G2(математика)

редактировать

В математике, G2- это название трех простых групп Ли (сложная форма, компактная вещественная форма и расщепленная вещественная форма), их алгебры Ли g 2, {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2},}{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2},} как а также некоторые алгебраические группы. Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли. G 2 имеет ранг 2 и размерность 14. Он имеет два фундаментальных представления с размерностью 7 и 14.

Компактная форма G 2 можно описать как группу автоморфизмов алгебры октонионов или, что то же самое, как подгруппу SO (7), которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в его 8-мерном вещественное спинорное представление (спинорное представление ).

Содержание

  • 1 История
  • 2 Реальные формы
  • 3 Алгебра
    • 3.1 Диаграмма Дынкина и матрица Картана
    • 3.2 Корни G 2
    • 3.3 Группа Вейля / Кокстера
    • 3.4 Специальная голономия
  • 4 Полиномиальный инвариант
  • 5 Генераторы
  • 6 Представления
  • 7 Конечные группы
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки

История

Алгебра Ли g 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}{\ mathfrak {g}} _ {2} , наименьшая исключительная простая алгебра Ли, была первой из них, обнаруженной при попытке классификации простых алгебр Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг написал письмо Фридриху Энгелю, в котором он сообщил, что открыл 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем g 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}{\ mathfrak {g}} _ {2} .

В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытый набор в C 5 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ { 5}}\ mathbb {C} ^ 5 с двумерным распределением , т.е. плавно меняющимся полем двумерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли g 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}{\ mathfrak {g}} _ {2} отображается как бесконечно малые симметрии. В том же году в том же журнале Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что двумерное распределение тесно связано с качением шара по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара является 5-мерным с двухмерным распределением, которое описывает движения шара, когда он катится без проскальзывания или скручивания.

В 1900 году Энгель обнаружил, что общая антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G 2.

. В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли. В 1914 году он заявил, что это компактная действительная форма G 2.

В старых книгах и статьях G 2 иногда обозначается E 2.

Реальные формы

Есть 3 простых вещественные алгебры Ли, связанные с этой корневой системой:

  • Основная вещественная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G 2 имеет размерность 28. Она имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и односвязна. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с ней группы - это компактная форма группы G 2.
  • . Алгебра Ли компактной формы 14-мерна. У ассоциированной группы Ли нет внешних автоморфизмов, нет центра, она односвязна и компактна.
  • Алгебра Ли некомпактной (расщепленной) формы имеет размерность 14. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядок 2 и его группа внешних автоморфизмов является тривиальной группой. Его максимальная компактная подгруппа - это SU (2) × SU (2) / (- 1, −1). Он имеет односвязное неалгебраическое двойное покрытие.

Алгебра

Диаграмма Дынкина и матрица Картана

Диаграмма Дынкина для G 2 задается как Диаграмма Дынкина G 2 .

Его матрица Картана имеет следующий вид:

[2–1–3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {rr} 2 -1 \\ -3 2 \ end {array}} \ right]}{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {rr} 2 -1 \\ - 3 2 \ end {array}} \ right]}

Корни G 2
Корневая система G2.svg . Корневая система с 12 векторами G 2 в двух измерениях.3-куб t1.svg . В проекции A 2плоскости Кокстера из 12 вершин кубооктаэдра содержится такое же расположение 2D-векторов.G2Coxeter.svg . График G2 как подгруппы F4 и E8, спроецированный на плоскость Кокстера

Хотя они охватывают двумерное пространство, как показано, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в двумерном подпространстве трехмерного пространства.

(1, −1,0), (−1,1,0)
(1,0, −1), (−1,0,1)
( 0,1, −1), (0, −1,1)
(2, −1, −1), (−2,1,1)
(1, −2,1), (−1,2, −1)
(1,1, −2), (−1, −1,2)

Один набор простых корней, для Dyn2-узел n1.png Dyn2-6a.png Dyn2-node n2.png это:

(0,1, −1), (1, −2,1)

группа Вейля / Кокстера

Its Weyl / Группа Кокстера G = W (G 2) {\ displaystyle G = W (G_ {2})}{\ displaystyle G = W (G_ {2})} - группа диэдра, D 6 {\ displaystyle D_ {6}}D_ {6} из порядка 12. Он имеет минимальную точную степень μ (G) = 5 {\ displaystyle \ mu (G) = 5}{\ displaystyle \ mu (G) = 5} .

