Матрица Картана

редактировать

Матрицы, названные в честь Эли Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана. Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом, тогда как форма Киллинга принадлежит Картану.

Содержание

1 Алгебры Ли
- 1.1 Классификация
  - 1.1.1 Детерминанты матриц Картана простых алгебр Ли
2 Представления конечномерных алгебр
3 Матрицы Картана в M-теории
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Алгебры Ли

A обобщенная матрица Картана представляет собой квадратную матрицу $A = (aij) {\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ $A = (a_ {ij})$ с целыми записями, такими, что

для диагональных записей $aii = 2 {\ displaystyle a_ {ii} = 2}$ ${\ displaystyle a_ {ii} = 2}$ .
Для недиагональных записей $aij ≤ 0 {\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0}$ $a_ {ij} \ leq 0$ .
$aij = 0 {\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ $a_ {ij} = 0$ тогда и только тогда, когда $aji = 0 {\ displaystyle a_ {ji} = 0}$ $a_ {ji} = 0$
$A {\ displaystyle A}$ $A$ можно записать как $DS {\ displaystyle DS}$ ${\ displaystyle DS}$ , где $D {\ displaystyle D}$ $D$ - диагональ . матрица, а $S {\ displaystyle S}$ $S$ - симметричная матрица .

. Например, матрица Картана для G2 может быть разложена как таковая:

[2 - 3 - 1 2] = [3 0 0 1] [2 3 - 1 - 1 2]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 -3 \\ - 1 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 0 \\ 0 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {2 } {3}} - 1 \\ - 1 2 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 -3 \\ - 1 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 0 \\ 0 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {3}} - 1 \\ -1 2 \ end {bmatrix}}.}

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении является положительно определенным, тогда A называется матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли является матрица, элементами которой являются скалярные произведения

aji = 2 (ri, rj) (rj, rj) {\ displaystyle a_ {ji} = 2 {(r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {j}, r_ {j})}}

{\ displaystyle a_ {ji} = 2 {(r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {j }, r_ {j})}}

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r i - простые корни алгебра. Записи являются составной частью одного из свойств корней. Первое условие следует из определения, второе - из того факта, что для $я ≠ j, rj - 2 (ri, rj) (ri, ri) ri {\ displaystyle i \ neq j, r_ {j} - { 2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ $i \ neq j, r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}$ - корень, который представляет собой линейную комбинацию простых корней r i и r j с положительным коэффициентом для r j и, таким образом, коэффициент для r i имеет быть неотрицательным. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И, наконец, пусть $D ij = δ ij (ri, ri) {\ displaystyle D_ {ij} = {\ delta _ {ij} \ over (r_ {i}, r_ {i})}}$ $D _ {{ij}} = {\ дельта _ {{ij}} \ над (r_ {i}, r_ {i})}$ и $S ij = 2 (ri, rj) {\ displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$ $S _ {{ij}} = 2 (r_ {i}, r_ {j})$ . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство, S положительно определена.

И наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. (Подробнее см. алгебра Каца – Муди ).

Классификация

Матрица A $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n \ times n$ является разложимой, если существует собственно непустое подмножество $I ⊂ {1,…, n} {\ displaystyle I \ subset \ {1, \ dots, n \}}$ $I \ subset \ {1, \ dots, n \}$ такое, что $aij = 0 {\ displaystyle a_ {ij } = 0}$ $a_ {ij} = 0$ всякий раз, когда $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ и $j ∉ I {\ displaystyle j \ notin I}$ $j \ notin I$ . A является неразложимым, если он не является разложимым.

Пусть A - неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все его главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если его собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов $A n, B n, C n, D n, E 6, E 7, E 8, F 4, G 2 {\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}, D_ {n}, E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ { 2}}$ $A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}, D_ {n}, E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}$ ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (Наряду с A 1=B1=C1, B 2=C2, D 3=A3, D 2=A1A1, E 5=D5, E 4=A4и E 3=A2A1)

An	Bn	Cn	Dn. n ≥ 3	En. 3 ≤ n ≤ 8	F4	G2
n + 1	2	2	4	9 - n	1	1

Еще одним свойством этого определителя является то, что он равен индексу соответствующей корневой системы, то есть равен $| P / Q | {\ displaystyle | P / Q |}$ $| P / Q |$ где P, Q обозначают решетку весов и решетку корней, соответственно.

Представления конечномерных алгебр

В теории модульных представлений и в более общем смысле в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A, которые не являются полупростыми, матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) набора главных неразложимых модулей и записывая для них композиционный ряд в терминах неприводимых модулей, получая матрицу целых юзеры, подсчитывающие количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в M-теории

В M-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами, которые пересекаются друг с другом в конечное число точек на пределе, когда площадь двух циклов обращается в ноль. В этом пределе появляется локальная группа симметрии. Матрица чисел пересечения базиса двух циклов предположительно является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрии.

Это может объясняется следующим образом. В М-теории есть солитоны, которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-бранами. 2-брана имеет натяжение и, таким образом, имеет тенденцию к сжатию, но может обернуться вокруг двух циклов, что не позволяет ей сжаться до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем принять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, таким образом получая уменьшение размеров над этим размером. Тогда получается тип IIA теория струн как предел М-теории, с двумя бранами, охватывающими два цикла, которые теперь описываются открытой струной, натянутой между D-бранами. Для каждой D-браны существует локальная группа симметрии U (1), напоминающая степень свободы перемещения ее без изменения ее ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, когда эти D-браны находятся друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Итак, открытая строка, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор двух таких генераторов является третьим, представленным открытой строкой, которую можно получить следующим образом: склейка краев двух открытых ниток. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, каким образом 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть от числа пересечений двух циклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечения. Точная связь с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми строками, которые натянуты между D-браной и самой собой.

См. Также

Примечания

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129 . Springer-Verlag. п. 334. ISBN 0-387-97495-4.
Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9. Springer-Verlag. С. 55–56. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6..

Внешние ссылки