Характеристика (алгебра)

В поле кольца - наименьшее положительное целое число, если таковое имеется, такое, что сумма n единиц равна 0; ноль в противном случае

В Викибуке Дискретная математика есть страница по теме: Конечные поля

В математике характеристика кольца R, часто обозначаемого как char (R), определяется как наименьшее количество раз, которое необходимо использовать мультипликативное тождество кольца (1) в сумме, чтобы получить аддитивный идентификатор (0). Если эта сумма никогда не достигает аддитивной идентичности, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть char (R) - это наименьшее положительное число n такое, что

$1\; +\; \cdots \; +\; 1\; ⏟\; n\; слагаемых\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{1+\; \backslash \; cdots\; +1\}\; \_\; \{n\; \{\backslash \; text\; \{summands\}\}\}\; =\; 0\}$

, если такое число n существует, и 0 в противном случае.

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, приведенными в § Другие эквивалентные характеристики, где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристика также может быть принята как показатель аддитивной группы кольца, то есть наименьшее положительное n такое, что

$a\; +\; \cdots \; +\; a\; ⏟\; n\; слагаемых\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{a\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\}\; \_\; \{n\; \{\backslash \; text\; \{summands\}\}\}\; =\; 0\}$

для каждого элемента a кольца (опять же, если n существует; в противном случае - ноль). Некоторые авторы не включают элемент мультипликативной идентичности в свои требования к кольцу (см. Мультипликативная идентичность: обязательный или дополнительный ), и это определение подходит для этого соглашения; в противном случае два определения эквивалентны из-за закона распределения в кольцах.

• 1 Другие эквивалентные характеристики
• 2 Случай колец
• 3 Случай полей
• 4 Ссылки

• Характеристикой является натуральное число n такое, что n Z является ядром уникального кольцевого гомоморфизма от Z до R;
• характеристика - это натуральное число n, такое, что R содержит подкольцо , изоморфное кольцу факторов Z/nZ, которое является изображением указанного выше гомоморфизма.
• Когда неотрицательные целые числа {0, 1, 2, 3,...} частично упорядочены по делимости, то 1 является наименьшим, а 0 - наибольшим. Тогда характеристика кольца - это наименьшее значение n, для которого n ⋅ 1 = 0. Если ничего «меньше» (в этом порядке), чем 0, будет достаточно, тогда характеристика равна 0. Это подходящее частичное упорядочение из-за такого факт, что char (A × B) является наименьшим общим кратным для char A и char B, и что гомоморфизм колец f: A → B не существует, если char B не делит char A.
• Характеристика кольца R равна n в точности, если из утверждения ka = 0 для всех a ∈ R следует, что k делится на n.

Если R и S - кольца и существует a гомоморфизм колец R → S, то характеристика S делит характеристику R. Иногда это можно использовать для исключения возможности некоторых гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 - это тривиальное кольцо, которое имеет только один элемент 0 = 1. Если нетривиальное кольцо R не имеет нетривиальных делителей нуля, то его характеристика равна либо 0, либо простое число. В частности, это применимо ко всем полям, ко всем областям целостности и ко всем делительным кольцам. Любое кольцо характеристики 0 бесконечно.

Кольцо Z/nZцелых чисел по модулю n имеет характеристику n. Если R является подкольцом S, тогда R и S имеют одинаковые характеристики. Например, если q (X) является неприводимым многочленом с коэффициентами в поле Z/pZ, где p простое число, то фактор-кольцо (Z/pZ) [X] / (q (X)) - поле характеристики p. Поскольку комплексные числа содержат целые числа, их характеристика равна 0.

A Z/nZ-алгебра эквивалентно кольцу, характеристика которого делит n. Это потому, что для каждого кольца R существует кольцевой гомоморфизм Z → R, и это отображение факторизуется через Z/nZтогда и только тогда, когда характеристика кольца R делит n. В этом случае для любого r в кольце добавление r к самому себе n раз дает nr = 0.

Если коммутативное кольцо R имеет простую характеристику p, то мы имеем (x + y) = x + y для всех элементов x и y в R - «мечта первокурсника » выполняется для мощности p.

Отображение

f (x) = x

затем определяет кольцевой гомоморфизм

R → R.

Это называется гомоморфизмом Фробениуса. Если R является областью целостности, это инъективный.

Как упоминалось выше, характеристика любого поля - либо 0, либо простое число. Поле с ненулевой характеристикой называется полем конечной характеристики или положительной характеристики или простой характеристики .

. Для любого поля F существует минимальное подполе , а именно простое поле, наименьшее подполе, содержащее 1 F. Оно изоморфно либо полю рациональных чисел Q, либо конечному полю простого порядка Fp; структура первичного поля и характеристика определяют друг друга. Поля нулевой характеристики обладают наиболее известными свойствами; для практических целей они напоминают подполя комплексных чисел (если только они не имеют очень большую мощность, т.е. фактически любое поле с нулевой характеристикой и мощностью не более континуум (кольцо-) изоморфно подполю комплексных чисел). p-адические поля или любое их конечное расширение являются характеристическими нулевыми полями, широко применяемыми в теории чисел, которые построены из колец характеристики p при k → ∞.

Для любого упорядоченного поля, например поля рациональных чисел Qили поля действительных чисел R, характеристика равна 0. Таким образом, числовые поля и поле комплексных чисел C имеют нулевую характеристику. Фактически, каждое поле с нулевой характеристикой является полем частных кольца Q [X] / P, где X - набор переменных, а P - набор многочленов в Q [X]. Конечное поле GF (p) имеет характеристику p. Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над Z/pZ, алгебраическое замыкание из Z/pZили поле формального ряда Лорана Z/pZ((T)). Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен 1, если характеристика равна нулю; в противном случае оно имеет то же значение, что и характеристика.

Размер любого конечного кольца простой характеристики p является степенью p. Так как в этом случае он должен содержать Z/pZ, он также должен быть векторным пространством над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются мощность размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. (Это векторное пространство над конечным полем, размер которого, как мы показали, равен p, поэтому его размер равен (p) = p.)

• Neal H. McCoy (1964, 1973)) Теория колец, Chelsea Publishing, стр. 4.