Модель полуплоскости Пуанкаре

Модель верхней полуплоскости гиперболической неевклидовой геометрии Параллельные лучи в модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрия

В неевклидовой геометрии модель полуплоскости Пуанкаре представляет собой верхнюю полуплоскость, обозначенную ниже как H$\{(x,\; y)\; |\; у>0;\; x,\; y\; \in \; R\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(x,\; y)\; |\; y>0;\; x,\; y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \}\}$вместе с тегом метрика, метрика Пуанкаре, которая делает ее моделью двумерной гиперболической геометрии.

. Иногда также описывается модель полуплоскости Пуанкаре. как комплексная плоскость, где мнимая часть (указанная выше координата y) положительна.

Модель полуплоскости Пуанкаре названа в честь Анри Пуанкаре, но он произошел от Эудженио Бельтрами, который использовал его вместе с моделью Клейна и моделью диска Пуанкаре (из-за Бернхарда Риман ), чтобы показать, что гиперболическая геометрия была равносогласованной с евклидовой геометрией.

Эта модель конформна, что означает, что углы, измеренные в точке, совпадают в режиме l, поскольку они находятся в реальной гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли обеспечивает изометрию между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре.

Эту модель можно обобщить для моделирования $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$размерного гиперболического пространства, заменив действительное число x на вектор в n-мерном евклидовом векторном пространстве.

• 1 Метрика
  • 1.1 Расчет расстояния
• 2 Особые точки и кривые
  • 2.1 Евклидово синопсис
• 3 Построение циркуля и линейки
  • 3.1 Построение линии через две существующие точки
  • 3.2 Создание окружности через одну точку с центром в другой точке
  • 3.3 Для данной окружности найти ее (гиперболический) центр
  • 3.4 Другие конструкции
• 4 Группы симметрии
• 5 Изометрическая симметрия
• 6 Геодезические
• 7 Модель в трех измерениях
• 8 Модель в n измерениях
• 9 См. Также
• 10 Ссылки

метрика модели на полуплоскость, $\{⟨x,\; y⟩\; |\; y>0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; |\; y>0\; \backslash \},\}$равно:

$(ds)\; 2\; =\; (dx)\; 2\; +\; (dy)\; 2\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (ds)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(dx)\; ^\; \{2\}\; +\; (dy)\; ^\; \{2\}\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где s измеряет длину вдоль (возможно кривая). Прямые линии в гиперболической плоскости (геодезические для этого метрического тензора, т. е. кривые, которые минимизируют расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей , перпендикулярными к оси x -оси (полукруги, начало которых находится на оси x) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси x.

Расчет расстояния

Обычно расстояние между двумя точками, измеренное в эта метрика вдоль такой геодезической равна:

$dist\; \; (⟨x\; 1,\; y\; 1⟩,\; ⟨x\; 2,\; y\; 2⟩)\; =\; arcosh\; \; (1\; +\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; 2\; 2\; y\; 1\; y\; 2)\; =\; 2\; арсинь\; \; 1\; 2\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; 2\; y\; 1\; y\; 2\; =\; 2\; пер\; \; (Икс\; 2\; -\; Икс\; 1)\; 2\; +\; (Y\; 2\; -\; Y\; 1)\; 2\; +\; (Икс\; 2\; -\; Икс\; 1)\; 2\; +\; (Y\; 2\; +\; Y\; 1)\; 2\; 2\; Y\; 1\; Y\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; OperatorName\; \{dist\}\; (\backslash \; langle\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; \backslash \; left\; (1+\; \{\; \backslash \; frac\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(\; y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\; \{y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 2\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -\; x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \{(y\_\; \{2\}\; +\; y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\}\}\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где arcosh и arsinh - обратные гиперболические функции

$arsinh\; \; x\; =\; ln\; \; (x\; +\; x\; 2\; +\; 1),\; arcosh\; \; x\; =\; ln\; \; (x\; +\; x\; 2\; -\; 1)\; x\; \ge \; 1.\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; \{x\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; \{x\; \}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \backslash \; right)\; x\; \backslash \; geq\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Некоторые особые случаи можно упростить:

$dist\; \; (⟨x,\; y\; 1⟩,\; ⟨x,\; y\; 2⟩)\; =\; |\; ln\; \; y\; 2\; y\; 1\; |\; =\; |\; ln\; \; (y\; 2)\; -\; ln\; \; (y\; 1)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dist\}\; (\backslash \; langle\; x,\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; x,\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\}\}\; \{y\_\; \{1\; \}\}\}\; \backslash \; right\; |\; =\; |\; \backslash \; ln\; (y\_\; \{2\})\; -\; \backslash \; ln\; (y\_\; \{1\})\; |\}$.

$dist\; \; (⟨x\; 1,\; y⟩,\; ⟨x\; 2,\; y⟩)\; =\; arcosh\; \; (1\; +\; (Икс\; 2\; -\; Икс\; 1)\; 2\; 2\; Y\; 2)\; знак\; равно\; 2\; арсинь\; \; (|\; Икс\; 2\; -\; Икс\; 1\; |\; 2\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{dist\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; langle\; x\_\; \{1\},\; y\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; x\_\; \{2\},\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; ^\; \{2\}\}\; \{2y\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; |\}\; \{2y\}\}\; \backslash \; right)\}$

$dist\; \; (⟨x,\; r⟩,\; ⟨x\; \pm \; r\; sin\; \; \varphi ,\; r\; cos\; \; \varphi ⟩)\; =\; arsinh\; \; (tan\; \; \varphi )\; =\; arcosh\; \; (1\; cos\; \; \varphi )\; =\; ln\; \; (1\; +\; sin\; \; \varphi \; cos\; \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dist\}\; (\backslash \; langle\; x,\; r\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; pm\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi,\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; tan\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\}$

Другой способ вычисления расстояния между двумя точками, находящимися на (евклидовой) половине c ircle:

$dist\; \; (AB)\; =\; |\; ln\; \; (|\; B\; A\; \infty \; |\; |\; A\; B\; \infty \; |\; |\; A\; A\; \infty \; |\; |\; B\; B\; \infty \; |)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dist\}\; (AB)\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; BA\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ||\; AB\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; |\}\; \{|\; AA\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ||\; BB\_\; \{\; \backslash \; infty\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |.\}$

где $A\; \infty ,\; B\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; infty\},\; B\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$- точки где полукруги пересекаются с линией границы и $|\; P\; Q\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; PQ\; |\}$- евклидова длина отрезка, соединяющего точки P и Q в модели.

• Идеальные точки (точки на бесконечности) в модели полуплоскости Пуанкаре бывают двух видов:

• точки на оси x и
• одна воображаемая точка в $y\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; infty\}$, которая является идеальной точкой, к которой все линии ортогональны к оси x сходятся.

• Прямые, геодезические (кратчайший путь между точками, содержащимися в нем) моделируются либо:

• полукругами, начало которых находится на оси x
• прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси x

• A окружности (кривые, равноудаленные от центральной точки) с центром $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$и радиус $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$моделируется с помощью:

круга с центром $(x,\; y\; cosh\; \; (r))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y\; \backslash \; cosh\; (r))\}$и радиус $y\; sinh\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sinh\; (r)\}$

• A hypercycle (эквидистантная кривая от прямой, ее ось) моделируется либо:

• дугой окружности который пересекает ось x в тех же двух идеальных точках, что и полукруг, моделирующий его ось, но под острым или тупым углом
• прямая линия, пересекающая ось x в та же точка, что и вертикальная линия, которая моделирует ее ось, но под острым или тупым углом.

• A гороциклом (кривая, нормали которой сходятся асимптотически в одном направлении, ее центре) либо:

• окружностью, касательной к оси x (но исключая идеальную точку пересечения, которая является ее центром);
• линией, параллельной оси x, в в данном случае центром является идеальная точка в точке $y\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; infty\}$.

