Гравитационный потенциал

График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. точки перегиба поперечного сечения находятся на поверхности тела.

В классической механике, гравитационный потенциал в определенном месте равен работа (переданная энергия ) на единицу массы, которая потребуется для перемещения объекта в это место из фиксированного исходного положения. Он аналогичен с электрическим потенциалом, где масса играет роль заряда. Исходное местоположение, где потенциал равен нулю, по соглашению находится бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является фундаментальным при изучении теории потенциала. Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами.

• 1 Потенциальная энергия
• 2 Математическая форма
• 3 Сферическая симметрия
• 4 Общая теория относительности
• 5 Мультипольное расширение
• 6 Числовые значения
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Гравитационный потенциал (V) в определенном месте - это гравитационный потенциальная энергия (U) в этом месте на единицу массы:

$V\; =\; U\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{m\}\},\}$

где m - масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем, перемещающим тело из бесконечности в его заданное положение в пространстве. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, которая должна быть присвоена этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательный результат работы, совершаемой гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, если предположить, что поле почти не зависит от положения. Например, в области, близкой к поверхности Земли, ускорение свободного падения, g, можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты к другой в хорошем приближении линейно связана с разницей в высоте:

$\Delta U\; \approx \; m\; g\; \Delta \; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\; \backslash \; приблизительно\; мг\; \backslash \; Delta\; h.\}$

Гравитационный потенциал V на расстоянии x от точечной массы массу M можно определить как работу W, которую должен выполнить внешний агент, чтобы доставить единицу массы из бесконечности в эту точку:

$V\; (x)\; =\; W\; m\; =\; 1\; m\; \int \; \infty \; x\; F\; \cdot \; dx\; =\; 1\; м\; \int \; \infty \; Икс\; Г\; м\; M\; Икс\; 2\; dx\; =\; -\; GM\; x,\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\}\; \{m\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{x\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{GmM\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{x\}\},\}$

где G - гравитационная постоянная, а F - сила тяжести. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж / кг в системе MKS. По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и, поскольку x стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

гравитационное поле и, следовательно, ускорение небольшого тела в пространстве вокруг массивного объекта, представляет собой отрицательный градиент гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательное значение отрицательного градиента дает положительное ускорение к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

$a\; =\; -\; GM\; x\; 3\; x\; =\; -\; GM\; x\; 2\; x\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{x\; ^\; \{3\; \}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\},\}$

где x - это вектор длины x, указывающий от точечной массы к маленькому телу, и $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}$- единичный вектор, указывающий от точечной массы к маленькое тело. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов :

$|\; а\; |\; =\; G\; M\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Потенциал, связанный с распределением масс, является суперпозицией потенциалов точечные массы. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x1,..., xnи имеют массы m 1,..., m n, тогда потенциал распределения в точке x равен

$V\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; -\; G\; mi\; |\; х\; -\; х\; я\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\_\; \{i\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{i\}\}\; |\}\}.\}$

Точки x и r, где r содержится в распределенной массе (серый цвет) и дифференциальной массе dm (r ), расположенный в точке r.

. Если распределение масс задано как масса мера дм в трехмерном евклидовом пространстве R, то потенциал представляет собой свертку из -G / | r | с дм. В хороших случаях это равно интегралу

$V\; (x)\; =\; -\; \int \; R\; 3\; G\; |\; х\; -\; г\; |\; dm\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\; \}\; |\}\}\; \backslash ,\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}),\}$

где | x− r| - расстояние между точками x и r . Если существует функция ρ (r ), представляющая плотность распределения в r, так что dm (r ) = ρ (r ) dv (r ), где dv (r ) - евклидов элемент объема, тогда гравитационный потенциал - это интеграл объема

$V\; (x)\; =\; -\; \int \; R\; 3\; G\; |\; х\; -\; г\; |\; \rho \; (r)\; d\; v\; (r).\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; |\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; dv\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}).\}$

Если V - потенциальная функция, полученная из непрерывного распределения масс ρ (r ), то ρ может быть восстановлено с помощью оператора Лапласа, Δ:

$\rho \; (x)\; =\; 1\; 4\; \pi \; G\; \Delta \; V\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; G\}\}\; \backslash \; Delta\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}).\}$

Это выполняется поточечно, если ρ непрерывно и равно ноль вне ограниченного множества. В общем случае мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа воспринимается в смысле распределений. Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. См. Также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновский потенциал.

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплюснутый (см. опорный эллипсоид ) и вытянутый сфероид, где две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G, где 𝜌 - постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферически-симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя полностью вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре, и таким образом эффективно как точечная масса по теореме об оболочке. На поверхности земли ускорение определяется так называемой стандартной силой тяжести g, примерно 9,8 м / с, хотя это значение незначительно меняется в зависимости от широты и высоты: величина ускорения немного больше на полюсах, чем на экваторе, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид.

В рамках сферически-симметричного распределения массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах. Внутри однородного сферического тела радиуса R, плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен

$V\; (r)\; =\; 2\; 3\; \pi \; г\; \rho \; [r\; 2\; -\; 3\; R\; 2]\; =\; г\; м\; 2\; R\; 3\; [r\; 2\; -\; 3\; R\; 2],\; r\; \le \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; [r\; ^\; \{2\}\; -3R\; ^\; \{2\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2R\; ^\; \{3\}\}\}\; [r\; ^\; \{2\}\; -3R\; ^\; \{2\}],\; \backslash \; qquad\; r\; \backslash \; leq\; R,\}$

который дифференцируемо соединяется с потенциальной функцией за пределами сферы (см. рисунок вверху).

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменен метрическим тензором. Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, и метрический тензор может быть расширен в терминах гравитационного потенциала.

Потенциал в точке x определяется как

$V\; (x)\; =\; -\; \int \; R\; 3\; G\; |\; х\; -\; г\; |\; д\; м\; (г).\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; |\}\}\; \backslash \; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}).\}$

Иллюстрация распределения масс (серый) с центром масс в качестве начала векторов x и r и точкой, в которой потенциал вычисляется в хвосте вектора x.

. Потенциал может быть разложен в ряд полиномов Лежандра. Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

$V\; (x)\; =\; -\; \int \; R\; 3\; G\; |\; х\; |\; 2\; -\; 2\; x\; r\; +\; |\; г\; |\; 2\; d\; m\; (r)\; =\; -\; 1\; |\; х\; |\; \int \; R\; 3\; G\; /\; 1\; -\; 2\; r\; |\; х\; |\; соз\; \; \theta \; +\; (г\; |\; Икс\; |)\; 2\; дм\; (г)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{G\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\; ^\; \{2\}\; -2\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; |\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; G\; \backslash ,\; \backslash \; left\; /\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-2\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right.\; \backslash ,\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где в последнем интеграле r = | r | и θ - угол между x и r.

(см. «математическую форму».) Подынтегральное выражение может быть расширено как ряд Тейлора по Z = r / | x |, явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ добиться того же результата - использовать обобщенную биномиальную теорему. Результирующий ряд представляет собой производящую функцию для полиномов Лежандра:

$(1-2\; XZ\; +\; Z\; 2)\; -\; 1\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; Z\; n\; P\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; слева\; (1-2XZ\; +\; Z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; Z\; ^\; \{n\}\; P\_\; \{\; n\}\; (X)\}$

действительно для | X | ≤ 1 и | Z | < 1. The coefficients Pn- многочлены Лежандра степени n. Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра от X = cos θ. Таким образом, потенциал может быть расширен в ряд, сходящийся для позиций x, таких что r < |x | для всех массовых элементов системы (т.е. вне сферы с центром в центре масс, которая окружает систему):

$V\; (x)\; =\; -\; G\; |\; х\; |\; \int \; \sum \; n\; знак\; равно\; 0\; \infty \; (r\; |\; x\; |)\; n\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; d\; m\; (r)\; =\; -\; G\; |\; х\; |\; \int \; (1\; +\; (r\; |\; x\; |)\; cos\; \; \theta \; +\; (r\; |\; x\; |)\; 2\; 3\; cos\; 2\; \; \theta \; -\; 1\; 2\; +\; \cdots )\; dm\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{\; x\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Интеграл $\int \; r\; cos\; \; \theta \; dm\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; dm\}$- это составляющая центра масс в направление x ; это исчезает, потому что вектор x исходит из центра масс. Итак, если поставить интеграл под знаком суммирования, получим

$V\; (x)\; =\; -\; G\; M\; |\; х\; |\; -\; G\; |\; х\; |\; \int \; (г\; |\; х\; |)\; 2\; 3\; соз\; 2\; \; \theta \; -\; 1\; 2\; дм\; (г)\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1\}\; \{2\}\}\; dm\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; +\; \backslash \; cdots\}$

Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом из-за сферической массы, если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до поверхности, все будет наоборот.)

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест с учетом гравитации от Земля, Солнце и Млечный Путь приведены в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж / кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж / кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж / кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата космической скорости.

Местоположение	W.r.t. Земля	W.r.t. Солнце	W.r.t. Млечный Путь
Поверхность Земли	60 МДж / кг	900 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
НОО	57 МДж / кг	900 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
Вояджер-1 (17000 миллионов км от Земли)	23 Дж / кг	8 МДж / кг	≥ 130 ГДж / кг
0,1 световой год от Земли	0,4 ​​Дж / кг	140 кДж / кг	≥ 130 ГДж / кг

Сравните гравитацию в этих местах.

• Применение полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр (GM)
• Геоид
• Геопотенциал

1. ^Соливерес, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е английское изд.). Бесплатная научная информация. ISBN 978-987-28304-0-3.
2. ^Marion, J.B.; Торнтон, С. (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Harcourt Brace Company. п. 192. ISBN 0-03-097302-3.
3. ^Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков, международное студенческое издание (6-е изд.). Academic Press. п. 72. ISBN 978-0-08-047069-6.
4. ^Санг, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Cambridge International AS и A Level Physics Coursebook (иллюстрированное издание). Издательство Кембриджского университета. п. 276. ISBN 978-1-107-69769-0.
5. ^Манкастер, Роджер (1993). A-level Physics (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. п. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8.
6. ^Владимиров 1984, §7.8 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFVladimirov1984 (help )
7. ^MacMillan, WD (1958). Theory of the Potential. Dover Press.
8. ^Lowrie, William Lowrie (2011). A Student's Guide to Geophysical Equations. Cambridge University Press. Стр. 69. ISBN 978-1-139-49924-8.Отрывок со страницы 68
9. ^Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетные атмосферы (иллюстрированный ред.). CRC Press. Стр. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4.Выдержка со страницы 19
10. ^Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии, Springer Science Business Media, стр. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
11. ^Wylie, CR, Младший (1960). Advanced Engineering Mathematics (2 ed.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. P. 454 [Теорема 2, раздел 10.8].