Квадратная матрица

редактировать

Квадратная матрица порядка 4. Записи

aii {\ displaystyle a_ {ii}}

a_ {ii}

образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4 на 4 выше содержит элементы a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

В математике квадратная матрица представляет собой матрицу с таким же количеством строк и столбцов.. Матрица размера n на n известна как квадратная матрица порядка $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и умножать.

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований, таких как сдвиг или поворот. Например, если $R {\ displaystyle R}$ $R$ - квадратная матрица, представляющая поворот (матрица поворота ) и $v {\ displaystyle v}$ $v$ - это вектор-столбец, описывающий позицию точки в пространстве, произведение $R v {\ displaystyle Rv}$ $Rv$ дает другой вектор-столбец, описывающий положение этой точки после этого поворота. Если $v {\ displaystyle v}$ $v$ - это вектор-строка, то же преобразование можно получить с помощью $v RT {\ displaystyle vR ^ {\ mathsf {T} }}$ ${\ displaystyle vR ^ {\ mathsf {T }}}$ , где $RT {\ displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$ - это транспонирование из $R {\ displaystyle R}$ $R$ .

Содержание

1 Главная диагональ
2 Специальные виды
- 2.1 Диагональная или треугольная матрица
- 2.2 Матрица идентичности
- 2.3 Симметричная или кососимметричная матрица
- 2.4 Обратимая матрица и ее обратная
- 2.5 Нормальная матрица
- 2.6 Определенная матрица
- 2.7 Ортогональная матрица
3 Операции
- 3.1 Трассировка
- 3.2 Детерминант
- 3.3 Собственные значения и собственные векторы
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Главная диагональ

Записи $aii {\ displaystyle a_ {ii}}$ $a_ {ii}$ (i = 1,..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей от верхнего левого угла до нижнего правого угла матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4 на 4 выше содержит элементы a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Диагональ квадратной матрицы от верхнего правого до нижнего левого угла называется антидиагональю или контрдиагональю.

Особые виды

Имя	Пример с n = 3
Диагональная матрица	$[a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} 0 0 \\ 0 a_ {22} 0 \\ 0 0 a_ {33} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} a_ {11} 0 0 \\ 0 a_ {22} 0 \\ 0 0 a_ {33} \ end {bmatrix}}$
Нижняя треугольная матрица	$[a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} 0 0 \\ a_ {21} a_ {22} 0 \\ a_ {31} a_ {32} a_ {33} \ end {bmatrix}} }$ ${\ begin {bmatrix} a_ {11} 0 0 \\ a_ {21} a_ {22} 0 \\ a_ {31} a_ {32} a_ {33} \ end {bmatrix} }$
Верхняя треугольная матрица	$[a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} \\ 0 a_ {22} a_ {23} \\ 0 0 a_ {33} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} \\ 0 a_ {22} a_ {23} \\ 0 0 a_ {33} \ end {bmatrix}}$

Диагональная или треугольная матрица

Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, $A {\ displaystyle A}$ $A$ называется диагональной матрицей. Если только все элементы выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, $A {\ displaystyle A}$ $A$ 'называется нижней (или верхней) треугольной матрицей.

Матрица идентичности

единичная матрица $I n {\ displaystyle I_ {n}}$ $I_ {n}$ размера $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это матрица $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n \ times n$ , в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, например

I 1 = [1], I 2 = [1 0 0 1], ⋯, I n = [1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1]. {\ displaystyle I_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}}, \ I_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {bmatrix}}, \ \ cdots, \ I_ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \ cdots 0 \\ 0 1 \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots 1 \ end {bmatrix}}.}

I_ {1} = { \ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}}, \ I_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {bmatrix}}, \ \ cdots, \ I_ {n} = {\ begin { bmatrix} 1 0 \ cdots 0 \\ 0 1 \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots 1 \ end {bmatrix}}.

Это квадратная матрица порядка $n {\ displaystyle n}$ $n$ , а также особый вид диагональной матрицы. Она называется единичной матрицей, потому что умножение на нее оставляет матрицу неизменной:

AIn= ImA= Aдля любой матрицы размером m на n

A {\ displaystyle A}

A

Симметричная или кососимметричная матрица

A квадратная матрица A, которая равна ее транспонированию, т. е. $A = AT {\ displaystyle A = A ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle A = A ^ {\ mathsf {T}}}$ , является a симметричная матрица. Если вместо этого A было равно отрицательному значению его транспонирования, т. Е. A = - A, тогда A будет кососимметричная матрица. В комплексных матрицах симметрия часто заменяется концепцией эрмитовых матриц, которая удовлетворяет $AH = A {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {H}} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {H}} = A}$ , где $AH {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {H}}}$ $A ^ {\ mathrm {H}}$ обозначает сопряженное транспонирование матрицы, т. Е. Транспонирование комплексно сопряженное из $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

По спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональное (или унитарное) eigenbasis ; то есть каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. Эту теорему можно обобщить на бесконечномерные ситуации, связанные с матрицами с бесконечным числом строк и столбцов, см. ниже.

Обратимая матрица и ее обратная

Квадратная матрица $A {\ displaystyle A }$ $A$ называется обратимым или невырожденным, если существует матрица $B {\ displaystyle B}$ $B$ такая, что

AB = BA = I n {\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}

{\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}

Если $B {\ displaystyle B}$ $B$ существует, он уникален и называется обратной матрицей $A {\ displaystyle A}$ $A$ , обозначается $A - 1 {\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ .

Нормальная матрица

Квадратная матрица называется нормальным, если $ATA = AAT {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} A = AA ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} A = AA ^ { \ mathrm {T}}}$ , т. е. если он коммутирует со своим транспонированием.

Определенная матрица

Положительно определенная	Неопределенная
$[1/4 0 0 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1/4 0 \\ 0 1 \\\ end {bmatrix} }}$ ${\ begin {bmatrix} 1/4 0 \\ 0 1 \\\ end { bmatrix}}$	$[1/4 0 0–1 / 4] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1/4 0 \\ 0 -1 / 4 \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} 1/4 0 \ \ 0 -1 / 4 \ end {bmatrix}}$
Q (x, y) = 1/4 x + y	Q (x, y) = 1/4 x - 1/4 y
. Точки такие, что Q (x, y) = 1. (Эллипс ).	. Точки такие, что Q (x, y) = 1. (Гипербола ).

Симметричная матрица размера n × n называется положительно-определенной (соответственно отрицательно-определенной; неопределенной), если для всех ненулевых векторов $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ n$ связанная квадратичная форма, заданная

Q(x) = xAx

принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные ценности). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица неопределенна именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. В таблице справа показаны две возможности для матриц 2 на 2.

Использование в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A:

BA(x, y) = xAy.

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица - это квадрат матрица с действительными элементами, столбцы и строки которых являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормированными векторами). Эквивалентно, матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно ее инверсии :

AT = A - 1, {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = A ^ {- 1}, \,}

A ^ {\ mathrm {T}} = A ^ { -1}, \,

, что влечет за собой

ATA = AAT = I, {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} A = AA ^ {\ mathrm {T}} = I, \,}

A ^ {\ mathrm {T}} A = AA ^ {\ mathrm {T}} = I, \,

, где I - единичная матрица.

Ортогональная матрица A обязательно обратимая (с обратным A = A), унитарная (A = A *) и нормальный (A * A = AA *). Детерминант любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Специальная ортогональная матрица - это ортогональная матрица с определителем +1. Как линейное преобразование, каждая ортогональная матрица с определителем +1 является чистым поворотом, в то время как каждая ортогональная матрица с определителем -1 является либо чистым отражением, либо композиция отражения и вращения.

комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Операции

Трассировка

Трасса , tr (A ) квадратной матрицы A - это сумма ее диагональных элементов. Хотя матричное умножение не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей:

tr ⁡ (AB) = tr ⁡ (BA) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA)}

\ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA)

Это непосредственно следует из определения умножения матриц:

tr ⁡ (AB) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A ij B ji = tr ⁡ (BA). {\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = \ operatorname {tr} (BA).}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ sum _ {i = 1} ^ { m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = \ operatorname {tr} (BA).}

Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т. Е.

tr ⁡ (A) = tr ⁡ (AT) {\ displaystyle \ operatorname {tr} (A) = \ operatorname {tr} (A ^ {\ mathrm {T}})}

{\ displaystyle \ operatorname {tr } (A) = \ operatorname {tr} (A ^ {\ mathrm {T}})}

Определитель

Линейное преобразование на

R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\ mathbb {R} ^ {2}

, заданный указанной матрицей. Детерминант этой матрицы равен -1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию , так как она меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на правую.

Определитель $det (A) {\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ или $| А | {\ displaystyle | A |}$ $| A |$ квадратной матрицы $A {\ displaystyle A}$ $A$ - число, кодирующее определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ ) или объему (в $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ) изображения единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующей линейной карты: определитель положителен тогда и только если ориентация сохраняется.

Определитель матриц 2 на 2 задается как

det [a b c d] = a d - b c. {\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = ad-bc.}

\ det {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = ad-bc.

Определитель матриц 3 на 3 включает 6 членов (правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы для всех измерений.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей:

det (AB) = det ( A) ⋅ det (B) {\ displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ cdot \ det (B)}

{\ display стиль \ det (AB) = \ det (A) \ cdot \ det (B)}

Добавление кратного числа любой строки к другой строке или кратного числа любого столбца к другому столбец, не меняет определителя. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. Используя эти операции, любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это дает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель в терминах миноров, то есть определителей меньших матриц. Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1 на 1, которая является ее уникальной записью, или даже определитель матрицы 0 на 0, которая равна 1), что, как можно видеть, эквивалентно формуле Лейбница. Детерминанты могут использоваться для решения линейных систем с использованием правила Крамера, где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы.

Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ , удовлетворяющий

A v = λ v {\ displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}

{\ displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}

называются собственным значением и собственным вектором $A {\ displaystyle A}$ $A$ соответственно. Число λ является собственным значением n × n-матрицы A тогда и только тогда, когда A−λInне обратимо, что эквивалентно

det (A - λ I) = 0. {\ displaystyle \ det ({\ mathsf {A}} - \ lambda {\ mathsf {I}}) = 0.}

{\ displaystyle \ det ( {\ mathsf {A}} - \ lambda {\ mathsf {I}}) = 0.}

Многочлен p Aв неопределенном X, полученный посредством оценки определителя det (X In−A), называется характеристическим многочленом для A . Это монический многочлен степени n. Следовательно, полиномиальное уравнение p A(λ) = 0 имеет не более n различных решений, т.е. собственных значений матрицы. Они могут быть сложными, даже если записи A реальны. Согласно теореме Кэли – Гамильтона, p A(A) = 0, то есть результат подстановки самой матрицы в ее собственный характеристический полином дает нулевую матрицу .

См. Также

Матрица Картана

Примечания

Ссылки

Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
Хорн, Роджер А. ; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Мирский Леонид (1990), Введение в линейную алгебру, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Внешние ссылки

СМИ, связанные с Квадратные матрицы на Wikimedia Commons