евклидово синопсис

евклидова окружность с центром $(xe,\; ye)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{e\},\; y\_\; \{e\})\}$и радиус $re\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{e\}\}$представляет:

• когда круг полностью находится внутри полуплоскости гиперболический круг с центром

$(xe,\; ye\; 2\; -\; re\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{e\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\_\; \{e)\; \}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{e\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

и радиус

$1\; 2\; ln\; \; (y\; e\; +\; r\; e\; y\; e\; -\; r\; e).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{e\}\; +\; r\_\; \{e\}\}\; \{y\_\; \{e\}\; -r\_\; \{e\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

• когда круг полностью находится внутри полуплоскости и касается границы орицикла с центром вокруг идеальной точки $(xe,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{e\},\; 0)\}$
• , когда круг пересекает границу ортогональная $(ye\; =\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{e\}\; =\; 0)\}$гиперболическая линия
• , когда круг пересекает границу не- ортогональный гиперцикл.

Вот как можно использовать конструкции компаса и линейки в модели, чтобы добиться эффекта базовых конструкций в гиперболическом самолет. Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, который моделирует линию на гиперболической плоскости через две заданные точки.

Создание линии через две существующие точки

Проведите отрезок линии между двумя точками. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку прямой. Найдите его пересечение с осью абсцисс. Нарисуйте круг вокруг пересечения, которое проходит через заданные точки. Сотрите часть, которая находится на оси абсцисс или ниже нее.

Или в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной линии, проведите эту вертикальную линию через две точки и сотрите часть, которая находится на оси x или ниже.

Создание круга через одну точку с центром в другой точке

• Если две точки не находятся на вертикальной линии:

Нарисуйте радиальную линию (полукруг) между двумя заданными точками, как в предыдущий случай. Постройте касательную к этой линии в нецентральной точке. Опустите перпендикуляр из заданной центральной точки на ось абсцисс. Найдите пересечение этих двух линий, чтобы получить центр модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится над другой заданной точкой:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси x, который проходит через данную центральную точку. Проведите горизонтальную линию через нецентральную точку. Постройте касательную к окружности на пересечении с этой горизонтальной линией.

Средняя точка между пересечением касательной с вертикальной линией и данной нецентральной точкой является центром модельной окружности. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится ниже другой заданной точки:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси x, проходящей через данную центральную точку. Проведите касательную линию к окружности, проходящей через данную нецентральную точку. Проведите горизонтальную линию через точку касания и найдите ее пересечение с вертикальной линией.

Середина между этим пересечением и данной нецентральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

Найдите (гиперболический) центр данной окружности.

Отбросьте перпендикуляр p от евклидова центра окружности к оси x.

Пусть точка q будет пересечением этой прямой и оси x.

Проведите касательную к окружности, проходящей через точку q.

Нарисуйте полукруг h с центром q, проходящий через точку пересечения касательной и окружности.

(гиперболический) центр - это точка пересечения h и p.

Другие конструкции

• Создание точки, являющейся пересечением двух существующих линий, если они пересекаются:

Найдите пересечение двух заданных полукругов (или вертикальных линий).

• Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются):

Найдите точку пересечения данного полукруга (или вертикальной линии) с данной окружностью.

• Создание одной или двух точек на пересечении двух окружностей (если они пересекаются):

Найдите пересечение двух заданных окружностей.

Звездчатое правильное семиугольное замощение модели

Действует проективная линейная группа PGL (2, C ) на сфере Римана с помощью преобразований Мёбиуса. Подгруппа, отображающая верхнюю полуплоскость, H, на себя - это PSL (2, R ), преобразования с действительными коэффициентами, и они действуют транзитивно и изометрически на верхней полуплоскости, что делает его однородным пространством.

Существует четыре тесно связанных группы Ли, которые действуют в верхней полуплоскости посредством дробно-линейных преобразований и сохраняют гиперболическое расстояние.

