Разложение матрицы

редактировать

Не путать с матричной факторизацией многочлена.

В математической дисциплине линейной алгебры, А матрица разложение или разложение матрицы является разложением из матрицы в произведение матриц. Есть много различных матричных разложений; каждый находит применение среди определенного класса проблем.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Пример
2 Разложения, связанные с решением систем линейных уравнений
- 2.1 LU разложение
- 2.2 сокращение LU
- 2.3 Блочная декомпозиция LU
- 2.4 Факторизация рангов
- 2.5 Разложение Холецкого
- 2.6 QR-разложение
- 2.7 Факторизация RRQR
- 2.8 Интерполяционная декомпозиция
3 Разложения на основе собственных значений и связанных понятий
- 3.1 Собственное разложение
- 3.2 Жорданов разложение
- 3.3 Разложение Шура
- 3.4 Вещественное разложение Шура
- 3.5 QZ разложение
- 3.6 Факторизация Такаги
- 3.7 Разложение по сингулярным числам
- 3.8 Масштабно-инвариантные разложения
4 Другие разложения
- 4.1 Полярное разложение
- 4.2 Алгебраическое полярное разложение
- 4.3 Разложение Мостова
- 4.4 Нормальная форма синкхорна
- 4.5 Секторальная декомпозиция
- 4.6 нормальная форма Вильямсона
- 4.7 Матричный квадратный корень
5 Обобщения
6 См. Также
7 ссылки
- 7.1 Примечания
- 7.2 Цитаты
- 7.3 Библиография
8 Внешние ссылки

Пример

В численном анализе используются различные декомпозиции для реализации эффективных матричных алгоритмов.

Например, при решении системы линейных уравнений матрица A может быть разложена посредством LU-разложения. Разложение LU факторизация матрицы в нижний треугольную матрице L и верхнюю треугольную матрицу U. Системы и требуют меньшего количества сложений и умножений для решения по сравнению с исходной системой, хотя может потребоваться значительно больше цифр в неточной арифметике, такой как числа с плавающей запятой. ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$ ${\ Displaystyle L (U \ mathbf {x}) = \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle L (U \ mathbf {x}) = \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle U \ mathbf {x} = L ^ {- 1} \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle U \ mathbf {x} = L ^ {- 1} \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$

Точно так же разложение QR выражает A как QR, где Q - ортогональная матрица, а R - верхнетреугольная матрица. Система Q ( R x ) = b решается с помощью R x = Q ^T b = c, а система R x = c решается с помощью « обратной подстановки ». Количество требуемых сложений и умножений примерно в два раза больше, чем при использовании решателя LU, но в неточной арифметике больше не требуется цифр, поскольку QR-разложение численно стабильно.

Разложения, связанные с решением систем линейных уравнений

LU разложение

Основная статья: LU разложение

Традиционно применимо к квадратной матрице A, хотя могут применяться и прямоугольные матрицы.
Разложение:, где L - нижний треугольник, а U - верхний треугольник ${\ displaystyle A = LU}$ $A = LU$
Связаны: LDU разложение является, где L является нижней треугольной с единицами по диагонали, U является верхней треугольной с единицами на диагонали, а D является диагональной матрицей. ${\ displaystyle A = LDU}$ $A = LDU$
Связаны: LUP разложение является, где L является нижней треугольной, U является верхней треугольной, и Р является матрицей перестановок. ${\ displaystyle A = LUP}$ $A = LUP$
Существование: разложение LUP существует для любой квадратной матрицы A. Когда P является единичной матрицей, разложение LUP сводится к разложению LU. Если LU-декомпозиция существует, значит, LDU-декомпозиция существует.
Комментарии: LUP и LU-разложения полезны при решении n -by- n системы линейных уравнений. Эти разложения суммируют процесс исключения Гаусса в матричной форме. Матрица P представляет любые перестановки строк, выполненные в процессе исключения Гаусса. Если исключение Гаусса дает форму эшелона строк без необходимости каких-либо перестановок строк, то P = I, поэтому существует разложение LU. ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$

Сокращение LU

Основная статья: сокращение LU

Блочная декомпозиция LU

Основная статья: Блочная декомпозиция LU

Факторизация рангов

Основная статья: Факторизация рангов

Применимо к: m -by- n матрице A ранга r
Разложение: где C - это матрица с полным столбцом ранга размером m на r, а F - это матрица с полным рангом r на n. ${\ displaystyle A = CF}$ $A = CF$
Комментарий: Оценка факторизация может быть использована для вычисления Мура-Пенроуз Псевдообращения из A, которые можно применять для получения всех решений линейной системы. ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$

