Войти
Плоскость Фано, проективная плоскость над полем с двумя элементами, один из простейших объектов в геометрии Галуа. Геометрия Галуа (названная так в честь французского математика 19 века Эвариста Галуа ) - это ветвь конечной геометрии, т.е. касается алгебраической и аналитической геометрии над конечным полем (или полем Галуа). Более узко, геометрия Галуа может быть определена как проективное пространство над конечным полем.
Объекты исследования включают аффинное и проективные пространства над конечными полями и различные структуры. которые в них содержатся. В частности, дуги, овалы, гиперовалы, униталы, блокирующие наборы, овалы, шапки, развороты и все конечные аналоги структур, встречающихся в нефинитных геометриях. Векторные пространства, определенные над конечными полями, играют важную роль, особенно в методах построения.
Хотя иногда используются общие обозначения проективной геометрии, они чаще для обозначения проективных пространств над конечными полями используется PG (n, q), где n - «геометрическое» измерение (см. ниже), а q - порядок конечного поля (или поля Галуа) GF (q), которое должно быть целым числом, которое является степенью простого или простого числа.
Геометрический размер в приведенных выше обозначениях относится к системе, в которой линии являются одномерными, плоскости - двухмерными, точки - нулевыми и т. Д. Модификатор, иногда термин проективный вместо геометрического используется, необходимо, поскольку эта концепция размерности отличается от концепции, используемой для векторных пространств (то есть количества элементов в базисе). Обычно наличие двух разных концепций с одним и тем же именем не вызывает особых затруднений в разных областях из-за контекста, но в этом предмете как векторные пространства, так и проективные пространства играют важную роль, и весьма вероятно возникновение путаницы. Концепция векторного пространства иногда упоминается как алгебраическая размерность.
Пусть V = V (n + 1, q) обозначает векторное пространство (алгебраической) размерности n + 1 определенная над конечным полем GF (q). Проективное пространство PG (n, q) состоит из всех положительных (алгебраических) размерных векторных подпространств в V. Другой способ просмотра конструкции состоит в том, чтобы определить точки PG (n, q) как классы эквивалентности ненулевых векторов V в соответствии с отношением эквивалентности, в соответствии с которым два вектора эквивалентны, если один является скалярным кратным другого. Затем из точек строятся подпространства с использованием определения линейной независимости наборов точек.
Векторное подпространство алгебраической размерности d + 1 в V является (проективным) подпространством PG (n, q) геометрической размерности d. Проективным подпространствам даны общие геометрические имена; точки, линии, плоскости и твердые тела - это 0,1,2 и 3-мерные подпространства соответственно. Все пространство является n-мерным подпространством, а (n - 1) -мерное подпространство называется гиперплоскостью (или простым).
Количество векторных подпространств алгебраической размерности d в векторном пространстве V (n, q) задается биномиальным коэффициентом Гаусса,
![{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ d \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) \ cdots (q ^ {n} -q ^ {d- 1})} {(q ^ {d} -1) (q ^ {d} -q) \ cdots (q ^ {d} -q ^ {d-1})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad40c07409387b38aad64e11b5ea7cb4d852436)
Следовательно, количество k-мерных проективных подпространств в PG (n, q) определяется как
![{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k +1 \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n + 1} -1) (q ^ {n + 1} -q) \ cdots (q ^ {n + 1} -q ^ {k})} {(q ^ {k + 1} -1) (q ^ {k + 1} -q) \ cdots (q ^ {k + 1} -q ^ {k}) }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df9bcb577341ff84e410d8f0f439a4b2602a52e)
Таким образом, например, количество строк (k = 1) в PG (3,2) равно
![{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 4 \\ 2 \ end {matrix} } \ right] _ {2} = {\ frac {(2 ^ {4} -1) (2 ^ {4} -2)} {(2 ^ {2} -1) (2 ^ {2} -2)}} = {\ frac {(15) (14)} {(3) (2)}} = 35.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11360f91d8d69a939485f90410bd7af558cf85bd)
Отсюда следует, что общее количество точек (k = 0) для P = PG (n, q) равно
![{\ displaystyle \ left [{ \ begin {matrix} n + 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n + 1} -1)} {(q-1)}} = q ^ {n} + q ^ {n-1} + \ cdots + q + 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bf67ee929a0c9ebc71890be1d1af761e83876e)
Это также равно количеству гиперплоскостей P.
. Число линий, проходящих через точку P, можно вычислить как 
Пусть U и W - подпространства геометрии Галуа P = PG (n, q). Пересечение U ∩ W является подпространством в P, но теоретико-множественное объединение может не быть. Соединение этих подпространств, обозначенное
С учетом фиксированный базис, каждый вектор в V однозначно представлен (n + 1) -набором элементов GF (q). Проективная точка - это класс эквивалентности векторов, поэтому существует множество различных координат (векторов), которые соответствуют одной и той же точке. Однако все они связаны друг с другом, поскольку каждый является ненулевым скалярным кратным другим. Это дает начало концепции однородных координат, используемых для представления точек проективного пространства.
Джино Фано был одним из первых авторов в области геометрии Галуа. В своей статье 1892 года о доказательстве независимости своего набора аксиом для проективного n-пространства, среди прочего, он считал последствия наличия точки четвертой гармоники. равен его сопряженному. Это приводит к конфигурации из семи точек и семи линий, содержащихся в конечном трехмерном пространстве с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями, в котором каждая линия содержит только три точки. Все плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи линий и теперь известны как плоскости Фано. Далее Фано описал геометрии Галуа произвольной размерности и простых порядков.
Джордж Конвелл впервые применил геометрию Галуа в 1910 году, когда охарактеризовал решение задачи Киркмана о школьнице как разбиение наборов наклонных линий в PG (3,2), трехмерная проективная геометрия над полем Галуа GF (2). Подобно методам линейной геометрии в пространстве над полем характеристики 0, Конвелл использовал координаты Плюккера в PG (5,2) и идентифицировал точки, представляющие линии в PG (3,2) как на квадрике Клейна.
. В 1955 г. Бениамино Сегре охарактеризовал овалы для нечетного q. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечетного порядка (то есть проективной плоскости, определенной над конечным полем нечетной характеристики ) каждый овал является коникой. Этому результату часто приписывают установление геометрии Галуа как важной области исследований. На Международном математическом конгрессе 1958 года Сегре представил обзор результатов по геометрии Галуа, известных к тому времени.