• Специальная линейная группа SL (2, R), которая состоит из набора матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен +1. Обратите внимание, что многие тексты (включая Википедию) часто говорят SL (2, R ), когда на самом деле имеют в виду PSL (2, R).
• Группа S * L (2, R ), состоящая из набора матриц 2 × 2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1 или -1. Обратите внимание, что SL (2, R ) является подгруппой этой группы.
• Проективная специальная линейная группа PSL (2, R) = SL (2, R ) / {± I}, состоящий из матриц в SL (2, R ) по модулю плюс или минус единичная матрица.
• Группа PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± I} = PGL (2, R ) снова является проективной группой, и опять же, по модулю плюс или минус единичная матрица. PSL (2, R ) содержится как нормальная подгруппа индекса два, другой смежный класс - это множество матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен −1 по модулю плюс или минус тождество.

Взаимосвязь этих групп модели Пуанкаре выглядит следующим образом:

• Группа всех изометрий из H, иногда обозначаемых как Isom (H ), изоморфна PSL ( 2, R ). Это включает в себя как изометрии с сохранением ориентации, так и изометрии с изменением ориентации. Карта с изменением ориентации (зеркальная карта): $z\; \to \; -\; z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; rightarrow\; -\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}$.
• Группа сохраняющих ориентацию изометрий H, иногда обозначаемый как Isom (H ), изоморфен PSL (2, R).

Важными подгруппами группы изометрий являются фуксовы группы.

Также часто встречаются модульная группа SL (2, Z ). Эта группа важна по двум причинам. Во-первых, это группа симметрии квадратной 2x2 решетки точек. Таким образом, периодические функции на квадратной сетке, такие как модульные формы и эллиптические функции, таким образом, унаследуют симметрию SL (2, Z ) от сетки. Во-вторых, SL (2, Z ), конечно, является подгруппой SL (2, R ) и, таким образом, имеет заложенное в ней гиперболическое поведение. В частности, SL (2, Z ) можно использовать для разбиения гиперболической плоскости на ячейки с равной площадью (Пуанкаре).

групповое действие проект тивная специальная линейная группа $PSL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$на $H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\}$определяется как

$(abcd)\; \cdot \; z\; =\; az\; +\; bcz\; +\; d\; =\; (ac\; |\; z\; |\; 2\; +\; b\; d\; +\; (a\; d\; +\; b\; c)\; \Re \; (z))\; +\; i\; (a\; d\; -\; b\; c)\; \Im \; (z)\; |\; с\; z\; +\; d\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{az\; +\; b\}\; \{cz\; +\; d\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(ac\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\; +\; bd\; +\; (ad\; +\; bc)\; \backslash \; Re\; (z))\; +\; i\; (ad-bc)\; \backslash \; Im\; (z)\}\; \{|\; cz\; +\; d\; |\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Обратите внимание, что действие является транзитивным : для любого $z\; 1,\; z\; 2\; \in \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\},\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\}$существует a $g\; \in \; PSL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$такой, что $gz\; 1\; =\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; gz\_\; \{1\}\; =\; z\_\; \{2\}\}$. Он также верен в том смысле, что если $gz\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; gz\; =\; z\}$для всех $z\; \in \; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\},\}$, тогда g = e.

стабилизатор или подгруппа изотропии элемента $z\; \in \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\}$- это набор $g\; \in \; PSL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, при этом z остается неизменным: gz = z. Стабилизатором i является группа вращения

$S\; O\; (2)\; =\; \{(cos\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; -\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta )\; |\; \theta \; \in \; R\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{SO\}\}\; (2)\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Поскольку любой элемент $z\; \in \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\}$отображается в i некоторым элементом $PSL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, это означает что подгруппа изотропии любого z изоморфна SO (2). Таким образом, $H\; =\; PSL\; (2,\; R)\; /\; SO\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\; =\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; /\; \{\backslash \; rm\; \{SO\}\; \}\; (2)\}$. В качестве альтернативы, связка касательных векторов единичной длины на верхней полуплоскости, называемая единичной касательной связкой, изоморфна $PSL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{PSL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$.

Верхняя полуплоскость разбивается на свободные регулярные множества с помощью модульной группы $SL\; (2,\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{SL\}\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}).\}$

Геодезические для этого метрического тензора представляют собой дуги окружностей, перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало координат на действительной оси) и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Геодезическая с единичной скоростью, идущая вертикально вверх через точку i, задается как

$\gamma \; (t)\; =\; (e\; t\; /\; 2\; 0\; 0\; e\; -\; t\; /\; 2)\; \cdot \; i\; =\; i\; e\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; e\; ^\; \{t\; /\; 2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; e\; ^\; \{-\; t\; /\; 2\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; i\; =\; ie\; ^\; \{t\}.\}$

Поскольку PSL (2, R ) действует транзитивно изометриями верхней полуплоскости, эта геодезическая отображается в другие геодезические посредством действия PSL (2, R ). Таким образом, общая геодезическая с единичной скоростью определяется как

$\gamma \; (t)\; =\; (a\; b\; c\; d)\; (e\; t\; /\; 2\; 0\; 0\; e\; -\; t\; /\; 2)\; \cdot \; i\; =\; a\; i\; e\; t\; +\; b\; c\; i\; e\; t\; +\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; e\; ^\; \{t\; /\; 2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; e\; ^\; \{-\; t\; /\; 2\; \}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; i\; =\; \{\backslash \; frac\; \{aie\; ^\; \{t\}\; +\; b\}\; \{cie\; ^\; \{t\}\; +\; d\}\}.\}$

Это дает базовое описание геодезический поток на касательном расслоении единичной длины (комплексное линейное расслоение ) на верхней полуплоскости. Начиная с этой модели, можно получить поток на произвольных римановых поверхностях, как описано в статье о потоке Аносова.

The метрика модели на полупространстве

$\{⟨x,\; y,\; z⟩\; |\; z>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; langle\; x,\; y,\; z\; \backslash \; rangle\; |\; z>0\; \backslash \}\; \backslash ,\}$

задается как

$(ds)\; 2\; =\; (dx)\; 2\; +\; (dy)\; 2\; +\; (dz)\; 2\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (ds)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(dx)\; ^\; \{2\}\; +\; (dy)\; ^\; \{2\}\; +\; (dz)\; ^\; \{2\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\}$

где s измеряет длину вдоль возможно искривленной линии. Прямые линии в гиперболическом пространстве (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, которые минимизируют расстояние) представлена ​​в этой модели дугами окружностей, нормальными к плоскости z = 0 (полукруги, начало которых находится в плоскости z = 0), и прямыми вертикальными лучами, нормальными к плоскости z = 0.

расстояние между двумя точками, измеренными в этой метрике вдоль такой геодезической, составляет:

$dist\; \; (⟨x\; 1,\; y\; 1,\; z\; 1⟩,\; ⟨x\; 2,\; y\; 2,\; z\; 2⟩)\; =\; arcosh\; \; (1\; +\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; 2\; +\; (z\; 2\; -\; z\; 1)\; 2\; 2\; z\; 1\; z\; 2)\; =\; 2\; арсинь\; ((x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; 2\; +\; (z\; 2\; -\; z\; 1)\; 2\; 2\; z\; 1\; z\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dist\}\; (\backslash \; langle\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\},\; z\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\},\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; rangle)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{arcosh\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(\; z\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; operatorname\; \{arsinh\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{(z\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Эту модель можно обобщить для моделирования $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$размерное гиперболическое пространство путем замены действительного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве.

• Угол параллельности
• Поток Аносова
• Фуксова группа
• Фуксова модель
• Гиперболическое движение
• Клейнианская модель
• Модели гиперболической плоскости
• Псевдосфера
• Теорема Шварца – Альфорса – Пика
• Ультрапараллельная теорема

Примечания

Источники