Разложение Холецкого

Основная статья: разложение Холецкого

Применимо к: квадратной, эрмитовой, положительно определенной матрице A
Разложение:, где - верхний треугольник с вещественными положительными диагональными элементами ${\ displaystyle A = U ^ {*} U}$ ${\ displaystyle A = U ^ {*} U}$ ${\ displaystyle U}$ $U$
Комментарий: если матрица эрмитова и положительно полуопределенная, то она имеет разложение вида, если диагональные элементы матрицы могут быть равны нулю. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A = U ^ {*} U}$ ${\ displaystyle A = U ^ {*} U}$ ${\ displaystyle U}$ $U$
Единственность: для положительно определенных матриц разложение Холецкого единственно. Однако в положительном полуопределенном случае он не уникален.
Комментарий: если A действительный и симметричный, имеет все действительные элементы ${\ displaystyle U}$ $U$
Комментарий: Альтернативой является разложение LDL, которое позволяет избежать извлечения квадратных корней.

QR-разложение

Основная статья: QR-разложение

Применимо к: m -by- n матрице A с линейно независимыми столбцами
Разложение: где является унитарной матрицей размера М матрицы с размерностью м, и является верхней треугольной матрицей размера м матрицы с размерностью п ${\ displaystyle A = QR}$ $A = QR$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ displaystyle R}$ $р$
Уникальность: Как правило, он не уникален, но если он полного ранга, то существует единственный, который имеет все положительные диагональные элементы. Если квадрат, то и уникален. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$
Комментарий: QR-разложение обеспечивает эффективный способ решения системы уравнений. Тот факт, что это ортогональный означает, что, таким образом, что эквивалентно, что очень легко решить, так как это треугольный. ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ Displaystyle Q ^ {\ mathrm {T}} Q = I}$ ${\ Displaystyle Q ^ {\ mathrm {T}} Q = I}$ ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$ ${\ Displaystyle R \ mathbf {x} = Q ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle R \ mathbf {x} = Q ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle R}$ $р$

RRQR факторизация

Основная статья: факторизация RRQR

Интерполяционная декомпозиция

Основная статья: Интерполяционная декомпозиция

Разложения на основе собственных значений и связанных понятий

Собственное разложение

Основная статья: Собственное разложение (матрица)

Также называется спектральным разложением.
Применимо к: квадратной матрице A с линейно независимыми собственными векторами (не обязательно различными собственными значениями).
Разложение:, где D представляет собой диагональная матрица формируется из собственных значений из А, а столбцы V являются соответствующим собственными векторами из А. ${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$ $A = VDV ^ {{- 1}}$
Существование: п матрицы с размерностью п матрица всегда имеет п (комплексные) собственные значения, которые могут быть заказаны (в более чем одним способе) с образованием п матрица с размерностью п диагональной матрицей D и соответствующей матрицей ненулевых столбцов V, который удовлетворяет уравнение на собственные значения. обратима тогда и только тогда, когда n собственных векторов линейно независимы (т. е. каждое собственное значение имеет геометрическую кратность, равную его алгебраической кратности ). Достаточным (но не необходимым) условием для этого является то, что все собственные значения различны (в этом случае геометрическая и алгебраическая кратность равны 1) ${\ displaystyle AV = VD}$ $AV = VD$ ${\ displaystyle V}$ $V$
Комментарий: всегда можно нормализовать собственные векторы, чтобы они имели длину, равную единице (см. Определение уравнения для собственных значений)
Комментарий: Каждая нормальная матрица A (т. Е. Матрица, для которой, где - сопряженное транспонирование ) может быть разложена на собственные. Для нормальной матрицы A (и только для нормальной матрицы) собственные векторы также можно сделать ортонормированными (), а собственное разложение читается как. В частности, все унитарные, эрмитовы или кососимметричные (в вещественном случае все ортогональные, симметричные или кососимметричные соответственно) матрицы нормальны и, следовательно, обладают этим свойством. ${\ displaystyle AA ^ {*} = A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle AA ^ {*} = A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ ${\ displaystyle VV ^ {*} = I}$ ${\ displaystyle VV ^ {*} = I}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {*}}$
Комментарий: Для любой вещественной симметричной матрицы A всегда существует собственное разложение, и его можно записать как, где и D, и V являются действительными значениями. ${\ Displaystyle A = VDV ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle A = VDV ^ {\ mathsf {T}}}$
Комментарий: Собственное разложение полезно для понимания решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений или линейных разностных уравнений. Например, разностное уравнение, начиная с начальным условием решается, что эквивалентно, где V и D являются матрицами, образованные из собственных векторов и собственных значений А. Поскольку D диагональный, возведение его в степень просто включает в себя возведение каждого элемента по диагонали в степень t. Это намного проще сделать и понять, чем возвести A в степень t, поскольку A обычно не диагональна. ${\ displaystyle x_ {t + 1} = Ax_ {t}}$ $х _ {{t + 1}} = Ax_ {t}$ ${\ displaystyle x_ {0} = c}$ $x_ {0} = c$ ${\ displaystyle x_ {t} = A ^ {t} c}$ $x_ {t} = A ^ {t} c$ ${\ displaystyle x_ {t} = VD ^ {t} V ^ {- 1} c}$ $x_ {t} = VD ^ {t} V ^ {{- 1}} с$ ${\ displaystyle D ^ {t}}$ $D ^ {t}$

Разложение Жордана

Жордановой нормальной формы и разложение Жордана-Шевалье

Применимо к: квадратной матрице A
Комментарий: нормальная форма Жордана обобщает собственное разложение на случаи, когда есть повторяющиеся собственные значения и не могут быть диагонализованы, разложение Жордана – Шевалле делает это без выбора базиса.

Разложение Шура

Основная статья: разложение Шура

Применимо к: квадратной матрице A
Разложение (сложный вариант):, где U представляет собой унитарная матрица, является сопряженной транспозицией из U, а Т представляет собой верхняя треугольная матрица называется сложная форма Шуры которая имеет собственные значения из А вдоль его диагонали. ${\ displaystyle A = UTU ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = UTU ^ {*}}$ ${\ Displaystyle U ^ {*}}$ $U ^ {*}$
Комментарий: если A - нормальная матрица, то T диагональна и разложение Шура совпадает со спектральным разложением.

Реальное разложение Шура

Применимо к: квадратной матрице A
Разложение: Это версия разложения Шуры, где и содержать только действительные числа. Всегда можно написать, где V представляет собой реальное ортогональная матрица, является транспонированной из V, и S представляет собой блок - верхняя треугольная матрица называется реальной формой Шура. Блоки на диагонали S имеют размер 1 × 1 (в этом случае они представляют действительные собственные значения) или 2 × 2 (в этом случае они получены из комплексно сопряженных пар собственных значений). ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ Displaystyle А = VSV ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle А = VSV ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$

QZ разложение

Основная статья: QZ разложение

Также называется: обобщенное разложение Шура
Применимо к: квадратным матрицам A и B
Комментарий: есть две версии этой декомпозиции: сложная и реальная.
Разложение (комплексная версия): и где Q и Z - унитарные матрицы, верхний индекс * представляет сопряженное транспонирование, а S и T - верхние треугольные матрицы. ${\ displaystyle A = QSZ ^ {*}}$ $А = QSZ ^ *$ ${\ displaystyle B = QTZ ^ {*}}$ $B = QTZ ^ *$
Комментарий: в комплексном разложении QZ отношения диагональных элементов S к соответствующим диагональным элементам T, являются обобщенными собственными значениями, которые решают обобщенную проблему собственных значений (где - неизвестный скаляр, а v - неизвестный ненулевой вектор). ${\ displaystyle \ lambda _ {i} = S_ {ii} / T_ {ii}}$ $\ lambda _ {i} = S _ {{ii}} / T _ {{ii}}$ ${\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda B \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda B \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$
Разложение (реальная версия): и где A, B, Q, Z, S и T - матрицы, содержащие только действительные числа. В этом случае Q и Z - ортогональные матрицы, верхний индекс T представляет транспонирование, а S и T - блочные верхнетреугольные матрицы. Блоки на диагонали S и T имеют размер 1 × 1 или 2 × 2. ${\ displaystyle A = QSZ ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle A = QSZ ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle B = QTZ ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle B = QTZ ^ {\ mathsf {T}}}$

Факторизация Такаги

Применимо к: квадрат, сложной, симметричной матрицы A.
Разложение:, где D - вещественная неотрицательная диагональная матрица, а V - унитарная. обозначает матрицу транспонирование из V. ${\ Displaystyle A = VDV ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle A = VDV ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$
Комментарий: диагональные элементы D являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений. ${\ displaystyle AA ^ {*}}$ $AA ^ {*}$
Комментарий: V может быть сложным, даже если A реально.
Комментарий: это не частный случай собственного разложения (см. Выше), в котором вместо. Более того, если A не является реальным, это не эрмитово, и форма using также не применяется. ${\ displaystyle V ^ {- 1}}$ $V ^ {{- 1}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$

Разложение по сингулярным числам

Основная статья: Разложение по сингулярным числам

Применимо к: м матрицу с размерностью п матрицы А.
Разложение:, где D - неотрицательная диагональная матрица, а U и V удовлетворяют. Вот это сопряженное транспонирование из V (или просто транспонированная, если V содержит только действительные числа), и я обозначает единичную матрицу (некоторой размерности). ${\ displaystyle A = UDV ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = UDV ^ {*}}$ ${\ Displaystyle U ^ {*} U = I, V ^ {*} V = I}$ ${\ Displaystyle U ^ {*} U = I, V ^ {*} V = I}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$
Комментарий: Диагональные элементы D называются сингулярные значения из A.
Комментарий: Как и собственное разложение выше, разложение по сингулярным числам включает в себя поиск базисных направлений, по которым умножение матриц эквивалентно скалярному умножению, но оно имеет большую общность, поскольку рассматриваемая матрица не обязательно должна быть квадратной.
Уникальность: сингулярные значения всегда определяются однозначно. и не обязательно должен быть уникальным в целом. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle V}$ $V$

Масштабно-инвариантные разложения

Относится к вариантам существующих матричных разложений, таких как SVD, которые инвариантны относительно диагонального масштабирования.

Применимо к: м матрицу с размерностью п матрицы А.
Блок-масштабно-инвариантная болванка-Значение разложение:, где S является уникальной неотрицательной диагональной матрицей из масштабно-инвариантных сингулярных значений, U и V являются унитарными матрицами, является сопряженной транспозицией из V, и положительные диагональные матрицы D и E. ${\ displaystyle A = DUSV ^ {*} E}$ ${\ displaystyle A = DUSV ^ {*} E}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$
Комментарий: Аналогичен SVD, за исключением того, что диагональные элементы S инвариантны относительно левого и / или правого умножения A на произвольные невырожденные диагональные матрицы, в отличие от стандартного SVD, для которого сингулярные значения инвариантны относительно левого и / или правое умножение A на произвольные унитарные матрицы.
Комментарий: Является альтернативой стандартному СВД, когда требуется инвариантность по отношению к диагонали, а не унитарных преобразований A.
Уникальность: масштабно-инвариантные особые значения (заданные диагональными элементами S) всегда определяются однозначно. Диагональные матрицы D и E и унитарные U и V, вообще говоря, не обязательно уникальны. ${\ displaystyle A}$ $А$
Комментарий: матрицы U и V отличаются от матриц SVD.

Аналогичные масштабно-инвариантные разложения могут быть получены из других матричных разложений, например, для получения масштабно-инвариантных собственных значений.

Другие разложения

Полярное разложение

Основная статья: Полярное разложение

Применимо к: любой квадратной комплексной матрицы A.
Разложение: (правое полярное разложение) или (левое полярное разложение), где U - унитарная матрица, а P и P ' - положительные полуопределенные эрмитовы матрицы. ${\ displaystyle A = UP}$ $A = ВВЕРХ$ ${\ displaystyle A = P'U}$ ${\ displaystyle A = P'U}$
Уникальность: всегда уникальна и равна (что всегда эрмитово и положительно полуопределено). Если обратимо, то единственно. ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle {\ sqrt {A ^ {*} A}}}$ $\ sqrt {A ^ * A}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle U}$ $U$
Комментарий: Поскольку любая эрмитова матрица допускает спектральное разложение с унитарной матрицей, ее можно записать как. Поскольку положительно полуопределенный, все элементы в неотрицательны. Поскольку произведение двух унитарных матриц унитарно, взяв одну, можно написать, что является разложением по сингулярным значениям. Следовательно, существование полярного разложения эквивалентно существованию разложения по сингулярным значениям. ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle P = VDV ^ {*}}$ ${\ displaystyle P = VDV ^ {*}}$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle W = UV}$ ${\ displaystyle W = UV}$ ${\ Displaystyle A = U (VDV ^ {*}) = WDV ^ {*}}$ ${\ Displaystyle A = U (VDV ^ {*}) = WDV ^ {*}}$

Алгебраическое полярное разложение

Применимо к: квадратной, сложной, невырожденной матрице А.
Разложение:, где Q - комплексная ортогональная матрица, а S - комплексная симметричная матрица. ${\ displaystyle A = QS}$ $A = QS$
Уникальность: если нет отрицательных действительных собственных значений, то разложение уникально. ${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} A}$
Комментарий: Существование этого разложения эквивалентно тому, чтобы быть похожим на. ${\ Displaystyle AA ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle AA ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} A}$
Комментарий: вариант этого разложения: где R - вещественная матрица, а C - круговая матрица. ${\ Displaystyle A = RC}$ ${\ Displaystyle A = RC}$

Разложение Мостова

Основная статья: разложение Мостова

Применимо к: квадратной, сложной, невырожденной матрице А.
Разложение:, где U унитарно, M вещественно антисимметрично, а S вещественно симметрично. ${\ displaystyle A = Ue ^ {iM} e ^ {S}}$ ${\ displaystyle A = Ue ^ {iM} e ^ {S}}$
Комментарий: Матрица A также может быть разложена как, где U 2 является унитарным, M 2 вещественно антисимметричным и S 2 вещественно симметричным. ${\ displaystyle A = U_ {2} e ^ {S_ {2}} e ^ {IM_ {2}}}$ ${\ displaystyle A = U_ {2} e ^ {S_ {2}} e ^ {IM_ {2}}}$

Рога обыкновенная

Основная статья: теорема Синкхорна

Применимо к: квадратной вещественной матрице A со строго положительными элементами.
Разложение:, где S - дважды стохастический, а D 1 и D 2 - вещественные диагональные матрицы со строго положительными элементами. ${\ displaystyle A = D_ {1} SD_ {2}}$ $A = D _ {{1}} SD _ {{2}}$

Секторальная декомпозиция

Применимо к: квадратной комплексной матрице A с числовым диапазоном, содержащимся в секторе. ${\ displaystyle S _ {\ alpha} = \ left \ {re ^ {i \ theta} \ in \ mathbb {C} \ mid rgt; 0, | \ theta | \ leq \ alpha lt;{\ frac {\ pi} { 2}} \ right \}}$ ${\ displaystyle S _ {\ alpha} = \ left \ {re ^ {i \ theta} \ in \ mathbb {C} \ mid rgt; 0, | \ theta | \ leq \ alpha lt;{\ frac {\ pi} { 2}} \ right \}}$
Разложение:, где C - обратимая комплексная матрица и со всеми. ${\ displaystyle A = CZC ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = CZC ^ {*}}$ ${\ displaystyle Z = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {i \ theta _ {1}}, \ ldots, e ^ {i \ theta _ {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle Z = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {i \ theta _ {1}}, \ ldots, e ^ {i \ theta _ {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left | \ theta _ {j} \ right | \ leq \ alpha}$ ${\ displaystyle \ left | \ theta _ {j} \ right | \ leq \ alpha}$

Нормальная форма Вильямсона

Применимо к квадратной положительно определенной вещественной матрице A порядка 2 n × 2 n.
Распад:, где есть симплектическая матрица и D является неотрицательным п матрицы с размерностью п диагональной матрицей. ${\ displaystyle A = S ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {diag} (D, D) S}$ ${\ displaystyle A = S ^ {\ mathsf {T}} \ operatorname {diag} (D, D) S}$ ${\ Displaystyle S \ in {\ text {Sp}} (2n)}$ ${\ Displaystyle S \ in {\ text {Sp}} (2n)}$

Матричный квадратный корень

Основная статья: квадратный корень из матрицы

Разложение:, в общем, не уникальное. ${\ displaystyle A = BB}$ ${\ displaystyle A = BB}$
В случае положительного полуопределенного существует единственное положительное полуопределенное значение, такое что. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B = BB}$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B = BB}$

Обобщения

Существуют аналоги SVD, QR, LU и факторизации Холецкого для квазиматриц и c- матриц или непрерывных матриц. «Квазиматрица», как и матрица, представляет собой прямоугольную схему, элементы которой индексированы, но один дискретный индекс заменен непрерывным индексом. Точно так же «c-матрица» непрерывна по обоим индексам. В качестве примера c-матрицы можно представить ядро интегрального оператора.

Эти факторизации основаны на ранних работах Фредгольма (1903), Гильберта (1904) и Шмидта (1907). Отчет и перевод основополагающих статей на английский см. В Stewart (2011).

Смотрите также

Внешние ссылки

Онлайн-калькулятор матриц
Вычисление разложения альфа-матрицы Wolfram »Разложение LU и QR
Математическая энциклопедия Springer »Факторизация матриц
GraphLab Библиотека коллаборативной фильтрации GraphLab, крупномасштабная параллельная реализация методов матричной декомпозиции (на C ++) для многоядерных процессоров.