Войти
В линейной алгебре ортогональная матрица представляет собой действительную квадратную матрицу , столбцы и строки которого являются ортогональными единичными векторами (ортонормированными векторами ).
Один из способов выразить это:
где 
. Это приводит к эквивалентной характеристике: матрица Q ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной :
где 
Ортогональная матрица Q обязательно обратимая (с обратным Q = Q), унитарная (Q = Q), где Q - эрмитово сопряженное соединение ( сопряженное транспонирование ) Q, и, следовательно, нормальное (QQ = QQ) по действительным числам. Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Как линейное преобразование, ортогональная матрица сохраняет внутреннее произведение векторов и, следовательно, действует как изометрия евклидова пространства, например как вращение, отражение или вращательное отражение. Другими словами, это унитарное преобразование .
. Набор ортогональных матриц размера n × n формирует группу , O (n), известную как ортогональная группа . Подгруппа SO (n), состоящая из ортогональных матриц с определителем +1, называется специальной ортогональной группой , и каждый из ее элементов является специальной ортогональной матрицей . Как линейное преобразование, каждая специальная ортогональная матрица действует как вращение.
Ортогональная матрица является реальной специализацией унитарной матрицы , и поэтому всегда нормальной матрицей. Хотя здесь мы рассматриваем только реальные матрицы, определение можно использовать для матриц с записями из любого поля . Однако ортогональные матрицы естественным образом возникают из скалярных произведений, а для матриц комплексных чисел это приводит к унитарному требованию. Ортогональные матрицы сохраняют скалярное произведение, поэтому для векторов u и v в n-мерном вещественном евклидовом пространстве
где Q - ортогональная матрица. Чтобы увидеть связь внутреннего продукта, рассмотрим вектор v в n-мерном вещественном евклидовом пространстве. Записанный относительно ортонормированного базиса, квадрат длины v равен vv. Если линейное преобразование в матричной форме Q v сохраняет длины векторов, тогда
Таким образом, конечномерный линейные изометрии - вращения, отражения и их комбинации - создают ортогональные матрицы. Верно и обратное: ортогональные матрицы подразумевают ортогональные преобразования. Однако линейная алгебра включает в себя ортогональные преобразования между пространствами, которые не могут быть ни конечномерными, ни одинаковыми, и они не имеют эквивалента ортогональной матрицы.
Ортогональные матрицы важны по ряду причин, как теоретических, так и практических. Ортогональные матрицы n × n образуют группу при матричном умножении, ортогональную группу, обозначаемую O (n), которая вместе со своими подгруппами широко используется в математике и физических науках.. Например, точечная группа молекулы является подгруппой O (3). Поскольку версии ортогональных матриц с плавающей запятой обладают полезными свойствами, они являются ключевыми для многих алгоритмов числовой линейной алгебры, таких как QR-разложение. В качестве другого примера, при соответствующей нормализации дискретное косинусное преобразование (используемое в сжатии MP3 ) представляется ортогональной матрицей.
Ниже приведены несколько примеров небольших ортогональных матриц и возможных интерпретаций.
Простейшими ортогональными матрицами являются матрицы 1 × 1 [1] и [−1], которые мы можем интерпретировать как тождество и отражение реальной линии через начало координат.
Матрицы 2 × 2 имеют форму
, которая требует ортогональности, удовлетворяющей три уравнения
Принимая во внимание первое уравнение, без ограничения общности, пусть p = cos θ, q = sin θ; тогда либо t = −q, u = p, либо t = q, u = −p. Мы можем интерпретировать первый случай как поворот на θ (где θ = 0 - тождество), а второй как отражение поперек линии под углом θ / 2.
Частный случай матрицы отражения с θ = 90 ° генерирует отражение относительно линии под углом 45 °, задаваемой y = x, и поэтому меняет местами x и y; это матрица перестановок с единственной единицей в каждом столбце и строке (в противном случае - 0):
Тождество также является матрицей перестановок.
