Внутреннее пространство продукта

Обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств Геометрическая интерпретация угла между двумя годами определяемого с помощью внутреннего произведения. Пространства скалярных произведений над любым полем имеют «скалярные произведения», симметричные и линейные по первому аргументу. Пространства эрмитовых произведений ограничены полем комплексных чисел и имеют «эрмитовы произведения», сопряженно-симметричны и линейны по первому аргументу. Существующими линейными аргументами, сопряженно-симметричными и положительно-определенными являются линейные по первому аргументу, сопряженно-симметричными и положительно-определенными. В отличие от скалярных произведений, скалярные произведения и эрмитовы произведения не обязательно должны быть положенными определенными.

В линейной алгебре, пространство внутреннего произведения или Хаусдорфа прегильбертово пространство - это векторное пространство с дополнительным структурой , называемой внутренним продуктом. Эта дополнительная структура связывает каждую пару векторов в пространстве со скалярной величиной , известную как внутренний продукт векторов, часто обозначаемую с помощью угловых скобок (как в $⟨a,\; b\; ⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; a,\; b\; \backslash \; rangle\}$). Внутренние произведения позволяют строго вводить интуитивно понятные геометрические понятия, такие как длина вектора или угол между двумя векторами. Они также предоставляют средства определения ортогональности между моментми (нулевое внутреннее произведение). Пространства внутреннего произведения обобщают евклидовы пространства. в функциональном анализе. Внутренние пространства продукта над полем из комплексных чисел иногда называются унитарными пространствами . Первое использование концепции пространства с внутренним продуктом связано с Джузеппе Пеано в 1898 году.

Внутренний продукт естественным образом порождает связанный норму, (| x | и | y | - нормы x и y на рисунке), что канонически превращает каждое внутреннее пространство продукта в нормированное внутреннее пространство . Если это нормированное пространство также является банаховым пространством, то внутреннее пространство продукта называется гильбертовым пространством. Если внутреннее произведение (H, ·, ·⟩) не является гильбертовым пространством, то оно может «расширено» до гильбертова пространства (H, ⟨·, ·⟩ H), называемого завершение. Явно это означает, что H является линейно и изометрическими вложенным в плотное новое подпространство H и что внутренний продукт ⟨·, ·⟩ H на H является уникальным непрерывным продолжением исходного продукта ·, ·.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Элементарные свойства
  • 1.2 Альтернативные определения, обозначения и примечания
• Некоторые примеры
  • 2.1 Действительные числа
  • 2.2 Евклидово векторное пространство
  • 2.3 Комплексное координатное пространство
  • 2.4 Гильбертово пространство
  • 2.5 Случайные величины
  • 2.6 Действующие матрицы
  • 2.7 Векторные пространства с формойми
• 3 Норма
  • 3.1 Вещественные и сложные части внутренних продуктов
• 4 Ортонормированные элементы
• 5 Операторы в пространствех внутренних продуктов
• 6 Обобщения
  • 6.1 Вырожденные внутренние продукты
  • 6.2 Невырожденные сопряженные симметричные формы
• 7 Сопутствующие продукты
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Источники

Определение

В этой статье поле из скаляров, обозначенное 𝔽, равно t поле действительных чисел ℝ или поле комплексных чисел ℂ.

Формально, внутреннее пространство продукта - это внутреннее пространство V над полем 𝔽 вместе с картой

$⟨\cdot ,\; \cdot ⟩:\; V\; \times \; V\; \to \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle:\; V\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\}$

называется внутренним продуктом, который удовлетворяет следующие условия (1), (2) и (3) для всех векторов x, y, z ∈ V и всех скаляров a ∈ 𝔽:

1. Линейность в первом аргументе:

   $⟨ax,\; y⟩\; =\; a\; ⟨Икс,\; Y⟩\; ⟨Икс\; +\; Y,\; Z⟩\; знак\; равно\; ⟨Икс,\; Z⟩\; +\; ⟨Y,\; Z⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; langle\; ax,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; a\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \backslash \; langle\; x\; +\; y,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; z\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; y,\; z\; \backslash \; rangle\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

   • Если выполнено условие (1) и $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$также антилинейный (также называемый сопряженным линейным) во втором аргументе, $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$называется полу торалинейной формы.
2. Сопряженной симметрией или эрмитовой симметрией:

   $⟨x,\; y⟩\; Знак\; равно\; ⟨Y,\; x⟩\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\}$

   • Условия (1) и (2) являются определяющими свойствами Эрмитова форма, представляющая собой особый тип полуторалинейной формы. Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда $⟨x,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}$реально для всех x. В частности, условие (2) подразумевает, что $⟨x,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}$является действительным числом для всех x.
3. Положительно определенное :

   $⟨X,\; x⟩>0,\; если\; x\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle>0,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; x\; \backslash \; neq\; 0\}$.

Вышеупомянутые три условия являются определяющими свойствами внутреннего продукта, поэтому внутренний продукт иногда (эквивалентно) определяется как положительно-определенная эрмитова форма.

Если выполнено (1), условие (3) когда выполняются оба условия (4) и (5) ниже:

4. Положительно полуопределенный или неотрицательно-определенно:

   $⟨x,\; x⟩\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; 0\}$

   • Условия (1), (2) и (4) являются определяющими свойствами, а положительная полуопределенная эрмитова форма, которая позволяет нам определить полунорму на V, задаваемую v ↦ √⟨v, v⟩. Эта полунорма является нормой тогда и только тогда, когда выполняется условие (5).
5. Точка-разделяющая или невырожденная :

   $⟨x,\; x⟩\; =\; 0\; влечет\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{implies\}\}\; \backslash \; quad\; x\; =\; 0\}$.

Элементарные свойства

Положительная определенность и линейность соответственно гарантируют, что:

$⟨Икс,\; Икс⟩\; =\; 0\; \Rightarrow \; Икс\; =\; 0\; ⟨0,\; Икс⟩\; =\; ⟨0\; Икс,\; Икс⟩\; =\; 0\; ⟨Икс,\; Икс⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; Rightarrow\; x\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \backslash \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{0\},\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; 0x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что сопряженная симметрия подразумевает, что ⟨x, x⟩ вещественно для всех x, поскольку мы имеем :

$⟨x,\; x⟩\; =\; ⟨x,\; x⟩\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; \backslash ,.\}$

Сопряженная симметрия и линейность в первой переменной подразумевают

$⟨x,\; ay⟩\; =\; ⟨ay,\; x⟩\; ¯\; =\; a\; ¯\; ⟨y,\; x⟩\; ¯\; =\; a\; ¯\; ⟨x,\; y⟩\; ⟨x,\; y\; +\; z⟩\; =\; ⟨y\; +\; z,\; x⟩\; ¯\; =\; ⟨y,\; x⟩\; ¯\; +\; ⟨z,\; x⟩\; ¯\; знак\; равно\; ⟨Икс,\; Y⟩\; +\; ⟨Икс,\; Z⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; \backslash \; langle\; x,\; ay\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; ay,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\; a\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{a\}\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \backslash \; langle\; x,\; y\; +\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; y\; +\; z,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; langle\; z,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; x,\; z\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

то есть сопряженная линейность во втором аргументе. Итак, внутреннее произведение - это полуторалинейная форма.

Это важное обобщение знакомого квадратного разложения следует:

$⟨x\; +\; y,\; x\; +\; y⟩\; =\; ⟨x,\; x⟩\; +\; ⟨x,\; y⟩\; +\; ⟨Y,\; x⟩\; +\; ⟨y,\; y⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; +\; y,\; x\; +\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; y,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\}$

Эти свойства, составляющие вышеуказанной линейности по первому и второму аргументу:

$⟨x\; +\; y,\; z⟩\; =\; ⟨x,\; z⟩\; +\; ⟨y,\; z⟩,\; ⟨x,\; y\; +\; z⟩\; =\; ⟨Икс,\; Y\; ⟩\; +\; ⟨Икс,\; Z⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; langle\; x\; +\; y,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; z\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; y,\; z\; \backslash \; rangle\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; \backslash \; langle\; x,\; y\; +\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; x,\; z\; \backslash \; rangle\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

иначе известны как аддитивность.

В случае при = ℝ сопряженная симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярное изображение на вещественном векторном изображении является положительно симметричной билинейной формой. То есть

$⟨x,\; y⟩\; =\; ⟨y,\; x⟩\; \Rightarrow \; ⟨-\; x,\; x⟩\; =\; ⟨x,\; -\; x⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; langle\; -x,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; -x\; \backslash \; rangle\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и биномиальное расширение становится:

$⟨x\; +\; y,\; x\; +\; y⟩\; =\; ⟨x,\; x⟩\; +\; 2\; ⟨x,\; y⟩\; +\; ⟨y,\; y⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; +\; y,\; x\; +\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; +2\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; y,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\}$

Альтернативные определения, обозначения и примечания

Общий частный случай скалярного произведения, скалярного произведения или скалярного произведения, записывается с центрированной точкой $a\; \cdot \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; b\}$.

Некоторые авторы, В физике и матричной алгебре, предпочитают определять внутреннее произведение и полуторалинейную форму с линейностью во втором аргументе, особенно а не в первом. Тогда первый аргумент становится сопряженным линейным, а не вторым. В этих дисциплинах мы бы записали произведение ⟨x, y⟩ как ⟨y | x⟩ (краткое обозначение в квантовой механике ), соответственно yx (скалярное произведение как случай соглашения о формировании матричного произведения AB, как скалярные произведения строк A со столбцами B). Здесь кеты и столбцы отождествляются с инструментами V, а бюстгальтеры и строки - с линейными функционалами (ковекторами) двойного пространства V, с сопряженностью, составной сальностью. Этот обратный порядок теперь иногда используется в более абстрактной литературе, считая ⟨x, y⟩ сопряженными линейными по x, а не по y. Некоторые вместо этого находят золотую середину, распознавая ·, ·⟩ и ⟨· | ·⟩ Как различные обозначения - различающиеся только тем, какой аргумент является линейно сопряженным.

Существуют технические технические причины, которым необходимо ограничить базовое поле ℝ и ℂ в определении. Вкратце, базовое поле должно содержать упорядоченное поле подполе, чтобы неотрицательность имело смысл, и поэтому должно иметь характеристика, равная 0 (поскольку любое упорядоченное поле должно иметь такую характеристику). Это сразу исключает конечные поля. Базовое поле должно иметь дополнительную дополнительную, такую ​​как выделенный автоморфизм. В более общем смысле, для этой цели будет достаточно любого квадратично замкнутого подполя ℝ или ℂ (например, алгебраических чисел, конструктивных чисел ). Однако в тех случаях, когда это собственное подполе (т.е. ни ℝ, ни), даже большие внутренние пространства произведений не могут быть метрическими полными. Напротив, все внутренние внутренние пространства произведений над ℝ или, как те, которые используются в квантовых вычислений, автоматически метрически завершены (и, следовательно, гильбертовы пространства ).

В некоторых случаях необходимо рассматривать неотрицательные полуопределенные полуопределенные формы. Это означает, что требуется только неотрицательность ⟨x, x⟩. Лечение этих случаев показано ниже.

Некоторые примеры

Действительные числа

Простым примером являются действительные числа со стандартным умножением в качестве внутреннего произведения

$⟨x,\; y⟩:\; =\; Ху.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle:\; =\; xy.\}$

Евклидово новое пространство

В более общем смысле, реальное n-пространство ℝ с точечным произведением - внутреннее пространство продукта, пример евклидова пространства .

$⟨[x\; 1\; ⋮\; xn],\; [y\; 1\; ⋮\; yn]⟩:\; =\; x\; T\; y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nxiyi\; =\; x\; 1\; y\; 1\; +\; \cdots \; +\; xnyn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; x\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; y\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle:\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; textf\; \{T\}\}\; y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; y\_\; \{i\}\; =\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\},\}$

, где x - транспонирование x.

Комплексное координатное пространство

Общая форма внутреннего продукта на ℂ известна как эрмитова форма и задается как

$⟨x,\; y⟩:\; =\; y\; †\; M\; x\; =\; x\; †\; M\; y\; ¯,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle:\; =\; y\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; x\; =\; \{\backslash \; overline\; \{x\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; y\}\},\}$

где M - любая эрмитова положительно определенная матрица, а y - сопряженное транспонирование y. Для реального случая это соответствует скалярному произведению результатов разного по направлениям масштабирования двух векторов с положительными масштабными коэффициентами и ортогональными направлениями масштабирования. Это версия взвешенной суммы скалярного произведения с положительными весами - с точностью до ортогонального преобразования.

Гильбертово пространство

В статье о Гильбертовых пространствах есть несколько пространств внутреннего продукта, в которых метрика, индуцированная внутренним продуктом, дает полное метрическое пространство. Примером внутреннего продукта пространства, которое индуцирует неполную метрику, является пространство C ([a, b]) непрерывных комплекснозначных функций f и g на интервале [a, b]. Внутреннее произведение:

$⟨f,\; g⟩:\; =\; \int \; a\; b\; f\; (t)\; g\; (t)\; ¯\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle:\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (t)\; \{\backslash \; overline\; \{g\; (t)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Это пространство не полное; рассмотрим, например, для интервала [−1, 1] непрерывных «ступенчатых» функций, {f k}k, определенную как:

$fk\; (t)\; =\; \{0\; t\; \in \; [-\; 1,\; 0]\; 1\; t\; \in \; [\; 1\; k,\; 1]\; ktt\; \in \; (0,\; 1\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; t\; \backslash \; in\; [-1,0]\; \backslash \backslash \; 1\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{k\}\},\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; kt\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; (0,\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Эта последовательность представляет собой последовательность Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.

Случайные переменные

Для реального случайных величин X и Y, ожидаемое значение их продукта

$⟨X,\; Y⟩:\; =\; E\; \; (XY)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X,\; Y\; \backslash \; rangle:\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XY)\}$

- внутренний продукт. В этом случае ⟨X, X⟩ = 0 тогда и только тогда, когда Pr (X = 0) = 1 (т.е. X = 0 почти наверняка ). Это определение критерия как внутреннего продукта также может быть расширено до случайных векторов.

Действительные матрицы

Для действительных квадратных матриц одинакового размера,, A, B⟩: = tr (AB) с транспонированием как спряжение

$(⟨A,\; B⟩\; =\; ⟨BT,\; В\; ⟩)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; langle\; A,\; B\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; B\; ^\; \{\backslash \; textf\; \{T\}\},\; A\; ^\; \{\backslash \; textf\; \{T\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\}$

- это внутренний продукт.

Векторное пространство с формойми

На внутреннем пространстве продукта или, в более общем смысле, в векторном пространстве с невырожденной формой (отсюда изоморфизм V → V) в ковекторы (в координатах, через транспонирование), так что можно взять внутреннее произведение и внешнее произведение двухов, а не просто вектор и ковектора.

Норма

Внутренние пространства продукта - это нормированные пространства для нормы, стандартный как

$\Vert \; x\; \Vert \; =\; ⟨x,\; x⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}\}.\}$

Как и для любого нормированного продукта пространства, внутреннее пространство - это метрическое пространство для расстояния, определяемое как

$d\; (\; Икс,\; Y)\; знак\; равно\; \Vert \; Y\; -\; Икс\; \Vert \; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; |\; yx\; \backslash \; |\}$

Аксиомы внутреннего продукта гарантируют, что приведенная выше карта формируется нормами, которая будет обладать свойствами.

Однородность

Для x элемент V и r скаляр

$\Vert \; r\; x\; \Vert \; =\; |\; г\; |\; \Vert \; Икс\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; rx\; \backslash \; |\; =\; |\; г\; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |.\}$

Неравенство треугольника

Для x, y элементов V

$\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; +\; \Vert \; y\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; х\; +\; у\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; +\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |.\}$

Эти два свойства показывают, что одно действительно имеет норму.

Неравенство Коши - Шварца

Для x, y элементов V

$|\; ⟨X,\; y⟩\; |\; \le \; \Vert \; Икс\; \Vert \; \Vert \; Y\; \Vert \; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\}$

с равенством тогда и только тогда, когда x и y равны линейно зависимый. В российской математической литературе это неравенство известно как неравенство Коши - Буняковского - Шварца.

Поляризационная идентичность

Внутреннее произведение может быть получено из норм с помощью поляризационной идентичности

$\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2\; =\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; +\; \Vert \; y\; \Vert \; 2\; +\; 2\; Re\; \; ⟨x,\; y⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; х\; +\; у\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; |\; у\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle,\}$

, который является формой закона косинусов.

Ортогональность

Два вектора ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.. В случае евклидовых векторных пространств, которые являются внутренними пространствами произведения конечной размерности над вещественными числами, внутреннее произведение позволяет определять (неориентированный) угол двух ненулевых векторов с помощью

$\angle \; (Икс,\; Y)\; знак\; arccos\; \; ⟨Икс,\; Y⟩\; \Vert \; Икс\; \Vert \; \Vert \; Y\; \Vert ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; angle\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; arccos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\}\},\}$

и

$0\; \le \; \angle \; (x,\; y)\; \le \; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; angle\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; \backslash \; pi.\}$

Теорема Пифагора

Когда x, y находятся в V и ⟨x, y⟩ = 0, тогда

$\Vert \; x\; \Vert \; 2\; +\; \Vert \; Y\; \Vert \; 2\; знак\; равно\; \Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; |\; у\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; |\; х\; +\; у\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}.\}$

Доказательство идентичности требует выражения свойства с точки зрения внутреннего продукта и умножения, используя аддитивности каждого компонента. Название теоремы Пифагора происходит от геометрической интерпретации в евклидовой геометрии.

тождество Парсеваля

индукция по теореме Пифагора дает: если x 1,…, x n - ортогональные векторы, то есть ⟨x j, x k ⟩ = 0 для различных индексов j, k, тогда

$я\; знак\; равно\; 1\; N\; \Vert \; xi\; \Vert \; 2\; знак\; равно\; \Vert \; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nxi\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}.\}$

Закон параллелограмма

Для x, y элементов V,

$\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2\; +\; \Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; 2\; =\; 2\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; +\; 2\; \Vert \; y\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; |\; ху\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}.\}$

Закон параллелограмма, по сути, является необходимым и достаточным условием для существования скалярного произведения, соответствующего данной норме.

Неравенство Птолемея

Для x, y, z элементов V,

$\Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; \Vert \; z\; \Vert \; +\; \Vert \; y\; -\; z\; \Vert \; \Vert \; x\; \Vert \; \ge \; \Vert \; x\; -\; z\; \Vert \; \Vert \; y\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; ху\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; z\; \backslash \; |\; +\; \backslash \; |\; yz\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; \backslash \; |\; xz\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |.\}$

Неравенство Птолемея на самом деле является необходимым и достаточное условие существования внутреннего продукта, соответствующего данной норме. Подробно Исаак Якоб Шенберг доказал в 1952 году, что для любого реального полунормированного пространства, если его полунорма птолемеична, то полунорма является нормой, связанной со скалярным произведением.

