Войти
В математике, в частности теории эллиптических функций, ном является специальной функцией и задается как
где K и iK ′ - периоды четверти, а ω 1 и ω 2 - это фундаментальная пара периодов, а τ = iK ′ / K = ω 2/ω1- отношение полупериодов. Номинал можно рассматривать как функцию любой из этих величин; и наоборот, любую из этих величин можно рассматривать как функцию нома. Каждый из них однозначно определяет другие. То есть сопоставления между этими различными символами являются как 1-к-1, так и на, и поэтому могут быть инвертированы: четверть периода, полупериоды и отношение полупериодов могут быть явно записаны как функции нома. Явные выражения для квартальных периодов в терминах нома приведены в связанной статье. И наоборот, приведенное выше можно рассматривать как явное выражение для нома в терминах других величин.
Таким образом, ном может быть либо функцией, либо параметром; и наоборот, четверть и полупериоды могут быть взяты либо как функции, либо как параметры; указания любого из них достаточно, чтобы однозначно определить все остальные; все они являются функциями друг друга.
Условно, периоды четверти K и iK ′ обычно используются только в контексте эллиптических функций Якоби, тогда как полупериоды ω 1 и ω 2 обычно используются только в контексте эллиптических функций Вейерштрасса. Некоторые авторы, в частности Апостол, используют ω 1 и ω 2 для обозначения целых периодов, а не полупериодов.
Ном часто используется как значение, с помощью которого могут быть описаны эллиптические функции и модульные формы; с другой стороны, его также можно рассматривать как функцию, потому что периоды четверти являются функциями эллиптического модуля . Эта неоднозначность возникает из-за того, что для реальных значений эллиптического модуля периоды четверти и, следовательно, номинал определяются однозначно.
дополнительный номер q1задается как
Однако в некоторых источниках используется соглашение 
Дополнительные определения и соотношения по ному см. в статьях по квартальному периоду и эллиптическим интегралам.
Номинал обычно используется в качестве отправной точки для построения серии Ламберта, серии q и в более общем плане q-аналоги. То есть отношение полупериодов τ обычно используется в качестве координаты на комплексной верхней полуплоскости, обычно снабженной метрикой Пуанкаре для получения полуплоскости Пуанкаре. Модель самолета. Ном тогда служит координатой на проколотом диске единичного радиуса; он выколот, потому что q = 0 не является частью диска (точнее, q = 0 соответствует τ → ∞). Это наделяет проколотый диск метрикой Пуанкаре.
Верхняя полуплоскость (и диск Пуанкаре, и проколотый диск), таким образом, может быть покрыта плиткой фундаментальной областью, которая является областью значений отношение полупериодов τ (или q, или K и iK 'и т.д.), которые однозначно определяют мозаику плоскости параллелограммами. Замощение называется модульной симметрией, задаваемой модульной группой. Функции, периодические на верхней полуплоскости (или периодические на круге Пуанкаре, или периодические на проколотом q-круге), называются модулярными функциями ; Номинал, полупериоды, четверть периода или отношение полупериодов - все они обеспечивают различные параметризации для этих периодических функций.
Прототипом модульной функции является j-инвариант Клейна. Его можно записать как функцию либо отношения полупериодов τ, либо как функцию числа q. Расширение ряда в терминах нома (q-расширение ), как известно, связывает чудовище Фишера-Грисса посредством чудовищного самогона.
Функции, которые "почти периодические », но не совсем, и имеющие определенное преобразование в модульной группе, называются модульными формами. Например, функция Эйлера возникает как прототип для q-серии в целом.
Ном, как q q-рядов, затем возникает в теории аффинных алгебр Ли, главным образом потому, что (выражаясь поэтически, но не фактически) эти алгебры описывают симметрии и изометрии римановых поверхностей.