Отражение - это свое собственное обратное, что означает, что матрица отражения симметрична (равна своему транспонированию), а также ортогональна. Произведение двух матриц вращения является матрицей вращения, а произведение двух матриц отражения также является матрицей вращения.
Независимо от размерности, всегда можно классифицировать ортогональные матрицы как чисто вращательные или нет, но для матриц 3 × 3 и более невращающиеся матрицы могут быть более сложными чем размышления. Например,
представляет собой инверсия через начало координат и ротоинверсия, соответственно, вокруг оси z.
Вращения становятся более сложными в более высоких измерениях; они больше не могут быть полностью охарактеризованы одним углом и могут влиять на более чем одно плоское подпространство. Обычно матрицу вращения 3 × 3 описывают в терминах оси и угла, но это работает только в трех измерениях. Выше трех измерений необходимы два или более угла, каждый из которых связан с плоскостью вращения .
Однако у нас есть элементарные строительные блоки для перестановок, отражений и поворотов, которые применимы в целом.
Самая элементарная перестановка - это транспозиция, полученная из единичной матрицы путем обмена двумя строками. Любая матрица перестановок n × n может быть построена как произведение не более чем n - 1 транспозиций.
A Отражение Хаусхолдера строится из ненулевого вектора v как
Здесь числитель - это симметричная матрица, а знаменатель - это число, квадрат величины v . Это отражение в гиперплоскости, перпендикулярной к v (отрицание любой компоненты вектора, параллельной v ). Если v является единичным вектором, то достаточно Q = I - 2 vv . Отражение Хаусхолдера обычно используется для одновременного обнуления нижней части столбца. Любая ортогональная матрица размера n × n может быть построена как произведение не более чем n таких отражений.
A Вращение Гивенса действует на двумерное (плоское) подпространство, охватываемое двумя осями координат, вращающимися на выбранный угол. Обычно он используется для обнуления одной поддиагональной записи. Любую матрицу вращения размера n × n можно построить как произведение не более n (n - 1) / 2 таких поворотов. В случае матриц 3 × 3 достаточно трех таких поворотов; и, зафиксировав последовательность, мы можем, таким образом, описать все матрицы вращения 3 × 3 (хотя и не однозначно) в терминах трех используемых углов, часто называемых углами Эйлера.
A вращением Якоби имеет ту же форму, что и Гивенс вращение, но используется для обнуления обоих недиагональных элементов симметричной подматрицы 2 × 2.
Действительная квадратная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее столбцы образуют ортонормированный базис евклидово пространство ℝ с обычным евклидовым скалярным произведением, что имеет место тогда и только тогда, когда его строки образуют ортонормированный базис ℝ. Может возникнуть соблазн предположить, что матрица с ортогональными (не ортонормированными) столбцами будет называться ортогональной матрицей, но такие матрицы не представляют особого интереса и не имеют специального названия; они удовлетворяют только MM = D, где D - диагональная матрица .
. Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Это следует из следующих основных фактов о детерминантах:
Обратное неверно; наличие определителя ± 1 не гарантирует ортогональности даже с ортогональными столбцами, как показано в следующем контрпримере.
С матрицами перестановок определитель соответствует подпись, равная +1 или -1, поскольку четность перестановки четная или нечетная, поскольку определитель является переменной функцией строк.
Более сильным, чем ограничение детерминанта, является тот факт, что ортогональная матрица всегда может быть диагонализована по комплексным числам для отображения полного набора собственных значений, все из которых должны иметь (комплексный) модуль 1.
Инверсия каждой ортогональной матрицы снова ортогональна, как и матричное произведение двух ортогональных матриц. Фактически, набор всех ортогональных матриц размера n × n удовлетворяет всем аксиомам группы . Это компактная группа Ли размерности n (n - 1) / 2, называемая ортогональной группой и обозначаемая O (n).
Ортогональные матрицы, определитель которых равен +1, образуют соединенную по пути нормальную подгруппу из O (n) из индекса 2, специальная ортогональная группа SO (n) вращений. Фактор-группа O (n) / SO (n) изоморфна O (1), при этом отображение проекции выбирает [+1] или [-1] в соответствии с определителем. Ортогональные матрицы с определителем -1 не включают идентичность, и поэтому не образуют подгруппу, а только смежный класс ; он также (отдельно) подключен. Таким образом, каждая ортогональная группа распадается на две части; и поскольку карта проекции разделяет, O (n) является полупрямым произведением SO (n) на O (1). С практической точки зрения сопоставимое утверждение состоит в том, что любую ортогональную матрицу можно получить, взяв матрицу вращения и, возможно, отрицая один из ее столбцов, как мы видели с матрицами 2 × 2. Если n нечетно, то полупрямое произведение на самом деле является прямым продуктом, и любая ортогональная матрица может быть получена путем взятия матрицы вращения и, возможно, отрицания всех ее столбцов. Это следует из свойства определителей, что отрицание столбца отрицает определитель, и, таким образом, отрицание нечетного (но не четного) числа столбцов отрицает определитель.
Теперь рассмотрим (n + 1) × (n + 1) ортогональных матриц с нижним правым элементом, равным 1. Остаток последнего столбца (и последней строки) должен быть равен нулям, а произведение любых двух такие матрицы имеют одинаковый вид. Остальная часть матрицы представляет собой ортогональную матрицу размера n × n; таким образом, O (n) является подгруппой O (n + 1) (и всех высших групп).
Поскольку элементарное отражение в форме матрицы Хаусхолдера может привести любую ортогональную матрицу к этой ограниченной форме, серия таких отражений может привести любую ортогональную матрицу к единице; таким образом, ортогональная группа - это группа отражения. Последний столбец может быть привязан к любому единичному вектору, и каждый выбор дает другую копию O (n) в O (n + 1); Таким образом, O (n + 1) является расслоением над единичной сферой S со слоем O (n).
Аналогично, SO (n) является подгруппой SO (n + 1); и любая специальная ортогональная матрица может быть сгенерирована посредством вращения плоскости Гивенса с использованием аналогичной процедуры. Структура связки сохраняется: SO (n) ↪ SO (n + 1) → S. Одно вращение может привести к нулю в первой строке последнего столбца, а серия из n - 1 поворотов обнулит все, кроме последней строки последний столбец матрицы вращения n × n. Поскольку плоскости неподвижны, каждое вращение имеет только одну степень свободы - свой угол. Следовательно, по индукции SO (n) имеет
степеней свободы, как и O (n).
Матрицы перестановок еще проще; они образуют не группу Ли, а только конечную группу, симметрическую группу порядка n ! Sn. В соответствии с аргументами того же типа S n является подгруппой S n + 1. Четные перестановки создают подгруппу матриц перестановок детерминанта +1, порядок n! / 2 переменная группа.
В более широком смысле, эффект любой ортогональной матрицы разделяется на независимые действия на ортогональные двумерные подпространства. То есть, если Q является специальным ортогональным, то всегда можно найти ортогональную матрицу P, (вращательное) изменение базиса, которое переводит Q в блочно-диагональную форму:
где матрицы R 1,..., R k представляют собой матрицы вращения 2 × 2, а с оставшиеся записи ноль. В исключительных случаях блок вращения может быть диагональным, ± I. Таким образом, отрицая один столбец, если необходимо, и отмечая, что отражение 2 × 2 диагонализуется до +1 и -1, любую ортогональную матрицу можно привести к виду
Матрицы R 1,..., R k задают сопряженные пары собственных значений, лежащих на единичной окружности в комплексной плоскости ; поэтому это разложение подтверждает, что все собственные значения имеют абсолютное значение 1. Если n нечетное, имеется по крайней мере одно действительное собственное значение +1 или -1; для вращения 3 × 3 собственный вектор, связанный с +1, является осью вращения.
Предположим, что элементы Q являются дифференцируемыми функциями от t, и что t = 0 дает Q = I. Дифференциация условия ортогональности
дает
Оценка при t = 0 (Q = I) тогда подразумевает
В терминах группы Ли это означает, что алгебра Ли группа ортогональных матриц состоит из кососимметричных матриц. Если пойти в другом направлении, матрица экспонента любой кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей (фактически, специальной ортогональной).
Например, в физике трехмерных объектов угловая скорость является дифференциальным вращением, то есть вектором в алгебре Ли 
Экспонента этого является ортогональной матрицей для вращения вокруг оси v на угол θ; установка c = cos θ / 2, s = sin θ / 2,
Численный анализ использует преимущества многих свойств ортогональных матрицы для числовой линейной алгебры, и они возникают естественным образом. Например, часто бывает желательно вычислить ортонормированный базис для пространства или ортогональное изменение базиса; оба принимают форму ортогональных матриц. Наличие определителя ± 1 и всех собственных значений с величиной 1 очень полезно для числовой стабильности. Одно из следствий состоит в том, что число условия равно 1 (что является минимумом), поэтому ошибки не увеличиваются при умножении на ортогональную матрицу. По этой причине многие алгоритмы используют ортогональные матрицы, такие как отражения Хаусхолдера и вращения Гивенса. Также полезно то, что ортогональная матрица не только обратима, но и доступна, по существу, бесплатно, путем обмена индексами.
Перестановки необходимы для успеха многих алгоритмов, включая рабочую лошадку Гауссово исключение с частичным поворотом (где перестановки выполняют поворот). Однако они редко появляются в явном виде как матрицы; их особая форма позволяет более эффективно представлять, например список из n индексов.
Аналогично, алгоритмы, использующие матрицы Хаусхолдера и Гивенса, обычно используют специализированные методы умножения и хранения. Например, поворот Гивенса влияет только на две строки матрицы, которую он умножает, изменяя полное умножение порядка n на гораздо более эффективный порядок n. Когда использование этих отражений и вращений вводит нули в матрицу, освободившееся пространство достаточно для хранения достаточного количества данных для воспроизведения преобразования, и для надежного выполнения этого. (Следуя Стюарту (1976), мы не храним угол поворота, что и дорого, и плохо работает.)
Ряд важных матричные разложения (Golub Van Loan 1996) включают ортогональные матрицы, в частности:
Рассмотрим переопределенную систему линейных уравнений, что может произойти при повторных измерениях физического явления для компенсации экспериментальных ошибок. Напишите A x= b, где A - это m × n, m>n. QR-разложение сводит A к верхнему треугольнику R. Например, если A равно 5 × 3, то R имеет форма
линейная задача наименьших квадратов состоит в том, чтобы найти x, который минимизирует || A x− b||, что эквивалентно проецированию b на подпространство, охватываемое столбцы матрицы A. Предполагая, что столбцы матрицы A (и, следовательно, R) независимы, решение проекции находится из AA x = A b . Теперь AA является квадратным (n × n) и обратимым, а также равным RR. Но нижние строки нулей в R являются лишними в произведении, которое, таким образом, уже имеет нижнетреугольную верхнетреугольную факторизованную форму, как в исключении Гаусса (разложение Холецкого ). Здесь ортогональность важна не только для уменьшения AA = (RQ) QR до RR, но и для разрешения решения без увеличения численных проблем.
В случае недоопределенной линейной системы или иным образом не обратимой матрицы, разложение по сингулярным числам (SVD) также полезно. При факторизации A как UΣV удовлетворительное решение использует псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза , VΣU, где Σ просто заменяет каждую ненулевую диагональную запись обратной величиной. Установите для x значение VΣU b.
. Случай квадратной обратимой матрицы также представляет интерес. Предположим, например, что A - это матрица вращения 3 × 3, которая была вычислена как композиция множества поворотов и поворотов. Плавающая точка не соответствует математическому идеалу действительных чисел, поэтому A постепенно утратил свою истинную ортогональность. Процесс Грама – Шмидта может ортогонализировать столбцы, но это не самый надежный, не самый эффективный и не самый инвариантный метод. Полярное разложение делит матрицу на пару, одна из которых является единственной ближайшей ортогональной матрицей к данной матрице или одной из ближайших, если данная матрица сингулярна. (Близость может быть измерена любой нормой матрицы , инвариантной относительно ортогонального изменения базиса, например спектральной нормы или нормы Фробениуса.) Для почти ортогональной матрицы может быть достигнута быстрая сходимость к ортогональному множителю с помощью подхода «метода Ньютона » из-за Higham (1986) (1990), многократно усредняющего матрицу с ее обратным транспонированием. Dubrulle (1994) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFDubrulle1994 (help ) опубликовал ускоренный метод с удобным тестом сходимости.
