G₂(математика)

В математике, G2- это название трех простых групп Ли (сложная форма, компактная вещественная форма и расщепленная вещественная форма), их алгебры Ли $g\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\},\}$как а также некоторые алгебраические группы. Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли. G 2 имеет ранг 2 и размерность 14. Он имеет два фундаментальных представления с размерностью 7 и 14.

Компактная форма G 2 можно описать как группу автоморфизмов алгебры октонионов или, что то же самое, как подгруппу SO (7), которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в его 8-мерном вещественное спинорное представление (спинорное представление ).

• 1 История
• 2 Реальные формы
• 3 Алгебра
  • 3.1 Диаграмма Дынкина и матрица Картана
  • 3.2 Корни G 2
  • 3.3 Группа Вейля / Кокстера
  • 3.4 Специальная голономия
• 4 Полиномиальный инвариант
• 5 Генераторы
• 6 Представления
• 7 Конечные группы
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

Алгебра Ли $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\}\}$, наименьшая исключительная простая алгебра Ли, была первой из них, обнаруженной при попытке классификации простых алгебр Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг написал письмо Фридриху Энгелю, в котором он сообщил, что открыл 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\}\}$.

В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытый набор в $C\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{\; 5\}\}$с двумерным распределением , т.е. плавно меняющимся полем двумерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{2\}\}$отображается как бесконечно малые симметрии. В том же году в том же журнале Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что двумерное распределение тесно связано с качением шара по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара является 5-мерным с двухмерным распределением, которое описывает движения шара, когда он катится без проскальзывания или скручивания.

В 1900 году Энгель обнаружил, что общая антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G 2.

. В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли. В 1914 году он заявил, что это компактная действительная форма G 2.

В старых книгах и статьях G 2 иногда обозначается E 2.

Есть 3 простых вещественные алгебры Ли, связанные с этой корневой системой:

• Основная вещественная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G 2 имеет размерность 28. Она имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и односвязна. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с ней группы - это компактная форма группы G 2.
• . Алгебра Ли компактной формы 14-мерна. У ассоциированной группы Ли нет внешних автоморфизмов, нет центра, она односвязна и компактна.
• Алгебра Ли некомпактной (расщепленной) формы имеет размерность 14. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядок 2 и его группа внешних автоморфизмов является тривиальной группой. Его максимальная компактная подгруппа - это SU (2) × SU (2) / (- 1, −1). Он имеет односвязное неалгебраическое двойное покрытие.

Диаграмма Дынкина и матрица Картана

Диаграмма Дынкина для G 2 задается как .

Его матрица Картана имеет следующий вид:

$[2–1–3\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rr\}\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -3\; 2\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Корни G 2

. Корневая система с 12 векторами G 2 в двух измерениях.

. В проекции A 2плоскости Кокстера из 12 вершин кубооктаэдра содержится такое же расположение 2D-векторов.

. График G2 как подгруппы F4 и E8, спроецированный на плоскость Кокстера

Хотя они охватывают двумерное пространство, как показано, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в двумерном подпространстве трехмерного пространства.

(1, −1,0), (−1,1,0) (1,0, −1), (−1,0,1) ( 0,1, −1), (0, −1,1)

(2, −1, −1), (−2,1,1) (1, −2,1), (−1,2, −1) (1,1, −2), (−1, −1,2)

Один набор простых корней, для это:

(0,1, −1), (1, −2,1)

группа Вейля / Кокстера

Its Weyl / Группа Кокстера $G\; =\; W\; (G\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; W\; (G\_\; \{2\})\}$- группа диэдра, $D\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{6\}\}$из порядка 12. Он имеет минимальную точную степень $\mu \; (G)\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (G)\; =\; 5\}$.

Специальная голономия

G2- одна из возможных специальных групп, которые могут появиться как голономия группа римановой метрики. Многообразия голономии G 2 также называются G2-многообразиями.

G2- это группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

$С\; 1\; знак\; равно\; T\; 2\; +\; U\; 2\; +\; v\; 2\; +\; вес\; 2\; +\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2\; +\; Z\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{1\}\; =\; t\; ^\; \{2\}\; +\; u\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\; \}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\}$

$C\; 2\; =\; tuv\; +\; wtx\; +\; ywu\; +\; zyt\; +\; vzw\; +\; xvy\; +\; uxz\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{\; 2\}\; =\; tuv\; +\; wtx\; +\; ywu\; +\; zyt\; +\; vzw\; +\; xvy\; +\; uxz\}$(± перестановки)

, которое происходит от алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен будет тождественно равен нулю.

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами A,..., N дает матрицу:

$A\; \lambda \; 1\; +\; \cdots \; +\; N\; \lambda \; 14\; =\; [0\; C\; -\; BE\; -\; D\; -\; GF\; -\; M\; -\; C\; 0\; AF\; -\; G\; +\; ND\; -\; K\; -\; E\; -\; LB\; -\; A\; 0\; -\; NML\; -\; K\; -\; E\; -\; FN\; 0\; -\; A\; +\; H\; -\; B\; +\; IC\; -\; JDG\; -\; N\; -\; MA\; -\; H\; 0\; JIGK\; -\; D\; -\; LB\; -\; I\; -\; J\; 0\; -\; H\; -\; F\; +\; ME\; +\; LK\; -\; C\; +\; J\; -\; IH\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; N\; \backslash \; lambda\; \_\; \{14\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; C\; -B\; E\; -D\; -G\; F-M\; \backslash \backslash \; -\; C\; 0\; A\; F\; -G\; +\; N\; D-K\; -EL\; \backslash \backslash \; B\; -A\; 0\; -N\; M\; L\; -K\; \backslash \backslash \; -\; E\; -F\; N\; 0\; -A\; +\; H\; -B\; +\; I\; C-J\; \backslash \backslash \; D\; G-N\; -M\; A-H\; 0\; J\; I\; \backslash \backslash \; G\; K-D\; -L\; B-I\; -J\; 0\; -H\; \backslash \backslash \; -\; F\; +\; M\; E\; +\; L\; K\; -C\; +\; J\; -I\; H\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Это именно та Алгебра Ли группы

$G\; 2\; =\; \{g\; \in \; SO\; (7):\; g\; \ast \; \phi \; =\; \phi ,\; \phi \; =\; \omega \; 123\; +\; \omega \; 145\; +\; \omega \; 167\; +\; \omega \; 246\; -\; \omega \; 257\; -\; \omega \; 347\; -\; \omega \; 356\}\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; SO\; (7):\; g\; ^\; \{*\}\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; omega\; ^\; \{123\}\; +\; \backslash \; omega\; ^\; \{145\}\; +\; \backslash \; omega\; ^\; \{167\}\; +\; \backslash \; omega\; ^\; \{246\}\; -\; \backslash \; omega\; ^\; \{257\}\; -\; \backslash \; omega\; ^\; \{347\}\; -\; \backslash \; omega\; ^\; \{356\}\; \backslash \}\}$

Персонажи конечномерных представлений реальный и комп lex алгебры Ли и группы Ли задаются формулой характера Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

14-мерное представление - это сопряженное представление, а 7-мерное - действие G 2 на мнимые октонионы.

Есть два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 28652 и т. Д. фундаментальные представления - это те, которые имеют размерности 14 и 7 (соответствующие двум узлам в диаграмма Дынкина в таком порядке, что тройная стрелка указывает от первой ко второй).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G 2.

Группа G 2 (q) - точки алгебраической группы G 2 над конечным полем Fq. Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном в Диксон (1901) для нечетных q и Диксоном (1905) для четных q. Порядок G 2 (q) равен q (q - 1) (q - 1). Когда q ≠ 2, группа является простой, а когда q = 2, она имеет простую подгруппу с индексом 2, изоморфную A 2 (3), и - группа автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J1 была сначала построена как подгруппа G 2 (11). Ри (1960) представил скрученные группы Ри G2(q) порядка q (q + 1) (q - 1) для q = 3, нечетной степени 3.

• Матрица Картана
• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• G2-структура
• Группа Ли
• Семимерное перекрестное произведение
• Простая группа Ли

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли, Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422
• Баэз, Джон (2002), "Octonions", Bull. Амер. Математика. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155, doi : 10.1090 / S0273 -0979-01-00934-X.

См. Раздел 4.1: G 2 ; онлайн-версия HTML, доступная по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.

• Брайант, Роберт (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics, 2, 126 (3): 525–576, doi : 10.2307 / 1971360, JSTOR 1971360
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Теория линейных групп в произвольном поле», Труды Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 2(4): 363–394, doi : 10.1090 / S0002-9947-1901-1500573-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986251, Перепечатано в томе II его сборника статей Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G 2 в полях нечетной характеристики.
• Диксон, LE (1905), «Новая система простых групп», Math. Ann., 60 : 137–150, doi : 10.1007 / BF01447497 Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G 2 в полях четной характеристики.
• Ри, Римхак (1960), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G 2)», Бюллетень Американского математического общества, 66(6): 508–510, doi : 10.1090 / S0002-9904-1960-10523-X, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Воган, Дэвид А. младший (1994), «Унитарный двойственный G 2 », Inventiones Mathematicae, 116 (1): 677–791, Bibcode : 1994InMat.116..677V, doi : 10.1007 / BF01231578, ISSN 0020-9910, MR 1253210