Струнная теория

редактировать
Эта статья о физике. Для строковых алгоритмов см. String (информатика). Для использования в других целях, см String (значения).

Для более доступного и менее технического введения в эту тему см. Введение в M-теорию.

В физике, теория струн представляет собой теоретическую основу, в которой точечные частицы в физике элементарных частиц заменены одномерных объектов, называемых строками. Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, с ее массой, зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону, квантово-механической частице, которая несет гравитационную силу. Таким образом, теория струн - это теория квантовой гравитации.

Теория струн - это обширный и разнообразный предмет, который пытается ответить на ряд глубоких вопросов фундаментальной физики. Теория струн внесла большой вклад в математическую физику, которая была применена к множеству задач физики черных дыр, космологии ранней вселенной, ядерной физики и физики конденсированного состояния, и она стимулировала ряд крупных достижений в чистой математике.. Поскольку теория струн потенциально обеспечивает единое описание гравитации и физики элементарных частиц, она является кандидатом на теорию всего, автономную математическую модель, которая описывает все фундаментальные силы и формы материи. Несмотря на большую работу по этим проблемам, неизвестно, в какой степени теория струн описывает реальный мир или насколько теория допускает свободу в выборе своих деталей.

Теория струн была впервые изучена в конце 1960-х годов как теория сильного ядерного взаимодействия, прежде чем от нее отказались в пользу квантовой хромодинамики. Впоследствии стало понятно, что те самые свойства, которые делали теорию струн непригодной в качестве теории ядерной физики, сделали ее многообещающим кандидатом для квантовой теории гравитации. Самая ранняя версия теории струн, теория бозонных струн, включала только класс частиц, известных как бозоны. Позже она превратилась в теорию суперструн, которая устанавливает связь, называемую суперсимметрией, между бозонами и классом частиц, называемых фермионами. Пять последовательных версий теории суперструн были разработаны до того, как в середине 1990-х было высказано предположение, что все они представляют собой различные предельные случаи единой теории в 11 измерениях, известной как М-теория. В конце 1997 года теоретики обнаружили важное соотношение, называемое соответствием анти-де Ситтера и конформной теории поля (AdS / CFT-соответствие), которое связывает теорию струн с другим типом физической теории, называемой квантовой теорией поля.

Одна из проблем теории струн состоит в том, что полная теория не может иметь удовлетворительного определения при всех обстоятельствах. Другая проблема заключается в том, что эта теория, как считается, описывает огромный ландшафт возможных вселенных, что усложняет попытки разработать теории физики элементарных частиц, основанные на теории струн. Эти проблемы побудили некоторых в сообществе критиковать эти подходы к физике и ставить под сомнение ценность продолжения исследований по унификации теории струн.

СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Основы
    • 1.1 Струны
    • 1.2 Дополнительные размеры
    • 1.3 Двойственности
    • 1.4 Брана
  • 2 М-теория
    • 2.1 Объединение теорий суперструн
    • 2.2 Теория матриц
  • 3 Черные дыры
    • 3.1 Формула Бекенштейна – Хокинга
    • 3.2 Вывод в теории струн
  • 4 AdS / CFT корреспонденция
    • 4.1 Обзор переписки
    • 4.2 Приложения к квантовой гравитации
    • 4.3 Приложения к ядерной физике
    • 4.4 Приложения к физике конденсированного состояния
  • 5 Феноменология
    • 5.1 Физика элементарных частиц
    • 5.2 Космология
  • 6 Связь с математикой
    • 6.1 Зеркальная симметрия
    • 6.2 Чудовищный самогон
  • 7 История
    • 7.1 Первые результаты
    • 7.2 Первая суперструнная революция
    • 7.3 Вторая суперструнная революция
  • 8 Критика
    • 8.1 Количество решений
    • 8.2 Совместимость с темной энергией
    • 8.3 Независимость от фона
    • 8.4 Социология науки
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
    • 10.1 Библиография
  • 11 Дальнейшее чтение
    • 11.1 Научно-популярный
    • 11.2 Учебники
  • 12 Внешние ссылки
Основы
Волнистый открытый отрезок и замкнутая петля шнурка. Основными объектами теории струн являются открытые и замкнутые струны.

В ХХ веке возникли две теоретические основы для формулирования законов физики. Первая - это общая теория относительности Альберта Эйнштейна, теория, объясняющая силу гравитации и структуру пространства-времени на макроуровне. Другой - квантовая механика, совершенно другая формулировка, которая использует известные принципы вероятности для описания физических явлений на микроуровне. К концу 1970-х годов этих двух концепций оказалось достаточно для объяснения большинства наблюдаемых характеристик Вселенной, от элементарных частиц до атомов и эволюции звезд и Вселенной в целом.

Несмотря на эти успехи, остается еще много проблем, которые предстоит решить. Одна из самых глубоких проблем современной физики - проблема квантовой гравитации. Общая теория относительности сформулирована в рамках классической физики, тогда как другие фундаментальные силы описываются в рамках квантовой механики. Квантовая теория гравитации необходима для того, чтобы согласовать общую теорию относительности с принципами квантовой механики, но трудности возникают, когда кто-то пытается применить обычные предписания квантовой теории к силе гравитации. Помимо проблемы разработки последовательной теории квантовой гравитации, есть много других фундаментальных проблем в физике атомных ядер, черных дыр и ранней Вселенной.

Теория струн - это теоретическая основа, которая пытается ответить на эти и многие другие вопросы. Отправной точкой для теории струн является идея о том, что точечные частицы в физике элементарных частиц также может быть смоделирована как одномерные объекты, называемые строки. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. В данной версии теории струн существует только один вид струны, который может выглядеть как небольшая петля или сегмент обычной струны и может колебаться по-разному. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, с ее массой, зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. Таким образом, все различные элементарные частицы можно рассматривать как колеблющиеся струны. В теории струн одно из колебательных состояний струны порождает гравитон, квантово-механическую частицу, которая несет гравитационную силу. Таким образом, теория струн - это теория квантовой гравитации.

Одним из основных достижений теории струн за последние несколько десятилетий было открытие определенных «двойственностей», математических преобразований, которые отождествляют одну физическую теорию с другой. Физики, изучающие теорию струн, обнаружили ряд этих двойственностей между различными версиями теории струн, и это привело к предположению, что все согласованные версии теории струн объединены в единую структуру, известную как М-теория.

Исследования теории струн также дали ряд результатов о природе черных дыр и гравитационном взаимодействии. Есть определенные парадоксы, которые возникают, когда кто-то пытается понять квантовые аспекты черных дыр, и работа по теории струн пытается прояснить эти вопросы. В конце 1997 года это направление работ привело к открытию соответствия анти-де Ситтера и конформной теории поля, или AdS / CFT. Это теоретический результат, который связывает теорию струн с другими физическими теориями, которые лучше понимаются теоретически. Соответствие AdS / CFT имеет значение для изучения черных дыр и квантовой гравитации, а также применяется к другим предметам, включая ядерную физику и физику конденсированного состояния.

Поскольку теория струн включает в себя все фундаментальные взаимодействия, включая гравитацию, многие физики надеются, что в конечном итоге она будет развита до такой степени, что полностью описывает нашу Вселенную, превращая ее в теорию всего. Одна из целей текущих исследований в области теории струн - найти решение теории, которое воспроизводит наблюдаемый спектр элементарных частиц с небольшой космологической постоянной, содержащий темную материю и вероятный механизм космической инфляции. Несмотря на прогресс в достижении этих целей, неизвестно, в какой степени теория струн описывает реальный мир и какую свободу дает теория в выборе деталей.

Одна из проблем теории струн состоит в том, что полная теория не может иметь удовлетворительного определения при всех обстоятельствах. Рассеяние струн наиболее просто определяется с использованием методов теории возмущений, но в целом неизвестно, как определить теорию струн непертурбативно. Также неясно, существует ли какой-либо принцип, по которому теория струн выбирает свое вакуумное состояние, физическое состояние, определяющее свойства нашей Вселенной. Эти проблемы побудили некоторых в сообществе критиковать эти подходы к объединению физики и ставить под сомнение ценность продолжения исследований этих проблем.

Струны

Основная статья: Струна (физика) Взаимодействие в квантовом мире: мировые линии точечных частиц или мировой лист, охваченный замкнутыми струнами в теории струн.

Применение квантовой механики к физическим объектам, таким как электромагнитное поле, которые распространяются в пространстве и времени, известно как квантовая теория поля. В физике элементарных частиц квантовые теории поля составляют основу нашего понимания элементарных частиц, которые моделируются как возбуждения в фундаментальных полях.

В квантовой теории поля обычно вычисляют вероятности различных физических событий, используя методы теории возмущений. Разработанная Ричардом Фейнманом и другими в первой половине двадцатого века пертурбативная квантовая теория поля использует специальные диаграммы, называемые диаграммами Фейнмана, для организации вычислений. Можно представить, что эти диаграммы изображают пути точечных частиц и их взаимодействия.

Отправной точкой теории струн является идея о том, что точечные частицы квантовой теории поля также можно моделировать как одномерные объекты, называемые струнами. Взаимодействие струн наиболее просто определяется путем обобщения теории возмущений, используемой в обычной квантовой теории поля. На уровне диаграмм Фейнмана это означает замену одномерной диаграммы, представляющей путь точечной частицы, двумерной (2D) поверхностью, представляющей движение струны. В отличие от квантовой теории поля, теория струн не имеет полного непертурбативного определения, поэтому многие теоретические вопросы, на которые физики хотели бы ответить, остаются недоступными.

В теориях физики элементарных частиц, основанных на теории струн, предполагается, что характерный масштаб длины струн порядка планковской длины, или 10 -35 метров, масштаб, в котором эффекты квантовой гравитации, как полагают, становятся значительными. На гораздо больших масштабах, таких как масштабы, видимые в физических лабораториях, такие объекты были бы неотличимы от нульмерных точечных частиц, а колебательное состояние струны определяло бы тип частицы. Одно из колебательных состояний струны соответствует гравитону, квантово-механической частице, несущей гравитационную силу.

Первоначальной версией теории струн была теория бозонных струн, но эта версия описывала только бозоны, класс частиц, передающих силы между частицами материи или фермионами. Теорию бозонных струн в конечном итоге вытеснили теории, называемые теориями суперструн. Эти теории описывают как бозоны, так и фермионы, и они включают теоретическую идею, называемую суперсимметрией. В теориях с суперсимметрией у каждого бозона есть аналог - фермион, и наоборот.

Существует несколько версий теории суперструн: тип I, тип IIA, тип IIB и два варианта гетеротической теории струн ( SO (32) и E 8 × E 8 ). Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией. Например, теория типа I включает как открытые струны (которые представляют собой сегменты с конечными точками), так и закрытые струны (которые образуют замкнутые петли), в то время как типы IIA, IIB и гетеротические включают только закрытые строки.

Дополнительные размеры

Трубчатая поверхность и соответствующая одномерная кривая. Пример компактификации : на больших расстояниях двумерная поверхность с одним круговым измерением выглядит одномерной.

В повседневной жизни существует три привычных измерения (3D) пространства: высота, ширина и длина. Общая теория относительности Эйнштейна рассматривает время как измерение наравне с тремя пространственными измерениями; в общей теории относительности пространство и время не моделируются как отдельные сущности, а вместо этого объединены в четырехмерное (4D) пространство-время. В этом контексте явление гравитации рассматривается как следствие геометрии пространства-времени.

Несмотря на то, что Вселенная хорошо описывается четырехмерным пространством-временем, физики рассматривают теории в других измерениях по нескольким причинам. В некоторых случаях, моделируя пространство-время в другом количестве измерений, теория становится более математически понятной, и можно легче выполнять вычисления и получать общие идеи. Бывают также ситуации, когда теории в двух или трех измерениях пространства-времени полезны для описания явлений в физике конденсированного состояния. Наконец, существуют сценарии, в которых на самом деле могло быть более 4D пространства-времени, которые, тем не менее, удалось избежать обнаружения.

Теории струн требуют дополнительных измерений пространства-времени для их математической согласованности. В теории бозонных струн пространство-время 26-мерно, в теории суперструн - 10-мерно, а в M-теории - 11-мерно. Поэтому для описания реальных физических явлений с помощью теории струн необходимо представить себе сценарии, в которых эти дополнительные измерения не наблюдались бы в экспериментах.

Визуализация сложной математической поверхности со множеством сверток и самопересечений. Сечение квинтического многообразия Калаби – Яу.

Компактификация - это один из способов изменить количество измерений в физической теории. Предполагается, что при компактификации некоторые дополнительные измерения «замыкаются», образуя круги. В пределе, когда эти свернутые в клубок измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, например, садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение - его окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ уплотнения дополнительных измерений дает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби – Яу. Многообразие Калаби – Яу - это особое пространство, которое обычно считается шестимерным в приложениях к теории струн. Он назван в честь математиков Эудженио Калаби и Шинг-Тунг Яу.

Другой подход к уменьшению количества измерений - это так называемый сценарий мира на бране. В этом подходе физики предполагают, что наблюдаемая Вселенная является четырехмерным подпространством пространства более высоких измерений. В таких моделях несущие силу бозоны физики элементарных частиц возникают из открытых струн с концами, прикрепленными к четырехмерному подпространству, в то время как гравитация возникает из замкнутых струн, распространяющихся через большее окружающее пространство. Эта идея играет важную роль в попытках разработать модели реальной физики на основе теории струн и дает естественное объяснение слабости гравитации по сравнению с другими фундаментальными силами.

Дуальности

Диаграмма, показывающая взаимосвязь между М-теорией и пятью теориями суперструн. Диаграмма дуальностей теории струн. Синие края указывают на S-двойственность. Красные края указывают на Т-двойственность. Основные статьи: S-двойственность и T-двойственность

Примечательным фактом теории струн является то, что все разные версии теории оказываются взаимосвязанными весьма нетривиальным образом. Одно из взаимоотношений, которое может существовать между различными теориями струн, называется S-дуальностью. Это соотношение говорит о том, что набор сильно взаимодействующих частиц в одной теории может в некоторых случаях рассматриваться как набор слабо взаимодействующих частиц в совершенно другой теории. Грубо говоря, совокупность частиц называется сильно взаимодействующими, если они часто объединяются и распадаются, и слабо взаимодействующими, если они делают это нечасто. Теория струн типа I оказывается эквивалентной по S-дуальности гетеротической теории струн SO (32). Точно так же теория струн типа IIB нетривиальным образом связана сама с собой S-дуальностью.

Еще одна взаимосвязь между различными теориями струн - T-дуальность. Здесь рассматриваются струны, распространяющиеся вокруг дополнительного кругового измерения. T-дуальность утверждает, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса R, эквивалентна струне, распространяющейся по окружности радиуса 1 / R, в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойном описании. Например, струна имеет импульс, когда она распространяется по кругу, и она также может наматываться по кругу один или несколько раз. Количество витков струны по кругу называется числом намотки. Если в одном описании струна имеет импульс p и номер витка n, в двойном описании у нее будет импульс n и номер витка p. Например, теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB через T-дуальность, и две версии гетеротической теории струн также связаны посредством T-дуальности.

В общем, термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Две теории, связанные двойственностью, не обязательно должны быть теориями струн. Например, двойственность Монтонена – Олива является примером отношения S-дуальности между квантовыми теориями поля. Соответствие AdS / CFT является примером двойственности, которая связывает теорию струн с квантовой теорией поля. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно каким-то образом преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория. В этом случае говорят, что две теории двойственны друг другу при преобразовании. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений.

Бранес

Основная статья: Брана Пара поверхностей, соединенных волнистыми отрезками. Открытые струны прикреплены к паре D-бран.

В теории струн и других связанных теориях брана - это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечная частица может рассматриваться как брана нулевого измерения, а струна может рассматриваться как брана размерности один. Также можно рассматривать браны более высокой размерности. В размерности p они называются p -бранами. Слово «брана» происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.

Брана - это динамические объекты, которые могут распространяться в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики. Они имеют массу и могут иметь другие атрибуты, такие как заряд. Р -браны заметает ( р + 1) n - мерного объема в пространстве - времени называется его worldvolume. Физики часто изучают поля, аналогичные электромагнитному полю, которые живут в мировом объеме браны.

В теории струн D-браны представляют собой важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к определенному математическому условию системы, известному как граничное условие Дирихле. Изучение D-бран в теории струн привело к важным результатам, таким как соответствие AdS / CFT, которое пролило свет на многие проблемы квантовой теории поля.

Branes часто изучаются с чисто математической точки зрения, и они описываются как объекты определенных категорий, такие, как производная категория из когерентных пучков на комплексное алгебраическое многообразии, или категории Фукая из в симплектическом многообразии. Связь между физическим понятием браны и математическим понятием категории привела к важным математическим открытиям в области алгебраической и симплектической геометрии и теории представлений.

М-теория
Основная статья: М-теория

До 1995 года теоретики считали, что существует пять последовательных версий теории суперструн (тип I, тип IIA, тип IIB и две версии теории гетеротических струн). Это понимание изменилось в 1995 году, когда Эдвард Виттен предположил, что пять теорий были просто частными предельными случаями одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией. Гипотеза Виттена была основана на работах ряда других физиков, включая Ашока Сена, Криса Халла, Пола Таунсенда и Майкла Даффа. Его заявление привело к бурной исследовательской деятельности, известной как вторая суперструнная революция.

Объединение теорий суперструн

Диаграмма в форме звезды, в шести вершинах которой обозначены различные пределы М-теории. Схематическая иллюстрация взаимосвязи между М-теорией, пятью теориями суперструн и одиннадцатимерной супергравитацией. Заштрихованная область представляет собой семейство различных физических сценариев, возможных в M-теории. В некоторых предельных случаях, соответствующих куспидам, естественно описывать физику, используя одну из шести обозначенных там теорий.

В 1970-х годах многие физики заинтересовались теориями супергравитации, сочетающими общую теорию относительности с суперсимметрией. В то время как общая теория относительности имеет смысл в любом количестве измерений, супергравитация накладывает верхний предел на количество измерений. В 1978 году работа Вернера Нама показала, что максимальное измерение пространства-времени, в котором можно сформулировать непротиворечивую суперсимметричную теорию, равно одиннадцати. В том же году Юджин Креммер, Бернар Джулия и Жоэль Шерк из Высшей школы нормального образования показали, что супергравитация не только допускает до одиннадцати измерений, но фактически является наиболее элегантной в этом максимальном количестве измерений.

Первоначально многие физики надеялись, что, компактифицировав одиннадцатимерную супергравитацию, можно будет построить реалистичные модели нашего четырехмерного мира. Была надежда, что такие модели предоставят единое описание четырех фундаментальных сил природы: электромагнетизма, сильных и слабых ядерных взаимодействий и гравитации. Интерес к одиннадцатимерной супергравитации вскоре угас, когда в этой схеме были обнаружены различные недостатки. Одна из проблем заключалась в том, что законы физики, по-видимому, различают по часовой стрелке и против часовой стрелки, явление, известное как киральность. Эдвард Виттен и другие заметили, что это свойство хиральности не может быть легко получено путем компактификации из одиннадцати измерений.

Во время первой суперструнной революции в 1984 году многие физики обратились к теории струн как к единой теории физики элементарных частиц и квантовой гравитации. В отличие от теории супергравитации, теория струн смогла учесть киральность стандартной модели и предоставила теорию гравитации, совместимую с квантовыми эффектами. Еще одна особенность теории струн, которая привлекала многих физиков в 1980-х и 1990-х годах, заключалась в ее высокой степени уникальности. В обычных теориях частиц можно рассматривать любой набор элементарных частиц, классическое поведение которых описывается произвольным лагранжианом. В теории струн возможности гораздо более ограничены: к 1990-м годам физики утверждали, что существует только пять последовательных суперсимметричных версий теории.

Хотя существовало лишь несколько последовательных теорий суперструн, оставалось загадкой, почему не было единственной непротиворечивой формулировки. Однако, когда физики начали более внимательно изучать теорию струн, они поняли, что эти теории связаны сложным и нетривиальным образом. Они обнаружили, что систему сильно взаимодействующих струн в некоторых случаях можно рассматривать как систему слабо взаимодействующих струн. Это явление известно как S-дуальность. Его изучал Ашок Сен в контексте гетеротических струн в четырех измерениях и Крис Халл и Пол Таунсенд в контексте теории типа IIB. Теоретики также обнаружили, что различные теории струн могут быть связаны посредством T-дуальности. Эта двойственность подразумевает, что струны, распространяющиеся в совершенно разных геометриях пространства-времени, могут быть физически эквивалентными.

Примерно в то же время, когда многие физики изучали свойства струн, небольшая группа физиков изучала возможные применения объектов более высоких измерений. В 1987 году Эрик Бергшоф, Эргин Сезгин и Пол Таунсенд показали, что одиннадцатимерная супергравитация включает двумерные браны. Интуитивно эти объекты выглядят как листы или мембраны, распространяющиеся в одиннадцатимерном пространстве-времени. Вскоре после этого открытия Майкл Дафф, Пол Хоу, Такео Инами и Келлог Стелле рассмотрели конкретную компактификацию одиннадцатимерной супергравитации с одним из измерений, свернутым в круг. В этом случае можно представить мембрану, охватывающую круговой размер. Если радиус круга достаточно мал, то эта мембрана выглядит как струна в десятимерном пространстве-времени. Дафф и его сотрудники показали, что эта конструкция точно воспроизводит струны, появляющиеся в теории суперструн типа IIA.

Выступая на конференции по теории струн в 1995 году, Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять теорий суперструн на самом деле представляют собой просто разные предельные случаи единой теории в одиннадцати измерениях пространства-времени. Объявление Виттена объединило все предыдущие результаты по S- и T-дуальности и появлению многомерных бран в теории струн. В течение нескольких месяцев после заявления Виттена в Интернете появились сотни новых статей, подтверждающих различные части его предложения. Сегодня этот шквал работ известен как вторая суперструнная революция.

Первоначально некоторые физики предполагали, что новая теория является фундаментальной теорией мембран, но Виттен скептически относился к роли мембран в этой теории. В статье от 1996 года Хоржава и Виттен писали: «Поскольку было предложено, что одиннадцатимерная теория является теорией супермембран, но есть некоторые причины сомневаться в этой интерпретации, мы условно назовем ее М-теорией, оставив на усмотрение будущее отношение М к мембранам ». В отсутствие понимания истинного значения и структуры M-теории, Виттен предположил, что M должно обозначать «магию», «тайну» или «мембрану» в зависимости от вкуса, а истинное значение названия должно быть решенным, когда станет известна более фундаментальная формулировка теории.

Матричная теория

Основная статья: Теория матриц (физика)

В математике матрица - это прямоугольный массив чисел или других данных. В физике матричная модель - это особый вид физической теории, математическая формулировка которой в значительной степени включает понятие матрицы. Матричная модель описывает поведение набора матриц в рамках квантовой механики.

Одним из важных примеров матричной модели является матричная модель BFSS, предложенная Томом Бэнксом, Вилли Фишлером, Стивеном Шенкером и Леонардом Сасскинд в 1997 году. Эта теория описывает поведение набора из девяти больших матриц. В своей оригинальной статье эти авторы показали, среди прочего, что низкоэнергетический предел этой матричной модели описывается одиннадцатимерной супергравитацией. Эти расчеты привели их к предположению, что матричная модель BFSS в точности эквивалентна M-теории. Таким образом, матричная модель BFSS может использоваться в качестве прототипа для правильной формулировки M-теории и инструмента для исследования свойств M-теории в относительно простых условиях.

Развитие формулировки матричной модели М-теории привело физиков к рассмотрению различных связей между теорией струн и разделом математики, называемым некоммутативной геометрией. Этот предмет является обобщением обычной геометрии, в которой математики определяют новые геометрические понятия, используя инструменты некоммутативной алгебры. В статье 1998 года Ален Конн, Майкл Р. Дуглас и Альберт Шварц показали, что некоторые аспекты матричных моделей и M-теории описываются некоммутативной квантовой теорией поля, особой разновидностью физической теории, в которой пространство-время описывается математически с использованием некоммутативная геометрия. Это установило связь между матричными моделями и М-теорией, с одной стороны, и некоммутативной геометрией, с другой. Это быстро привело к открытию других важных связей между некоммутативной геометрией и различными физическими теориями.

Черные дыры

В общей теории относительности черная дыра определяется как область пространства-времени, в которой гравитационное поле настолько сильно, что никакая частица или излучение не могут уйти. В принятых в настоящее время моделях звездной эволюции считается, что черные дыры возникают, когда массивные звезды подвергаются гравитационному коллапсу, а многие галактики, как полагают, содержат сверхмассивные черные дыры в своих центрах. Черные дыры также важны по теоретическим причинам, поскольку они представляют собой серьезные проблемы для теоретиков, пытающихся понять квантовые аспекты гравитации. Теория струн оказалась важным инструментом для исследования теоретических свойств черных дыр, поскольку она обеспечивает основу, в которой теоретики могут изучать их термодинамику.

Формула Бекенштейна – Хокинга

В разделе физики, называемом статистической механикой, энтропия - это мера случайности или беспорядка физической системы. Эта концепция была изучена в 1870-х годах австрийским физиком Людвигом Больцманом, который показал, что термодинамические свойства газа могут быть получены из совокупности свойств многих составляющих его молекул. Больцман утверждал, что, усредняя поведение всех различных молекул в газе, можно понять макроскопические свойства, такие как объем, температура и давление. Кроме того, эта перспектива привела его к тому, что он дал точное определение энтропии как натурального логарифма числа различных состояний молекул (также называемых микросостоянием), которые приводят к одним и тем же макроскопическим характеристикам.

В двадцатом веке физики начали применять те же концепции к черным дырам. В большинстве систем, таких как газы, энтропия зависит от объема. В 1970-х годах физик Якоб Бекенштейн предположил, что энтропия черной дыры вместо этого пропорциональна площади поверхности ее горизонта событий, границы, за которой материя и излучение теряются из-за ее гравитационного притяжения. В сочетании с идеями физика Стивена Хокинга работа Бекенштейна привела к точной формуле для энтропии черной дыры. Формула Бекенштейна – Хокинга выражает энтропию S как

S знак равно c 3 k А 4 грамм {\ displaystyle S = {\ frac {c ^ {3} kA} {4 \ hbar G}}}

где c - скорость света, k - постоянная Больцмана, ħ - приведенная постоянная Планка, G - постоянная Ньютона, а A - площадь поверхности горизонта событий.

Как и любая физическая система, черная дыра имеет энтропию, определяемую количеством различных микросостояний, которые приводят к одним и тем же макроскопическим характеристикам. Формула энтропии Бекенштейна – Хокинга дает ожидаемое значение энтропии черной дыры, но к 1990-м годам у физиков все еще не было вывода этой формулы путем подсчета микросостояний в теории квантовой гравитации. Получение такого вывода этой формулы считалось важным тестом на жизнеспособность любой теории квантовой гравитации, такой как теория струн.

Вывод в теории струн

В статье 1996 года Эндрю Строминджер и Кумран Вафа показали, как вывести формулу Бекенштейна – Хокинга для некоторых черных дыр в теории струн. Их расчет был основан на наблюдении, что D-браны, которые выглядят как колеблющиеся мембраны, когда они слабо взаимодействуют, становятся плотными, массивными объектами с горизонтом событий, когда взаимодействия сильные. Другими словами, система сильно взаимодействующих D-бран в теории струн неотличима от черной дыры. Строминджер и Вафа проанализировали такие системы D-бран и вычислили количество различных способов размещения D-бран в пространстве-времени так, чтобы их совокупная масса и заряд были равны заданной массе и заряду образовавшейся черной дыры. Их расчет точно воспроизводил формулу Бекенштейна – Хокинга, включая коэффициент 1/4. Последующие работы Строминджера, Вафы и других уточнили исходные вычисления и дали точные значения «квантовых поправок», необходимых для описания очень маленьких черных дыр.

Черные дыры, которые Строминджер и Вафа рассматривали в своей первоначальной работе, сильно отличались от настоящих астрофизических черных дыр. Одно различие заключалось в том, что Строминджер и Вафа рассматривали только экстремальные черные дыры, чтобы сделать расчет легко управляемым. Они определяются как черные дыры с минимально возможной массой, совместимой с данным зарядом. Строминджер и Вафа также ограничили внимание черными дырами в пятимерном пространстве-времени с нефизической суперсимметрией.

Хотя изначально он был разработан в этом очень специфическом и физически нереалистичном контексте теории струн, расчет энтропии Строминджера и Вафы привел к качественному пониманию того, как энтропия черной дыры может быть учтена в любой теории квантовой гравитации. Действительно, в 1998 году Строминджер утверждал, что исходный результат можно обобщить на произвольную непротиворечивую теорию квантовой гравитации, не полагаясь на струны или суперсимметрию. В сотрудничестве с несколькими другими авторами в 2010 году он показал, что некоторые результаты по энтропии черных дыр могут быть распространены на неэкстремальные астрофизические черные дыры.

AdS / CFT корреспонденция
Основная статья: Переписка AdS / CFT

Один из подходов к формулировке теории струн и изучению ее свойств обеспечивается соответствием анти-де Ситтера и конформной теории поля (AdS / CFT). Это теоретический результат, который означает, что теория струн в некоторых случаях эквивалентна квантовой теории поля. Помимо понимания математической структуры теории струн, соответствие AdS / CFT пролило свет на многие аспекты квантовой теории поля в режимах, в которых традиционные вычислительные методы неэффективны. Переписка AdS / CFT была впервые предложена Хуаном Малдасена в конце 1997 года. Важные аспекты переписки были подробно освещены в статьях Стивена Губсера, Игоря Клебанова, Александра Марковича Полякова и Эдварда Виттена. К 2010 году статья Малдасены имела более 7000 цитирований, став самой цитируемой статьей в области физики высоких энергий.

Обзор переписки

Диск, состоящий из треугольников и четырехугольников, которые становятся все меньше и меньше около граничной окружности. Тесселяция из гиперболической плоскости с помощью треугольников и квадратов

В соответствии AdS / CFT, геометрия пространства - времени описывается в терминах некоторого вакуумного решения из уравнения Эйнштейна называется анти-де Ситтера. Проще говоря, пространство анти-де Ситтера - это математическая модель пространства-времени, в которой понятие расстояния между точками ( метрика ) отличается от понятия расстояния в обычной евклидовой геометрии. Это тесно связано с гиперболическим пространством, которое можно рассматривать как диск, как показано слева. Это изображение показывает мозаику диска треугольниками и квадратами. Можно определить расстояние между точками этого диска таким образом, чтобы все треугольники и квадраты были одного размера, а круговая внешняя граница была бесконечно удалена от любой точки внутри.

Можно представить себе стопку гиперболических дисков, каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени. Полученный геометрический объект представляет собой трехмерное пространство анти-де Ситтера. Он выглядит как сплошной цилиндр, в котором любое поперечное сечение является копией гиперболического диска. На этой картинке время течет в вертикальном направлении. Поверхность этого цилиндра играет важную роль в AdS / CFT-соответствии. Как и в случае с гиперболической плоскостью, пространство анти-де Ситтера искривлено таким образом, что любая точка внутри фактически бесконечно удалена от этой граничной поверхности.

Цилиндр, образованный штабелированием копий диска, показанного на предыдущем рисунке. Трехмерное пространство анти-де Ситтера похоже на стопку гиперболических дисков, каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени. В результате пространство-время выглядит как сплошной цилиндр.

Эта конструкция описывает гипотетическую вселенную только с двумя измерениями пространства и одним измерением времени, но ее можно обобщить на любое количество измерений. Действительно, гиперболическое пространство может иметь более двух измерений, и можно «складывать» копии гиперболического пространства, чтобы получить многомерные модели пространства анти-де Ситтера.

Важной особенностью пространства анти-де Ситтера является его граница (которая выглядит как цилиндр в случае трехмерного пространства анти-де Ситтера). Одним из свойств этой границы является то, что в небольшой области на поверхности вокруг любой заданной точки она выглядит точно так же, как пространство Минковского, модель пространства-времени, используемая в негравитационной физике. Поэтому можно рассмотреть вспомогательную теорию, в которой «пространство-время» задается границей пространства анти-де Ситтера. Это наблюдение является отправной точкой для соответствия AdS / CFT, в котором говорится, что граница пространства анти-де Ситтера может рассматриваться как «пространство-время» для квантовой теории поля. Утверждается, что эта квантовая теория поля эквивалентна теории гравитации, такой как теория струн, в большом пространстве анти-де Ситтера в том смысле, что существует «словарь» для перевода сущностей и вычислений из одной теории в их аналоги в другая теория. Например, одна частица в теории гравитации может соответствовать некоторому набору частиц в теории границ. Кроме того, предсказания в двух теориях количественно идентичны, так что если две частицы имеют 40-процентную вероятность столкновения в теории гравитации, то соответствующие совокупности в граничной теории также будут иметь 40-процентную вероятность столкновения.

Приложения к квантовой гравитации

Открытие AdS / CFT-соответствия стало большим шагом вперед в понимании физиками теории струн и квантовой гравитации. Одна из причин этого в том, что это соответствие дает формулировку теории струн в терминах квантовой теории поля, которую хорошо понять при сравнении. Другая причина заключается в том, что он обеспечивает общую основу, в которой физики могут изучать и пытаться разрешить парадоксы черных дыр.

В 1975 году Стивен Хокинг опубликовал расчет, согласно которому черные дыры не являются полностью черными, но излучают тусклое излучение из-за квантовых эффектов вблизи горизонта событий. Сначала результат Хокинга представлял проблему для теоретиков, поскольку предполагал, что черные дыры уничтожают информацию. Точнее, расчет Хокинга, казалось, противоречил одному из основных постулатов квантовой механики, который гласит, что физические системы развиваются во времени в соответствии с уравнением Шредингера. Это свойство обычно называют унитарностью временной эволюции. Очевидное противоречие между расчетом Хокинга и постулатом унитарности квантовой механики стало известно как информационный парадокс черной дыры.

Соответствие AdS / CFT разрешает информационный парадокс черной дыры, по крайней мере, до некоторой степени, потому что оно показывает, как черная дыра может развиваться в соответствии с квантовой механикой в ​​некоторых контекстах. Действительно, можно рассматривать черные дыры в контексте AdS / CFT-соответствия, и любая такая черная дыра соответствует конфигурации частиц на границе пространства анти-де Ситтера. Эти частицы подчиняются обычным правилам квантовой механики и, в частности, развиваются унитарно, поэтому черная дыра также должна развиваться унитарно, соблюдая принципы квантовой механики. В 2005 году Хокинг объявил, что парадокс был разрешен в пользу сохранения информации с помощью соответствия AdS / CFT, и предложил конкретный механизм, с помощью которого черные дыры могут сохранять информацию.

Приложения к ядерной физике

Основная статья: AdS / QCD корреспонденция Магнит, парящий над сверхпроводящим материалом. Магнит левитации выше высокотемпературного сверхпроводника. Сегодня некоторые физики работают над пониманием высокотемпературной сверхпроводимости с использованием соответствия AdS / CFT.

Помимо приложений к теоретическим проблемам квантовой гравитации, соответствие AdS / CFT применялось к множеству задач квантовой теории поля. Одна физическая система, которая была изучена с использованием AdS / CFT-соответствия, - это кварк-глюонная плазма, экзотическое состояние материи, создаваемое в ускорителях частиц. Это состояние вещества возникает на короткое время, когда тяжелые ионы, такие как ядра золота или свинца, сталкиваются при высоких энергиях. Такие столкновения вызывают кварки, составляющие атомные ядра к deconfine при температурах около двух трлн кельвина, условие, аналогичного тем, которые присутствуют на уровне около 10 -11 секунд после Больших взрыва.

Физика кварк-глюонной плазмы регулируется теорией, называемой квантовой хромодинамикой, но эта теория математически неразрешима в задачах, связанных с кварк-глюонной плазмой. В статье, появившейся в 2005 году, Ам Тхань Сан и его сотрудники показали, что соответствие AdS / CFT можно использовать для понимания некоторых аспектов кварк-глюонной плазмы, описывая ее на языке теории струн. Применяя соответствие AdS / CFT, Сан и его сотрудники смогли описать кварк-глюонную плазму в терминах черных дыр в пятимерном пространстве-времени. Расчет показал, что отношение двух величин, связанных с кварк-глюонной плазмой, сдвиговой вязкости и объемной плотности энтропии, должно быть приблизительно равно некоторой универсальной постоянной. В 2008 году предсказанное значение этого отношения для кварк-глюонной плазмы было подтверждено на коллайдере релятивистских тяжелых ионов в Брукхейвенской национальной лаборатории.

Приложения к физике конденсированного состояния

Основная статья: Переписка AdS / CMT

Соответствие AdS / CFT также использовалось для изучения аспектов физики конденсированного состояния. За десятилетия физики- экспериментаторы конденсированного состояния обнаружили ряд экзотических состояний вещества, включая сверхпроводники и сверхтекучие жидкости. Эти состояния описываются с использованием формализма квантовой теории поля, но некоторые явления трудно объяснить с помощью стандартных теоретико-полевых методов. Некоторые теоретики конденсированной среды, включая Субира Сачдева, надеются, что соответствие AdS / CFT позволит описать эти системы на языке теории струн и узнать больше об их поведении.

К настоящему времени достигнуты определенные успехи в использовании методов теории струн для описания перехода сверхтекучей жидкости в изолятор. Сверхтекучая жидкость - это система электрически нейтральных атомов, которая течет без трения. Такие системы часто производятся в лаборатории с использованием жидкого гелия, но недавно экспериментаторы разработали новые способы создания искусственных сверхтекучих жидкостей путем заливки триллионов холодных атомов в решетку перекрещивающихся лазеров. Эти атомы изначально ведут себя как сверхтекучие, но по мере того, как экспериментаторы увеличивают интенсивность лазеров, они становятся менее подвижными и затем внезапно переходят в изолирующее состояние. Во время перехода атомы ведут себя необычным образом. Например, атомы замедляются до остановки со скоростью, которая зависит от температуры и постоянной Планка, фундаментального параметра квантовой механики, который не входит в описание других фаз. Это поведение недавно было понято при рассмотрении двойного описания, в котором свойства жидкости описываются в терминах черной дыры более высоких измерений.

Феноменология
Основная статья: Струнная феноменология

Теория струн не только представляет значительный теоретический интерес, но и обеспечивает основу для построения моделей реальной физики, сочетающих общую теорию относительности и физику элементарных частиц. Феноменология - это раздел теоретической физики, в котором физики конструируют реалистичные модели природы из более абстрактных теоретических идей. Феноменология струн - это часть теории струн, которая пытается построить реалистичные или полуреалистичные модели на основе теории струн.

Отчасти из-за теоретических и математических трудностей, а отчасти из-за чрезвычайно высоких энергий, необходимых для экспериментальной проверки этих теорий, до сих пор нет экспериментальных свидетельств, которые однозначно указывали бы на то, что какая-либо из этих моделей является правильным фундаментальным описанием природы. Это побудило некоторых в сообществе критиковать эти подходы к унификации и ставить под сомнение ценность продолжения исследований этих проблем.

Физика частиц

В настоящее время принятая теория, описывающая элементарные частицы и их взаимодействия, известна как стандартная модель физики элементарных частиц. Эта теория обеспечивает единое описание трех фундаментальных сил природы: электромагнетизма, а также сильных и слабых ядерных взаимодействий. Несмотря на замечательный успех в объяснении широкого круга физических явлений, стандартная модель не может быть полным описанием реальности. Это связано с тем, что стандартная модель не учитывает силу гравитации и из-за таких проблем, как проблема иерархии и неспособность объяснить структуру масс фермионов или темной материи.

Теория струн использовалась для построения множества моделей физики элементарных частиц, выходящих за рамки стандартной модели. Обычно в основе таких моделей лежит идея компактификации. Начиная с десяти- или одиннадцатимерного пространства-времени струнной или М-теории, физики постулируют форму дополнительных измерений. Правильно выбирая эту форму, они могут создавать модели, примерно похожие на стандартную модель физики элементарных частиц, вместе с дополнительными неоткрытыми частицами. Один из популярных способов вывести реалистичную физику из теории струн - начать с гетеротической теории в десяти измерениях и предположить, что шесть дополнительных измерений пространства-времени имеют форму шестимерного многообразия Калаби – Яу. Такие компактификации предлагают множество способов извлечь реалистичную физику из теории струн. Другие аналогичные методы могут быть использованы для построения реалистичных или полуреалистичных моделей нашего четырехмерного мира на основе M-теории.

Космология

Основная статья: Струнная космология Карта космического микроволнового фона, созданная зондом микроволновой анизотропии Уилкинсона.

Теория Большого взрыва является преобладающей космологической моделью Вселенной с самых ранних известных периодов до ее последующей крупномасштабной эволюции. Несмотря на успех в объяснении многих наблюдаемых особенностей Вселенной, включая галактические красные смещения, относительное содержание легких элементов, таких как водород и гелий, и существование космического микроволнового фона, есть несколько вопросов, которые остаются без ответа. Например, стандартная модель Большого взрыва не объясняет, почему Вселенная кажется одинаковой во всех направлениях, почему она кажется плоской на очень больших расстояниях или почему определенные гипотетические частицы, такие как магнитные монополи, не наблюдаются в экспериментах.

В настоящее время основным кандидатом в теорию, выходящую за рамки Большого взрыва, является теория космической инфляции. Разработанная Аланом Гутом и другими в 1980-х годах, инфляция постулирует период чрезвычайно быстрого ускоренного расширения Вселенной до расширения, описываемого стандартной теорией Большого взрыва. Теория космической инфляции сохраняет успехи Большого взрыва, обеспечивая естественное объяснение некоторых загадочных свойств Вселенной. Теория также получила убедительную поддержку в наблюдениях за космическим микроволновым фоном, излучением, которое заполнило небо примерно через 380000 лет после Большого взрыва.

В теории инфляции быстрое начальное расширение Вселенной вызвано гипотетической частицей, называемой инфлатоном. Точные свойства этой частицы не фиксируются теорией, но в конечном итоге должны быть получены из более фундаментальной теории, такой как теория струн. Действительно, было несколько попыток идентифицировать инфлатон в спектре частиц, описываемых теорией струн, и изучить инфляцию с помощью теории струн. Хотя эти подходы могут в конечном итоге найти поддержку в данных наблюдений, таких как измерения космического микроволнового фона, применение теории струн в космологии все еще находится на ранней стадии.

Связь с математикой

Помимо влияния на исследования в области теоретической физики, теория струн стимулировала ряд крупных достижений в чистой математике. Подобно многим развивающимся идеям теоретической физики, теория струн в настоящее время не имеет математически строгой формулировки, в которой можно было бы точно определить все ее концепции. В результате физики, изучающие теорию струн, часто руководствуются физической интуицией, чтобы предположить взаимосвязь между, казалось бы, разными математическими структурами, которые используются для формализации различных частей теории. Эти предположения позже подтверждаются математиками, и, таким образом, теория струн служит источником новых идей в чистой математике.

Зеркальная симметрия

Основная статья: Зеркальная симметрия (теория струн) Сложная математическая поверхность в трех измерениях. Клебша- кубический является примером своего рода геометрического объекта, называемым алгебраическим многообразием. Классический результат перечислительной геометрии утверждает, что на этой поверхности целиком лежит ровно 27 прямых.

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений в теории струн, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х несколько физиков заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого две разные версии теории струн, тип IIA и тип IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что дает начало одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а взаимосвязь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации теории струн Калаби – Яу правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет важные математические последствия. Многообразия Калаби – Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики, а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи перечислительной геометрии - раздела математики, связанного с подсчетом числа решений геометрических вопросов.

Перечислительная геометрия изучает класс геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями, которые определяются обращением в нуль многочленов. Например, кубика Клебша, изображенная справа, представляет собой алгебраическое многообразие, определенное с помощью некоторого полинома третьей степени от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Сэлмона утверждает, что существует ровно 27 прямых линий, целиком лежащих на такой поверхности.

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько линий можно нарисовать на пятом многообразии Калаби – Яу, таком как показанное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эту проблему решил немецкий математик XIX века Герман Шуберт, который обнаружил, что таких линий ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как окружности, которые определяются полиномами второй степени и целиком лежат в квинтике, составляет 609 250.

К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии было решено, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. Эта область была активизирована в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для перевода сложных математических вопросов об одном многообразии Калаби-Яу в более простые вопросы о его зеркале. В частности, они использовали зеркальную симметрию, чтобы показать, что шестимерное многообразие Калаби – Яу может содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени. В дополнение к подсчету кривых третьей степени Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые выходят далеко за рамки результатов, полученных математиками.

Изначально эти результаты Канделаса были оправданы физическими причинами. Однако математики обычно предпочитают строгие доказательства, не требующие обращения к физической интуиции. Вдохновленные работой физиков по зеркальной симметрии, математики поэтому построили свои собственные аргументы, подтверждающие перечисленные предсказания зеркальной симметрии. Сегодня зеркальная симметрия - это активная область математических исследований, и математики работают над более полным математическим пониманием зеркальной симметрии на основе интуиции физиков. Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологической зеркальной симметрии программы Максим Концевич и SYZ гипотезу о Строминджер, Яу Шинтун и Эрик Zaslow.

Чудовищный самогон

Основная статья: Чудовищный самогон Равносторонний треугольник с линией, соединяющей каждую вершину с серединой противоположной стороны. Равносторонний треугольник можно повернуть на 120 °, 240 ° или 360 ° или отразить в любой из трех изображенных линий без изменения его формы.

Теория групп - это раздел математики, изучающий понятие симметрии. Например, можно рассмотреть геометрическую фигуру, такую ​​как равносторонний треугольник. С этим треугольником можно выполнять различные операции, не меняя его формы. Его можно повернуть на 120 °, 240 ° или 360 °, или можно отразить в любой из линий, обозначенных на рисунке S 0, S 1 или S 2. Каждая из этих операций называется симметрией, и совокупность этих симметрий удовлетворяет определенным техническим свойствам, превращая ее в то, что математики называют группой. В этом конкретном примере, группа известна как диэдр из порядка 6, так как она имеет шесть элементов. Общая группа может описывать конечное или бесконечное число симметрий; если имеется только конечное число симметрий, она называется конечной группой.

Математики часто стремятся к классификации (или списку) всех математических объектов данного типа. Обычно считается, что конечные группы слишком разнообразны, чтобы допускать полезную классификацию. Более скромная, но все же сложная задача - классифицировать все конечные простые группы. Это конечные группы, которые можно использовать в качестве строительных блоков для построения произвольных конечных групп точно так же, как простые числа можно использовать для построения произвольных целых чисел путем получения произведений. Одним из главных достижений современной теории групп является классификация конечных простых групп, математическая теорема, которая дает список всех возможных конечных простых групп.

Эта классификационная теорема определяет несколько бесконечных семейств групп, а также 26 дополнительных групп, которые не вписываются ни в одно из семейств. Последние группы называются «спорадическими» группами, и каждая из них обязана своим существованием замечательному стечению обстоятельств. Самая большая спорадическая группа, так называемая группа монстров, насчитывает более 10 53 элементов, что более чем в тысячу раз превышает количество атомов на Земле.

График j -функции на комплексной плоскости

Казалось бы, не связанные строительства является J -функция из теории чисел. Этот объект принадлежит к особому классу функций, называемых модульными функциями, графики которых образуют определенный вид повторяющегося паттерна. Хотя эта функция появляется в области математики, которая кажется очень отличной от теории конечных групп, эти два предмета оказываются тесно связанными. В конце 1970-х математики Джон Маккей и Джон Томпсон заметили, что некоторые числа, возникающие при анализе группы монстров (а именно, размерности ее неприводимых представлений ), связаны с числами, которые появляются в формуле для j- функции (а именно, коэффициенты его ряда Фурье ). Эти отношения получили дальнейшее развитие у Джона Хортона Конвея и Саймона Нортона, которые назвали это чудовищным самогоном, потому что оно казалось слишком надуманным.

В 1992 году Ричард Борчердс построил мост между теорией модулярных функций и конечными группами и в процессе объяснил наблюдения Маккея и Томпсона. Работа Борчердса существенно использовала идеи теории струн, расширяя более ранние результаты Игоря Френкеля, Джеймса Леповски и Арне Мёрмана, которые осознали группу монстров как симметрии конкретной версии теории струн. В 1998 году Борчердс был награжден медалью Филдса за свою работу.

С 1990-х годов связь между теорией струн и самогоном привела к дальнейшим результатам в математике и физике. В 2010 году физики Тору Эгути, Хироси Оогури и Юджи Тачикава обнаружили связи между другой спорадической группой, группой Матье M 24 и определенной версией теории струн. Миранда Ченг, Джон Дункан и Джеффри А. Харви предложили обобщение этого феномена самогона, названного темным самогоном, и их гипотеза была математически доказана Дунканом, Майклом Гриффином и Кеном Оно. Виттен также предположил, что версия теории струн, появляющаяся в чудовищном самогоне, может быть связана с определенной упрощенной моделью гравитации в трех измерениях пространства-времени.

История
Основная статья: История теории струн

Первые результаты

Некоторые из структур, вновь введенных теорией струн, впервые возникли намного раньше как часть программы классического объединения, начатой Альбертом Эйнштейном. Первым, кто добавил пятое измерение к теории гравитации, был Гуннар Нордстрем в 1914 году, который заметил, что гравитация в пяти измерениях описывает как гравитацию, так и электромагнетизм в четырех. Нордстрём попытался объединить электромагнетизм со своей теорией гравитации, которая, однако, была заменена общей теорией относительности Эйнштейна в 1919 году. После этого немецкий математик Теодор Калуца объединил пятое измерение с общей теорией относительности, и только Калуце обычно приписывают эту идею. В 1926 году шведский физик Оскар Кляйн дал физическую интерпретацию ненаблюдаемого дополнительного измерения - оно заключено в маленький круг. Эйнштейн ввел несимметричный метрический тензор, а много позже Бранс и Дике добавили к гравитации скалярную составляющую. Эти идеи будут возрождены в теории струн, где они требуются условиями согласованности.

Леонард Сасскинд

Теория струн была первоначально разработана в конце 1960-х - начале 1970-х годов как никогда не полностью успешная теория адронов, субатомных частиц, таких как протон и нейтрон, которые ощущают сильное взаимодействие. В 1960-х годах Джеффри Чу и Стивен Фраучи обнаружили, что мезоны образуют семейства, называемые траекториями Редже, с массами, связанными со спинами, что позже было понято Йохиро Намбу, Хольгером Бехом Нильсеном и Леонардом Сасскинд как отношения, ожидаемые от вращения струн. Чу выступал за создание теории взаимодействий этих траекторий, которая не предполагала, что они состоят из каких-либо фундаментальных частиц, но строила бы их взаимодействия из условий самосогласования на S-матрице. S-матричный подход был начат Вернер Гейзенберг в 1940 - х годах как способ построения теории, которая не полагаться на местных представлений о пространстве и времени, которые Гейзенберг считали, ломаются в ядерном масштабе. Хотя масштабы отклонялись на много порядков, предлагаемый им подход идеально подходил для теории квантовой гравитации.

Работая с экспериментальными данными, Р. Долен, Д. Хорн и К. Шмид разработали некоторые правила сумм для обмена адронами. Когда частица и античастица разлетаются, виртуальные частицы можно обменивать двумя качественно разными способами. В s-канале две частицы аннигилируют, создавая временные промежуточные состояния, которые распадаются на частицы конечного состояния. В t-канале частицы обмениваются промежуточными состояниями путем излучения и поглощения. В теории поля эти два вклада складываются, один дает непрерывный фоновый вклад, а другой дает пики при определенных энергиях. Из данных было ясно, что пики уходят из фона - авторы интерпретировали это как утверждение, что вклад t-канала был двойным по отношению к s-каналу, то есть оба описывали всю амплитуду и включали другой.

Габриэле Венециано

Результат широко рекламировал Мюррей Гелл-Манн, под его руководством Габриэле Венециано построила амплитуду рассеяния, которая обладала свойством двойственности Долена-Хорна-Шмида, позже переименованной в дуальность мирового листа. Амплитуда требовала наличия полюсов там, где частицы появляются на прямолинейных траекториях, и есть специальная математическая функция, полюса которой равномерно распределены на половине реальной прямой - гамма-функция, которая широко использовалась в теории Редже. Управляя комбинациями гамма-функций, Венециано смог найти согласованную амплитуду рассеяния с полюсами на прямых линиях, в основном с положительными остатками, которые подчинялись двойственности и имели соответствующее масштабирование Редже при высоких энергиях. Амплитуда могла соответствовать данным рассеяния ближнего луча, а также другим параметрам типа Редже и имела предполагаемое интегральное представление, которое можно было использовать для обобщения.

В течение следующих лет сотни физиков работали над завершением программы начальной загрузки для этой модели, что принесло много сюрпризов. Сам Венециано обнаружил, что для того, чтобы амплитуда рассеяния описывала рассеяние частицы, которое появляется в теории, очевидном условии самосогласования, самой легкой частицей должен быть тахион. Мигель Вирасоро и Джоэль Шапиро обнаружили другую амплитуду, которая теперь понимается как амплитуда замкнутых струн, в то время как Зиро Коба и Хольгер Нильсен обобщили интегральное представление Венециано на многочастичное рассеяние. Венециано и Серджио Фубини ввели операторный формализм для вычисления амплитуд рассеяния, который был предшественником конформной теории мирового листа, в то время как Вирасоро понял, как удалить полюса с вычетами с неправильным знаком, используя ограничение на состояния. Клод Лавлейс вычислил амплитуду петли и отметил, что существует несоответствие, если размерность теории не равна 26. Чарльз Торн, Питер Годдард и Ричард Брауэр продолжили доказывать, что не существует состояний распространения с неправильным знаком в измерениях, меньших или равных до 26.

В 1969–70 гг. Йохиро Намбу, Хольгер Бек Нильсен и Леонард Сасскинд признали, что теория может быть описана в пространстве и времени в терминах струн. Амплитуды рассеяния систематически выводились из принципа действия Питера Годдарда, Джеффри Голдстоуна, Клаудио Ребби и Чарльза Торна, давая пространственно-временную картину вершинным операторам, введенным Венециано и Фубини, и геометрическую интерпретацию условий Вирасоро.

В 1971 году Пьер Рамонд добавил в модель фермионы, что привело его к формулировке двумерной суперсимметрии, отменяющей состояния с неправильным знаком. Некоторое время спустя Джон Шварц и Андре Невё добавили еще один сектор к теории Ферми. В фермионных теориях критическая размерность равнялась 10. Стэнли Мандельштам сформулировал конформную теорию мирового листа как для бозе, так и для ферми-случая, дав двумерный теоретико-полевой интеграл по путям для создания операторного формализма. Мичио Каку и Кейджи Киккава дали другую формулировку бозонной струны как теории поля струны с бесконечным множеством типов частиц и с полями, принимающими значения не в точках, а на петлях и кривых.

В 1974 году Тамиаки Йонея обнаружил, что все известные теории струн включают в себя безмассовую частицу со спином два, которая подчиняется правильным тождествам Уорда как гравитон. Джон Шварц и Джоэль Шерк пришли к такому же выводу и сделали смелый шаг, чтобы предположить, что теория струн - это теория гравитации, а не теория адронов. Они вновь представили теорию Калуцы – Клейна как способ разобраться в дополнительных измерениях. В то же время квантовая хромодинамика была признана правильной теорией адронов, переключив внимание физиков и, по-видимому, оставив программу бутстрапа на свалке истории.

Теория струн в конце концов оказалась на помойке, но в течение следующего десятилетия вся работа над этой теорией полностью игнорировалась. Тем не менее, теория продолжала стабильно развиваться благодаря работе горстки преданных. Фердинандо Глиоцци, Джоэль Шерк и Дэвид Олив в 1977 году осознали, что оригинальные струны Рамона и Невё Шварца несовместимы по отдельности и их необходимо объединить. Получившаяся теория не имела тахионов и была доказана Джоном Шварцем и Майклом Грином в 1984 году, что она обладает суперсимметрией пространства-времени. В том же году Александр Поляков дал теории современную формулировку интеграла по путям и продолжил интенсивное развитие конформной теории поля.. В 1979 году Даниэль Friedan показал, что уравнения движения теории струн, которые являются обобщением уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, выходят из ренормгрупповых уравнений для двумерной теории поля. Шварц и Грин открыли T-дуальность и построили две теории суперструн - IIA и IIB, связанные посредством T-дуальности, и теории типа I с открытыми струнами. Условия согласованности были настолько строгими, что вся теория была почти однозначно определена с помощью всего лишь нескольких дискретных вариантов.

Первая суперструнная революция

Эдвард Виттен

В начале 1980-х Эдвард Виттен обнаружил, что большинство теорий квантовой гравитации не могут учитывать киральные фермионы, подобные нейтрино. Это привело его в сотрудничестве с Луисом Альваресом-Гоме к изучению нарушений законов сохранения в теориях гравитации с аномалиями, и пришел к выводу, что теории струн типа I противоречивы. Грин и Шварц обнаружили вклад в аномалию, которую упустили Виттен и Альварес-Гоме, ограничивавший калибровочную группу теории струн типа I SO (32). Придя к пониманию этого расчета, Эдвард Виттен убедился, что теория струн действительно является последовательной теорией гравитации, и стал ее известным сторонником. Следуя примеру Виттена, в период с 1984 по 1986 год сотни физиков начали работать в этой области, и это иногда называют первой суперструнной революцией.

В этот период Дэвид Гросс, Джеффри Харви, Эмиль Мартинек и Райан Ром открыли гетеротические струны. Калибровочная группа этих замкнутых цепочек составляла две копии E8, и каждая копия могла легко и естественно включать стандартную модель. Филип Канделас, Гэри Горовиц, Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен обнаружили, что многообразия Калаби – Яу являются компактификациями, которые сохраняют реалистичное количество суперсимметрии, в то время как Лэнс Диксон и другие разработали физические свойства орбифолдов, отличительные геометрические особенности, допускаемые в теории струн. Кумрун Вафа обобщил T-дуальность от окружностей до произвольных многообразий, создав математическое поле зеркальной симметрии. Даниэль Фридан, Эмиль Мартинек и Стивен Шенкер далее разработали ковариантное квантование суперструны, используя методы конформной теории поля. Дэвид Гросс и Випул Перивал обнаружили, что теория возмущений струны расходится. Стивен Шенкер показал, что они расходятся намного быстрее, чем в теории поля, предполагая, что новые непертурбативные объекты отсутствуют.

Джозеф Полчински

В 1990-х Джозеф Полчински обнаружил, что теория требует объектов более высокой размерности, называемых D-бранами, и отождествил их с решениями супергравитации на основе черных дыр. Это было понято как новые объекты, предложенные пертурбативными расходимостями, и они открыли новую область с богатой математической структурой. Быстро стало ясно, что D-браны и другие п-браны, а не только струны, составляют материальное содержание теорий струн, и была открыта физическая интерпретация струн и бран - они представляют собой тип черной дыры. Сасскинд включил в голографический принцип о Gerardus т'Хоофта в теорию струн, выявляя длинный сильновозбужденных строки состояния с обычными тепловыми черными дырочных состояниями. Как предположил 'т Хоофт, флуктуации горизонта черной дыры, теория мирового листа или мирового объема, описывает не только степени свободы черной дыры, но и все близлежащие объекты.

Вторая суперструнная революция

В 1995 году на ежегодной конференции теоретиков струн в Университете Южной Калифорнии (USC) Эдвард Виттен выступил с речью о теории струн, которая, по сути, объединила пять теорий струн, существовавших в то время, и положила начало новой теории струн. Теория размерностей называется М-теорией. Примерно в то же время М-теория была предвосхищена в работах Пола Таунсенда. Шквал активности, начавшийся в это время, иногда называют второй суперструнной революцией.

Хуан Малдасена

В этот период Том Бэнкс, Вилли Фишлер, Стивен Шенкер и Леонард Сасскинд сформулировали теорию матриц, полное голографическое описание М-теории с использованием бран IIA D0. Это было первое определение теории струн, которое было полностью непертурбативным и являлось конкретной математической реализацией голографического принципа. Это пример дуальности калибровочной гравитации и теперь понимается как частный случай соответствия AdS / CFT. Эндрю Строминджер и Кумрун Вафа вычислили энтропию определенных конфигураций D-бран и нашли согласие с полуклассическим ответом для экстремально заряженных черных дыр. Петр Горжава и Виттен нашли одиннадцатимерную формулировку теорий гетеротических струн, показав, что орбифолды решают проблему хиральности. Виттен отметил, что эффективное описание физики D-бран при низких энергиях осуществляется суперсимметричной калибровочной теорией, и нашел геометрические интерпретации математических структур в калибровочной теории, которые он и Натан Зайберг ранее обнаружили в терминах расположения бран.

В 1997 году Хуан Малдасена отметил, что низкоэнергетические возбуждения теории вблизи черной дыры состоят из объектов, расположенных близко к горизонту, который для экстремально заряженных черных дыр выглядит как пространство анти-де Ситтера. Он отметил, что в этом пределе калибровочная теория описывает возбуждения струн вблизи бран. Таким образом, он выдвинул гипотезу о том, что теория струн на ближней к горизонту геометрии экстремально заряженной черной дыры, пространство анти-де Ситтера, умноженное на сферу с потоком, одинаково хорошо описывается низкоэнергетической предельной калибровочной теорией, N = 4 суперсимметричной теории Янга. –Теория Миллса. Эта гипотеза, называемая соответствием AdS / CFT, была развита Стивеном Губсером, Игорем Клебановым и Александром Поляковым, а также Эдвардом Виттеном, и теперь она хорошо принята. Это конкретная реализация голографического принципа, который имеет далеко идущие последствия для черных дыр, локальности и информации в физике, а также природы гравитационного взаимодействия. Благодаря этой взаимосвязи теория струн, как было показано, связана с калибровочными теориями, такими как квантовая хромодинамика, и это привело к более количественному пониманию поведения адронов, возвращая теорию струн к ее корням.

