Реальная проекционная линия

редактировать
Реальная проекционная линия может быть моделируется проективно расширенной действительной линией, которая состоит из вещественной прямой вместе с точкой на бесконечности ; то есть, одноточечная компактификация элемента R.

В геометрии, реальная проективная линия является расширением обычной концепции линии, который исторически был введен для решения проблемы, поставленной визуальной перспективой : две параллельные линии не пересекаются, а, кажется, пересекаются «на бесконечности». Для решения этой проблемы были введены точки на бесконечности таким образом, что в реальной проективной плоскости две различные проективные прямые пересекаются ровно в одной точке. Множество этих бесконечно удаленных точек, «горизонт» зрительной перспективы на плоскости, представляет собой реальную проективную линию. Это круг направлений, исходящий от наблюдателя, находящегося в любой точке, с обозначенными противоположными точками. Модель реальной проективной прямой - это проективно расширенная реальная линия . Рисуя линию для представления горизонта в визуальной перспективе, добавляется дополнительная точка на бесконечности, чтобы представить набор линий, параллельных горизонту.

Формально реальная проективная линия P (R) определяется как пространство всех одномерных линейных подпространств двумерного векторного пространства над вещественными числами. автоморфизмы вещественной проективной прямой строятся с 2 × 2 вещественными матрицами. Матрица должна быть невырожденной, и после определения пропорциональных проективных координат пропорциональные матрицы (имеющие идентичные действия на действительной проективной прямой) определяют тот же автоморфизм P (R). Такой автоморфизм иногда называют гомографией проективной прямой. С учетом бесконечно удаленной точки автоморфизм можно назвать дробно-линейным преобразованием. Автоморфизмы образуют проективную линейную группу PGL (2, R) .

Топологически реальная проективная прямая гомеоморфна окружности окружности. Реальная проективная прямая - это граница гиперболической плоскости . Каждая изометрия гиперболической плоскости индуцирует уникальное геометрическое преобразование границы, и наоборот. Кроме того, каждая гармоническая функция на гиперболической плоскости задается как интеграл Пуассона распределения на проективной прямой таким образом, который совместим с действием группы изометрий. На топологической окружности есть много совместимых проективных структур; пространство таких структур - (бесконечномерное) универсальное пространство Тейхмюллера. Комплексным аналогом действительной проективной прямой является комплексная проективная прямая ; то есть сфера Римана.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Диаграммы
  • 3 Структура
  • 4 Автоморфизмы
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки

Определение

Точки реальной проективной прямой обычно определяются как классы эквивалентности для отношения эквивалентности. Начальной точкой является вещественное векторное пространство размерности 2, V. Определите на V ∖ 0 бинарное отношение v~ w, которое будет выполняться, когда существует ненулевое действительное число t такое, что v = t w . Из определения векторного пространства почти сразу следует, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности - это векторные линии, из которых был удален нулевой вектор. Реальная проективная прямая P(V) - это множество всех классов эквивалентности. Каждый класс эквивалентности рассматривается как одна точка, или, другими словами, точка определяется как класс эквивалентности.

Если выбрать основу для V, это количество (путем идентификации вектора с его вектором координат ) для идентификации V с прямым произведением R× R= R, и отношение эквивалентности становится (x, y) ~ (w, z), если существует ненулевое действительное число t такое, что (x, y) = (tw, tz). В этом случае проективная линия P(R) предпочтительно обозначается P(R) или R P 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {1}}{\ mathbb {R}} { \ mathbb {P}} ^ {1} . Класс эквивалентности пары (x, y) традиционно обозначается [x: y], двоеточие в обозначении напоминает, что если y ≠ 0, отношение x: y одинаково для всех элементов. класса эквивалентности. Если точка P является классом эквивалентности [x: y], говорят, что (x, y) является парой проективных координат точки P.

As P(V) определяется через отношение эквивалентности, каноническая проекция от V до P(V) определяет топологию (фактор-топология ) и дифференциальную структуру на проективной прямой. Однако тот факт, что классы эквивалентности не конечны, порождает некоторые трудности для определения дифференциальной структуры. Они решаются путем рассмотрения V как евклидова векторного пространства. Круг из единичных векторов - это, в случае R, набор векторов, координаты которых удовлетворяют условию x + y = 1. Этот круг пересекает каждый классы эквивалентности ровно в двух противоположных точках. Следовательно, проективная линия может рассматриваться как фактор-пространство круга с помощью отношения эквивалентности, так что v~ wтогда и только тогда, когда либо v= w, либо v = - w.

Charts

Проективная прямая - это многообразие. Это можно увидеть с помощью приведенной выше конструкции через отношение эквивалентности, но его легче понять, предоставив атлас, состоящий из двух диаграмм

  • Диаграмма №1: y ≠ 0, [x : y] ↦ xy {\ displaystyle y \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {x} {y}}}y \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {x} {y}}
  • Диаграмма № 2: x ≠ 0, [x: y] ↦ yx {\ displaystyle x \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {y} {x}}}x \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {y} {x}}

Отношение эквивалентности предусматривает, что все представители класса эквивалентности отправляются в такое же действительное число на графике.

Любой из x или y может быть равен нулю, но не оба, поэтому обе диаграммы необходимы для покрытия проекционной линии. карта перехода между этими двумя диаграммами - это обратная мультипликативная. Поскольку это дифференцируемая функция и даже аналитическая функция (вне нуля), реальная проективная линия является одновременно дифференцируемым многообразием и аналитическое многообразие.

обратная функция диаграммы №1 - это отображение

x ↦ [x: 1]. {\ displaystyle x \ mapsto [x: 1].}х \ mapsto [x: 1].

Он определяет вложение действительной линии в проективную линию, дополнением изображения которой является точка [ 1: 0]. Пара, состоящая из этого вложения и проективной прямой, называется проективно расширенной действительной прямой. Отождествляя реальную линию с ее изображением с помощью этого вложения, можно увидеть, что проективную линию можно рассматривать как объединение реальной линии и единственной точки [1: 0], называемой точкой на бесконечности проективно расширенная вещественная прямая и обозначается как ∞. Это вложение позволяет нам идентифицировать точку [x: y] либо с действительным числом x / y, если y ≠ 0, либо с ∞ в другом случае.

Такое же построение может быть выполнено с другой диаграммой. В этом случае бесконечно удаленная точка равна [0: 1]. Это показывает, что понятие бесконечно удаленной точки не присуще реальной проективной прямой, но связано с выбором вложения реальной прямой в проективную прямую.

Структура

Реальная проективная линия - это полный проективный диапазон, который находится в реальной проективной плоскости и в комплексной проективной линии. Таким образом, его структура унаследована от этих надстроек. Первичной среди этих структур является отношение проективных гармонических сопряженных между точками проективного диапазона.

Реальная проективная линия имеет циклический порядок, который является важной математической структурой, показывающей, что реальная линия полностью упорядочена и завершено. Циклический порядок адресуется с помощью отношения разделения , которое имеет свойства, необходимые для соответствующих выводов.

Автоморфизмы

автоморфизмы P (R ) называются гомографиями или проекциями. Эти автоморфизмы могут быть сконструированы синтетически как центральные проекции или параллельные проекции и их композиции. В однородных координатах автоморфизмы представлены проективной линейной группой PSL (2, R ), которая состоит из всех обратимых 2 × 2 вещественных матриц с пропорциональными матрицами идентифицированы. действие PSL (2, R ) может быть представлено матричным преобразованием проективных координат :

[x: y] ↦ [x: y] (acbd) = [ax + by: cx + dy]. {\ displaystyle [x: y] \ mapsto [x: y] {\ begin {pmatrix} a c \\ b d \ end {pmatrix}} = [ax + by: cx + dy].}{\ displaystyle [x: y] \ mapsto [x: y] { \ begin {pmatrix} a c \\ b d \ end {pmatrix}} = [ax + by: cx + dy].}

Это группа действие, поскольку композиция двух омографий представлена ​​умножением матриц , которое является групповой операцией PSL (2, R ).

Ограничением на (аффинную) вещественную линию такой гомографии является преобразование Мёбиуса :

[x: 1] ↦ [x: 1] (acbd) = [ax + b: cx + d] = [ax + bcx + d: 1], {\ displaystyle [x: 1] \ mapsto [x: 1] {\ begin {pmatrix} a c \\ b d \ end {pmatrix}} = [ax + b : cx + d] = \ left [{\ frac {ax + b} {cx + d}}: 1 \ right],}{\ displaystyle [ x: 1] \ mapsto [x: 1] {\ begin {pmatrix} a c \\ b d \ end {pmatrix}} = [ax + b: cx + d] = \ left [{\ frac {ax + b} { cx + d}}: 1 \ right],}

где ad - bc ≠ 0. {\ displaystyle ad-bc \ neq 0.}{\ displaystyle ad-bc \ neq 0.}

Группа PSL (2, R ) трижды транзитивна на действительной проективной прямой, что означает, что для любых двух троек различных точек существует единственная гомография, отображающая первую тройку на второй. Например, тройка {0, 1, ∞} отображается с помощью преобразования Кэли x ↦ x - 1 x + 1 {\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x-1} { x + 1}}}{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x-1} {x + 1}}} в тройку {−1, 0, 1}. Действие этой гомографии на переменную многочленов Лежандра обеспечивает рациональные функции Лежандра.

подгруппа стабилизатора любой точки является сопряженной, и таким образом, изоморфен стабилизатору бесконечно удаленной точки [1: 0], который состоит из матриц (a 0 b 1), {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a 0 \\ b 1 \ end {pmatrix}},}{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a 0 \\ b 1 \ end {pmatrix}},} которые отображают [x: 1] в [ax + b: 1]. Таким образом, это аффинная группа действительной линии.

Начиная с Z⊂ R⊂ C, группа автоморфизмов PSL (2, R ) находится между модульной группой PSL (2, Z ) и группа Мёбиуса PSL (2, C ).

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-03 10:01:21
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте