{0\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{0\}\; +\; c\_\; \{1\}\; p\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\})\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\; \})\; p\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{0\}\; +\; c\_\; \{1\}\; p\; +\; c\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\})\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\})\; p\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{2\})\; p\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и можно было бы дать аналогичное определение умножению. Однако это не закрытая формула, поскольку новые коэффициенты не входят в разрешенный набор $[0,\; p\; -\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; p-1].\}$

Существует лучшее подмножество коэффициентов $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$, которое дает закрытые формулы, представители Тейхмюллера: ноль вместе с корнями $(p\; -\; 1)\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; (p-1)\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$из единицы. Их можно явно вычислить (с точки зрения представителей исходных коэффициентов $[0,\; p\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; p-1]\}$) как корни $xp\; -\; 1\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{p-1\}\; -1\; =\; 0\}\; от$до Хензел лифтинг, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическая версия метода Ньютона. Например, в $Z\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{5\},\}$для вычисления представителя $2,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2,\}$каждый начинает поиск уникального решения $x\; 4-1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; -1\; =\; 0\}$в $Z\; /\; 25\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 25\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$с $x\; \equiv \; 2\; mod\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; 2\; \{\backslash \; bmod\; \{5\}\}\}$; получается $7.\; \{\backslash \; displaystyle\; 7.\}$Повторите это в $Z\; /\; 125\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 125\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$с условиями $Икс\; 4-1\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{4\}\; -1\; =\; 0\}$и $х\; \equiv \; 7\; mod\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; 7\; \{\backslash \; bmod\; \{2\}\}\; 5\}$дает $57,\; \{\backslash \; displaystyle\; 57,\}$и так далее; результирующий представитель Тейхмюллера - это последовательность $(2,\; 7,\; 57,\dots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (2,7,57,\; \backslash \; ldots).\}$Существование подъема на каждом шаге гарантируется наибольшим общим делителем $(xp\; -\; 1\; -\; 1,\; (p\; -\; 1)\; xp\; -\; 2)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{p-1\}\; -1,\; (p-1)\; x\; ^\; \{p-2\})\; =\; 1\}$в каждом $Z\; /\; pn\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Этот алгоритм показывает, что для каждого $j\; \in \; [0,\; p\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; [0,\; p\; -1]\}$, существует ровно один представитель Тейхмюллера с $a\; 0\; =\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; j\}$, который мы обозначаем $\omega \; (j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (j).\}$Действительно, это определяет символ Тейхмюллера $\omega :\; F\; p\; \ast \; \to \; Z\; p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega:\; \backslash \; mathbb\; \{F\; \}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\}$удовлетворяет $m\; \circ \; \omega \; =\; id\; F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; circ\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\}\}$, если мы обозначим $m:\; Z\; p\; \to \; Z\; p\; /\; p\; Z\; p\; \cong \; F\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; m:\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}.\}$Обратите внимание, что $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$не является аддитивным, поскольку сумма не обязательно должна быть репрезентативной. Несмотря на это, если $\omega \; (k)\; =\; \omega \; (i)\; +\; \omega \; (j)\; mod\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (k)\; =\; \backslash \; omega\; (i)\; +\; \backslash \; omega\; (j)\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\; \}\}$в $Z\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\},\}$, $i\; +\; j\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; +\; j\; =\; k\}$в $F\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}.\}$

Из-за этого взаимно однозначного соответствия, задаваемого $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, каждый $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическое целое число как степенной ряд в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$с коэффициентами, взятыми у представителей Тайхмюллера. Явный алгоритм можно дать следующим образом. Запишем представителя Тейхмюллера как $\omega \; (t\; 0)\; =\; t\; 0\; +\; t\; 1\; p\; 1\; +\; t\; 2\; p\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (t\_\; \{0\})\; =\; t\_\; \{0\}\; +\; t\_\; \{1\}\; p\; ^\; \{1\}\; +\; t\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$Тогда, если один имеет произвольное $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическое целое число в форме $x\; =\; x\; 0\; +\; x\; 1\; p\; 1\; +\; x\; 2\; p\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; x\_\; \{1\}\; p\; ^\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$берется разница $x\; -\; \omega \; (x\; 0)\; =\; Икс\; 1\; \prime \; п\; 1\; +\; Икс\; 2\; \prime \; p\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; x-\; \backslash \; omega\; (x\_\; \{0\})\; =\; x\; \text{'}\_\; \{1\}\; p\; ^\; \{1\}\; +\; x\text{'}\; \_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$, оставляя значение, кратное $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. Следовательно, $x\; -\; \omega \; (x\; 0)\; =\; 0\; mod\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; x-\; \backslash \; omega\; (x\_\; \{0\})\; =\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\}$. Затем процесс повторяется, вычитая $\omega \; (x\; 1\; \text{'})\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (x\text{'}\; \_\; \{1\})\; p\}$и действуйте аналогичным образом. Это дает последовательность сравнений

$x\; \equiv \; \omega \; (x\; 0)\; mod\; px\; \equiv \; \omega \; (x\; 0)\; +\; \omega \; (x\; 1\; \prime )\; p\; mod\; p\; 2\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; x\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; omega\; (\; x\_\; \{0\})\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; omega\; (x\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; omega\; (x\; \text{'}\_\; \{1\})\; p\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \backslash \; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Итак,

$x\; \equiv \; \sum \; j\; =\; 0\; i\; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pj\; mod\; pi\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\})\; p\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}$

и $i\; \prime >я\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \text{'}>i\}$подразумевает:

$\sum \; j\; =\; 0\; i\; \prime \; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pj\; \equiv \; \sum \; j\; =\; 0\; i\; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pj\; mod\; pi\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{i\; \text{'}\}\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\})\; p\; ^\; \{j\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\})\; p\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}$

для

$x\; ¯\; i:\; =\; m\; (x\; -\; \sum \; j\; =\; 0\; i\; -\; 1\; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pjpi).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}:\; =\; m\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{i-1\}\; \backslash \; омега\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\})\; p\; ^\; \{j\}\}\; \{p\; ^\; \{i)\; \}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Следовательно, у нас есть степенной ряд для каждого остатка x по модулю степеней p, но с коэффициентами в представителях Тейхмюллера, а не в $\{0,...,\; p\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0,\; \backslash \; ldots,\; p-1\; \backslash \}\}$. Ясно, что

$\sum \; j\; =\; 0\; \infty \; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pj\; =\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\; \})\; p\; ^\; \{j\}\; =\; x,\}$

, поскольку

$pi\; +\; 1\; \mid \; x\; -\; \sum \; j\; =\; 0\; i\; \omega \; (x\; ¯\; j)\; pj\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; mid\; x\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{j\})\; p\; ^\; \{j\}\}$

для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$как $я\; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; to\; \backslash \; infty,\}$, поэтому разница стремится к 0 по отношению к $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адическая метрика. Результирующие коэффициенты обычно будут отличаться от $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$по модулю $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{i\}\}$, за исключением первого..

Коэффициенты Тейхмюллера имеют дополнительное свойство: $\omega \; (x\; ¯\; i)\; p\; =\; \omega \; (x\; ¯\; i),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{i\})\; ^\; \{p\}\; =\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}),\}$, который отсутствует для чисел в $[0,\; p\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; п\; -1]\}$. Это можно использовать для описания сложения следующим образом. Символ символ времени Тейхмюллера не аддитивен, $c\; 0\; =\; a\; 0\; +\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\}\}$является неверно в $Z\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$. Но это выполняется в $F\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\},\}$, как следует из первого сравнения. В частности,

$c\; 0\; p\; \equiv \; (a\; 0\; +\; b\; 0)\; p\; mod\; p\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\})\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{2\},\}$

и, следовательно,

$c\; 0\; -\; a\; 0\; -\; b\; 0\; \equiv \; (a\; 0\; +\; b\; 0)\; p\; -\; a\; 0\; -\; b\; 0\; \equiv \; (p\; 1)\; a\; 0\; p\; -\; 1\; b\; 0\; +\; \cdots \; +\; (pp\; -\; 1)\; a\; 0\; b\; 0\; p\; -\; 1\; mod\; p\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; c\_\; \{0\}\; -a\_\; \{0\}\; -b\_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{0\; \}\; +\; b\_\; \{0\})\; ^\; \{p\}\; -a\_\; \{0\}\; -b\_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; binom\; \{p\}\; \{1\}\}\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; b\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; binom\; \{p\}\; \{p-1\}\}\; a\_\; \{0\}\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}.\}$

