Подписаться

Гравитационный потенциал

Последняя правка сделана 2021-05-22 05:28:24 Править
График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. точки перегиба поперечного сечения находятся на поверхности тела.

В классической механике, гравитационный потенциал в определенном месте равен работа (переданная энергия ) на единицу массы, которая потребуется для перемещения объекта в это место из фиксированного исходного положения. Он аналогичен с электрическим потенциалом, где масса играет роль заряда. Исходное местоположение, где потенциал равен нулю, по соглашению находится бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является фундаментальным при изучении теории потенциала. Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами.

Содержание

  • 1 Потенциальная энергия
  • 2 Математическая форма
  • 3 Сферическая симметрия
  • 4 Общая теория относительности
  • 5 Мультипольное расширение
  • 6 Числовые значения
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Потенциальная энергия

Гравитационный потенциал (V) в определенном месте - это гравитационный потенциальная энергия (U) в этом месте на единицу массы:

V = U m, {\ displaystyle V = {\ frac {U} {m}},}{\ displaystyle V = {\ frac {U} {m}},}

где m - масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем, перемещающим тело из бесконечности в его заданное положение в пространстве. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, которая должна быть присвоена этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательный результат работы, совершаемой гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, если предположить, что поле почти не зависит от положения. Например, в области, близкой к поверхности Земли, ускорение свободного падения, g, можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты к другой в хорошем приближении линейно связана с разницей в высоте:

ΔU ≈ m g Δ h. {\ displaystyle \ Delta U \ приблизительно мг \ Delta h.}{\ displaystyle \ Delta U \ приблизительно мг \ Delta h.}

Математическая форма

Гравитационный потенциал V на расстоянии x от точечной массы массу M можно определить как работу W, которую должен выполнить внешний агент, чтобы доставить единицу массы из бесконечности в эту точку:

V (x) = W m = 1 m ∫ ∞ x F ⋅ dx = 1 м ∫ ∞ Икс Г м M Икс 2 dx = - GM x, {\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = {\ frac {W} {m}} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} { \ frac {GmM} {x ^ {2}}} dx = - {\ frac {GM} {x}},}{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = {\ frac {W} {m}} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = {\ frac { 1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} {\ frac {GmM} {x ^ {2}}} dx = - {\ frac {GM} {x}},}

где G - гравитационная постоянная, а F - сила тяжести. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж / кг в системе MKS. По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и, поскольку x стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

гравитационное поле и, следовательно, ускорение небольшого тела в пространстве вокруг массивного объекта, представляет собой отрицательный градиент гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательное значение отрицательного градиента дает положительное ускорение к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

a = - GM x 3 x = - GM x 2 x ^, {\ displaystyle \ mathbf {a} = - {\ frac {GM} {x ^ {3 }}} \ mathbf {x} = - {\ frac {GM} {x ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {x}}},}{\ mathbf {a}} = - {\ frac {GM} {x ^ {3}}} {\ mathbf {x}} = - {\ frac {GM} {x ^ {2} }} {\ hat {{\ mathbf {x}}}},

где x - это вектор длины x, указывающий от точечной массы к маленькому телу, и x ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}{\ hat {\ mathbf {x}}} - единичный вектор, указывающий от точечной массы к маленькое тело. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов :

| а | = G M x 2. {\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ frac {GM} {x ^ {2}}}.}| {\ mathbf {a}} | = {\ frac {GM} {x ^ {2}}}.

Потенциал, связанный с распределением масс, является суперпозицией потенциалов точечные массы. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x1,..., xnи имеют массы m 1,..., m n, тогда потенциал распределения в точке x равен

V (x) = ∑ i = 1 n - G mi | х - х я |. {\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} - {\ frac {Gm_ {i}} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x_ {i}} |}}.}V ({\ mathbf {x}}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} - {\ frac {Gm_ {i}} {| {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x_ {i}}} |}}.
Точки x и r, где r содержится в распределенной массе (серый цвет) и дифференциальной массе dm (r ), расположенный в точке r.

. Если распределение масс задано как масса мера дм в трехмерном евклидовом пространстве R, то потенциал представляет собой свертку из -G / | r | с дм. В хороших случаях это равно интегралу

V (x) = - ∫ R 3 G | х - г | dm (r), {\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r } |}} \, dm (\ mathbf {r}),}V ({\ mathbf {x}}) = - \ int _ {{{\ mathbf {R}} ^ {3}}} {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} - { \ mathbf {r}} |}} \, dm ({\ mathbf {r}}),

где | x− r| - расстояние между точками x и r . Если существует функция ρ (r ), представляющая плотность распределения в r, так что dm (r ) = ρ (r ) dv (r ), где dv (r ) - евклидов элемент объема, тогда гравитационный потенциал - это интеграл объема

V (x) = - ∫ R 3 G | х - г | ρ (r) d v (r). {\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r} |}} \, \ rho (\ mathbf {r}) dv (\ mathbf {r}).}V ({\ mathbf {x}}) = - \ int _ {{ {\ mathbf {R}} ^ {3}}} {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {r}} |}} \, \ rho ({\ mathbf {r}) }) dv ({\ mathbf {r}}).

Если V - потенциальная функция, полученная из непрерывного распределения масс ρ (r ), то ρ может быть восстановлено с помощью оператора Лапласа, Δ:

ρ (x) = 1 4 π G Δ V (x). {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi G}} \ Delta V (\ mathbf {x}).}\ rho ({\ mathbf {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi G} } \ Delta V ({\ mathbf {x}}).

Это выполняется поточечно, если ρ непрерывно и равно ноль вне ограниченного множества. В общем случае мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа воспринимается в смысле распределений. Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. См. Также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновский потенциал.

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплюснутый (см. опорный эллипсоид ) и вытянутый сфероид, где две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G, где 𝜌 - постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферическая симметрия

Сферически-симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя полностью вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре, и таким образом эффективно как точечная масса по теореме об оболочке. На поверхности земли ускорение определяется так называемой стандартной силой тяжести g, примерно 9,8 м / с, хотя это значение незначительно меняется в зависимости от широты и высоты: величина ускорения немного больше на полюсах, чем на экваторе, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид.

В рамках сферически-симметричного распределения массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах. Внутри однородного сферического тела радиуса R, плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен

V (r) = 2 3 π г ρ [r 2 - 3 R 2] = г м 2 R 3 [r 2 - 3 R 2], r ≤ R, {\ displaystyle V (r) = {\ frac {2} {3}} \ pi G \ rho [r ^ {2} -3R ^ {2}] = {\ frac {Gm} {2R ^ {3}}} [r ^ {2} -3R ^ {2}], \ qquad r \ leq R,}{\ displaystyle V (r) = {\ frac {2} {3}} \ pi G \ rho [r ^ {2} -3R ^ {2}] = {\ frac {Gm} {2R ^ {3}}} [r ^ {2} -3R ^ {2}], \ qquad r \ leq R,}

который дифференцируемо соединяется с потенциальной функцией за пределами сферы (см. рисунок вверху).

Общая теория относительности

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменен метрическим тензором. Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, и метрический тензор может быть расширен в терминах гравитационного потенциала.

Многополюсное расширение

Потенциал в точке x определяется как

V (x) = - ∫ R 3 G | х - г | д м (г). {\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {r} |}} \ dm (\ mathbf {r}).}V ({\ mathbf {x}}) = - \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {3}}} {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {r}} |}} \ dm ({\ mathbf {r}}).
Иллюстрация распределения масс (серый) с центром масс в качестве начала векторов x и r и точкой, в которой потенциал вычисляется в хвосте вектора x.

. Потенциал может быть разложен в ряд полиномов Лежандра. Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

V (x) = - ∫ R 3 G | х | 2 - 2 x r + | г | 2 d m (r) = - 1 | х | ∫ R 3 G / 1 - 2 r | х | соз ⁡ θ + (г | Икс |) 2 дм (г) {\ Displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} { \ frac {G} {\ sqrt {| \ mathbf {x} | ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} + | \ mathbf {r} | ^ {2}}}} \, dm (\ mathbf {r}) \\ {} = - {\ frac {1} {| \ mathbf {x} |}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} G \, \ left / \, {\ sqrt {1-2 {\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}) } \ right) ^ {2}}} \ right. \, dm (\ mathbf {r}) \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {x}) = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {\ sqrt {| \ mathbf {x} | ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} + | \ mathbf {r} | ^ {2}}}} \, dm (\ mathbf {r}) \\ {} = - {\ frac {1} {| \ mathbf {x} |}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} G \, \ left / \, {\ sqrt {1-2 {\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}) } \ right) ^ {2}}} \ right. \, dm (\ mathbf {r}) \ end {align}}}

где в последнем интеграле r = | r | и θ - угол между x и r.

(см. «математическую форму».) Подынтегральное выражение может быть расширено как ряд Тейлора по Z = r / | x |, явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ добиться того же результата - использовать обобщенную биномиальную теорему. Результирующий ряд представляет собой производящую функцию для полиномов Лежандра:

(1-2 XZ + Z 2) - 1 2 = ∑ n = 0 ∞ Z n P n (X) {\ displaystyle \ слева (1-2XZ + Z ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Z ^ {n} P_ { n} (X)}{\ displaystyle \ left (1-2XZ + Z ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Z ^ {n} P_ {n} (X)}

действительно для | X | ≤ 1 и | Z | < 1. The coefficients Pn- многочлены Лежандра степени n. Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра от X = cos θ. Таким образом, потенциал может быть расширен в ряд, сходящийся для позиций x, таких что r < |x | для всех массовых элементов системы (т.е. вне сферы с центром в центре масс, которая окружает систему):

V (x) = - G | х | ∫ ∑ n знак равно 0 ∞ (r | x |) n P n (cos ⁡ θ) d m (r) = - G | х | ∫ (1 + (r | x |) cos ⁡ θ + (r | x |) 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 2 + ⋯) dm (r) {\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf { x}) = - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \, dm (\ mathbf {r}) \\ {} = - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left (1+ \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} { | \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} + \ cdots \ right) \, dm (\ mathbf {r }) \ end {align}}}{\ begin {align} V ({\ mathbf {x}}) = - {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} |}} \ int \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| {\ mathbf {x}} |}} \ right) ^ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \, dm ( {\ mathbf {r}}) \\ {} = - {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} |}} \ int \ left (1+ \ left ({\ frac {r} { | {\ mathbf {x}} |}} \ right) \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| {\ mathbf {x}} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ соз ^ {2} \ тета -1} {2}} + \ cdots \ right) \, dm ({\ mathbf {r}}) \ конец {выровнено}}

Интеграл ∫ r cos ⁡ θ dm {\ displaystyle \ int r \ cos \ theta dm}\ int r \ cos \ theta dm - это составляющая центра масс в направление x ; это исчезает, потому что вектор x исходит из центра масс. Итак, если поставить интеграл под знаком суммирования, получим

V (x) = - G M | х | - G | х | ∫ (г | х |) 2 3 соз 2 ⁡ θ - 1 2 дм (г) + ⋯ {\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {x} |} } - {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac { 3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} dm (\ mathbf {r}) + \ cdots}V ({\ mathbf {x} }) = - {\ frac {GM} {| {\ mathbf {x}} |}} - {\ frac {G} {| {\ mathbf {x}} |}} \ int \ left ({\ frac { r} {| {\ mathbf {x}} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} dm ({\ mathbf {r}}) + \ cdots

Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом из-за сферической массы, если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до поверхности, все будет наоборот.)

Числовые значения

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест с учетом гравитации от Земля, Солнце и Млечный Путь приведены в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж / кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж / кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж / кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата космической скорости.

МестоположениеW.r.t. Земля W.r.t. Солнце W.r.t. Млечный Путь
Поверхность Земли60 МДж / кг900 МДж / кг≥ 130 ГДж / кг
НОО 57 МДж / кг900 МДж / кг≥ 130 ГДж / кг
Вояджер-1 (17000 миллионов км от Земли)23 Дж / кг8 МДж / кг≥ 130 ГДж / кг
0,1 световой год от Земли0,4 ​​Дж / кг140 кДж / кг≥ 130 ГДж / кг

Сравните гравитацию в этих местах.

См. Также

Примечания

  1. ^Соливерес, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е английское изд.). Бесплатная научная информация. ISBN 978-987-28304-0-3.
  2. ^Marion, J.B.; Торнтон, С. (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Harcourt Brace Company. п. 192. ISBN 0-03-097302-3.
  3. ^Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков, международное студенческое издание (6-е изд.). Academic Press. п. 72. ISBN 978-0-08-047069-6.
  4. ^Санг, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Cambridge International AS и A Level Physics Coursebook (иллюстрированное издание). Издательство Кембриджского университета. п. 276. ISBN 978-1-107-69769-0.
  5. ^Манкастер, Роджер (1993). A-level Physics (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. п. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8.
  6. ^Владимиров 1984, §7.8 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFVladimirov1984 (help )
  7. ^MacMillan, WD (1958). Theory of the Potential. Dover Press.
  8. ^Lowrie, William Lowrie (2011). A Student's Guide to Geophysical Equations. Cambridge University Press. Стр. 69. ISBN 978-1-139-49924-8.Отрывок со страницы 68
  9. ^Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетные атмосферы (иллюстрированный ред.). CRC Press. Стр. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4.Выдержка со страницы 19
  10. ^Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии, Springer Science Business Media, стр. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
  11. ^Wylie, CR, Младший (1960). Advanced Engineering Mathematics (2 ed.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. P. 454 [Теорема 2, раздел 10.8].

Ссылки

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: mail@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте
Список материалов:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26