Действительные и сложные части внутренних продуктов

Предположим, что $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$- это внутренний продукт на V ( поэтому его второй аргумент антилинейен). Поляризационная идентичность показывает, что действительная часть внутреннего произведения равна

$R\; (x,\; y):\; =\; Re\; \; ⟨x,\; y⟩\; =\; 1\; 4\; (\Vert \; x\; +\; Y\; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; Икс\; -\; Y\; \Vert \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; R\; (x,\; y):\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

Если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$является вещественным векторным пространством, тогда $⟨x,\; y⟩\; =\; Re\; \; ⟨x,\; y⟩\; =\; 1\; 4\; (\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\; \}\; -\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$и мнимая часть (также называемая комплексной частью) $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$всегда 0.

Предположим для остальной части этого раздела, что V - комплексное векторное пространство. поляризационное тождество для сложных векторных пространств показывает, что

$⟨x,\; y⟩\; =\; 1\; 4\; (\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; 2\; +\; i\; \Vert \; x\; +\; iy\; \Vert \; 2\; -\; i\; \Vert \; X\; -\; iy\; \Vert \; 2)\; =\; R\; (x,\; y)\; +\; i\; R\; (x,\; iy).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; \backslash \; langle\; x,\; \backslash \; y\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; |\; x\; +\; iy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -i\; \backslash \; |\; x-iy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; R\; (x,\; y)\; +\; iR\; (x,\; iy).\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

Карта, определенная как $⟨x\; \mid \; y⟩:\; =\; ⟨y,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; mid\; y\; \backslash \; rangle:\; =\; \backslash \; langle\; y,\; x\; \backslash \; rangle\}$для всех $x,\; y\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; V\}$удовлетворяет аксиомам внутреннего продукта за исключением того, что он антилинейен в его первый, а не второй аргумент. Действительная часть $⟨x\; \mid \; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; mid\; y\; \backslash \; rangle\}$и $⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \}$равны карте $R\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x,\; y)\}$, но внутренние продукты отличаются своей сложной частью:

$⟨X\; \mid \; y⟩\; =\; 1\; 4\; (\Vert \; x\; +\; y\; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; 2\; -\; i\; \Vert \; x\; +\; iy\; \Vert \; 2\; +\; i\; \Vert \; x\; -\; iy\; \Vert \; 2)\; =\; R\; (x,\; y)\; -\; i\; R\; (\; х,\; iy).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; mid\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -i\; \backslash \; |\; x\; +\; iy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; |\; x-iy\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; R\; (x,\; y)\; -iR\; (x,\; iy).\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

Последнее равенство аналогично формуле , выражающей линейный функционал через его действительную часть.

Реальные и сложные внутренние продукты

Как и выше, пусть $R\; (x,\; y)\; =\; Re\; \; ⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$обозначают действительную часть данного (сложного) внутреннего продукта на $V.\; \{\backslash \; displaystyle\; V.\}$Пусть $VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$обозначает $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$<338.>рассматривается как векторное пространство над действительными, а не комплексными числами. Карта $⟨x,\; y⟩\; R:\; =\; R\; (x,\; y):\; VR\; \times \; VR\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}:\; =\; R\; (x,\; y)\; ~:\; ~\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; times\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- это внутренний продукт в реальном векторном пространстве $VR.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}.\}$Каждое внутреннее произведение в реальном векторном пространстве симметрично и билинейно.

Например, если $V\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$с внутренним продуктом $⟨x,\; y⟩\; =\; xy\; ¯,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; x\; \{\backslash \; overline\; \{y\}\},\}$где $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- векторное пространство над полем $C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\}$, тогда $VR\; =\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$- векторное пространство над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $⟨x,\; y⟩\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$- это скалярное произведение $x\; \cdot \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; cdot\; y,\}$, где $x\; =\; a\; +\; ib\; \in \; V\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; +\; ib\; \backslash \; in\; V\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$отождествляется с точкой $(a,\; b)\; \in \; VR\; =\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; \backslash \; in\; V\_\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$(и аналогично для $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$). Кроме того, если бы $⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$вместо этого было определено как симметричное (а не антисимметричное) отображение $⟨x,\; y⟩\; =\; ху\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; xy\}$, тогда его действительная часть $⟨x,\; y⟩\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}\}$не будет скалярным произведением.

Следующие примеры показывают, что, хотя реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств и результатов, они не полностью взаимозаменяемы. Например, если $⟨x,\; y⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$, то $⟨x,\; y⟩\; R\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; =\; 0,\}$, но следующий пример показывает, что обратное, как правило, неверно. Для любого $x\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; V\}$вектор $ix\; \{\backslash \; displaystyle\; ix\}$(который является вектором $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$повернутый на 90 °) принадлежит $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$и, следовательно, также принадлежит $VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}\}$(хотя скалярное умножение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$на i не определено в $VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \}$, все еще верно, что вектор, обозначенный $ix\; \{\backslash \; displaystyle\; ix\}$, является элементом $VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}\}$). Для сложного внутреннего продукта $⟨x,\; ix⟩\; =\; -\; i\; \Vert \; x\; \Vert \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; ix\; \backslash \; rangle\; =\; -i\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\},\}$, тогда как для реального внутреннего продукта значение всегда равно $⟨x,\; ix⟩\; R\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; ix\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; =\; 0.\}$

Если $V\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$имеет внутренний продукт, упомянутый выше, тогда карта $A:\; V\; \to \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; V\; \backslash \; to\; V\; \}$определяется как $A\; x\; =\; ix\; \{\backslash \; displaystyle\; Ax\; =\; ix\}$- ненулевое линейное отображение (линейное для обоих $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$и $VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$), который обозначает поворот на 90 ° в плоскости. Эта карта удовлетворяет условию $⟨x,\; A\; x⟩\; R\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; Ax\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; =\; 0\}$для всех векторов $x\; \in \; VR,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; V\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\},\}$где если бы этот внутренний продукт был сложным, а не реальным, этого было бы достаточно, чтобы сделать вывод, что эта линейная карта $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$идентично $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$(т. Е. $A\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 0\}$), вращения которого точно нет. Напротив, для всех ненулевых $x\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; V\}$карта $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$удовлетворяет $⟨Икс,\; А\; Икс⟩\; знак\; равно\; -\; я\; \Vert \; Икс\; \Vert \; 2\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; Ax\; \backslash \; rangle\; =\; -i\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; 0\}$.

ортонормированные последовательности

Пусть V - конечномерное внутреннее пространство продукта размерности n. Напомним, что каждый базис V состоит из ровно n линейно независимых векторов. Используя процесс Грама – Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах базис {e 1,..., e n } является ортонормированным, если ⟨e i, e j ⟩ = 0 для каждого i ≠ j и ⟨e i, e i ⟩ = || e i || = 1 для каждого i.

Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств внутреннего произведения следующим образом. Пусть V - любое внутреннее пространство продукта. Тогда набор

$E\; =\; \{e\; \alpha \}\; \alpha \; \in \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{e\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; A\}\}$

является базой для V если подпространство V, порожденное конечными линейными комбинациями элементов E, плотно в V (по норме, индуцированной скалярным произведением). Мы говорим, что E является ортонормированным базисом для V, если он является базисом и

$⟨e\; \alpha ,\; e\; \beta ⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; e\; \_\; \{\backslash \; alpha\},\; e\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$

, если α ≠ β и ⟨e α, e α ⟩ = || e α || = 1 для всех α, β ∈ A.

Используя бесконечномерный аналог процесса Грама-Шмидта, можно показать:

Теорема. Любое отделимое внутреннее произведение пространство V имеет ортонормированный базис.

Используя принцип максимума Хаусдорфа и тот факт, что в пространстве полного внутреннего продукта ортогональная проекция на линейные подпространства четко определена, можно также показать, что

Теорема. Любое полное внутреннее пространство произведения V имеет ортонормированный базис.

Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, все ли внутренние производные пространства имеют ортонормированный базис. Ответ, оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он будет доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоса по проблемам гильбертова пространства (см. Ссылки).

Доказательство

Напомним, что размерность внутреннего продукта пространства равна мощности максимальной ортонормированной системы, которую она содержит (по лемме Цорна он содержит по крайней мере один, а любые два имеют одинаковую мощность). Ортонормированный базис, безусловно, является максимальной ортонормированной системой, но, как мы увидим, обратное не обязательно. Заметим, что если G - плотное подпространство внутреннего продукта пространства H, то любой ортонормированный базис для G автоматически становится ортонормированным базисом для H. Таким образом, достаточно построить внутреннее произведение H с плотным подпространством G, размерность которого строго меньше чем у H. Пусть K будет гильбертовым пространством размерности ℵ0 (например, K = l (N )). Пусть E - ортонормированный базис K, поэтому | E | = ℵ 0. Расширим E до базиса Гамеля E ∪ F для K, где E ∩ F = ∅. Так как известно, что размерность Гамеля для K равна c, мощности континуума, должно быть, что | F | = с. Пусть L - гильбертово пространство размерности c (например, L = l (ℝ)). Пусть B - ортонормированный базис для L, и пусть φ: F → B - биекция. Тогда существует линейное преобразование T: K → L такое, что Tf = φ (f) для f ∈ F и Te = 0 для e ∈ E. Пусть H = K ⊕ L и G = { (k, Tk): k ∈ K)} - график T. Пусть Ḡ - замыкание G в H; покажем Ḡ = H. Поскольку для любого e ∈ E выполняется (e, 0) ∈ G, то K ⊕ 0 ⊂ Ḡ. Далее, если b ∈ B, то b = Tf для некоторого f ∈ F ⊂ K, поэтому (f, b) ∈ G ⊂ Ḡ; поскольку и (f, 0) ∈, то также (0, b) ∈ Ḡ. Отсюда следует, что 0 ⊕ L ⊂ Ḡ, поэтому Ḡ = H и G плотна в H. Наконец, {(e, 0): e ∈ E} - максимальное ортонормированное множество в G; если $0\; знак\; равно\; ⟨(е,\; 0),\; (к,\; T\; k)⟩\; =\; ⟨е,\; к⟩\; +\; ⟨0,\; T\; k⟩\; =\; ⟨e,\; k⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; langle\; (e,\; 0),\; (k,\; Tk)\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; e,\; k\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; 0,\; Tk\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; e,\; k\; \backslash \; rangle\}$ для всех e ∈ E, тогда, безусловно, k = 0, поэтому ( k, Tk) = (0, 0) - нулевой вектор в G. Следовательно, размерность G равна | E | = ℵ 0, тогда как ясно, что размерность H равна c. Это завершает доказательство.

Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:

Теорема. Пусть V - отделимое внутреннее пространство произведения, а {e k}k- ортонормированный базис V. Тогда отображение

$x\; \mapsto \; \{⟨ek,\; x⟩\}\; k\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; \{\}\; \backslash \; langle\; e\_\; \{k\},\; x\; \backslash \; rangle\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \}\}\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \}$

- изометрическое линейное отображение V → l с плотным изображением.

Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье, в котором произвольный ортонормированный базис играет роль последовательности тригонометрических полиномов. Note that the underlying index set can be taken to be any countable set (and in fact any set whatsoever, provided l is defined appropriately, as is explained in the article Hilbert space ). In particular, we obtain the following result in the theory of Fourier series:

Theorem.Let V be the inner product space C[−π, π]. Then the sequence (indexed on set of all integers) of continuous functions

$e\; k\; (\; t)\; =\; e\; i\; k\; t\; 2\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; e\_\{k\}(t)=\{\backslash frac\; \{e^\{ikt\}\}\{\backslash sqrt\; \{2\backslash pi\; \}\}\}\}$

is an orthonormal basis of the space C[−π, π] with the L inner product. The mapping

$f\; \mapsto \; 1\; 2\; \pi \; \{\; \int \; -\; \pi \; \pi \; f\; (\; t)\; e\; -\; i\; k\; t\; d\; t\; \}\; k\; \in \; Z\; \{\backslash displaystyle\; f\backslash mapsto\; \{\backslash frac\; \{1\}\{\backslash sqrt\; \{2\backslash pi\; \}\}\}\backslash left\backslash \{\backslash int\; \_\{-\backslash pi\; \}^\{\backslash pi\; \}f(t)e^\{-ikt\}\backslash ,\backslash mathrm\; \{d\}\; t\backslash right\backslash \}\_\{k\backslash in\; \backslash mathbb\; \{Z\}\; \}\}$

is an isometric linear map with dense image.

Orthogonality of the sequence {ek}kfollows immediately from the fact that if k ≠ j, then

$\int \; -\; \pi \; \pi \; e\; -\; i\; (\; j\; -\; k)\; t\; d\; t\; =\; 0.\; \{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \_\{-\backslash pi\; \}^\{\backslash pi\; \}e^\{-i(j-k)t\}\backslash ,\backslash mathrm\; \{d\}\; t=0.\}$

Normality of the sequence is by design, that is, the coefficients are so chosen so that the norm comes out to 1. Finally the fact that the sequence has a dense algebraic span, in the inner product norm, follows from the fact that the sequence has a dense algebraic span, this time in the space of continuous periodic functions on [−π, π] with the uniform norm. This is the content of the Weierstrass theorem on the uniform density of trigonometric polynomials.

Operators on inner product spaces

Несколько типов линейных отображений A из внутреннего пространства продукта V во внутреннее пространство продукта W имеют значение:

• Непрерывные линейные отображения, т. Е. A является линейным и непрерывным относительно к метрике, определенной выше, или, что то же самое, A является линейным, а набор неотрицательных вещественных чисел {|| Ax ||}, где x пробегает замкнутый единичный шар V, ограничен. операторы, т. е. A линейна и ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ для всех x, y в V.
• Изометрии, т.е. A линейна и ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ для всех x, y в V или, что то же самое, A линейна и || Ax || = || х || для всех x в V. Все изометрии инъективны. Изометрии - это морфизмы между внутренними пространствами продукта, а морфизмы реальных внутренних пространств продукта являются ортогональными преобразованиями (сравните с ортогональной матрицей ).
• Изометрические изоморфизмы, т. Е. A - изометрия, которая сюръективна (и, следовательно, биективный ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (сравните с унитарной матрицей ).

С точки зрения теории внутреннего пространства продукта, нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема обеспечивает каноническую форму для симметричных, унитарных и, в более общем смысле, нормальных операторов на конечномерных внутренних пространствах произведения. Обобщение спектральной теоремы выполняется для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах.

Обобщения

Любая из аксиом скалярного произведения может быть ослаблена, давая обобщенные понятия. Обобщения, наиболее близкие к скалярным произведениям, встречаются там, где билинейность исопряженная симметрия сохраняется, но положительная определенность ослабляется.

Вырожденные скалярные продукты

Если V - векторное пространство и ⟨·, ·⟩ полуопределенная полуторалинейная форма, то функция:

$\Vert \; x\; \Vert \; =\; ⟨x,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\}\}\}$

имеет смысл и удовлетворяет всем свойствам нормы, за исключением того, что || x || = 0 не означает x = 0 (такой функционал тогда называется полунормой ). Мы можем создать внутреннее пространство продукта, рассматривая частное W = V / {x: || x || = 0}. Полуторалинейная форма ⟨·, · пропускается через W.

Эта конструкция используется во многих контекстах. Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала является особенно важным примером использования этой техники. Другой пример - представление полуопределенных ядер на произвольных наборах.

Невырожденные сопряженные симметричные формы

В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы спаривание было невырожденной формой, что означает, что для всех ненулевых x существует некоторый y такой, что ⟨ x, y⟩ ≠ 0, хотя y не обязательно равно x; другими словами, индуцированное отображение в дуальное пространство V → V инъективно. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют внутреннее произведение, является римановым многообразием, тогда как, если это связано с невырожденной сопряженной симметричной формой, многообразие является псевдориманово многообразие. Согласно закону инерции Сильвестра, так же, как каждый внутренний продукт подобен скалярному произведению с положительными весами на множестве векторов, любая невырожденная сопряженная симметричная форма подобна скалярному произведению с ненулевыми весами на множестве векторов. векторов, а количество положительных и отрицательных весов называется соответственно положительным индексом и отрицательный индекс. Произведение векторов в изображении Минковского примером неопределенного внутреннего продукта, хотя, технически говоря, это не внутренний продукт в соответствии со стандартным определением, приведенным выше. Пространство Минковского имеет четыре измерения и индексы 3 и 1 (назначение им «+» и «-» различается в зависимости от условных обозначений ).

Чисто алгебраические утверждения (не использующие позитивность) обычно полагаются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм V → V) и, таким образом, верны в более общем случае.

Сопутствующие товары

Термин «внутренний продукт» противопоставляется внешнему продукту, который является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутренний продукт является произведением ковектора 1 × n с вектором n × 1, что дает матрицу 1 × 1 (скаляр), в то время как внешний продукт является произведением вектора m × 1 с Ковектор 1 × n, что дает матрицу размер m × n. Обратите внимание, что внешний продукт определяется для разных размеров, а внутренний продукт требует того же размера. Если размеры совпадают, то внутренним продуктом является трасса внешнего продукта (трасса правильно определяется только для квадратных матриц). В неофициальном резюме: «внутреннее становится горизонтальным, умноженным на вертикальное, и сжимается вниз, внешнее становится вертикальным, умноженным на горизонтальное, и расширяется».

Говоря более абстрактно, внешнее произведение - это билинейное отображение W × V → Hom (V, W), передающее вектор и ковектор линейному преобразованию ранга 1 (простой тензор типа (1, 1)), внутреннее произведение - это билинейное оценочное отображение V × V → F, полученное путем вычисления ковектора на векторе; порядок векторных пространств доменов здесь отражает различие ковектор / вектор.

Внутренний продукт и внешний продукт не следует путать с внутренним продуктом и внешним продуктом, которые вместо этого являются операциями с векторными полями и дифференциальные формы, или, в более общем смысле, внешняя алгебры.

В качестве дополнительного усложнения в геометрической алгебре внутреннее произведение и внешнее (грассмановское) произведение объединяются в геометрическое произведение (произведение Клиффорда) в алгебре Клиффорда ) - внутреннее произведение отправляет два вектора (1-вектор) в скаляр (0-вектор), а внешнее произведение отправляет два вектора в бивектор (2-вектор) - и в контексте внешнего продукта обычно называют внешний продуктом (альтернативно, продуктом клина). Внутреннее произведение в этом контексте более правильно называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно (не обязательно внутренним произведением).

См. Также

• Билинейная форма
• Биортогональная система
• Двойное пространство
• Энергетическое пространство
• L-полувнутренний продукт

Примечания

Ссылки

Источники

• Axler, Шелдон (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98258-8.
• Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические информационные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Swartz, Charles (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические системы пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Янг, Николас (1988). Введение в гильбертово пространство. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33717-5.

.