Войти
Точки A, B, C, D и A ′, B ′, C ′, D ′ связаны проективным преобразованием, поэтому их перекрестные отношения (A, B; C, D) и (A ′, B ′; C ′, D ′) равны. In геометрия, поперечное отношение, также называемое двойным отношением и ангармоническим отношением, представляет собой число, связанное со списком из четырех коллинеарные точки, особенно точки на проективной прямой. Для четырех точек A, B, C и D на линии их поперечное соотношение определяется как
где ориентация линии определяет знак каждого расстояния, а расстояние измеряется в проекции в евклидово пространство. (Если одна из четырех точек является точкой бесконечно удаленной прямой, то два расстояния, включающие эту точку, исключаются из формулы.) Точка D является гармоническим сопряженным точки C относительно A и B точно если кросс-отношение четверки равно -1, это называется гармоническим отношением. Таким образом, кросс-отношение можно рассматривать как измерение четверного отклонения от этого отношения; отсюда и название ангармонического отношения.
Перекрестное отношение сохраняется с помощью дробно-линейных преобразований. По сути, это единственный проективный инвариант четверки коллинеарных точек; это лежит в основе его важности для проективной геометрии.
. Перекрестное отношение было определено в глубокой древности, возможно, уже Евклидом, и было учтено Паппом, который отметил его ключевое свойство инвариантности. Он широко изучался в 19 веке.
Варианты этой концепции существуют для четверки совпадающих прямых на проективной плоскости и четверки точек на сфере Римана. В модели Кэли-Клейна для гиперболической геометрии расстояние между точками выражается через определенное поперечное отношение.
D - это гармоническое сопряжение C по отношению к A и B, так что перекрестное отношение (A, B; C, D) равно -1. Папп Александрийский сделан неявное использование понятий, эквивалентных перекрестному соотношению в его Сборнике: Книга VII. Среди первых пользователей Паппа были Исаак Ньютон, Мишель Часлес и Роберт Симсон. В 1986 году Александр Джонс сделал перевод оригинала Паппа, а затем написал комментарий о том, как леммы Паппа соотносятся с современной терминологией.
Современное использование поперечного отношения в проективной геометрии началось с Лазара Карно. в 1803 году с его книгой Géométrie de Position. Используемый термин был le rapport anharmonique (Fr: ангармонический коэффициент). Немецкие геометры называют это das Doppelverhältnis (нем. Двойное отношение).
Для трех точек на линии четвертая точка, которая делает поперечное отношение равным минус единице, называется проективным гармоническим сопряжением. В 1847 Карл фон Штаудт назвал построение четвертой точки throw (Wurf ) и использовал эту конструкцию для демонстрации арифметики, неявной в геометрии. Его Алгебра бросков обеспечивает подход к числовым предложениям, обычно принимаемым как аксиомы, но доказанным в проективной геометрии.
Английский термин «перекрестное соотношение» был введен в 1878 г. Уильям Кингдон Клиффорд.
Перекрестное отношение четверки различных точек на вещественной прямой с координатами z 1, z 2, z 3, z 4 задается как
Его также можно записать как «двойное соотношение» двух коэффициентов деления троек точки:
Перекрестное соотношение обычно распространяется на случай, когда одно из z 1, z 2, z 3, z 4 равно infinity 
Например: если 
В геометрии, если A, B, C и D являются коллинеарными точками, то поперечное отношение определяется аналогично как
где каждое из расстояний подписано в соответствии с согласованной ориентацией линии.
Те же формулы могут быть применены к четырем различным комплексным числам или, в более общем смысле, к элементам любого поля, а также могут быть расширены на случай, когда одно из это символ ∞, удалив соответствующие два отличия из формулы. Формула показывает, что кросс-отношение - это функция четырех точек, обычно четырех чисел 
Перекрестное отношение четырех коллинеарных точек A, B, C, D можно записать как
где 
Четыре точки можно упорядочить 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 способами, но есть только шесть способов разбить их на две неупорядоченные пары. Таким образом, четыре точки могут иметь только шесть различных перекрестных отношений, которые связаны следующим образом:
![{\ displaystyle {\ begin {align} (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A) = \ lambda \\ [6pt] (A, B; D, C) = (B, A; C, D) = (C, D; B, A) = (D, C; A, B) = {\ frac {1} {\ lambda}} \\ [6pt] (A, C; B, D) = (B, D; A, C) = (C, A; D, B) = (D, B; C, A) = 1- \ lambda \\ [6pt] (A, C; D, B) = (B, D; C, A) = (C, A; B, D) = (D, B; A, C) = {\ frac {1} {1- \ lambda}} \\ [6pt] (A, D; B, C) = (B, C; A, D) = (C, B; D, A) = (D, A; C, B) = {\ frac {\ lambda -1} {\ lambda} } \\ [6pt] (A, D; C, B) = (B, C; D, A) = (C, B; A, D) = (D, A ; B, C) = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}} \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdfc00fdb2c7f8ac78ec1ac3f8582b96050106f)
Использование перекрестных отношений в проективная геометрия для измерения реальных размеров элементов, изображенных в перспективной проекции. A, B, C, D и V - точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A ', B', C 'и D' находятся в реальном мире, их расстояние в метрах. Перекрестное отношение является проективным инвариант в том смысле, что он сохраняется проективными преобразованиями проективной прямой.
В частности, если четыре точки лежат на прямой L в R, то их перекрестное отношение является четко определенной величиной, потому что любой выбор начала координат и даже масштаба на линия даст то же значение кросс-отношения.
Кроме того, пусть {L i | 1 ≤ i ≤ 4} - четыре различные прямые на плоскости, проходящие через одну и ту же точку Q. Тогда любая прямая L, не проходящая через Q, пересекает эти прямые в четырех различных точках P i (если L равно параллельно к L i, тогда соответствующая точка пересечения находится «на бесконечности»). Оказывается, что поперечное отношение этих точек (взятых в фиксированном порядке) не зависит от выбора прямой L и, следовательно, является инвариантом набора четырех прямых {L i }.
Это можно понять следующим образом: если L и L ′ - две прямые, не проходящие через Q, то перспективное преобразование из L в L ′ с центром Q является проективным преобразованием, которое принимает четверку {P i } точек на L в четверку {P i ′} точек на L ′.
Следовательно, инвариантность перекрестного отношения относительно проективных автоморфизмов прямой влечет (фактически, эквивалентна) независимость перекрестного отношения четырех коллинеарных точек {P i } в строках {L i } от выбора строки, которая их содержит.
Если четыре коллинеарных точки представлены в однородных координатах векторами a, b, c, d такими, что c = a + b и d = ka + b, то их перекрестное отношение равно k.
Артур Кэли и Феликс Клейн нашли применение перекрестного отношения к неевклидова геометрия. Для неособой коники C в реальной проективной плоскости ее стабилизатор GCв проективной группе G = PGL (3, R) действует транзитивно на точках внутри C. Однако существует инвариант для действия G C на парах точек. Фактически, каждый такой инвариант является выражается как функция соответствующего поперечного отношения.
Явно, пусть коника будет единичной окружностью. Для любых двух точек P, Q внутри единичная окружность. Если линия, соединяющая их, пересекает окружность в двух точках, X и Y, и точки, по порядку, являются X, P, Q, Y. Тогда гиперболическое расстояние между P и Q в Кэли – Клейн модель гиперболической плоскости может быть выражена как
(коэффициент, равный половине, необходим для того, чтобы кривизна −1). Поскольку кросс-отношение инвариантно относительно проективных преобразований, это означает, что гиперболическое расстояние инвариантно относительно проективных преобразований, сохраняющих конику C.
Наоборот, группа G действует транзитивно на множестве пар точек ( p, q) в единичном круге на фиксированном гиперболическом расстоянии.
Позже, отчасти под влиянием Анри Пуанкаре, для гиперболических показателей было использовано перекрестное отношение четырех комплексных чисел на окружности. Находясь на окружности, четыре точки являются изображением четырех реальных точек при преобразовании Мёбиуса, и, следовательно, перекрестное отношение является действительным числом. Модель полуплоскости Пуанкаре и модель диска Пуанкаре - это две модели гиперболической геометрии на сложной проективной прямой.
Эти модели являются экземплярами Кэли – Клейна. метрики.
Перекрестное отношение может быть определено любым из этих четырех выражений:
Эти отличаются следующими перестановками переменных:
![{\ displaystyle {\ begin {выровнено} (A, B) (C, D) \\ [6pt] (A, C) (B, D) \\ [6pt] (A, D) (B, C) \ end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546c5efcf01a8aeb8ed9368c65684181cc06709d)
Эти три и перестановка идентичности оставляют перекрестное отношение неизменным. Они составляют реализацию четырехгруппы Клейна, группы порядка 4, в которой порядок каждого неидентификационного элемента равен 2.
Другие перестановки четырех переменных изменяют перекрестное отношение, так что оно может принимать любое из следующих шести значений.
![{\ displaystyle {\ begin {align} (A, B; C, D) = \ lambda (A, B; D, C) = {\ frac {1} {\ lam bda}} \\ [6pt] (A, C; D, B) = {\ frac {1} {1- \ lambda}} (A, C; B, D) = 1- \ lambda \\ [6pt] (A, D; C, B) = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}} (A, D; B, C) = {\ frac {\ lambda -1} { \ lambda}} \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22db7bbbcecdf3ce76d27a3e06e5a86889c4bd97)
Как функции от λ они образуют неабелеву группу порядок 6 с операцией композиции функций. Это ангармоническая группа . Это подгруппа группы всех преобразований Мёбиуса. Шесть перечисленных выше перекрестных отношений представляют собой элементы кручения (геометрически, эллиптические преобразования ) PGL (2, Z ). А именно, 
Ангармоническая группа порождается λ ↦ 1 / λ и λ ↦ 1 - λ. Его действие на {0, 1, ∞} дает изоморфизм с S 3. Он также может быть реализован в виде шести упомянутых преобразований Мёбиуса, которые дают проективное представление S 3 над любым полем (поскольку оно определяется с помощью целочисленных элементов) и всегда является точным / инъективным (поскольку никакие два термина не отличаются только на 1 / −1). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только три точки, поэтому это представление является изоморфизмом и является исключительным изоморфизмом 
![-1 = [-1: 1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24adc46c179c53ef270f071518cb7d308300fdeb)
В языке в теории групп, симметричная группа S4действует на перекрестное отношение путем перестановки координат. ядро этого действия изоморфно четырехгруппе Клейна K. Эта группа состоит из двухцикловых перестановок типа 
Для определенных значений λ будет большая симметрия и, следовательно, меньше шести возможных значений для перекрестного отношения. Эти значения λ соответствуют неподвижным точкам действия S 3 на сфере Римана (заданным указанными выше шестью функциями); или, что то же самое, точки с нетривиальным стабилизатором в этой группе перестановок.
Первый набор фиксированных точек - {0, 1, ∞}. Однако кросс-отношение никогда не сможет принять эти значения, если точки A, B, C и D различны. Эти значения являются предельными значениями при сближении одной пары координат друг с другом:
Второй набор фиксированных точек равен {−1, 1/2, 2}. Эта ситуация является тем, что классически называется гармоническим поперечным отношением и возникает в проективных гармонических сопряжениях. В реальном случае других исключительных орбит нет.
В сложном случае наиболее симметричное поперечное отношение имеет место, когда 
Перекрестное отношение инвариантно относительно проективных преобразований линии. В случае сложной проективной линии или сферы Римана эти преобразования известны как преобразования Мёбиуса. Общее преобразование Мёбиуса имеет вид
Эти преобразования образуют группу , действующую на сфере Римана, группу Мёбиуса.
Проективная инвариантность перекрестного отношения означает, что
Перекрестное отношение равно действительному тогда и только тогда, когда четыре точки либо коллинеарны, либо совпадают, отражая тот факт, что каждое преобразование Мёбиуса отображает обобщенные окружности в обобщенные окружности.
Действие группы Мёбиуса просто транзитивно на множестве троек различных точек сферы Римана: для любой упорядоченной тройки различных точек (z 2, z 3, z 4) существует единственное преобразование Мёбиуса f (z), которое отображает его в тройку (1, 0, ∞). Это преобразование удобно описать с помощью перекрестного отношения: поскольку (z, z 2, z 3, z 4) должны равняться (f (z), 1; 0, ∞), что, в свою очередь, равно f (z), получаем
Альтернативное объяснение инвариантности перекрестного отношения основано на том факте, что группа проективных преобразований прямой порождается переводами, гомотетиями и мультипликативной инверсией. Различия z j - z k инвариантны относительно переводов
, где a - константа в основном поле F. Кроме того, коэффициенты деления инвариантны при гомотетии
для ненулевого константа b в F. Следовательно, перекрестное отношение инвариантно относительно аффинных преобразований.
, чтобы получить четко определенное отображение инверсии
аффинная линия должна быть дополнена бесконечно удаленной точкой , обозначенной ∞, образуя проективную прямую P (F). Каждое аффинное отображение f: F → F может быть однозначно продолжено до отображения P (F) в себя, которое фиксирует бесконечно удаленную точку. Карта T меняет местами 0 и ∞. Проективная группа порождается T и аффинными отображениями, расширенными на P (F). В случае F = C, комплексная плоскость, это приводит к группе Мёбиуса. Поскольку кросс-отношение также инвариантно относительно T, оно инвариантно относительно любого проективного отображения P (F) в себя.
Если мы запишем комплексные точки как векторы ![{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} _ {n} = [\ Re (z_ {n}), \ Im (z_ {n})] ^ {\ rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f3991f5806e33b77e9e9695b4a9f36bbafc19)
Это инвариант специального конформного преобразования 2D , такого как инверсия 
Мнимая часть должна использовать двумерное перекрестное произведение
![{\ displaystyle C_ {2} = {\ frac {(x_ {12}, x_ {14}) [x_ {34}, x_ {23}] - ( x_ {43}, x_ {23}) [x_ {12}, x_ {34}]} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0702314588cb44e101aa76943658393dca6b1ddc)
Только концепция перекрестного отношения зависит от операций кольца сложения, умножения и инверсии (хотя инверсия данного элемента не определена в кольце). Один подход к перекрестному соотношению интерпретирует его как гомографию, которая берет три обозначенных точки на 0, 1 и бесконечность. При ограничениях, связанных с инверсиями, можно сгенерировать такое отображение с кольцевыми операциями в проективной прямой над кольцом. Перекрестное отношение четырех баллов является оценкой этой гомографии в четвертой точке.
Теория приобретает аспект дифференциального исчисления, когда четыре точки сближаются. Это приводит к теории производной Шварца и, в более общем смысле, проективных связей.
Перекрестное отношение не обобщает простым способом на более высокие измерения из-за других геометрических свойств конфигураций точек, в частности коллинеарности - конфигурационные пространства более сложны, а отдельные k-наборы точек не находятся в общем положении.
В то время как проективные линейные группа проективной прямой является 3-транзитивной (любые три различные точки могут быть сопоставлены с любыми другими тремя точками) и действительно просто 3-транзитивной (существует уникальное проективное отображение, переводящее любую тройку в другую тройку), при этом соотношение будучи единственным проективным инвариантом набора из четырех точек, существуют основные геометрические инварианты в более высокой размерности. Проективная линейная группа n-пространства 
Коллинеарность - не единственное геометрическое свойство конфигураций точек, которое необходимо поддерживать - например, пять точек определяют конику, но шесть общих точек не лежат на конике, так что, любой набор из шести точек, лежащий на конике, также является проективным инвариантом. Можно изучать орбиты точек в общем положении - в строке «общее положение» эквивалентно различению, тогда как в более высоких измерениях это требует геометрических соображений, как обсуждалось, - но, как указано выше, это более сложный и менее информативный.
Однако существует обобщение для римановых поверхностей положительного рода с использованием карты Абеля – Якоби и тета-функций.
![{\ displaystyle a \ times b = [a, b] = a_ {2} b_ {1} -a_ {1} b_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f245d88996a813e2730e805cf059f1162ec30464)