преобразование Кэли

В математике, Преобразование Кэли, названное в честь Артура Кэли, представляет собой любую группу связанных вещей. Как первоначально описано Cayley (1846), преобразование Кэли представляет собой отображение между кососимметричными матрицами и специальными ортогональными матрицами. Преобразование представляет собой гомографию, используемую в реальном анализе, комплексном анализе и кватернионном анализе. В теории гильбертовых пространств преобразование Кэли представляет собой отображение между линейными операторами (Никольский 2001).

• 1 Реальная гомография
• 2 Комплексная гомография
• 3 Кватернионная гомография
  • 3.1 Инверсная
• 4 Матричная карта
  • 4.1 Примеры
  • 4.2 Другие матрицы
• 5 Операторная карта
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Преобразование Кэли является автоморфизмом реальной проективной линии, которая переставляет элементы {1, 0, −1, ∞} последовательно. Например, он отображает положительные действительные числа в интервал [-1, 1]. Таким образом, преобразование Кэли используется для адаптации многочленов Лежандра для использования с функциями от положительных действительных чисел с рациональными функциями Лежандра.

В качестве вещественной гомографии точки описываются с помощью проективные координаты, и отображение имеет вид

$[y,\; 1]\; =\; [x\; -\; 1\; x\; +\; 1,\; 1]\; \sim \; [x\; -\; 1,\; x\; +\; 1]\; =\; [x,\; 1]\; (1\; 1-1\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; [y,\; \backslash \; 1]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{x\; +\; 1\}\},\; \backslash \; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; Thicksim\; [x-1,\; \backslash \; x\; +\; 1]\; =\; [x,\; \backslash \; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Преобразование Кэли верхней комплексной полуплоскости в единичный круг

В комплексной проекции плоскости преобразование Кэли:

$f\; (z)\; =\; z\; -\; iz\; +\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{zi\}\; \{z\; +\; i\}\}.\}$

Поскольку {∞, 1, –1} отображается в {1, –i, i} и Преобразования Мёбиуса переставляют обобщенные окружности в комплексной плоскости, f отображает действительную прямую в единичную окружность. Кроме того, поскольку f является непрерывным, а i принимается равным 0 посредством f, верхняя полуплоскость отображается на единичный диск.

В терминах моделей гиперболическая геометрия, это преобразование Кэли связывает модель полуплоскости Пуанкаре с моделью диска Пуанкаре. В электротехнике преобразование Кэли использовалось для отображения полуплоскости реактивного сопротивления на диаграмму Смита, используемую для согласования импеданса линий передачи.

В четырехмерном пространстве из кватернионов q = a + bi + cj + dk, версоры

$U\; (\theta ,\; r)\; =\; соз\; \; \theta \; +\; r\; грех\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\backslash \; theta,\; r)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$образуют единицу 3-сфера.

Так как кватернионы некоммутативны, элементы его проективной прямой имеют однородные координаты, записанные U (a, b), чтобы указать, что однородный множитель умножается слева. Кватернионное преобразование:

$f\; (u,\; q)\; =\; U\; [q,\; 1]\; (1\; 1\; -\; uu)\; =\; U\; [q\; -\; u,\; q\; +\; u]\; \sim \; U\; [(q\; +\; u)\; -\; 1\; (q\; -\; u),\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u,\; q)\; =\; U\; [q,\; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; -\; u\; u\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; U\; [qu,\; \backslash \; q\; +\; u]\; \backslash \; sim\; U\; [(q\; +\; u)\; ^\; \{-\; 1\}\; (qu),\; \backslash \; 1].\}$

Реальные и комплексные омографии, описанные выше, являются примерами гомографии кватернионов, где θ равно нулю или π / 2, соответственно. Очевидно, преобразование принимает u → 0 → –1 и принимает –u → ∞ → 1.

Вычисление этой гомографии при q = 1 отображает версор u на его ось:

$f\; (u,\; 1)\; =\; (1\; +\; u)\; -\; 1\; (1\; -\; u)\; =\; (1\; +\; u)\; \ast \; (1\; -\; u)\; /\; |\; 1\; +\; u\; |\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (u,\; 1)\; =\; (1\; +\; u)\; ^\; \{-\; 1\}\; (1-u)\; =\; (1\; +\; u)\; ^\; \{*\}\; (1-u)\; /\; |\; 1\; +\; u\; |\; ^\; \{2\}.\}$

Но $|\; 1\; +\; u\; |\; 2\; =\; (1\; +\; u)\; (1\; +\; u\; \ast )\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \theta \; и\; (1\; +\; u\; \ast )\; (1\; -\; u)\; =\; -\; 2\; r\; sin\; \; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 1\; +\; u\; |\; ^\; \{2\}\; =\; (1\; +\; u)\; (1\; +\; u\; ^\; \{*\})\; =\; 2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; (1+\; u\; ^\; \{*\})\; (1-u)\; =\; -\; 2r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta.\}$