Критика

Количество решений

Основная статья: Пейзаж теории струн

Чтобы построить модели физики элементарных частиц, основанные на теории струн, физики обычно начинают с определения формы дополнительных измерений пространства-времени. Каждая из этих различных форм соответствует разной возможной вселенной или «состоянию вакуума» с разным набором частиц и сил. Теория струн, как она понимается в настоящее время, имеет огромное количество вакуумных состояний, обычно оцениваемых примерно в 10 500, и они могут быть достаточно разнообразными, чтобы учесть практически любое явление, которое может наблюдаться при низких энергиях.

Многие критики теории струн выразили озабоченность по поводу большого числа возможных вселенных, описываемых теорией струн. В своей книге Не Даже Wrong, Питер Войт, преподаватель на кафедре математики в Колумбийском университете, утверждает, что большое количество различных физических сценариев делает теория струн бессодержательным в качестве основы для построения модели физики элементарных частиц. По словам Войта,

Возможное существование, скажем, 10 500 различных состояний вакуума для теории суперструн, вероятно, разрушает надежду на использование этой теории для предсказания чего-либо. Если выбрать среди этого большого набора только те состояния, свойства которых согласуются с текущими экспериментальными наблюдениями, вполне вероятно, что их все еще будет так много, что можно получить практически любое значение для результатов любого нового наблюдения.

Некоторые физики считают, что такое большое количество решений на самом деле является достоинством, потому что оно может позволить естественное антропное объяснение наблюдаемых значений физических констант, в частности малого значения космологической постоянной. Антропный принцип является идеей, что некоторые из чисел, входящих в законах физики не фиксированы любой фундаментальным принципом, но должны быть совместимы с развитием разумной жизни. В 1987 году Стивен Вайнберг опубликовал статью, в которой утверждал, что космологическая постоянная не могла быть слишком большой, иначе галактики и разумная жизнь не смогли бы развиваться. Вайнберг предположил, что может существовать огромное количество возможных последовательных вселенных, каждая с различным значением космологической постоянной, и наблюдения указывают на небольшое значение космологической постоянной только потому, что люди живут во вселенной, которая допускает разумную жизнь, и следовательно, наблюдатели, чтобы существовать.

Теоретик струн Леонард Сасскинд утверждал, что теория струн обеспечивает естественное антропное объяснение малого значения космологической постоянной. Согласно Сасскинду, различные вакуумные состояния теории струн могут быть реализованы как разные вселенные внутри более крупной мультивселенной. Тот факт, что наблюдаемая Вселенная имеет небольшую космологическую постоянную, является лишь тавтологическим следствием того факта, что для существования жизни требуется небольшое значение. Многие известные теоретики и критики не согласились с выводами Сасскинда. По словам Войта, «в этом случае [антропные рассуждения] являются не более чем оправданием неудач. Спекулятивные научные идеи терпят неудачу не только тогда, когда они делают неверные прогнозы, но и когда они оказываются бессмысленными и неспособными что-либо предсказывать».

Совместимость с темной энергией

Известно, что ни один вакуум в теории струн не поддерживает метастабильную положительную космологическую постоянную, за исключением, возможно, одной неподтвержденной модели, описанной Качру и др. в 2003 году. В 2018 году группа из четырех физиков выдвинула спорную гипотезу, которая подразумевала бы, что такой вселенной не существует. Это противоречит некоторым популярным моделям темной энергии, таким как Λ-CDM, для которых требуется положительная энергия вакуума. Однако теория струн, вероятно, совместима с определенными типами квинтэссенции, когда темная энергия вызывается новым полем с экзотическими свойствами.

Фоновая независимость

Основная статья: Фоновая независимость

Одним из фундаментальных свойств общей теории относительности Эйнштейна является то, что она не зависит от фона, а это означает, что формулировка теории никоим образом не отдает предпочтение конкретной геометрии пространства-времени.

Одна из основных критических замечаний теории струн с самого начала заключается в том, что она не является явно независимой от фона. В теории струн обычно необходимо указать фиксированную опорную геометрию для пространства-времени, а все другие возможные геометрии описываются как возмущения этой фиксированной геометрии. В своей книге «Проблемы с физикой» физик Ли Смолин из Института теоретической физики « Периметр» утверждает, что это основная слабость теории струн как теории квантовой гравитации, говоря, что теория струн не смогла учесть это важное открытие из общей теории относительности.

Другие не согласны с характеристикой теории струн Смолина. В рецензии на книгу Смолина теоретик струн Иосиф Полчинский пишет:

[Смолин] ошибочно принимает один из аспектов используемого математического языка за один из описываемых аспектов физики. Новые физические теории часто открываются с использованием математического языка, который не является для них наиболее подходящим... В теории струн всегда было ясно, что физика не зависит от фона, даже если используемый язык не является подходящий язык продолжается. В самом деле, как запоздало замечает Смолин, [AdS / CFT] предлагает решение этой проблемы, которое является неожиданным и действенным.

Полчинский отмечает, что важной открытой проблемой квантовой гравитации является разработка голографических описаний гравитации, которые не требуют, чтобы гравитационное поле было асимптотически анти-де Ситтер. Смолин ответил, сказав, что соответствие AdS / CFT, в его нынешнем понимании, может быть недостаточно сильным, чтобы разрешить все опасения по поводу фоновой независимости.

Социология науки

После суперструнной революции 1980-х и 1990-х годов теория струн стала доминирующей парадигмой теоретической физики высоких энергий. Некоторые теоретики струн выразили мнение, что не существует столь же успешной альтернативной теории, решающей глубокие вопросы фундаментальной физики. В интервью 1987 года лауреат Нобелевской премии Дэвид Гросс сделал следующие противоречивые комментарии о причинах популярности теории струн:

Самая главная [причина] в том, что других хороших идей нет. Это то, что привлекает к этому большинство людей. Когда люди начали интересоваться теорией струн, они ничего о ней не знали. Фактически, первая реакция большинства людей состоит в том, что теория чрезвычайно уродлива и неприятна, по крайней мере, так было несколько лет назад, когда понимание теории струн было гораздо менее развито. Людям было трудно узнать об этом и возбудиться. Так что я думаю, что настоящая причина, по которой людей это привлекает, заключается в том, что в городе нет другой игры. Все другие подходы к построению теорий великого объединения, которые изначально были более консервативными и лишь постепенно становились все более и более радикальными, потерпели неудачу, и эта игра еще не провалилась.

Несколько других известных теоретиков и комментаторов высказали аналогичные взгляды, предполагая, что нет никаких жизнеспособных альтернатив теории струн.

Многие критики теории струн прокомментировали такое положение вещей. В своей книге, критикующей теорию струн, Питер Войт рассматривает статус исследования теории струн как нездоровый и вредный для будущего фундаментальной физики. Он утверждает, что чрезвычайная популярность теории струн среди физиков-теоретиков отчасти является следствием финансовой структуры академических кругов и жесткой конкуренции за ограниченные ресурсы. В своей книге «Дорога к реальности» физик-математик Роджер Пенроуз выражает аналогичные взгляды, заявляя: «Часто безумная конкуренция, которую порождает эта простота общения, приводит к эффектам победителя, когда исследователи опасаются остаться позади, если они не присоединятся к ним». Пенроуз также утверждает, что техническая сложность современной физики заставляет молодых ученых полагаться на предпочтения авторитетных исследователей, а не прокладывать собственные пути. Ли Смолин выражает несколько иную позицию в своей критике, утверждая, что теория струн выросла из традиции физики элементарных частиц, которая препятствует спекуляциям об основах физики, в то время как его предпочтительный подход, петлевая квантовая гравитация, поощряет более радикальное мышление. По словам Смолина,

Теория струн - мощная, хорошо мотивированная идея, заслуживающая большей части работы, посвященной ей. Если до сих пор она терпела неудачу, основная причина заключается в том, что ее внутренние недостатки тесно связаны с ее сильными сторонами - и, конечно же, история еще не закончена, поскольку теория струн вполне может оказаться частью истины. Настоящий вопрос заключается не в том, почему мы потратили столько энергии на теорию струн, а в том, почему мы не израсходовали достаточно энергии на альтернативные подходы.

Смолин предлагает ряд рецептов, как ученые могут поощрять большее разнообразие подходов к исследованиям квантовой гравитации.

Примечания
использованная литература

Библиография

дальнейшее чтение

Научно-популярная

Учебники

  • Грин, Майкл; Шварц, Джон; Виттен, Эдвард (2012). Теория суперструн. Vol. 1: Введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1107029118.
  • Грин, Майкл; Шварц, Джон; Виттен, Эдвард (2012). Теория суперструн. Vol. 2: Амплитуды петель, аномалии и феноменология. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1107029132.
  • Полчинский, Джозеф (1998). Теория струн. 1: Введение в бозонную струну. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-63303-1.
  • Полчинский, Джозеф (1998). Теория струн. 2: Теория суперструн и не только. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-63304-8.
  • Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-88032-9.
внешние ссылки

Сайты

видео

Последняя правка сделана 2023-03-29 08:33:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте