Конечное кольцо

В математике, более конкретно абстрактной алгебре, конечное кольцо представляет собой кольцо с конечным числом элементов. Каждое конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевой конечной группы, но концепция конечные кольца сами по себе имеют более недавнюю историю.

Хотя кольца имеют большую структуру, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп была одним из главных достижений математики 20-го века, ее доказательство охватило тысячи журнальных страниц. С другой стороны, с 1907 года известно, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу $M\; n\; (F\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\})\}$матриц размером n на n над конечным полем порядка q (как следствие теорем Веддерберна, описанных ниже).

Количество колец с m элементами, для натурального числа, указано в разделе OEIS : A027623 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей.

• 1 Конечное поле
• 2 Теоремы Веддерберна
• 3 Перечисление
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Теория конечных полей, пожалуй, самый важный аспект теории конечных колец из-за ее тесной связи с алгебраической геометрией, теорией Галуа и теория чисел. Важным, но довольно старым аспектом теории является классификация конечных полей (Jacobson 1985, p. 287) harv error: no target: CITEREFJacobson1985 (help ):

• Порядок или количество элементов конечного поля равно p, где p - простое число, называемое характеристикой поля, а n - положительное целое число.
• Для каждого простого числа p и положительного целого n существует конечное поле с p элементами.
• Любые два конечных поля с одинаковым порядком изоморфны.

Несмотря на классификацию, конечные поля все еще остаются активная область исследований, включая недавние результаты по гипотезе Какея и открытые проблемы, касающиеся размера наименьших первообразных корней (в теории чисел).

Конечное поле F может использоваться для построения векторного пространства n-мерного размера над F. Кольцо матриц A матриц размера n × n с элементами из F используется в геометрии Галуа, где проективная линейная группа служит мультипликативной группой А.

теорема утверждает, что любое конечное тело обязательно коммутативно:

Если каждый ненулевой элемент r конечного кольца R имеет мультипликативный обратный, то R коммутативен (и, следовательно, конечный field ).

Натан Джейкобсон позже обнаружил еще одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента r кольца R существует целое число n>1 такое, что r = r, то R коммутативен. Более общие условия, которые также известны гарантии коммутативности кольца.

Еще одна теорема Веддерберна, как следствие, демонстрирует, что теория конечных простых колец относительно проста. d в природе. В частности, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу $M\; n\; (F\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\})\}$из n на n матрицы над конечным полем порядка q. Это следует из двух теорем Джозефа Веддерберна, установленных в 1905 и 1907 годах (одна из которых является маленькой теоремой Веддерберна).

(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемую звонками.) В 1964 году Дэвид Сингмастер предложил следующую задачу в American Mathematical Monthly : «(1) Каков порядок наименьшего нетривиального кольца с единицей, не являющейся полем? Найдите два таких кольца с этим минимальным порядком. Есть еще? (2) Сколько колец четвертого порядка? " Можно найти решение Д. Блум в двухстраничном доказательстве того, что существует одиннадцать колец четвертого порядка, четыре из которых имеют мультипликативную идентичность. Действительно, четырехэлементные кольца привносят сложность в предмет. Есть три кольца над циклической группой C4и восемь колец над четырехгруппой Клейна. В лекциях Грегори Дрездена есть интересное отображение дискриминационных инструментов (нильпотенты, делители нуля, идемпотенты, а также левые и правые тождества).

Возникновение некоммутативности в конечных кольцах было описано в (Eldrige 1968) harv error: no target: CITEREFEldrige1968 (help ) в двух теоремах: Если порядок m конечного кольца с 1 имеет бескубную факторизацию, то он коммутативен. И если некоммутативное конечное кольцо с 1 имеет порядок куба простого числа, то кольцо изоморфно верхнетреугольному кольцу матриц 2 × 2 над полем Галуа простого числа. Изучение колец порядка куба простого числа получило дальнейшее развитие в (Raghavendran 1969) и (Gilmer Mott 1973). Затем Флор и Вессенбауэр (1975) усовершенствовали случай куба простого числа. Окончательная работа по классам изоморфизма пришла с (Antipkin Elizarov 1982), доказывающим, что для p>2 количество классов равно 3p + 50.

В теме конечных колец, таких как Роберт Балльё и Скорца.

Это некоторые из известных фактов о количестве конечных колец (не обязательно с единицей) данного порядка (предположим, что p и q представляют различные простые числа чисел):

• Есть два конечных кольца порядка p.
• Есть четыре конечных кольца порядка pq.
• Есть одиннадцать конечных колец порядка p.
• Имеется двадцать два конечных кольца порядка pq.
• Есть пятьдесят два конечных кольца порядка восьмого.
• Существует 3p + 50 конечных колец порядка p, p>2.

Количество колец с n элементами: (с a (0) = 1)

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2,>18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22,... (последовательность A027623 в OEIS )

• Проективная линия над кольцом § Над конечными кольцами

• Классификация конечных коммутативных колец