Лагранжиан (теория поля)

Лагранжева теория поля - формализм в классической теория поля. Это теоретико-полевой аналог лагранжевой механики. Лагранжева механика используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы. Теория лагранжевого поля применима к континуумам и полям, которые имеют бесконечное число степеней свободы.

В этой статье используется $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$для плотности лагранжиана и L для лагранжиана.

Формализм лагранжевой механики был дополнительно обобщен для обработки теории поля. В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространстве-времени (x, y, z, t) или, в более общем смысле, точкой s на многообразии. Зависимые переменные (q) заменяются значением поля в этой точке пространства-времени $\phi \; (x,\; y,\; z,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y,\; z,\; t)\}$так, чтобы уравнения движения были получены с помощью принципа action, записанного как:

$\delta \; S\; \delta \; \phi \; i\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

где действие, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$, является функционалом зависимых переменных $\phi \; i\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (s)\}$, их производных и s сам

$S\; [\phi \; i]\; =\; \int \; L\; (\phi \; i\; (s),\; \{\partial \; \phi \; i\; (s)\; \partial \; s\; \alpha \},\; \{s\; \alpha \})\; dns\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; int\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (s),\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i)\; \}\; (s)\}\; \{\backslash \; partial\; s\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash \; \{s\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; s\}\}$,

где скобки означают $\{\cdot \; \forall \; \alpha \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; cdot\; ~\; \backslash \; forall\; \backslash \; alpha\; \backslash \}\}$; и s = {s} обозначает набор из n независимых переменных системы, включая временную переменную, и индексируется как α = 1, 2, 3,..., п. Обратите внимание, что каллиграфический шрифт $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$используется для обозначения плотности объема, где объем является интегральной мерой области определения функции поля, т. Е. $dns\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; s\}$.

• 1 Определения
  • 1.1 Скалярные поля
  • 1.2 Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля
  • 1.3 Действие
  • 1.4 Математический формализм
• 2 примера
  • 2.1 Ньютоновская гравитация
  • 2.2 Эйнштейновская гравитация
  • 2.3 Электромагнетизм в специальной теории относительности
  • 2.4 Электромагнетизм в общей теории относительности
  • 2.5 Электромагнетизм с использованием дифференциальных форм
  • 2.6 Лагранжиан Дирака
  • 2.7 Квантовый электродинамический лагранжиан
  • 2.8 Квантовый хромодинамический лагранжиан
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Цитаты

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенных координат заменяется плотностью лагранжиана, функцией полей в системе и их производных и, возможно, пространством и время координирует себя. В теории поля независимая переменная t заменяется событием в пространстве-времени (x, y, z, t) или, в более общем смысле, точкой s на многообразии.

Часто «плотность лагранжиана» называют просто «лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$плотность лагранжиана будет иметь вид:

$L\; (\phi ,\; \nabla \; \phi ,\; \partial \; \phi \; /\; \partial \; t,\; x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; nabla\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; /\; \backslash \; partial\; t,\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

Для многих скалярных полей

$L\; (\phi \; 1,\; \nabla \; \phi \; 1,\; \partial \; \phi \; 1\; /\; \partial \; t,\dots ,\; \phi \; 2,\; \nabla \; \phi \; 2,\; \partial \; \phi \; 2\; /\; \partial \; t,\dots ,\; x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; nabla\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; /\; \backslash \; partial\; t,\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; nabla\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; /\; \backslash \; partial\; t,\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

приведенное выше может быть обобщено для векторных полей, тензорных полей и спинорных полей. В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, которые включают скалярные и векторные поля как особые случаи.

Действие

Интеграл по времени лагранжиана называется действием и обозначается S. В теории поля иногда проводится различие между Лагранжиан L, интеграл которого по времени является действием

$S\; =\; \int \; L\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; int\; L\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; \backslash ,,\}$

и плотность лагранжиана $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$, которая интегрируется по всему пространству-времени до получить действие:

$S\; [\phi ]\; =\; \int \; L\; (\phi ,\; \nabla \; \phi ,\; \partial \; \phi \; /\; \partial \; t,\; x,\; t)\; d\; 3\; xdt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; varphi]\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; nabla\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; /\; \backslash \; partial\; t,\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Пространственный объемный интеграл плотности лагранжиана является лагранжианом в 3d

$L\; =\; \int \; L\; д\; 3\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash ,.\}$

Обратите внимание, при наличии силы тяжести или при использовании общих криволинейных координат, плотность лагранжиана $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$будет включать коэффициент √g, что делает его скалярной плотностью . Эта процедура гарантирует, что действие $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$инвариантно относительно преобразований общих координат.

Математический формализм

Предположим, у нас есть n-мерное многообразие, M, и целевое многообразие, T. Пусть $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; C\}\}\}$- конфигурационное пространство гладких функций от M до T.

В теории поля M - это пространственно-временное многообразие и целевое пространство - это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если есть $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$вещественные -значные скалярные поля, $\phi \; 1,\dots ,\; \phi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\; 1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\}$, тогда целевым многообразием будет $R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$. Если поле является реальным векторным полем, то целевое многообразие изоморфно $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Обратите внимание, что для этого также существует элегантный формализм, использующий касательные связки над M.

Рассмотрим функционал,

$S:\; C\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; S\}\}:\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$,

вызвал действие .

Чтобы действие было локальным, нам нужны дополнительные ограничения на действии. Если $\phi \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; \backslash \; in\; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, мы предполагаем, что $S\; [\phi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; varphi]\}$- интеграл по M функции $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, его производных и положение, называемое лагранжианом, $L\; (\phi ,\; \partial \; \phi ,\; \partial \; \partial \; \phi ,...,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi,...,\; x)\}$. Другими словами,

$\phi \; \in \; C,\; S\; [\phi ]\; \equiv \; \int \; M\; L\; (\phi \; (x),\; \partial \; \phi \; (x),\; \partial \; \partial \; \phi \; (x),...,\; x)\; d\; n\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\},\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; varphi]\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; varphi\; (x),\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; (x),\; \backslash \; partial\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; (x),...,\; x\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x.\}$

Это Далее предполагается, что лагранжиан зависит только от значения поля и его первой производной, но не от высших производных.

Учитывая граничные условия, в основном спецификация значения $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$на границе , если M компактный или некоторый предел $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$при x → ∞ (это поможет в выполнении интегрирования по частям ), подпространство из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, состоящее из функций, $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, такие, что все функциональные производные S в $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$равны нулю и $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$удовлетворяет заданные граничные условия являются подпространством на решениях оболочки.

Отсюда получаем:

$0\; =\; \delta \; S\; \delta \; \phi \; =\; \int \; M\; (-\; \partial \; \mu \; (\partial \; L\; \partial \; (\partial \; \mu \; \phi ))\; +\; \partial \; L\; \partial \; \phi )\; d\; n\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; varphi)\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x.\}$

Левая часть - это функциональная производная от действия по $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$.

Следовательно, мы получаем уравнения Эйлера – Лагранжа (из-за граничных условий ):

$\partial \; L\; \partial \; \phi \; =\; \partial \; \mu \; (\partial \; L\; \partial \; (\partial \; \mu \; \phi )).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\; \backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; varphi)\}\}\; \backslash \; right).\}$

В продолжение раздела о тестовых частицах выше, вот уравнения для полей, в которых они переехать. Приведенные ниже уравнения относятся к полям, в которых движутся описанные выше тестовые частицы, и позволяют рассчитать эти поля. Приведенные ниже уравнения не дадут уравнения движения пробной частицы в поле, а вместо этого дадут потенциал (поле), индуцированный такими величинами, как масса или плотность заряда в любой точке $(x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$. Например, в случае ньютоновской гравитации, плотность лагранжиана, проинтегрированная по пространству-времени, дает уравнение, которое, если будет решено, даст $\Phi \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$. Это $\Phi \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$, когда подставлено обратно в уравнение (1), уравнение Лагранжа для пробной частицы в ньютоновском гравитационном поле предоставляет информацию, необходимую для расчета ускорения частицы.

Ньютоновская гравитация

Плотность Лагранжа для ньютоновской гравитации составляет:

$L\; (x,\; t)\; =\; -\; \rho \; (x,\; t)\; \Phi \; (x,\; t)\; -\; 1\; 8\; \pi \; G\; (\nabla \; \Phi \; (x,\; t))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 8\; \backslash \; pi\; G\}\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t))\; ^\; \{2\}\}$

где Φ - гравитационный потенциал, ρ - массовая плотность, а G в м · кг · с - гравитационная постоянная. Плотность $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$имеет единицы Дж · м. Член взаимодействия mΦ заменяется членом, включающим непрерывную массовую плотность ρ в кг · м. Это необходимо, потому что использование точечного источника для поля приведет к математическим трудностям. Вариация интеграла по Φ:

$\delta \; L\; (x,\; t)\; =\; -\; \rho \; (x,\; t)\; \delta \; \Phi \; (x,\; t)\; -\; 2\; 8\; \pi \; G\; (\nabla \; \Phi \; (x,\; t))\; (\nabla \; \delta \; \Phi \; (x,\; t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; delta\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -\; \{2\; \backslash \; over\; 8\; \backslash \; pi\; G\}\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t))\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; delta\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)).\}$

После интегрирования по частям, отбрасывая полный интеграл и разделив на δΦ, формула принимает следующий вид:

$0\; =\; -\; \rho \; (x,\; t)\; +\; 1\; 4\; \pi \; G\; \nabla \; \cdot \; \nabla \; \Phi \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; -\; \backslash \; rho\; (\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; pi\; G\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

, что эквивалентно:

$4\; \pi \; G\; \rho \; (Икс,\; T)\; знак\; равно\; \nabla \; 2\; \Phi \; (Икс,\; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; 4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; т)\}$

что дает закон Гаусса для гравитации.

гравитация Эйнштейна

Плотность Лагранжа для общей теории относительности в присутствии полей материи составляет

$L\; GR\; =\; L\; EH\; +\; L\; материя\; =\; с\; 4\; 16\; \pi \; G\; (R\; -\; 2\; \Lambda )\; +\; L\; материя\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{GR\}\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{EH\}\}\; +\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{материя\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{4\}\}\; \{16\; \backslash \; pi\; G\}\}\; \backslash \; left\; (R-2\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{вопрос\; \}\}\}$

$R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это скаляр кривизны, который представляет собой тензор Риччи, сжатый с метрическим тензором , а тензор Риччи - это тензор Римана, сжатый с дельтой Кронекера. Интеграл $L\; EH\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{EH\}\}\}$известен как действие Эйнштейна-Гильберта. Тензор Римана является тензором приливной силы и построен из символов Кристоффеля и производных символов Кристоффеля, которые представляют собой поле гравитационных сил. $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \}$- космологическая постоянная. Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа и принимая в качестве поля метрический тензор $g\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$, мы получаем уравнения поля Эйнштейна

$R\; \mu \; \nu \; -\; 1\; 2\; R\; g\; \mu \; \nu \; +\; g\; \mu \; \nu \; \Lambda \; =\; 8\; \pi \; G\; c\; 4\; T\; \mu \; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Rg\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; +\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; Lambda\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\; G\}\; \{c\; ^\; \{4\}\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash ,.\}$

$T\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$- тензор энергии-импульса и определяется как

$T\; \mu \; \nu \; \equiv \; -\; 2\; -\; g\; \delta \; (L\; материя\; -\; g)\; \delta \; g\; \mu \; \nu \; =\; -\; 2\; \delta \; L\; материя\; \delta \; g\; \mu \; \nu \; +\; g\; \mu \; \nu \; L\; материя.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{-2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; (\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{материя\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\})\}\; \{\backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}\}\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{atter\}\}\}\; \{\backslash \; дельта\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}\}\; +\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{материя\}\}\; \backslash ,.\}$

$g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- это определитель метрического тензора, рассматриваемого как матрица. Как правило, в общей теории относительности мера интегрирования действия плотности Лагранжа равна $-\; g\; d\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{4\}\; x\}$. Это делает интегральную координату независимой, так как корень определителя метрики эквивалентен определителю Якоби . Знак минус является следствием метрической сигнатуры (определитель сам по себе отрицательный).

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Члены взаимодействия

$-\; q\; \varphi \; (x\; (t),\; t)\; +\; qx\; \dot{}\; (t)\; \cdot \; A\; (x\; (t),\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; -q\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t)\; +\; q\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t)\}$

заменены членами, включающими непрерывную плотность заряда ρ в А · с · м и плотность тока $j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\}$в А · м. Результирующий лагранжиан для электромагнитного поля:

$L\; (x,\; t)\; =\; -\; \rho \; (x,\; t)\; \varphi \; (x,\; t)\; +\; j\; (x,\; t)\; \cdot \; A\; (x,\; t)\; +\; ϵ\; 0\; 2\; E\; 2\; (x,\; t)\; -\; 1\; 2\; \mu \; 0\; B\; 2\; (x,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; (\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \{E\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \{B\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t).\}$

Варьируя это относительно ϕ, получаем

$0\; знак\; равно\; -\; \rho \; (Икс,\; T)\; +\; ϵ\; 0\; \nabla \; \cdot \; Е\; (Икс,\; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; =\; -\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

который дает закон Гаусса.

, изменяющийся вместо $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$, получаем

$0\; =\; j\; (x,\; t)\; +\; ϵ\; 0\; E\; \dot{}\; (x,\; t)\; -\; 1\; \mu \; 0\; \nabla \; \times \; B\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

что дает закон Ампера.

Используя тензорную нотацию, мы можем записать все это более компактно. Термин $-\; \rho \; \varphi \; (x,\; t)\; +\; j\; \cdot \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; rho\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$на самом деле является внутренним произведением двух четырехвекторов. Мы упаковываем плотность заряда в 4-вектор тока, а потенциал - в 4-вектор потенциала. Эти два новых вектора:

$j\; \mu \; =\; (\rho ,\; j)\; и\; A\; \mu \; =\; (-\; \varphi ,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (\backslash \; rho,\; \backslash \; mathbf\; \{j\})\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (-\; \backslash \; phi,\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\}$

Тогда мы можем записать член взаимодействия как

$-\; \rho \; \varphi \; +\; j\; \cdot \; A\; =\; j\; \mu \; A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; rho\; \backslash \; phi\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$

Кроме того, мы можем упаковать поля E и B в то, что известен как электромагнитный тензор $F\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$. Мы определяем этот тензор как

$F\; \mu \; \nu \; =\; \partial \; \mu \; A\; \nu \; -\; \partial \; \nu \; A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; A\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$

Термин, который мы ищем, оказывается

$ϵ\; 0\; 2\; E\; 2\; -\; 1\; 2\; \mu \; 0\; B\; 2\; =\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; \mu \; \nu \; F\; \mu \; \nu \; =\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; \mu \; \nu \; F\; \rho \; \sigma \; \eta \; \mu \; \rho \; \eta \; \nu \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \{E\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\; \}\}\}\; \{B\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; F\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; rho\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; sigma\}\}$

Мы сделали использование метрики Минковского для поднятия индексов тензора ЭДС. В этих обозначениях уравнения Максвелла имеют вид

$\partial \; \mu \; F\; \mu \; \nu \; =\; -\; \mu \; 0\; j\; \nu \; и\; ϵ\; \mu \; \nu \; \lambda \; \sigma \; \partial \; \nu \; F\; \lambda \; \sigma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; j\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \backslash \; lambda\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; F\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; sigma\}\; =\; 0\}$

, где ε - тензор Леви-Чивиты. Таким образом, плотность Лагранжа для электромагнетизма в специальной теории относительности, записанная в терминах векторов и тензоров Лоренца, равна

$L\; (x)\; =\; j\; \mu \; (x)\; A\; \mu \; (x)\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; \mu \; \nu \; (x)\; F\; \mu \; \nu \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (х)\; =\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\}$

В этих обозначениях очевидно, что классический электромагнетизм является лоренц-инвариантной теорией. Благодаря принципу эквивалентности, становится просто распространить понятие электромагнетизма на искривленное пространство-время.

Электромагнетизм в общей теории относительности

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна-Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан - это в точности лагранжиан материи $L\; материя\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{материя\}\}\}$. Лагранжиан равен

$L\; (x)\; =\; j\; \mu \; (x)\; A\; \mu \; (x)\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; \mu \; \nu \; (x)\; F\; \rho \; \sigma \; (x)\; g\; \mu \; \rho \; (x)\; g\; \nu \; \sigma \; (x)\; +\; c\; 4\; 16\; \pi \; GR\; (x)\; =\; L\; Максвелл\; +\; L\; Эйнштейн-Гильберт.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x)\; =\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\; F\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; rho\}\; (x)\; g\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{4\}\}\; \{16\; \backslash \; pi\; G\}\}\; R\; (x)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Maxwell\}\}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Эйнштейн-Гильберт\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане более общей (возможно изогнутой) метрикой $g\; \mu \; \nu \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\}$. Мы можем генерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса равен

$T\; \mu \; \nu \; (x)\; =\; 2\; -\; g\; (x)\; \delta \; \delta \; g\; \mu \; \nu \; (x)\; S\; Максвелл\; =\; 1\; \mu \; 0\; (F\; \lambda \; \mu \; (x)\; F\; \nu \; \lambda \; (x)\; -\; 1\; 4\; г\; \mu \; \nu \; (x)\; F\; \rho \; \sigma \; (x)\; F\; \rho \; \sigma \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\; (x)\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\}\; \{\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Maxwell\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (F\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{\}\}\; \backslash \; lambda\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; F\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; lambda\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \}\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (x)\; F\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; F\; ^\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; \backslash \; right)\}$

Можно показать, что этот тензор энергии-импульса является бесследно, т.е. что

$T\; =\; g\; \mu \; \nu \; T\; \mu \; \nu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; T\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; 0\}$

Если мы возьмем след обоих стороны уравнений поля Эйнштейна, мы получаем

$R\; =\; -\; 8\; \pi \; G\; c\; 4\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\; G\}\; \{c\; ^\; \{4\}\}\}\; T\}$

Итак бесследовательность тензора энергии-импульса означает, что скаляр кривизны в электромагнитном поле обращается в нуль. Тогда уравнения Эйнштейна имеют вид

$R\; \mu \; \nu \; =\; 8\; \pi \; G\; c\; 4\; 1\; \mu \; 0\; (F\; \lambda \; \mu \; (x)\; F\; \nu \; \lambda \; (x)\; -\; 1\; 4\; g\; \mu \; \nu \; (x)\; F\; \rho \; \sigma \; (x)\; F\; \rho \; \sigma \; (Икс))\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\; \backslash \; pi\; G\}\; \{c\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (F\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{\}\}\; \backslash \; lambda\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; F\; ^\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; lambda\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \}\; (x)\; F\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; F\; ^\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; (x)\; \backslash \; right)\}$

Кроме того, уравнения Максвелла

$D\; \mu \; F\; \mu \; \nu \; =\; -\; \mu \; 0\; j\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; j\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}$

где $D\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$- ковариантная производная. Для свободного пространства мы можем установить текущий тензор равным нулю, $j\; \mu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; 0\}$. Решение уравнений Эйнштейна и Максвелла вокруг сферически-симметричного распределения массы в свободном пространстве приводит к заряженной черной дыре Рейсснера – Нордстрема с определяющим элементом линии (записанным в натуральных единицах и с зарядом Q):

$ds\; 2\; =\; (1-2\; M\; r\; +\; Q\; 2\; r\; 2)\; dt\; 2\; -\; (1-2\; M\; r\; +\; Q\; 2\; r\; 2)\; -\; 1\; dr\; 2\; -\; r\; 2\; d\; \Omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; s\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2M\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Q\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathrm\; \{\; d\}\; t\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2M\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Q\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\}$

Дан один из возможных способов объединения электромагнитного и гравитационного лагранжианов (с использованием пятого измерения) автор теория Калуцы-Клейна.

Электромагнетизм с использованием дифференциальных форм

Использование дифференциальных форм, электромагнитное воздействие S в вакууме на (псевдо) риманово многообразие $M\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$можно записать (используя натуральные единицы, c = ε 0 = 1) как

$S\; [\; A]\; =\; -\; \int \; M\; (1\; 2\; F\; \wedge \; \star \; F\; +\; A\; \wedge \; \star \; J).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{A\}]\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; star\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; star\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; \backslash \; right).\}$

Здесь A обозначает 1-форму электромагнитного потенциала, J - текущая 1-форма, F - 2-форма напряженности поля, а звездочка обозначает оператор звезды Ходжа. Это точно такой же лагранжиан, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что здесь используется бескординатный подход; расширение подынтегральной функции до базиса дает идентичное длинное выражение. Обратите внимание, что с формами дополнительная мера интегрирования не требуется, потому что формы имеют встроенные дифференциалы координат. Изменение действия приводит к

$d\; F\; =\; \star \; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; star\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; star\}\; \backslash \; mathbf\; \{J\}.\}$

Это уравнения Максвелла для электромагнитного потенциала. Подстановка F = d A немедленно дает уравнение для полей,

$d\; F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; 0\}$

потому что F является точной формой.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для поля Дирака составляет:

$L\; =\; \psi \; ¯\; (\; я\; \hslash \; с\; \partial \; /\; -\; mc\; 2)\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; (я\; \backslash \; hbar\; c\; \{\backslash \; partial\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\; \backslash \; -mc\; ^\; \{\; 2\})\; \backslash \; psi\}$

где ψ - спинор Дирака (оператор аннигиляции ), $\psi \; ¯\; =\; \psi \; †\; \gamma \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{0\}\}$- это его сопряженный по Дираку (оператор создания ) и $\partial \; /\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\}$- это косая черта Фейнмана для $\gamma \; \sigma \; \partial \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash !\}$.

Квантово-электродинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для QED составляет:

$LQED\; =\; \psi \; ¯\; (i\; \hslash \; c\; D\; /\; -\; mc\; 2)\; \psi \; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; \mu \; \nu \; F\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{QED\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; p\; si\}\}\; (i\; \backslash \; hbar\; c\; \{D\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\; \backslash \; -mc\; ^\; \{2\})\; \backslash \; psi\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$

где $F\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash !\}$- электромагнитный тензор, D - калибровочная ковариантная производная, а $D\; /\; \{\backslash \; displaystyle\; \{D\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\}$- нотация Фейнмана для $\gamma \; \sigma \; D\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\; D\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash !\}$с $D\; \sigma \; =\; \partial \; \sigma \; -\; то\; есть\; A\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{\; \backslash \; sigma\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; -ieA\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}$где $A\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}$- это электромагнитный четырехпотенциал.

Квантовый хромодинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики составляет:

$LQCD\; =\; \sum \; n\; \psi \; ¯\; n\; (i\; \hslash \; c\; D\; /\; -\; mnc\; 2)\; \psi \; N\; -\; 1\; 4\; G\; \alpha \; \mu \; \nu \; G\; \alpha \; \mu \; \nu \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{QCD\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; hbar\; c\; \{D\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\; \backslash \; -m\_\; \{n\}\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 4\}\; G\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$

где D - датчик КХД ковариантная производная, n = 1, 2,... 6 учитывает типы кварков, а $G\; \alpha \; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash !\}$- тензор напряженности глюонного поля.

• Вариационное исчисление
• Ковариантная классическая теория поля
• Уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака
• Уравнение Эйлера – Лагранжа
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Обобщенные координаты
• Гамильтонова механика
• Гамильтонова теория поля
• Кинетический член
• Лагранжевые и эйлеровые координаты
• Лагранжева механика
• Точка Лагранжа
• Лагранжева система
• Теорема Нётер
• Функция Онзагера – Махлупа
• Принцип наименьшего действия
• Теория скалярного поля