Войти
В математике, поле F является алгебраически замкнутым, если каждый непостоянный многочлен в F [x] (одномерное кольцо многочленов с коэффициентами в F) имеет корень в F.
В качестве примера, поле вещественные числа не алгебраически закрыто, потому что полиномиальное уравнение x + 1 = 0 не имеет решения в действительных числах, даже если все его коэффициенты (1 и 0) действительны. Тот же аргумент доказывает, что никакое подполе вещественного поля не является алгебраически замкнутым; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. Кроме того, никакое конечное поле F не является алгебраически замкнутым, потому что если 1, a 2,..., a n являются элементов F, то многочлен (x - a 1) (x - a 2) ··· (x - a n) + 1 не имеет ноль в F. Напротив, основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другой пример алгебраически замкнутого поля - это поле (комплексных) алгебраических чисел.
Для поля F утверждение «F является алгебраически замкнутым» эквивалентно другим утверждениям:
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственные неприводимые полиномы входят в кольцо полиномов F [x] имеют первую степень.
Утверждение «полиномы первой степени неприводимы» тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнуто и p (x) является неприводимым многочленом от F [x], то он имеет некоторый корень a и, следовательно, p (x) делится на x - a. Поскольку p (x) неприводимо, это означает, что p (x) = k (x - a) для некоторого k ∈ F \ {0}. С другой стороны, если F не является алгебраически замкнутым, то существует некоторый непостоянный многочлен p (x) в F [x] без корней в F. Пусть q (x) - некоторый неприводимый множитель p (x). Поскольку p (x) не имеет корней в F, q (x) также не имеет корней в F. Следовательно, q (x) имеет степень больше единицы, поскольку каждый многочлен первой степени имеет один корень из F.
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен p (x) степени n ≥ 1 с коэффициентами в F, разбивается на линейные множители. Другими словами, существуют элементы k, x 1, x 2,..., x n поля F такие, что p (x) = k (x - x 1) (x - x 2) ··· (x - x n).
Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый непостоянный многочлен из F [x] имеет некоторый корень из F; другими словами, F алгебраически замкнута. С другой стороны, указанное здесь свойство выполняется для F, если F алгебраически замкнуто, следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K любой многочлен из K [x] может быть записан как произведение неприводимых многочленов.
Если каждый многочлен простой степени над F имеет корень из F, то каждый непостоянный многочлен имеет корень из F. Отсюда следует, что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F.
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет нет собственного алгебраического расширения.
Если F не имеет собственного алгебраического расширения, пусть p (x) - некоторый неприводимый многочлен из F [x]. Тогда частное F [x] по модулю идеала, порожденного p (x), является алгебраическим расширением F, степень которого равна степени p (Икс). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1 и, следовательно, степень p (x) равна 1.
С другой стороны, если F имеет собственное алгебраическое расширение K, то минимальное многочлен элемента в K \ F неприводим и его степень больше 1.
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет надлежащего конечного расширения, потому что если в предыдущем доказательстве термин «алгебраическое расширение» заменить термином «конечное расширение», то доказательство все еще остается в силе. (Обратите внимание, что конечные расширения обязательно являются алгебраическими.)
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа n каждое линейное отображение из F в себя имеет некоторый собственный вектор.
эндоморфизм F имеет собственный вектор тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет некоторый корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнут, каждый эндоморфизм F имеет некоторый собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм F имеет собственный вектор, пусть p (x) является элементом F [x]. Разделив его на старший коэффициент, мы получим еще один многочлен q (x), который имеет корни тогда и только тогда, когда p (x) имеет корни. Но если q (x) = x + a n - 1 x + ··· + a 0, то q (x) является характеристическим многочленом n × n сопутствующая матрица
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждая рациональная функция от одной переменной x с коэффициентами из F может быть записана как сумма полиномиальной функции с рациональными функциями вида a / (x - b), где n - натуральное число, и a и b являются элементами F.
Если F алгебраически замкнуто, то, поскольку все неприводимые многочлены в F [x] имеют степень 1, указанное выше свойство выполняется по теореме о частичном дробное разложение.
С другой стороны, предположим, что указанное выше свойство выполняется для поля F. Пусть p (x) - неприводимый элемент в F [x]. Тогда рациональная функция 1 / p может быть записана как сумма полиномиальной функции q с рациональными функциями вида a / (x - b). Следовательно, рациональное выражение
можно записать как частное двух многочленов, знаменатель которых является произведением первой степени полиномы. Поскольку p (x) неприводимо, он должен делить это произведение и, следовательно, также должен быть многочленом первой степени.
Для любого поля F, если два многочлена p (x), q (x) ∈ F [x] взаимно просты, то они не имеют общего корня, так как если бы a ∈ F был общим корнем, то p (x) и q (x) были бы кратны x - a, и, следовательно, они не были бы взаимно простыми. Поля, для которых имеет место обратная импликация (то есть такие поля, что всякий раз, когда два многочлена не имеют общего корня, они взаимно просты), в точности являются алгебраически замкнутыми полями.
Если поле F является алгебраически замкнутым, пусть p (x) и q (x) - два полинома, которые не являются взаимно простыми, и пусть r (x) - их наибольший общий делитель. Тогда, поскольку r (x) непостоянно, у него будет некоторый корень a, который будет общим корнем p (x) и q (x).
Если F не является алгебраически замкнутым, пусть p (x) - многочлен, степень которого не меньше 1 без корней. Тогда p (x) и p (x) не являются взаимно простыми, но у них нет общих корней (поскольку ни один из них не имеет корней).
Если F - алгебраически замкнутое поле и n - натуральное число, то F содержит все корни n-й степени из единицы, потому что они (по определению) являются n (не обязательно разными) нулей многочлена x - 1. Расширение поля, которое содержится в расширении, порожденном корнями из единицы, является циклотомическим расширением, а расширение поля, порожденного всеми корнями из единицы, иногда называют его циклотомическим замыканием. Таким образом, алгебраически замкнутые поля циклотомически замкнуты. Обратное неверно. Даже если предположить, что каждый многочлен формы x - a разбивается на линейные множители, недостаточно, чтобы гарантировать, что поле алгебраически замкнуто.
Если утверждение, которое может быть выражено на языке логики первого порядка, верно для алгебраически замкнутого поля, то оно верно для любого алгебраически замкнутого поля с тем же характеристика. Кроме того, если такое предложение верно для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно не только верно для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N такое, что предложение справедливо для любого алгебраически замкнутого поля. поле с характеристикой p при p>N.
Каждое поле F имеет некоторое расширение, которое алгебраически замкнуто. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением . Среди всех таких расширений есть одно и только одно (с точностью до изоморфизма, но не уникальный изоморфизм ), которое является алгебраическим расширением F; это называется алгебраическим замыканием поля F.
Теория алгебраически замкнутых полей имеет исключение кванторов.