Таким образом, $f\; (u,\; 1)\; =\; -\; r\; sin\; \; \theta \; 1\; +\; cos\; \; \theta \; =\; -\; r\; tan\; \; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u,\; 1)\; =\; -\; r\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{1+\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; r\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}.\}$

В этой форме преобразование Кэли было описано как рациональная параметризация вращения: пусть t = tan φ / 2 в тождестве комплексных чисел

$e\; -\; i\; \phi \; =\; 1\; -\; ti\; 1\; +\; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; varphi\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-ti\}\; \{1\; +\; ti\}\}\}$

где правая часть представляет собой преобразование ti, а левая часть представляет собой поворот плоскости на отрицательные φ радиан.

Обратное

Пусть $u\; \ast \; =\; cos\; \; \theta \; -\; r\; sin\; \; \theta \; =\; u\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; u\; ^\; \{-\; 1\}.\}$Поскольку

$(1\; 1\; -\; uu)\; (1\; -\; u\; \ast \; 1\; u\; *)\; =\; (2\; 0\; 0\; 2)\; \sim \; (1\; 0\; 0\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; -\; u\; u\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; -u\; ^\; \{\; *\}\; \backslash \backslash \; 1\; u\; ^\; \{*\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; \backslash \; sim\; \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,\}$

где эквивалентность находится в проективной линейной группе над кватернионами, обратный к f (u, 1) равен

$U\; [p,\; 1]\; (1\; -\; u\; \ast \; 1\; u\; \ast )\; =\; U\; [p\; +\; 1,\; (1\; -\; p)\; u\; \ast ]\; \sim \; U\; [u\; (1\; -\; p)\; -\; 1\; (p\; +\; 1),\; 1].\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; [p,\; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; -u\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; 1\; u\; ^\; \{*\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; U\; [p\; +\; 1,\; \backslash \; (1-p)\; u\; ^\; \{*\}]\; \backslash \; sim\; U\; [u\; (1-p)\; ^\; \{-\; 1\}\; (p\; +\; 1),\; \backslash \; 1].\}$

Так как омографии являются биекциями, $f\; -\; 1\; (u,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (u,\; 1)\}$отображает векторные кватернионы на 3-сферу версоров. Поскольку версоры представляют вращения в трехмерном пространстве, гомография f производит вращения шара в ℝ.

Среди n × n квадратных матриц над вещественными числами, где I - единичная матрица, пусть A будет любым перекосом -симметричная матрица (так что A = −A). Тогда I + A обратимо, и преобразование Кэли

$Q\; =\; (I\; -\; A)\; (I\; +\; A)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; (IA)\; (I\; +\; A)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

производит ортогональную матрицу, Q (так что QQ = I). Умножение матриц в определении Q выше коммутативно, поэтому Q можно альтернативно определить как $Q\; =\; (I\; +\; A)\; -\; 1\; (I\; -\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; (I\; +\; A)\; ^\; \{-\; 1\; \}\; (IA)\}$. Фактически, Q должен иметь определитель +1, поэтому он является специальным ортогональным. Наоборот, пусть Q будет любой ортогональной матрицей, которая не имеет −1 в качестве собственного значения ; тогда

$A\; =\; (I\; -\; Q)\; (I\; +\; Q)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (IQ)\; (I\; +\; Q)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

- кососимметричная матрица. Условие на Q автоматически исключает матрицы с определителем −1, но также исключает некоторые специальные ортогональные матрицы.

Также видна немного другая форма, требующая разных отображений в каждом направлении:

$Q\; =\; (I\; -\; A)\; -\; 1\; (I\; +\; A)\; A\; =\; (Q\; -\; I)\; (Q\; +\; I)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Q\; \{\}\; =\; (IA)\; ^\; \{-\; 1\}\; (I\; +\; A)\; \backslash \backslash \; A\; \{\}\; =\; (QI)\; (Q\; +\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; end\; \{\; выровнены\}\}\}$

Отображения также могут быть записаны с обратным порядком факторов; однако A всегда коммутирует с (μI ± A), поэтому переупорядочение не влияет на определение.

Примеры

В случае 2 × 2 мы имеем

$[0\; tan\; \; \theta \; 2\; -\; tan\; \; \theta \; 2\; 0]\; \leftrightarrow \; [cos\; \; \theta \; -\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Матрица поворота на 180 °, −I, исключается, хотя она является пределом, когда tan ⁄ 2 стремится к бесконечности.

В случае 3 × 3 имеем

$[0\; z\; -\; y\; -\; z\; 0\; xy\; -\; x\; 0]\; \leftrightarrow \; 1\; K\; [w\; 2\; +\; x\; 2\; -\; y\; 2\; -\; z\; 2\; 2\; (xy\; -\; wz)\; 2\; (wy\; +\; xz)\; 2\; (xy\; +\; wz)\; w\; 2\; -\; x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; z\; 2\; 2\; (yz\; -\; wx)\; 2\; (xz\; -\; wy)\; 2\; (wx\; +\; yz)\; w\; 2\; -\; x\; 2\; -\; y\; 2\; +\; z\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; z\; -y\; \backslash \backslash \; -\; z\; 0\; x\; \backslash \backslash \; y\; -x\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\; \}\; w\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\; 2\; (xy-wz)\; 2\; (wy\; +\; xz)\; \backslash \backslash \; 2\; (xy\; +\; wz)\; w\; ^\; \{2\}\; -\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\; 2\; (yz-wx)\; \backslash \backslash \; 2\; (xz-wy)\; 2\; (wx\; +\; yz)\; w\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

где K = w + x + y + z, и где w = 1. Мы распознаем это как матрицу вращения, соответствующую кватернион

$w\; +\; ix\; +\; jy\; +\; kz\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; +\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; x\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; y\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; z\; \backslash ,\; \backslash !\}$

(по формуле, которую Кэли опубликовал год перед), за исключением масштабирования так, чтобы w = 1 вместо обычного масштабирования, так что w + x + y + z = 1. Таким образом, вектор (x, y, z) - это единичная ось вращения, масштабируемая на tan ⁄ 2. Снова исключены повороты на 180 °, которые в данном случае представляют собой все Q, которые являются симметричными (так что Q = Q).

Другие матрицы

Мы можем расширить отображение до комплексных матриц, заменив «унитарным » на «ортогональные» и «косые- Эрмитовское "для" кососимметричного ", разница в том, что транспонирование (·) заменяется сопряженным транспонированием (·). Это соответствует замене стандартного реального внутреннего продукта на стандартный сложный внутренний продукт. Фактически, мы можем расширить определение дальше, выбрав сопряженный, кроме транспонирования или сопряженного транспонирования.

Формально определение требует только некоторой обратимости, поэтому мы можем заменить Q любой матрицей M, собственные значения которой не включают −1. Например, у нас есть

$[0\; -\; a\; a\; b\; -\; c\; 0\; 0\; -\; b\; 0\; 0\; 0]\; \leftrightarrow \; [1\; 2\; a\; 2\; c\; 0\; 1\; 2\; b\; 0\; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -a\; ab-c\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 2a\; 2c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 2b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \}$

Заметим, что A кососимметрична (соответственно косоэрмитова) тогда и только тогда, когда Q ортогонален (соответственно унитарен) и не имеет собственного значения −1.

Бесконечномерная версия внутреннего пространства продукта - это гильбертово пространство, и мы больше не можем говорить о матрицы. Однако матрицы - это просто представления линейных операторов, и они у нас все еще есть. Итак, обобщая как матричное отображение, так и отображение комплексной плоскости, мы можем определить преобразование Кэли операторов.

$U\; =\; (A\; -\; я\; I)\; (A\; +\; I\; I)\; -\; 1\; A\; =\; I\; (I\; +\; U)\; (I\; -\; U)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; U\; \{\}\; =\; (A-\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; I)\; (A\; +\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \backslash \; A\; \{\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; (I\; +\; U)\; (IU)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Здесь доменом U, dom U, является (A + i I) dom A. Подробнее см. самосопряженный оператор.

• Билинейное преобразование
• Расширения симметричных операторов

• Стерлинг К. Бербериан (1974) Лекции по функциональному анализу и теории операторов, Тексты для выпускников по математике # 15, страницы 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
• Кэли, Артур (1846), "Sur quelques propriétés des determinants gauches", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 119–123, doi : 10.1515 / crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102 ; перепечатано как статья 52 (стр. 332–336) в Cayley, Arthur (1889), Сборник математических статей Артура Кэли, I (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 332–336
• Локенат Дебнат и Петр Микусиньски (1990) Введение в гильбертовы пространства с приложениями, стр. 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7

• Гилберт Хелмберг (1969) Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве, стр. 288, § 38: Преобразование Кэли, Прикладная математика и механика # 6, Северная Голландия
• Генри Рикардо (2010) A Modern Introduction to Linear Algebra, page 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9.

• Параметризация ортогональных матриц Кэли в PlanetMath.org.
• Никольский, Н.К. (2001), Энциклопедия математики, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-0609-8 ; перевод с русского Виноградов И.М., изд. (1977), Математическая энциклопедия, Москва: Советская энциклопедия