Специальные функции нескольких комплексных переменных
Исходная тета-функция Якоби θ 1 с u = iπz и с ном q = e = 0,1e. Условные обозначения (Mathematica):
В математике тета-функции специальные функции из нескольких сложных переменных. Они важны во многих областях, включая теории абелевых многообразий и пространств модулей, а также квадратичных форм. Они также были применены к теории солитонов. При обобщении на алгебру Грассмана они также появляются в квантовой теории поля.
. Наиболее распространенная форма тета-функции - это форма, встречающаяся в теории эллиптических функций. Что касается одной из комплексных переменных (обычно называемых z), тета-функция имеет свойство, выражающее ее поведение в отношении добавления периода к связанным эллиптическим функциям, что делает ее квазипериодической функцией. В абстрактной теории это происходит из линейного пучка условия спуска.
Содержание
- 1 Тета-функция Якоби
- 2 Вспомогательные функции
- 3 Тождества Якоби
- 4 Тета функции в терминах нома
- 5 Представления продукта
- 6 Интегральные представления
- 7 Явные значения
- 8 Некоторые идентификаторы серий
- 9 Нули тета-функций Якоби
- 10 Связь с дзета Римана функция
- 11 Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
- 12 Связь с q-гамма-функцией
- 13 Связь с функцией эта Дедекинда
- 14 Эллиптический модуль
- 15 Решение уравнения теплопроводности
- 16 Связь с группой Гейзенберга
- 17 Обобщения
- 17.1 Тета-серия символа Дирихле
- 17.2 Тета-функция Рамануджана
- 17.3 Тета-функция Римана
- 17.4 Ряд Пуанкаре
- 18 Примечания
- 19 Ссылки
- 20 Дополнительная литература
- 21 Внешние ссылки
Тета-функция Якоби
Якоби тета 1
Якоби тета 2
Якоби тета 3
Якоби тета 4
Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоба Якоби ) - это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ, где z может быть любым комплексным числом, а τ - коэффициент полупериода, ограниченный верхней полуплоскостью, что означает, что он имеет положительную мнимую часть. Он задается формулой
где q = exp (πiτ) - ном, а η = exp (2πiz). Это форма Якоби. При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z. Соответственно, тета-функция 1-периодична по z:
Он также оказывается τ-квазипериодическим по z, с
Таким образом, в общем,
для любых целых чисел a и b.
Тета-функция θ 1 с другим номером q = e. Черная точка на правом изображении указывает, как q изменяется с изменением τ.
Тета-функция θ 1 с другим числом q = e. Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ.
Вспомогательные функции
Тета-функция Якоби, определенная выше, иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается как двойной нижний индекс 0:
Вспомогательные (или полупериодические) функции определяются следующим образом:
Это обозначение следует за Riemann и Mumford ; Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома q = e, а не τ. В обозначениях Якоби θ-функции записываются:
Приведенные выше определения тета-функций Якоби ни в коем случае не уникальны. См. тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.
Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях, мы получим только четыре функции от τ, определенные на верхней полуплоскости (иногда называемые тета-константами). Их можно использовать для определения множества модульные формы, и для параметризации определенных кривых; в частности, тождество Якоби равно
который - кривая Ферма четвертой степени.
Тождества Якоби
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под модулярной группой, которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ −1 / τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в экспоненте имеет тот же эффект, что и добавление 1/2 к z (n ≡ n mod 2). Для второго положим
Тогда
Тета-функции в терминах нома
Вместо того, чтобы выражать Тета-функции в терминах z и τ, мы можем выразить их в терминах аргументов w и nome q, где w = e и q = e. В этой форме функции принимают вид
Мы видим, что тета-функции также могут быть определенным в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть определена не везде, например, поля p-адических чисел.
Представления продукта
Тройное произведение Якоби (частный случай тождеств Макдональда ) сообщает нам, что для комплексных чисел w и q с | q | < 1 and w ≠ 0 we have
Это может быть доказано элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта Введение в теорию чисел.
. Если мы выразим тета-функцию через число q = e (отметив некоторые вместо этого авторы полагают q = e) и принимают w = e, затем
Таким образом, мы получаем формулу произведения для тета-функции в виде
В терминах w и q:
где (;) ∞ - это символ q-Поххаммера, а θ (;) - q -тета-функция. Раскладывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать
который мы также можем записать как
Эта форма верна в целом, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z является действительным. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:
Интегральные представления
Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
Явные значения
См. Yi (2004).
Тождества некоторых серий
Тождества следующих двух серий были доказаны следующим образом:
Эти соотношения выполняются для всех 0 < q < 1. Specializing the values of q, we have the next parameter free sums
Нули тета-функций Якоби
Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:
где m, n - произвольные целые числа.
Связь с дзета-функцией Римана
Отношение
был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина
который можно показать как инвариантный при замене s на 1 - s. Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица.
Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
Якоби использовал тета-функцию для построения (в форме, адаптированной к простое вычисление) его эллиптические функции как частные вышеуказанных четырех тета-функций, и он мог бы также использовать его для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку
где вторая производная по z, а константа c определена так, что разложение Лорана функции ℘ (z) при z = 0 имеет ноль постоянный срок.
Связь с q-гамма-функцией
Четвертая тета-функция - и, следовательно, другие тоже - тесно связана с q-гамма-функцией Джексона через отношение
Отношения к Эта функция Дедекинда
Пусть η (τ) будет функцией эта Дедекинда, а аргумент тета-функции будет ном q = e. Тогда
и,
См. также модульные функции Вебера.
Эллиптический модуль
Эллиптический модуль равен
и дополнительный эллиптический модуль равен
А решение уравнения теплопроводности
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. Считая z = x действительным и τ = it с t действительным и положительным числом, мы можем записать
, который решает уравнение теплопроводности
Это решение тета-функции 1-периодично по x, и при t → 0 оно приближается к периодической дельта-функции, или гребень Дирака в смысле распределений
- .
Общие решения пространственно-периодической задачи начального значения для уравнения теплопроводности может быть получен путем свертки исходных данных при t = 0 с тета-функцией.
Отношение к группе Гейзенберга
Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.
Обобщения
Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна
с суммой, простирающейся по решетке целых чисел Эта тета-функция представляет собой модульную форму веса n / 2 (в соответственно определенной подгруппе) модульная группа. В разложении Фурье
числа R F (k) называются числами представления форма.
Тета-серия символа Дирихле
Для примитивный символ Дирихле по модулю и , тогда
- вес модульная форма уровня и символ , что означает
всякий раз, когда
Рамануджан тета-функция
тета-функция Римана
Пусть
набор симметричных квадратных матриц, мнимая часть которого положительно определена. называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . N-мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа для n = 1, n-мерный аналог конгруэнтных подгрупп играет
Тогда, учитывая тета Римана функция определяется как
Здесь представляет собой n-мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование. Тогда тета-функция Якоби является особым случаем, когда n = 1 и , где - это верхняя полуплоскость. Одним из основных приложений тета-функции Римана является то, что она позволяет дать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях, а также других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взяв как матрица периодов относительно канонического базиса для своей первой группы гомологий .
Тэта Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах
Функциональное уравнение:
который выполняется для всех векторы и для всех и
Ряд Пуанкаре
Ряд Пуанкаре обобщает тэта-ряды на автоморфные формы относительно произвольных Фуксовы группы.
Примечания
Ссылки
- Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. сек. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
- Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций. Переводы математических монографий AMS. 79 . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
- ; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности. Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
- Hardy, G.H. ; Райт, Э.М. (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press.
- Mumford, David (1983). Лекции Tata о Theta I. Бостон: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
- Пьерпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной. Нью-Йорк: Dover Publications.
- Раух, Гарри Э. ; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Балтимор: Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-683-07196-2.
- Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions", in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. гл. 21.(history of Jacobi's θ functions)
Further reading
- Farkas, Hershel M. (2008). "Theta functions in complex analysis and number theory". In Alladi, Krishnaswami (ed.). Surveys in Number Theory. Developments in Mathematics. 17. Springer-Verlag. pp. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl 1206.11055.
- (1974). "IX. Theta series". Elliptic modular functions. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 203. Springer-Verlag. pp. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
- Ackerman, M. Math. Энн. (1979) 244: 75. "On the Generating Functions of Certain Eisenstein Series " Springer-Verlag
Harry Rauch with Hershel M. Farkas: Theta functions with applications to Riemann Surfaces, Williams and Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN 0-683-07196-3.
External links
This article incorporates material from Integral representations of Jacobi theta functions on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.