Специальная голономия

G2- одна из возможных специальных групп, которые могут появиться как голономия группа римановой метрики. Многообразия голономии G 2 также называются G2-многообразиями.

Полиномиальный инвариант

G2- это группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

С 1 знак равно T 2 + U 2 + v 2 + вес 2 + Икс 2 + Y 2 + Z 2 {\ Displaystyle C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2 } + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}
C 2 = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz {\ displaystyle C_ { 2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz}C_ {2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz (± перестановки)

, которое происходит от алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен будет тождественно равен нулю.

Генераторы

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами A,..., N дает матрицу:

A λ 1 + ⋯ + N λ 14 = [0 C - BE - D - GF - M - C 0 AF - G + ND - K - E - LB - A 0 - NML - K - E - FN 0 - A + H - B + IC - JDG - N - MA - H 0 JIGK - D - LB - I - J 0 - H - F + ME + LK - C + J - IH 0] {\ displaystyle A \ lambda _ {1} + \ cdots + N \ lambda _ {14} = {\ begin {bmatrix} 0 C -B E -D -G F-M \\ - C 0 A F -G + N D-K -EL \\ B -A 0 -N M L -K \\ - E -F N 0 -A + H -B + I C-J \\ D G-N -M A-H 0 J I \\ G K-D -L B-I -J 0 -H \\ - F + M E + L K -C + J -I H 0 \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle A \ lambda _ {1} + \ cdots + N \ лямбда _ {14} = {\ begin {bmatrix} 0 C -B E -D -G F-M \\ - C 0 A F -G + N D-K -EL \\ B -A 0 -N M L -K \\ - E -F N 0 -A + H -B + I C-J \\ D G-N -M A-H 0 J I \\ G K-D -L B-I -J 0 -H \\ - F + M E + L K -C + J -I H 0 \ end {bmatrix}}}

Это именно та Алгебра Ли группы

G 2 = {g ∈ SO (7): g ∗ φ = φ, φ = ω 123 + ω 145 + ω 167 + ω 246 - ω 257 - ω 347 - ω 356} {\ displaystyle G_ {2} = \ {g \ in SO (7): g ^ {*} \ varphi = \ varphi, \ varphi = \ omega ^ {123} + \ omega ^ {145} + \ omega ^ {167} + \ omega ^ {246} - \ omega ^ {257} - \ omega ^ {347} - \ omega ^ {356} \}}{\ displaystyle G_ {2} = \ {g \ in SO (7): g ^ {*} \ varphi = \ varphi, \ varphi = \ omega ^ {123} + \ omega ^ {145} + \ omega ^ {167} + \ omega ^ {246} - \ omega ^ {257} - \ omega ^ {347} - \ omega ^ {356} \} }

Представления

Персонажи конечномерных представлений реальный и комп lex алгебры Ли и группы Ли задаются формулой характера Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

14-мерное представление - это сопряженное представление, а 7-мерное - действие G 2 на мнимые октонионы.

Есть два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 28652 и т. Д. фундаментальные представления - это те, которые имеют размерности 14 и 7 (соответствующие двум узлам в диаграмма Дынкина в таком порядке, что тройная стрелка указывает от первой ко второй).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G 2.

Конечные группы

Группа G 2 (q) - точки алгебраической группы G 2 над конечным полем Fq. Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном в Диксон (1901) для нечетных q и Диксоном (1905) для четных q. Порядок G 2 (q) равен q (q - 1) (q - 1). Когда q ≠ 2, группа является простой, а когда q = 2, она имеет простую подгруппу с индексом 2, изоморфную A 2 (3), и - группа автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J1 была сначала построена как подгруппа G 2 (11). Ри (1960) представил скрученные группы Ри G2(q) порядка q (q + 1) (q - 1) для q = 3, нечетной степени 3.

См. Также

Ссылки

См. Раздел 4.1: G 2 ; онлайн-версия HTML, доступная по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.
Последняя правка сделана 2021-05-21 08:31:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте