Проективная линейная группа

Связь между проективной специальной линейной группой PSL и проективной общей линейной группой PGL; каждая строка и столбец являются короткой точной последовательностью.

В математике, особенно в теоретико-групповой области алгебры, проективный линейная группа (также известная как проективная общая линейная группа или PGL) - это индуцированное действие общей линейной группы вектора пространство V на ассоциированном проективном пространстве P (V). Явно проективная линейная группа - это фактор-группа

PGL (V) = GL (V) / Z (V)

, где GL (V) - общая линейная группа V и Z (V) - подгруппа всех ненулевых скалярных преобразований V; они выделены частями, потому что они действуют тривиально на проективное пространство и образуют ядро ​​ действия, а обозначение «Z» отражает, что скалярные преобразования образуют центр полной линейной группы.

Проективная специальная линейная группа, PSL, определяется аналогично, как индуцированное действие специальной линейной группы на ассоциированном проективном пространстве. Явно:

PSL (V) = SL (V) / SZ (V)

, где SL (V) - специальная линейная группа над V, а SZ (V) - подгруппа скалярных преобразований с единицей определитель. Здесь SZ является центром SL и естественно отождествляется с группой n-х корней из единицы в F (где n - размер V, а F - основание поле ).

PGL и PSL являются одними из фундаментальных групп изучения, частью так называемых классических групп, а элемент PGL называется проективным линейным преобразованием, проективное преобразование или гомография. Если V - это n-мерное векторное пространство над полем F, а именно V = F, также используются альтернативные обозначения PGL (n, F) и PSL (n, F).

Обратите внимание, что PGL (n, F) и PSL (n, F) изоморфны тогда и только тогда, когда каждый элемент F имеет корень n-й степени в F. В качестве примера обратите внимание, что PGL (2, C ) = PSL (2, C ), но этот PGL (2, R )>PSL (2, R ); это соответствует ориентируемой реальной проективной прямой, а проективная специальная линейная группа является только сохраняющими ориентацию преобразованиями.

PGL и PSL также могут быть определены в кольце, важным примером является модульная группа, PSL (2, Z ).

• 1 Имя
  • 1.1 Коллинеации
• 2 элемента
• 3 Свойства
  • 3.1 Дробные линейные преобразования
• 4 Конечные поля
  • 4.1 История
  • 4.2 Порядок
  • 4.3 Исключительные изоморфизмы
    • 4.3.1 Действие на проективной прямой
    • 4.3.2 Действие на p точках
  • 4.4 Группы Матье
  • 4.5 Поверхности Гурвица
  • 4.6 Модульная группа
• 5 Топология
  • 5.1 Охватывающие группы
• 6 Теория представлений
• 7 Низкие измерения
• 8 Примеры
• 9 Подгруппы
• 10 Большие группы
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки

Название происходит от проективной геометрии, где проективная группа, действующая на однородные координаты (x0:x1:...: x n), является основной группа геометрии. Другими словами, естественное действие группы GL (V) на V спускается до действия группы PGL (V) на проективном пространстве P (V).

Таким образом, проективные линейные группы обобщают случай PGL (2, C ) преобразований Мёбиуса (иногда называемых группой Мёбиуса ), которые действует на проективной прямой .

. Обратите внимание, что в отличие от общей линейной группы, которая обычно аксиоматически определяется как «обратимые функции, сохраняющие линейную структуру (векторное пространство)», проективная линейная группа определяется конструктивно как частное от общая линейная группа ассоциированного векторного пространства, а не аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие проективную линейную структуру». Это отражено в обозначениях: PGL (n, F) - это группа, связанная с GL (n, F), и проективная линейная группа (n - 1) -мерного проективного пространства, а не n-мерного проективного пространства.

Коллинеации

Связанная группа - это группа коллинеаций, которая определяется аксиоматически. Коллинеация - это обратимая (или, в более общем смысле, взаимно однозначная) карта, которая отправляет коллинеарные точки в коллинеарные точки. Можно определить проективное пространство аксиоматически в терминах структуры инцидентности (набора точек P, линий L и отношения инцидентности I, определяющего, какие точки лежат на каких прямых), удовлетворяющих определенным аксиомам - автоморфизм проективного пространства, определенный таким образом, является автоморфизмом f множества точек и автоморфизмом g множества прямых, сохраняющим отношение инцидентности, которое в точности является коллинеацией пространства к сам. Проективные линейные преобразования - это коллинеации (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в соответствующем проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования преобразуют линии отображения в линии), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями - PGL в общем случае является собственной подгруппой группы коллинеаций.

В частности, для n = 2 (проективная линия) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеаров - это в точности симметрическая группа точек проективной прямой, за исключением F2и F3(где PGL - полная симметрическая группа), PGL - собственная подгруппа полной симметрической группы в этих точках.

Для n ≥ 3 группа коллинеаций - это проективная полулинейная группа, PΓL - это PGL, скрученная полевыми автоморфизмами ; формально PΓL ≅ PGL ⋊ Gal (K / k), где k - простое поле для K; это основная теорема проективной геометрии. Таким образом, для K - простого поля (Fpили Q ), мы имеем PGL = PΓL, но для K - поле с нетривиальными автоморфизмами Галуа (например, $F\; pn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{p\; ^\; \{n\}\}\}$для n ≥ 2 или C ) проективная линейная группа является собственной подгруппой группы коллинеаций, которую можно представить как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, фактор-группа PΓL / PGL = Gal (K / k) соответствует «выбору линейной структуры», где тождество (базовая точка) является существующей линейной структурой.

Можно также определить группы коллинеаций для аксиоматически определенных проективных пространств, где нет естественного понятия проективного линейного преобразования. Однако, за исключением недезарговых плоскостей, все проективные пространства являются проективизацией линейного пространства над телом, хотя, как отмечалось выше, существует несколько вариантов линейного структура, а именно торсор над Gal (K / k) (при n ≥ 3).

Элементы проективной линейной группы можно понимать как «наклон плоскости» вдоль одной из осей, а затем проецирование на исходную плоскость, а также размер n.

Вращение вокруг оси z вращает проективную плоскость, в то время как проекция вращения вокруг линий, параллельных осям x или y, приводит к проективному вращению плоскости.

Более знакомый геометрический способ понять проективные преобразования - использовать проективные вращения (элементы PSO (n + 1)), что соответствует стереографической проекции вращений единичной гиперсферы, и имеет размерность $1\; +\; 2\; +\; \cdots \; +\; п\; =\; (п\; +\; 1\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{1\; +\; 2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\}.\}$Визуально это соответствует положению в исходной точке (или размещению камеры в начале координат), поворачивая угол зрения, затем проецируя на плоскую плоскость. Вращения по осям, перпендикулярным гиперплоскости, сохраняют гиперплоскость и приводят к вращению гиперплоскости (элемент SO (n), имеющий размерность $1\; +\; 2\; +\; \cdots \; +\; (n\; -\; 1)\; =\; (n\; 2).\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{1\; +\; 2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (n-1)\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2\}\}\}.\}$), а вращения по осям, параллельным гиперплоскости, являются правильными проекционными maps, и учитывает оставшиеся n измерений.

• PGL отправляет коллинеарные точки в коллинеарные точки (он сохраняет проективные линии), но это не полная группа коллинеаций , которая вместо этого является либо PΓL (для n>2) или полная симметрическая группа для n = 2 (проективная прямая).
• Любой (бирегулярный ) алгебраический автоморфизм проективного пространства проективно линейен. бирациональные автоморфизмы образуют большую группу, группа Кремоны.
• PGL точно действует на проективном пространстве: нетождественные элементы действуют нетривиально.

  Конкретно, ядро ​​действия GL на проективном пространстве - это в точности скалярные отображения, которые выделены в PGL.

• PGL действует 2-транзитивно на проективном пространстве.

  Это связано с тем, что 2 различные точки в проективном пространстве соответствуют 2 векторам, которые не лежат на одном линейном пространстве и, следовательно, являются линейно независимыми, а GL действует транзитивно на множествах из k элементов линейно независимых векторов.

• PGL (2, K) действует точно 3-транзитивно на проективной прямой.

  3 произвольные точки обычно отображаются в [0, 1], [1, 1], [1, 0]; в альтернативных обозначениях 0, 1, ∞. В записи дробно-линейного преобразования функция $x\; -\; ax\; -\; c\; \cdot \; b\; -\; cb\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{xa\}\; \{xc\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{ba\}\}\}$отображает a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞ и является единственным таким отображением, которое делает это. Это перекрестное отношение (x, b; a, c) - подробности см. В перекрестном соотношении: трансформационный подход.

• Для n ≥ 3 PGL (n, K) не действует 3-транзитивно, потому что он должен отправлять 3 коллинеарных точки в 3 другие коллинеарные точки, а не произвольный набор. При n = 2 пространство является проективной прямой, поэтому все точки лежат на одной прямой, и это не ограничение.
• PGL (2, K) не действует 4-транзитивно на проективной прямой (за исключением PGL (2, 3), поскольку P (3) имеет 3 + 1 = 4 точки, поэтому 3-транзитивность подразумевает 4-транзитивность); сохраняемый инвариант - это перекрестное отношение , и он определяет, куда отправляется каждая другая точка: указание того, где отображаются 3 точки, определяет карту. Таким образом, в частности, это не полная группа коллинеаций проективной прямой (за исключением F2и F3).
• PSL (2, q) и PGL (2, q) (для q>2 и q нечетное для PSL) два из четырех семейств групп Цассенхауза.
• PGL (n, K) - это алгебраическая группа размерности n − 1 и открытая подгруппа проективного пространства P . Как определено, функтор PSL (n, K) не определяет алгебраическую группу или даже пучок fppf, и его пучок в топологии fppf на самом деле PGL (n, K).
• PSL и PGL являются бесцентровыми - это потому, что диагональные матрицы являются не только центром, но и гиперцентром (отношение группы к ее центру не обязательно

Дробно-линейные преобразования

Что касается преобразований Мёбиуса, группу PGL (2, K) можно интерпретировать как дробно-линейные преобразования с коэффициентами в K. Точки на проективной прямой над K соответствуют парам из K, причем две пары - это e эквивалентны, когда они пропорциональны. Когда вторая координата отлична от нуля, точка может быть представлена ​​как [z, 1]. Тогда, когда ad– bc ≠ 0, действие PGL (2, K) осуществляется линейным преобразованием:

$[z,\; 1]\; (acbd)\; =\; [az\; +\; b,\; cz\; +\; d]\; =\; [az\; +\; bcz\; +\; d,\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; [z,\; \backslash \; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; c\; \backslash \backslash \; b\; d\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; [az\; +\; b,\; \backslash \; cz\; +\; d]\; \backslash \; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{az\; +\; b\}\; \{cz\; +\; d\}\},\; \backslash \; 1\; \backslash \; right].\}$

Таким образом, последовательные преобразования могут быть записаны как правое умножение на такие матрицы, а матричное умножение может использоваться для группового произведения в PGL (2, K).

Проективные специальные линейные группы PSL (n, Fq) для конечного поля Fqчасто записываются как PSL (n, q) или L п (д). Они являются конечными простыми группами, если n не меньше 2, за двумя исключениями: L 2 (2), который изоморфен S 3, симметричная группа из 3 букв и разрешима ; и L 2 (3), который изоморфен A 4, чередующейся группе с 4 буквами и также разрешим. Эти исключительные изоморфизмы можно понять как результат действия на проективной прямой.

. Таким образом, специальные линейные группы SL (n, q) являются квазипростыми : совершенными центральными расширениями простой группы (если только n = 2 и q = 2 или 3).

История

Группы PSL (2, p) были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах и были вторым семейством конечных простых групп, после чередующихся групп. Галуа построил их как дробно-линейные преобразования и заметил, что они просты, за исключением случаев, когда p равно 2 или 3; это содержится в его последнем письме к шевалье. В том же письме и прилагаемых рукописях Галуа также построил общую линейную группу над простым полем, GL (ν, p), при изучении группы Галуа общего уравнения степени p.

Группы PSL (n, q) (общее n, общее конечное поле) были затем построены в классическом тексте 1870 года Камиллой Джордан, Traité des замен и des équations algébriques.

Порядок

Порядок PGL (n, q) равен

(q - 1) (q - q) (q - q) ⋅⋅⋅ (q - q) / (q - 1) = q - O (q),

, что соответствует порядку в GL (n, q), деленному на q - 1 для проективизации; см. q-аналог для обсуждения таких формул. Обратите внимание, что степень n - 1, что согласуется с размерностью как алгебраической группы. «O» означает нотацию большого O, означающую «термины, относящиеся к низшему порядку». Это также равно порядку SL (n, q); там деление на q - 1 связано с определителем.

Порядок PSL (n, q) равен указанному выше, деленному на | SZ (n, q) |, количеству скалярных матриц с определителем 1, или эквивалентному делению на | F / (F) |, количество классов элементов, которые не имеют корня n-й степени, или, что эквивалентно, деление на количество корней n-й из единицы в Fq.

Исключительные изоморфизмы

В дополнение к изоморфизмов

L2(2) ≅ S 3, L 2 (3) ≅ A 4 и PGL (2, 3) ≅ S 4,

есть другие исключительные изоморфизмы между проективными специальными линейными группами и знакопеременными группами (все эти группы простые, поскольку альтернированная группа из 5 или более букв проста):

$L\; 2\; (4)\; \cong \; A\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (4)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{5\}\}$

$L\; 2\; (5)\; \cong \; A\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (5)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{5\}\}$(см. здесь для доказательства)

$L\; 2\; (9)\; \cong \; A\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (9)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{6\}\}$

$L\; 4\; (2)\; \cong \; A\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{4\}\; (2)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{8\}.\}$

Изоморфизм L 2 (9) ≅ A 6 позволяет увидеть экзотический внешний автоморфизм A 6 в терминах полевого автоморфизма и матричных операций. Изоморфизм L 4 (2) ≅ A 8 представляет интерес в структуре группы Матье M24.

. Ассоциированные расширения SL (n, q) → PSL ( n, q) являются покрывающими группами знакопеременных групп (универсальных совершенных центральных расширений ) для A 4, A 5 по уникальности универсальной идеальной центральной пристройки; для L 2 (9) ≅ A 6 ассоциированное расширение является идеальным центральным расширением, но не универсальным: существует 3-кратная покрывающая группа.

группы более F5имеют ряд исключительных изоморфизмов:

PSL (2, 5) ≅ A 5 ≅ I, альтернированная группа из пяти элементов, или, что эквивалентно, группа икосаэдра ;

PGL (2, 5) ≅ S 5, симметричная группа на пяти элементах;

SL (2, 5) ≅ 2 ⋅ A 5 ≅ 2I двойное покрытие переменной группы A 5, или, что эквивалентно, бинарная группа икосаэдра.

Их также можно использовать для построения экзотической карты S 5 → S 6, как описано ниже. Обратите внимание, однако, что GL (2, 5) не является двойной обложкой для S 5, а скорее является 4-кратной обложкой.

Еще один изоморфизм:

L2(7) ≅ L 3 (2) - простая группа порядка 168, вторая по величине неабелева простая группа, и не является переменная группа; см. PSL (2,7).

Вышеупомянутые исключительные изоморфизмы, включающие проективные специальные линейные группы, почти все являются исключительными изоморфизмами между семействами конечных простых групп; единственный другой исключительный изоморфизм - это PSU (4, 2) ≃ PSp (4, 3), между проективной специальной унитарной группой и проективной симплектической группой.

Действие на проективной прямой

Некоторые из приведенных выше отображений можно увидеть непосредственно в терминах действия PSL и PGL на связанной проективной прямой: PGL (n, q) действует на проективное пространство P (q), которое имеет (q − 1) / (q − 1) точек, и это дает отображение проективной линейной группы в симметрическую группу на (q − 1) / (q − 1) точках. При n = 2 это проективная прямая P (q), имеющая (q − 1) / (q − 1) = q + 1 точек, поэтому существует отображение PGL (2, q) → S q + 1.

Чтобы понять эти карты, полезно вспомнить следующие факты:

• Порядок PGL (2, q) равен

$(q\; 2\; -\; 1)\; (q\; 2\; -\; q)\; /\; (q\; -\; 1)\; =\; q\; 3\; -\; q\; =\; (q\; -\; 1)\; q\; (q\; +\; 1);\; \{\backslash \; Displaystyle\; (д\; ^\; \{2\}\; -1)\; (д\; ^\; \{2\}\; -q)\; /\; (д-1)\; =\; д\; ^\; \{3\}\; -q\; =\; (д-1)\; д\; (д\; +\; 1);\}$

порядок PSL (2, q) либо равен этому (если характеристика равна 2), либо равен половине этого (если характеристика не равна 2).

• Действие проективной линейной группы на проективной прямой равно строго 3-транзитивный (точный и 3- транзитивный ), поэтому карта взаимно однозначна и имеет изображение 3-транзитивной подгруппы.

Таким образом, изображение является 3-транзитивная подгруппа известного порядка, что позволяет ее идентифицировать. Это дает следующие отображения:

• PSL (2, 2) = PGL (2, 2) → S 3, порядка 6, что является изоморфизмом.
  • Обратное отображение (проективное представление S 3 ) может быть реализовано с помощью ангармонической группы, и в более общем случае дает вложение S 3 → PGL (2, q) для всех полей.
• PSL (2, 3) < PGL(2, 3) → S4 порядков 12 и 24, последний из которых является изоморфизмом, причем PSL (2, 3) является переменная группа.
  • Ангармоническая группа дает частичное отображение в противоположном направлении, отображая S 3 → PGL (2, 3) как стабилизатор точки −1.
• PSL (2, 4) = PGL (2, 4) → S 5 порядка 60, что дает переменную группу A 5.
• PSL (2, 5) < PGL(2, 5) → S6 порядков 60 и 120, что дает вложение S 5 (соответственно A 5) как транзитивную подгруппу S 6 (соответственно, A 6). Это пример экзотической карты S 5 → S 6, и его можно использовать для построения исключительного внешнего автоморфизма S 6. Обратите внимание, что изоморфизм PGL (2, 5) ≅ S 5 непрозрачен из этого представления: нет особенно естественного набора из 5 элементов, на который действует PGL (2, 5).

Действие на p точек

В то время как PSL (n, q) естественным образом действует на (q − 1) / (q − 1) = 1 + q +... + q точек, нетривиальные действия на меньшем количестве точек встречаются реже. Действительно, PSL (2, p) действует нетривиально на p точках тогда и только тогда, когда p = 2, 3, 5, 7 или 11; для 2 и 3 группа непростая, в то время как для 5, 7 и 11 группа проста - кроме того, она не действует нетривиальным образом на менее чем p точках. Это впервые заметил Эварист Галуа в своем последнем письме к Шевалье, 1832 г.

Это можно проанализировать следующим образом; обратите внимание, что для 2 и 3 действие не является точным (это нетривиальное факторное, и группа PSL не простая), в то время как для 5, 7 и 11 действие точное (поскольку группа проста и действие нетривиально) и дает вложение в S p. Во всех случаях, кроме последнего, PSL (2, 11), он соответствует исключительному изоморфизму, когда самая правая группа имеет очевидное действие на p точках:

• $L\; 2\; (2)\; \cong \; S\; 3\; \twoheadrightarrow \; S\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (2)\; \backslash \; cong\; S\_\; \{3\}\; \backslash \; twoheadrightarrow\; S\_\; \{2\}\}$через карту знаков;
• $L\; 2\; (3)\; \cong \; A\; 4\; \twoheadrightarrow \; A\; 3\; \cong \; C\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (3)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{4\}\; \backslash \; twoheadrightarrow\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; cong\; C\_\; \{3\}\}$через частное по 4-группе Клейна;
• $L\; 2\; (5)\; \cong \; А\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (5)\; \backslash \; cong\; A\_\; \{5\}.\}$Чтобы построить такой изоморфизм, нужно рассматривать группу L 2 (5) как группу Галуа группа покрытия Галуа a 5 : X (5) → X (1) = P, где X (N) - модульная кривая уровня N Эта обложка разветвлена ​​на 12 пунктов. Модулярная кривая X (5) имеет род 0 и изоморфна сфере над полем комплексных чисел, и тогда действие L 2 (5) на эти 12 точек становится группой симметрии икосаэдра. Затем необходимо рассмотреть действие группы симметрии икосаэдра на пяти связанных тетраэдрах.
• L2(7) ≅ L 3 (2), которая действует на 1 + 2 + 4 = 7 точки плоскости Фано (проективная плоскость над F2); это также можно рассматривать как действие на биплане порядка 2, который является дополнительной плоскостью Фано.
• L2(11) является более тонким и подробно описывается ниже; он действует на биплан порядка 3.

Кроме того, L 2 (7) и L 2 (11) имеют два неэквивалентных воздействия на p точек; геометрически это реализуется действием на биплане, который имеет p точек и p блоков - действие на точки и действие на блоки - оба действия на p точек, но не сопряжены (они имеют разные стабилизаторы точек); вместо этого они связаны внешним автоморфизмом группы.

В последнее время эти последние три исключительных действия были интерпретированы как пример классификации ADE : эти действия соответствуют продуктам (как наборы, а не группы) групп как A 4× Z/5Z, S 4× Z/7Zи A 5× Z/ ​​11 Z, где группы A 4, S 4 и A 5 представляют собой группы изометрии Платоновых тел и соответствуют E 6, E 7, и E 8 в соответствии с перепиской Маккея. Эти три исключительных случая также реализуются как геометрии многогранников (то есть мозаики римановых поверхностей) соответственно: соединение пяти тетраэдров внутри икосаэдра (сфера, род 0), биплоскость порядка 2 (дополнительная плоскость Фано ) внутри квартики Клейна (род 3) и биплана порядка 3 (биплан Пэли ) внутри поверхности бакибола (род 70).

Действие L 2 (11) алгебраически можно рассматривать как следствие исключительного включения $L\; 2\; (5)\; \hookrightarrow \; L\; 2\; (11)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; (\; 5)\; \backslash \; hookrightarrow\; L\_\; \{2\}\; (11)\}$- есть два класса сопряженности подгрупп L 2 (11), которые изоморфны L 2 (5), каждый из 11 элементов: действие L 2 (11) сопряжением на них является действием на 11 точек, и, кроме того, два класса сопряженности связаны внешним автоморфизмом L 2 (11). (То же самое верно для подгрупп L 2 (7), изоморфных S 4, и это также имеет бипланную геометрию.)

Геометрически это действие может можно понять через геометрию биплана, которая определяется следующим образом. Геометрия биплана - это симметричная конструкция (набор точек и равное количество «линий», или, скорее, блоков), такая, что любой набор из двух точек содержится в двух линиях, а любые две линии пересекаются в две точки; это похоже на конечную проективную плоскость, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну линию (и двух прямых, определяющих одну точку), они определяют две прямые (соответственно, точки). В этом случае (биплан Пэли, полученный из орграфа Пэли порядка 11) точки представляют собой аффинную линию (конечное поле) F11, где первая линия определены как пять ненулевых квадратичных вычетов (точки, которые являются квадратами: 1, 3, 4, 5, 9), а другие строки являются аффинными переводами этого (добавьте константу ко всем точки). L 2 (11) тогда изоморфна подгруппе S 11, которая сохраняет эту геометрию (отправляет линии в линии), давая набор из 11 точек, на которые он действует - фактически два: точки или прямые, что соответствует внешнему автоморфизму - в то время как L 2 (5) является стабилизатором данной прямой или двойственно данной точки.

Что еще более удивительно, пространство смежных классов L 2 (11) / Z / 11 Z, которое имеет порядок 660/11 = 60 ( и на которую действует группа икосаэдра) естественно имеет структуру баскетбольного мяча, который используется при построении поверхности бакибола.

групп Матье

Группа PSL ( 3, 4) можно использовать для построения группы Матье M24, одной из спорадических простых групп ; в этом контексте PSL (3, 4) обозначается как M 21, хотя, собственно, это не группа Матьё. Первый начинается с проективной плоскости над полем с четырьмя элементами, который представляет собой систему Штейнера типа S (2, 5, 21) - это означает, что она имеет 21 точку, каждая линия («блок», в Терминология Штейнера) имеет 5 точек, и любые 2 точки определяют линию, на которой действует PSL (3, 4). Эту систему Штейнера называют W 21 («W» для Witt ), а затем расширяют ее до более крупной системы Штейнера W 24, расширяя группу симметрии вдоль путь: к проективной общей линейной группе PGL (3, 4), затем к проективной полулинейной группе PΓL (3, 4) и, наконец, к группе Матье M 24.

M24, также содержащей копии PSL (2, 11), который максимален в M 22, и PSL (2, 23), который максимален в M 24, и может использоваться для построения M 24.

Поверхности Гурвица

Некоторые группы PSL возникают как группы автоморфизмов поверхностей Гурвица, то есть как факторы треугольной группы (2,3,7), которая является симметриями порядка-3 пополам семиугольные мозаики.

группы PSL возникают как группы Гурвица (группы автоморфизмов поверхностей Гурвица - алгебраические кривые максимальной, возможно, группы симметрий). Поверхность Гурвица младшего рода, квартика Клейна (род 3), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL (2, 7) (эквивалентно GL (3, 2)), а поверхность Гурвица второй самой низкой род поверхность Макбита (род 7) имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL (2, 8).

На самом деле, многие, но не все простые группы возникают как группы Гурвица (включая группу монстров, хотя и не все чередующиеся группы или спорадические группы), хотя PSL примечателен тем, что включает в себя самые маленькие из таких групп. группы.

Модульная группа

Группы PSL (2, Z/nZ) возникают при изучении модульной группы, PSL (2, Z ), как частные за счет уменьшения всех элементов по модулю n; ядра называются главными конгруэнтными подгруппами.

Заслуживающая внимания подгруппа проективной общей линейной группы PGL (2, Z ) (и проективной специальной линейной группы PSL (2, Z [i])) симметрии множества {0, 1, ∞} ⊂ P(C) они также встречаются в шести перекрестных отношениях. Подгруппа может быть выражена как дробно-линейных преобразований или представлена ​​(не однозначно) матрицами как:

$x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$	$1\; /\; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; (1-x)\}$	$(x\; -\; 1)\; /\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; /\; x\}$
$(1\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(0\; 1\; -\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(1\; -\; 1\; 1\; 0)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
$1\; /\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; x\}$	$1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\}$	$Икс\; /\; (Икс\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; /\; (х-1)\}$
$(0\; 1\; 1\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(-\; 1\; 1\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(1\; 0\; 1\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; -1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$
$(0\; ii\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; i\; \backslash \backslash \; i\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(-\; ii\; 0\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -i\; i\; \backslash \backslash \; 0\; i\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$	$(i\; 0\; i\; -\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\; 0\; \backslash \backslash \; i\; -i\; \backslash \; end\; \{pmat\; rix\}\}\}$

Обратите внимание, что верхняя строка является идентичностью и двумя 3-циклами и сохраняет ориентацию, образуя подгруппу в PSL (2, Z ), а нижняя строка - это три 2-цикла и находятся в PGL (2, Z ) и PSL (2, Z [i]), но не в PSL (2, Z ), поэтому реализованы либо в виде матриц с определителем −1 и целочисленными коэффициентами, либо в виде матриц с определителем 1 и гауссовскими целочисленными коэффициентами.

Это отображается в симметрии {0, 1, ∞} ⊂ P (n) при редукции по модулю n. Примечательно, что для n = 2 эта подгруппа изоморфно отображается в PGL (2, Z/2Z) = PSL (2, Z/2Z) ≅ S 3 и, таким образом, обеспечивает разделение $PGL\; \; (\; 2,\; Z\; /\; 2)\; \hookrightarrow \; PGL\; \; (2,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{PGL\}\; (2,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2)\; \backslash \; hookrightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{PGL\}\; (2,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$для фактор-карты $PGL\; \; (2,\; Z)\; \twoheadrightarrow \; PGL\; \; (2,\; Z\; /\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{PGL\}\; (2,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; twoheadrightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{PGL\}\; (2,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2).\}$

Подгруппы стабилизатора {0, 1, ∞} дополнительно стабилизируют точки {−1, 1/2, 2} и {φ -, φ +,}.

Еще одним свойством этой подгруппы является то, что факторное отображение S 3 → S 2 реализуется действием группы. То есть подгруппа C 3< S3, состоящая из 3-циклов и тождества () (0 1 ∞) (0 ∞ 1), стабилизирует золотое сечение и обратное золотое сечение $\phi \; \pm \; =\; 1\; \pm \; 5\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\},\}$, в то время как 2 цикла меняют их местами, таким образом реализуя карту.

Неподвижными точками отдельных 2-циклов являются, соответственно, -1, 1/2, 2, и этот набор также сохраняется и переставляется, что соответствует действию S 3 на 2-циклах (его силовских 2-подгруппах) сопряжением и реализацией изоморфизма $S\; 3\; \to \; \sim \; Inn\; \; (S\; 3)\; \cong \; S\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{3\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; sim\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Inn\}\; (S\_\; \{3\})\; \backslash \; cong\; S\_\; \{3\}.\}$

поверх Действительные и комплексные числа, топология PGL и PSL может быть определена из пучков волокон, которые их определяют:

$Z\; \cong \; K\; \ast \; \to \; GL\; \to \; PGLSZ\; \cong \; \mu \; n\; \to \; SL\; \to \; PSL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{Z\}\; \backslash \; cong\; K\; *\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{PGL\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{SZ\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{PSL\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

через длинную точную последовательность расслоения.

Для вещественных и комплексных чисел SL является покрывающим пространством PSL с количеством листов, равным количеству корней n-й степени в K; таким образом, в частности, согласны все их высшие гомотопические группы. Для вещественных чисел SL - это 2-кратное покрытие PSL для четных n и 1-кратное покрытие для нечетных n, т. Е. Изоморфизм:

{± 1} → SL (2n, R ) → PSL (2n, R)

$SL\; \; (2\; n\; +\; 1,\; R)\; \to \; \sim \; PSL\; \; (2\; n\; +\; 1,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SL\}\; (2n\; +\; 1,\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \})\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; sim\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{PSL\}\; (2n\; +\; 1,\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\}$

Для комплексов SL является n-кратным покрытием PSL.

Для PGL, для вещественных чисел слой имеет вид R * ≅ {± 1}, поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является двумерным накрывающим пространством, и все высшие гомотопические группы согласуются с.

Для PGL над комплексами слой C * ≅ S, поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является расслоением окружностей. Высшие гомотопические группы круга обращаются в нуль, поэтому гомотопические группы GL (n, C ) и PGL (n, C ) согласуются при n ≥ 3. Фактически, π 2 всегда обращается в нуль для групп Ли, поэтому гомотопические группы согласуются при n ≥ 2. Для n = 1 имеем π 1 (GL (n, C )) = π 1(S) = Z и, следовательно, PGL (n, C ) является sim слой связан.

Накрывающие группы

Над действительными и комплексными числами проективные специальные линейные группы являются минимальными (бесцентровыми ) реализациями групп Ли для специальной линейной алгебры Ли $sl\; (n):\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; (n)\; \backslash \; двоеточие\}$каждая связная группа Ли, алгебра Ли которой $sl\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\; \}\}\; (n)\}$- это покрытие PSL (n, F). И наоборот, его универсальная накрывающая группа является максимальным (односвязным ) элементом, а промежуточные реализации образуют решетку накрывающих групп.

Например, SL (2, R) имеет центр {± 1} и фундаментальную группу Z, и, таким образом, имеет универсальное покрытие SL (2, R ) и покрывает бесцентровую PSL (2, R ).

A проективное представление группы G может быть возвращено к линейному представлению центрального расширения C группы G.

A гомоморфизм группы G → PGL (V) из группы G в проективную линейную группу называется проективным представлением группы G по аналогии с линейной представление (гомоморфизм G → GL (V)). Они были изучены Issai Schur, который показал, что проективные представления G можно классифицировать в терминах линейных представлений центральных расширений of G. Это привело к множителю Шура, который используется для решения этого квеста. ион.

Проективная линейная группа в основном изучается для n ≥ 2, хотя ее можно определить для малых размерностей.

Для n = 0 (или на самом деле n < 0) the projective space of K is empty, as there are no 1-dimensional subspaces of a 0-dimensional space. Thus, PGL(0, K) is the trivial group, consisting of the unique empty map from the пустое множество для самого себя. Кроме того, действие скаляров на 0-мерном пространстве тривиально, поэтому отображение K * → GL (0, K) является тривиальным, а не включением, как в более высоких измерениях.

При n = 1 проективное пространство K представляет собой единственную точку, так как существует одно одномерное подпространство. Таким образом, PGL (1, K) - это тривиальная группа, состоящая из уникального отображения из одноэлементного множества в себя. Кроме того, общая линейная группа одномерного пространства - это в точности скаляры, поэтому отображение $K\; \ast \; \to \; \sim \; GL\; \; (1,\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; sim\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (1,\; K)\}$является изоморфизмом, соответствующим тому, что PGL (1, K): = GL (1, K) / K * ≅ {1} тривиален.

Для n = 2 PGL (2, K) не- тривиален, но необычен тем, что он 3-транзитивен, в отличие от более высоких измерений, когда он только 2-транзитивен.

• PSL (2,7)
• Модульная группа, PSL (2, Z)
• PSL (2, R)
• группа Мёбиуса, PGL (2, C ) = PSL (2, C)

• Проективная ортогональная группа, PO - максимальная компактная подгруппа PGL
• Проективная унитарная группа, PU
• Проективная специальная ортогональная группа, PSO - максимальная компактная подгруппа PSL
• Проективная специальная унитарная группа, PSU

Проективная линейная группа содержится внутри больших групп, а именно:

• Проективная полулинейная группа, PΓL, который допускает полевые автоморфизмы.
• группу Кремоны, Cr (P (k)) бирациональных автоморфизмов ; любой бирегулярный автоморфизм является линейным, поэтому PGL совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов.

• Проективное преобразование
• Блок