Например, рассмотрим неортогональную матрицу, для которой простой алгоритм усреднения занимает семь шагов
и какое ускорение сокращается до двух шагов (с γ = 0,353553, 0,565685).
Урожайность по Граму-Шмидту худшее решение, показанное расстоянием Фробениуса 8,28659 вместо минимального 8,12404.
Некоторые численные приложения, такие как методы Монте-Карло и исследование пространств данных большой размерности, требуют генерации равномерно распределенные случайные ортогональные матрицы. В этом контексте «равномерное» определяется в терминах меры Хаара, которая по существу требует, чтобы распределение не изменялось при умножении на любую свободно выбранную ортогональную матрицу. Ортогонализация матриц с независимыми равномерно распределенными случайными записями не приводит к равномерно распределенным ортогональным матрицам, но QR-разложение независимых нормально распределенных случайных записей дает, пока диагональ R содержит только положительные элементы (Mezzadri 2006). Стюарт (1980) заменил это более эффективной идеей, которую Diaconis Shahshahani (1987) позже обобщили как «алгоритм подгруппы» (в какой форме он работает так же хорошо для перестановок и вращения). Чтобы сгенерировать ортогональную матрицу (n + 1) × (n + 1), возьмите матрицу n × n и равномерно распределенный единичный вектор размерности n + 1. Постройте отражение Хаусхолдера из вектора, затем примените его к меньшей матрице (встроенной в матрицу большего размера с 1 в правом нижнем углу).
Проблема поиска ортогональной матрицы Q, ближайшей к данной матрице M, связана с проблемой ортогонального Прокруста. Есть несколько различных способов получить уникальное решение, самый простой из которых - взять разложение по сингулярным значениям M и заменить особые значения на единицы. Другой метод явно выражает R, но требует использования квадратного корня матрицы :
Это можно объединить с вавилонским методом извлечения квадратного корня из матрицы, чтобы получить рекуррент, который сходится к ортогональной матрице квадратично:
где Q 0 = M.
Эти итерации стабильны при условии номера условия из M меньше трех.
Использование аппроксимации первого порядка обратной и той же инициализации приводит к измененной итерации:
Тонкое te Техническая проблема касается некоторых применений ортогональных матриц. Не только компоненты группы с определителем +1 и -1 не связаны друг с другом, даже компонент +1, SO (n), не является односвязным (за исключением SO (1), что тривиально). Таким образом, иногда бывает выгодно или даже необходимо работать с покрывающей группой SO (n), спиновой группой, Spin (n). Точно так же O (n) имеет группы покрытия, группы контактов, Pin (n). При n>2 Spin (n) односвязна и, следовательно, универсальная накрывающая группа для SO (n). Самым известным примером спиновой группы является Spin (3), которая представляет собой не что иное, как SU (2) или группу единичных кватернионов.
Группы Pin и Spin находятся в алгебрах Клиффорда., которые сами могут быть построены из ортогональных матриц.
Если Q не является квадратной матрицей, то условия QQ = I и QQ = I не эквивалентны. Условие QQ = I говорит, что столбцы Q ортонормированы. Это может произойти, только если Q - матрица размера m × n с n ≤ m (из-за линейной зависимости). Аналогично, QQ = I говорит, что строки Q ортонормированы, что требует n ≥ m.
Стандартной терминологии для этих матриц нет. Иногда их называют «ортонормированными матрицами», иногда «ортогональными матрицами», а иногда просто «матрицами с ортонормированными строками / столбцами».