Буква биномиальный коэффициент $(pi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\}\; \{i\}\}\}$делится на $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, это дает

$c\; 1\; \equiv \; a\; 1\; +\; b\; 1\; -\; a\; 0\; p\; -\; 1\; b\; 0\; -\; p\; -\; 1\; 2\; a\; 0\; p\; -\; 2\; b\; 0\; 2\; -\; \cdots \; -\; a\; 0\; b\; 0\; p\; -\; 1\; mod\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\}\; -a\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; b\_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{2\}\}\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{p-2\}\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; cdots\; -a\_\; \{0\}\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}.\}$

Это полностью определяет $с\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$у лифта. Кроме того, сравнение по модулю $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$указывает, что вычисление действительно может быть выполнено в $F\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\},\}$, удовлетворяющие основные цели определения простых аддитивной структуры.

Для $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$ этот шаг уже очень громоздкий. Запишите

$c\; 1\; =\; c\; 1\; p\; \equiv \; (a\; 1\; +\; b\; 1\; -\; a\; 0\; p\; -\; 1\; b\; 0\; -\; p\; -\; 1\; 2\; a\; 0\; p\; -\; 2\; b\; 0\; 2\; -\; \cdots \; -\; a\; 0\; b\; 0\; p\; -\; 1)\; p\; мод\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; =\; c\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\}\; -a\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; b\_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; p-1\}\; \{2\}\}\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{p-2\}\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; cdots\; -a\_\; \{0\}\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{p\; \}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}.\}$

Как и для $c\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\},\}$одиночный $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-й степени недостаточно: нужно взять

$c\; 0\; =\; c\; 0\; p\; 2\; \equiv \; (a\; 0\; +\; b\; 0)\; p\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; =\; c\_\; \{0\}\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\; \}\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\})\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\}.\}$

Однако $(p\; 2\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{\; i\}\}\}$, как правило, не делится на $p\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\},\}$, но делится, когда $i\; =\; pd,\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; pd,\}$, в этом случае $aibp\; 2\; -\; i\; =\; adbp\; -\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{i\}\; b\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\; -i\}\; =\; a\; ^\; \{d\}\; b\; ^\; \{pd\}\}$в сочетании с аналогичными одночленами в $c\; 1\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\}$будет кратно $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$.

На этом шаге становится ясно, что на самом деле вы работаете со сложением вида

$c\; 0\; \equiv \; a\; 0\; +\; b\; 0\; mod\; pc\; 0\; p\; +\; c\; 1\; p\; \equiv \; a\; 0\; p\; +\; a\; 1\; p\; +\; b\; 0\; p\; +\; b\; 1\; p\; mod\; p\; 2\; c\; 0\; p\; 2\; +\; c\; 1\; pp\; +\; c\; 2\; p\; 2\; \equiv \; a\; 0\; p\; 2\; +\; a\; 1\; pp\; +\; a\; 2\; p\; 2\; +\; b\; 0\; p\; 2\; +\; b\; 1\; pp\; +\; b\; 2\; p\; 2\; mod\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; c\_\; \{0\}\; \backslash \; эквивалент\; a\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{0\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; c\_\; \{1\}\; p\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; a\_\; \{\; 1\}\; p\; +\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; b\_\; \{1\}\; p\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{0\}\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; +\; c\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\; p\; +\; c\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; +\; a\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\; p\; +\; a\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; +\; b\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\; p\; +\; b\_\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \}$

Это мотивирует определение векторов Витта.

Зафиксируем простое число стр. Вектор Витта перед коммутативным кольцом R представляет собой последовательность: $(X\; 0,\; X\; 1,\; X\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{0\},\; X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots)\}$элементов R. Определите многочлены Витта $W\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\}\}$by

1. $W\; 0\; знак\; равно\; Икс\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{0\}\; =\; X\_\; \{0\}\}$
2. $W\; 1\; =\; X\; 0\; p\; +\; p\; X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{1\}\; =\; X\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; pX\_\; \{1\}\}$
3. $W\; 2\; знак\; равно\; Икс\; 0\; п\; 2\; +\; п\; Икс\; 1\; п\; +\; п\; 2\; Икс\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{2\}\; =\; X\_\; \{0\}\; ^\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; +\; pX\_\; \{1\}\; ^\; \{p\}\; +\; p\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\}$

и в общем

$W\; n\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; npi\; X\; ipn\; -\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; p\; ^\; \{i\}\; X\_\; \{i\}\; ^\; \{p\; ^\; \{ni\}\}.\}$

$W\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{n\}\}$называются призрачными компонентами вектором Витта $(X\; 0,\; X\; 1,\; X\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{0\},\; X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots)\}$, и обычно обозначаются $X\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{(n)\}.\}$Призрачные компоненты можно рассматривать как альтернативную систему координат для R-модуля последовательностей.

Кольцо векторов Витта определяется покомпонентным сложением и умножением фантомных компонентов. Есть единственный способ превратить набор векторов Витта над любым коммутатором кольцом R в кольце, такое что:

• сумма и произведение задаются полиномами с целыми коэффициентами, не зависящими от R, и

• проекция на призрачный компонент представляет собой кольцевой гомоморфизм из векторов Витта над R в R.

Другими словами,

• $(X\; +\; Y)\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; +\; Y)\; \_\; \{i\}\}$и $(XY)\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; (XY)\; \_\; \{i\}\}$задаются полиномами целыми коэффициентами, не зависящими от R, и

• $X\; (я)\; +\; Y\; (я)\; знак\; равно\; (Х\; +\; Y)\; (я)\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; ^\; \{(я)\}\; +\; Y\; ^\; \{(я)\}\; =\; (X\; +\; Y)\; ^\; \{(я)\}\}$и $X\; (i)\; Y\; (i)\; =\; (XY)\; (i).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{(i)\}\; Y\; ^\; \{(i)\}\; =\; (XY)\; ^\; \{(i)\}.\}$

Первые несколько полиномов, дающие сумму и сумму векторов Витта, могут быть записаны явно. Например,

$(X\; 0,\; X\; 1,\dots )\; +\; (Y\; 0,\; Y\; 1,\dots )\; =\; (X\; 0\; +\; Y\; 0,\; X\; 1\; +\; Y\; 1\; +\; (X\; 0\; p\; +\; Y\; 0\; p\; -\; (X\; 0\; +\; Y\; 0)\; p)\; /\; p,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{0\},\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\; +\; (Y\_\; \{0\},\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\; =\; (X\_\; \{0\}\; +\; Y\_\; \{0\},\; X\_\; \{1\}\; +\; Y\_\; \{1\}\; +\; (X\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; Y\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; -\; (X\_\; \{0\}\; +\; Y\_\; \{0\})\; ^\; \{p\})\; /\; p,\; \backslash \; ldots)\}$

$(X\; 0,\; X\; 1,\dots )\; \times \; (Y\; 0,\; Y\; 1,\dots )\; =\; (X\; 0\; Y\; 0,\; X\; 0\; p\; Y\; 1\; +\; X\; 1\; Y\; 0\; p\; +\; p\; Икс\; 1\; Y\; 1,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{0\},\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\; \backslash \; times\; (Y\_\; \{0\},\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\; =\; (X\_\; \{0\}\; Y\_\; \{0\},\; X\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; Y\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{1\}\; Y\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; pX\_\; \{1\}\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots)\}$

Их следует понимать как ярлыки для актуальных формул. Если, например, кольцо R имеет характеристику p, то деление на p в первой формуле выше, на $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$, которое появится в следующем компоненте и так далее, не имеет смысла. Однако, если p-степень суммы раскрывается, члены $X\; 0\; p\; +\; Y\; 0\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\; +\; Y\_\; \{0\}\; ^\; \{p\}\}$отменяются предыдущими, упрощенная форма на p не остается, и формула остается оставшимся смыслом. То же самое относится и к следующему компоненту.

• Кольцо Витта любого коммутативного кольца R, в котором происходит обратимо, просто изоморфно $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$(произведение счетного числа копий R). Фактически, многочлены Витта всегда дают гомоморфизм кольца векторов Витта в $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$, и если p обратим, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

• Кольцо Витта конечного поля порядка p - это кольцо $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адических целых чисел, записанных в терминах представителей Тейхмюллера, как показано выше.

• Кольцо Витта конечного поля порядка - это неразветвленное расширение степени n кольца $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- целые адические числа.

Многочлены Витта для различных простых чисел являются частными случаями универсальных многочленов Витта, которые могут быть созданы универсальными кольцами Витта (независимо от выбора простых чисел). Определите универсальные полиномы Витта W n для n ≥ 1 как

1. $W\; 1\; =\; X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{1\}\; =\; X\_\; \{1\}\}$
2. $W\; 2\; =\; X\; 1\; 2\; +\; 2\; Икс\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\_\; \{2\}\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2X\_\; \{2\}\}$
3. $W\; 3\; =\; X\; 1\; 3\; +\; 3\; X\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\_\; \{3\}\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{\; 3\}\; +\; 3X\_\; \{3\}\}$
4. $W\; 4\; =\; X\; 1\; 4\; +\; 2\; X\; 2\; 2\; +\; 4\; X\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{4\}\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{4\}\; +\; 2X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; 4X\_\; \{4\}\}$

и в целом

$W\; n\; =\; \sum \; d\; |\; н\; д\; X\; д\; н\; /\; д.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; dX\_\; \{d\}\; ^\; \{n\; /\; d\}.\}$

Опять же, $(W\; 1,\; W\; 2,\; W\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (W\_\; \{1\},\; W\_\; \{2\},\; W\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots)\}$называется вектором фантомных компонентов вектор Витта $(X\; 1,\; Икс\; 2,\; Икс\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots)\}$и обычно обозначается $(X\; (1),\; Икс\; (2),\; Икс\; (3),\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; ^\; \{(1)\},\; X\; ^\; \{(2)\},\; X\; ^\; \{(3)\},\; \backslash \; ldots)\}$.

Мы можем использовать эти многочлены для определения кольца универсальных векторов Витта над любыми коммутативными кольцами R во многом так же, как указано выше (так что универсальные многочлены являются гомоморфизмами кольца R).

Витт также другой подход с использованием генерирующих функций.

Определение

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$вектор бытьом Витта и определить

$f\; X\; (t)\; =\; \prod \; n\; \ge \; 1\; (1\; -\; Икс\; ntn)\; знак\; равно\; \sum \; N\; \ge \; 0\; A\; ntn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; (1-X\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; A\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}$

для $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$пусть $I\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; I\}\}\; \_\; \{n\}\}$обозначает набор подмножеств $\{1,\; 2,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$, элементы которого в сумме составляют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Тогда

$A\; n\; =\; \sum \; I\; \in \; I\; n\; (-\; 1)\; |\; Я\; |\; \prod \; i\; \in \; I\; X\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{I\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{n\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{|\; I\; |\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; \{X\_\; \{i\}\}.\}$

Мы можем получить фантомные компоненты, взяв логарифмическую производную :

$-\; tddt\; log\; \; f\; X\; (t)\; =\; -\; tddt\; \sum \; n\; \ge \; 1\; журнал\; \; (1\; -\; X\; ntn)\; =\; tddt\; N\; \ge \; 1\; \sum \; d\; \ge \; 1\; X\; ndtndd\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; \sum \; d\; \ge \; 1\; n\; X\; ndtnd\; =\; \sum \; m\; \ge \; 1\; \sum \; d\; |\; md\; X\; dm\; /\; dtm\; =\; \sum \; m\; \ge \; 1\; X\; (m)\; tm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; -t\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; log\; f\_\; \{X\}\; (t)\; =\; -\; t\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; log\; (1-X\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\})\; \backslash \backslash \; =\; t\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\; ^\; \{d\}\; t\; ^\; \{nd\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; geq\; 1\}\; nX\_\; \{n\}\; ^\; \{d\}\; t\; ^\; \{nd\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; m\}\; dX\_\; \{d\}\; ^\; \{m\; /\; d\}\; t\; ^\; \{m\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; geq\; 1\}\; X\; ^\; \{(m)\}\; t\; ^\; \{m\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Сумма

Теперь мы можем видеть $f\; Z\; (t)\; =\; f\; X\; (t)\; f\; Y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{Z\}\; (t)\; =\; f\_\; \{X\}\; (t)\; f\_\; \{Y\}\; (t)\}$, если $Z\; =\; X\; +\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; X\; +\; Y\}$. Таким образом,

$C\; n\; =\; \sum \; 0\; \le \; i\; \le \; NA\; n\; B\; n\; -\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{0\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n\}\; A\_\; \{n\}\; B\_\; \{ni\},\; \}$

если $A\; n,\; B\; n,\; C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\},\; B\_\; \{n\},\; C\_\; \{n\}\}$- соответствующие коэффициенты в степенном ряду $е\; Икс\; (т),\; е\; Y\; (т),\; е\; Z\; (т)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{X\}\; (т),\; е\_\; \{Y\}\; (т),\; е\_\; \{Z\}\; (т)\}$. Тогда

$Z\; n\; =\; \sum \; 0\; \le \; i\; \le \; n\; A\; n\; B\; n\; -\; i\; -\; \sum \; I\; \in \; I\; n,\; I\; \ne \; \{n\}\; (-\; 1)\; |\; Я\; |\; \prod \; i\; \in \; I\; Z\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{0\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n\}\; A\_\; \{n\}\; B\_\; \{ni\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{I\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{n\},\; I\; \backslash \; neq\; \backslash \; \{n\; \backslash \}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{|\; I\; |\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; \{Z\_\; \{i\}\}.\}$

Билет $A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\}$- многочлен от $X\; 1,\dots ,\; Икс\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}\}$и аналогично для $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$, мы можем показать по индукции, что $Z\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\}$является многочленом от $X\; 1,\dots ,\; X\; n,\; Y\; 1,\dots ,\; Y\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\},\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; Y\_\; \{n\}.\}$

Продукт

Если мы установим $W\; =\; XY\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; W\; =\; XY\}$, затем

$-\; журнал\; tddt\; \; е\; W\; (т)\; =\; -\; \sum \; м\; \ge \; 1\; X\; (м)\; Y\; (м)\; тм.\; \{\backslash \; displaystyle\; -t\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; log\; f\_\; \{W\}\; (t)\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; geq\; 1\}\; X\; ^\; \{(m)\}\; Y\; ^\; \{(m)\}\; t\; ^\; \{m\}.\}$

Но

$m\; \ge \; 1\; X\; (m)\; Y\; (m)\; tm\; =\; \sum \; m\; \ge \; 1\; \sum \; d\; |\; m\; d\; X\; d\; m\; /\; d\; \sum \; e\; |\; мне\; Y\; em\; /\; etm\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; geq\; 1\}\; X\; ^\; \{(m)\}\; Y\; ^\; \{(m)\}\; t\; ^\; \{m\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; d\; |\; m\}\; dX\_\; \{d\}\; ^\; \{m\; /\; d\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{e\; |\; m\}\; eY\_\; \{e\}\; ^\; \{m\; /\; e\}\; t\; ^\; \{m\}\}$.

Теперь 3-кортежи $m,\; d,\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \{m,\; d,\; e\}\}$с $m\; \in \; Z\; +,\; d\; |\; м,\; э\; |\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\},\; d\; |\; м,\; э\; |\; m\}$находятся в биекции с кортежами из трех элементов $d,\; e,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d,\; e,\; n\}\}$с $d,\; e,\; n\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; d,\; e,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$через $n\; =\; m\; /\; [d,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; m\; /\; [\; d,\; e]\}$($[d,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; [d,\; e]\}$является наименьшим наименьшим общим кратным ), наш ряд становится

$\sum \; d,\; e\; \ge \; 1\; de\; \sum \; n\; \ge \; 1\; (X\; d\; [d,\; e]\; d\; Y\; e\; [d,\; e]\; et\; [d,\; е])\; N\; знак\; равно\; -\; tddt\; журнал\; \; \prod \; d,\; е\; \ge \; 1\; (1\; -\; Икс\; d\; [d,\; e]\; d\; Y\; e\; [d,\; e]\; et\; [d,\; e])\; де\; [d,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{d,\; e\; \backslash \; geq\; 1\}\; de\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (X\_\; \{d\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{[d,\; e]\}\; \{d\}\}\; Y\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{[d,\; e]\}\; \{e\}\}\; t\; ^\; \{[d,\; e]\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; -\; t\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; log\; \backslash \; prod\; \_\; \{d,\; e\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (1-X\_\; \{d\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{[d,\; e]\; \}\; \{d\}\}\; Y\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{[d,\; e]\}\; \{e\}\}\; t\; ^\; \{[d,\; e]\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{de\}\; \{[d,\; e]\}\; \}\}$

Итак,

$f\; W\; (t)\; =\; \prod \; d,\; e\; \ge \; 1\; (1\; -\; X\; d\; [d,\; e]\; d\; Y\; e\; [d,\; e]\; et\; [d,\; e])\; de\; [d\; е]\; знак\; равно\; \sum \; N\; \ge \; 0\; D\; ntn,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{W\}\; (t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\; d,\; e\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (1-X\_\; \{d\}\; ^\; \{\backslash \; fra\; c\; \{[d,\; e]\}\; \{d\}\}\; Y\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{[d,\; e]\}\; \{e\}\; \}\; t\; ^\; \{[d,\; e]\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{de\}\; \{[d,\; e]\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; D\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\},\}$

где $D\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\}$являются полиномами от $X\; 1,\dots ,\; X\; n,\; Y\; 1,\dots ,\; Y\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\},\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; Y\_\; \{n\}.\}$Итак, аналогично предположим, что

$f\; W\; (t)\; Знак\; равно\; \prod \; N\; \ge \; 1\; (1\; -\; W\; ntn),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{W\}\; (t)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; (1-W\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}),\}$

тогда $W\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{n\}\}$может быть решено как многочлены от $X\; 1,\dots ,\; X\; n,\; Y\; 1,\dots ,\; Y\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\},\; Y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; Y\_\; \{n\}.\}$

Карта, переводящая коммутативное кольцо R в кольцо векторов Витта над R (для фиксированного простого числа p) является функтором от коммутативных колец к коммутативным кольцам, а также представимо, поэтому его можно рассматривать как кольцевую схему , называемая схемой Витта, поверх $Spec\; \; (Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}).\}$Схема Витта может быть канонически отождествлена ​​со спектром кольца симметричных функций.

Аналогично, кольца усеченные векторы Витта, а кольца универсальных векторов Витта соответствуют кольцевым схемам, называемым усеченными схемами Витта и универсальной схемой Витта .

. {\ displaystyle R}в набор $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{n\}\}$представлен аффинным пространством $AZ\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; ^\; \{n\}\}$, и кольцевая структура на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{n\}\}$превращает $AZ\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; ^\; \{n\}\}$в кольцевую схему, обозначенную $O\; \_\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}\; ^\; \{n\}\}$. Из построения усеченных векторов Витта следует, что связанная с ними схема кольца $W\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{W\}\; \_\; \{n\}\}$является схемой $AZ\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; ^\; \{n\}\}$с уникальной кольцевой структурой, такой что морфизм $W\; n\; \to \; O\; \_\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{W\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}\; ^\; \{n\}\}$, заданный полиномами Витта, является морфизмом кольцевых схем.

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа является изоморфен произведению копий аддитивной группы $G\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{a\}\}$. Аналог этого для полей характеристики p неверен: усеченные схемы Витта являются контрпримерами. (Мы превращаем их в алгебраические группы, забывая об умножении и просто используя аддитивную структуру.) Однако, по сути, это единственные контрпримеры: над алгебраически замкнутым полем характеристики p любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа является изогенной продукту схем усеченной группы Витта.

• p-вывод
• Формальная группа
• Экспонента Артина – Хассе
• Кольцо для ожерелья

• Долгачев, Игорь В. (2001) [ 1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Векторы Витта. I.", Справочник по алгебре. Vol. 6, Амстердам: Эльзевир / Северная Голландия, стр. 319–472, arXiv : 0804.3888, doi : 10.1016 / S1570-7954 (08) 00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, MR 2553661
• Мамфорд, Дэвид (1966-08-21), Лекции по Кривые на алгебраической поверхности, Annals of Mathematics Studies, 59, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993 -6
• Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237, раздел II.6
• Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля класса, Graduate Texts in Mathematics, 117, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1 -4612-1035-1, ISBN 978-0-387-96648-9, MR 0918564
• Витт, Эрнст (1936), " Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1937 (176): 126–140, doi : 10.1515 / crll.1937.176.126
• Гринберг, Марвин Дж. (1969). Лекции о формах во многих переменных. Нью-Йорк и Амстердам: Бенджамин. ASIN B0006BX17M. MR 0241358.