Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

редактировать

В физике, в функции Грина (или фундаментальное решение ) для уравнения Лапласа в трех переменных используются для описания реакции определенного типа физической системы к точечному источнику. В частности, эта функция Грина возникает в системах, которые могут быть описаны уравнением Пуассона, уравнением в частных производных (PDE) вида

2 ты ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} и (\ mathbf {x}) = е (\ mathbf {x})}

где - оператор Лапласа в, - истоковый член системы, - решение уравнения. Поскольку это линейный дифференциальный оператор, решение общей системы этого типа может быть записано как интеграл по распределению источника, заданному формулой: 2 {\ displaystyle \ nabla ^ {2}} р 3 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} ж ( Икс ) {\ Displaystyle е (\ mathbf {х})} ты ( Икс ) {\ Displaystyle и (\ mathbf {х})} 2 {\ displaystyle \ nabla ^ {2}} ты ( Икс ) {\ Displaystyle и (\ mathbf {х})} ж ( Икс ) {\ Displaystyle е (\ mathbf {х})}

ты ( Икс ) знак равно Икс грамм ( Икс , Икс ) ж ( Икс ) d Икс {\ Displaystyle и (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbf {x} '} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x'}) f (\ mathbf {x '}) d \ mathbf {Икс} '}

где функция Грина для уравнения Лапласа в трех переменных описывает реакцию системы в точке на точечный источник, расположенный в: грамм ( Икс , Икс ) {\ Displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '})} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} Икс {\ Displaystyle \ mathbf {х '}}

2 грамм ( Икс , Икс ) знак равно δ ( Икс - Икс ) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x'})}

и точечный источник задается, в дельта - функции Дирака. δ ( Икс - Икс ) {\ displaystyle \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x '})}

Содержание

  • 1 Мотивация
  • 2 Математическая экспозиция
  • 3 Вращательно-инвариантные функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными
  • 4 См. Также
  • 5 ссылки

Мотивация

Одна из физических систем этого типа - это распределение заряда в электростатике. В такой системе электрическое поле выражается как отрицательный градиент электрического потенциала, и применяется закон Гаусса в дифференциальной форме:

E знак равно - ϕ ( Икс ) {\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi (\ mathbf {x})}
E знак равно ρ ( Икс ) ε 0 {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho (\ mathbf {x})} {\ varepsilon _ {0}}}}

Объединение этих выражений дает

- 2 ϕ ( Икс ) знак равно ρ ( Икс ) ε 0 {\ displaystyle - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ phi (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ rho (\ mathbf {x})} {\ varepsilon _ {0}}}} ( Уравнение Пуассона. )

Мы можем найти решение этого уравнения для произвольного распределения заряда, временно рассмотрев распределение, создаваемое точечным зарядом, расположенным в: ϕ ( Икс ) {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x})} q {\ displaystyle q} Икс {\ Displaystyle \ mathbf {х '}}

ρ ( Икс ) знак равно q δ ( Икс - Икс ) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = q \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x '})}

В таком случае,

- ε 0 q 2 ϕ ( Икс ) знак равно δ ( Икс - Икс ) {\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {q}} \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ phi (\ mathbf {x}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {Икс'})}

что показывает, что for даст ответ системы на точечный заряд. Таким образом, из приведенного выше обсуждения, если мы сможем найти функцию Грина этого оператора, мы можем найти, чтобы быть грамм ( Икс , Икс ) {\ Displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '})} - ε 0 q 2 {\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {q}} \ nabla ^ {2}} q {\ displaystyle q} ϕ ( Икс ) {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x})}

ϕ ( Икс ) знак равно Икс грамм ( Икс , Икс ) ρ ( Икс ) d Икс {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbf {x} '} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x'}) \ rho (\ mathbf {x '}) d \ mathbf {x} '}

для общего распределения заряда.

Математическая экспозиция

Функция Грина в свободном пространстве для уравнения Лапласа с тремя переменными дается в терминах обратного расстояния между двумя точками и известна как « ядро Ньютона » или « ньютоновский потенциал ». То есть решение уравнения

2 грамм ( Икс , Икс ) знак равно δ ( Икс - Икс ) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x'})}

является

грамм ( Икс , Икс ) знак равно - 1 4 π 1 | Икс - Икс | , {\ Displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}},}

где - стандартные декартовы координаты в трехмерном пространстве, - дельта-функция Дирака. Икс знак равно ( Икс , y , z ) {\ Displaystyle \ mathbf {x} = (х, y, z)} δ {\ displaystyle \, \! \ delta}

Алгебраическое выражение функции Грина для уравнения Лапласа три переменных, помимо термина постоянная, выраженного в декартовой системе координат, должно быть отнесено к - 1 / ( 4 π ) {\ Displaystyle \, \! - 1 / (4 \ pi)}

1 | Икс - Икс | знак равно [ ( Икс - Икс ) 2 + ( y - y ) 2 + ( z - z ) 2 ] - 1 2 . {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = [(xx ^ {\ prime}) ^ {2} + (yy ^ {\ prime}) ^ {2} + (zz ^ {\ prime}) ^ {2}] ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}.

Возможно множество формул разложения, если дано алгебраическое выражение для функции Грина. Одно из наиболее известных из них, разложение Лапласа для уравнения Лапласа с тремя переменными, дается в терминах производящей функции для полиномов Лежандра :

1 | Икс - Икс | знак равно л знак равно 0 р lt; л р gt; л + 1 п л ( потому что γ ) , {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {r _ {lt;} ^ { l}} {r _ {gt;} ^ {l + 1}}} P_ {l} (\ cos \ gamma),}

который был записан в сферических координатах. Обозначение меньше (больше чем) означает, что берется сферический радиус со штрихом или без него, в зависимости от того, какой из них меньше (больше) другого. Представляет собой угол между двумя векторами произвольных заданных ( р , θ , φ ) {\ Displaystyle \, \! (г, \ theta, \ varphi)} γ {\ displaystyle \, \! \ gamma} ( Икс , Икс ) {\ Displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '})}

потому что γ знак равно потому что θ потому что θ + грех θ грех θ потому что ( φ - φ ) . {\ displaystyle \ cos \ gamma = \ cos \ theta \ cos \ theta ^ {\ prime} + \ sin \ theta \ sin \ theta ^ {\ prime} \ cos (\ varphi - \ varphi ^ {\ prime}). }

Круговая цилиндрическая функция Грина в свободном пространстве (см. Ниже) дается через обратное расстояние между двумя точками. Выражение получено из классической электродинамики Джексона. Используя функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными, можно проинтегрировать уравнение Пуассона, чтобы определить потенциальную функцию. Функции Грина можно разложить по базисным элементам (гармоническим функциям), которые определяются с использованием разделимых систем координат для линейного уравнения в частных производных. Для функции Грина существует множество разложений по специальным функциям. В случае, когда граница расположена на бесконечности с граничным условием, устанавливающим решение равным нулю на бесконечности, тогда имеется функция Грина бесконечной степени. Для уравнения Лапласа с тремя переменными можно, например, разложить его на инвариантные относительно вращения системы координат, которые допускают разделение переменных. Например:

1 | Икс - Икс | знак равно 1 π р р м знак равно - е я м ( φ - φ ) Q м - 1 2 ( χ ) {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = {\ frac {1} {\ pi {\ sqrt {RR ^ {\ prime}}}}}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {im (\ varphi - \ varphi ^ {\ prime})} Q_ {m - {\ frac {1} {2}}} (\ chi)}

где

χ знак равно р 2 + р 2 + ( z - z ) 2 2 р р {\ displaystyle \ chi = {\ frac {R ^ {2} + {R ^ {\ prime}} ^ {2} + (zz ^ {\ prime}) ^ {2}} {2RR ^ {\ prime}} }}

и - функция Лежандра нечетно-полуцелой степени второго рода, являющаяся тороидальной гармоникой. Здесь разложение записано в цилиндрических координатах. См., Например, Тороидальные координаты. Q м - 1 2 ( χ ) {\ Displaystyle \, \! Q_ {м - {\ гидроразрыва {1} {2}}} (\ чи)} ( р , φ , z ) {\ Displaystyle \, \! (R, \ varphi, z)}

Используя одну из формул Уиппла для тороидальных гармоник, можно получить альтернативный вид функции Грина

1 | Икс - Икс | знак равно π 2 р р ( χ 2 - 1 ) 1 / 2 м знак равно - ( - 1 ) м Γ ( м + 1 / 2 ) п - 1 2 м ( χ χ 2 - 1 ) е я м ( φ - φ ) {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2RR ^ {\ prime} (\ chi ^ {2 } -1) ^ {1/2}}}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ Gamma (m + 1/2)}} P _ {- {\ frac {1} {2}}} ^ {m} {\ biggl (} {\ frac {\ chi} {\ sqrt {\ chi ^ {2} -1}}} {\ biggr)} e ^ {im (\ varphi - \ varphi ^ {\ prime})}}

в терминах тороидальной гармоники первого рода.

Эта формула использовалась в 1999 году для астрофизических приложений в статье, опубликованной в Astrophysical Journal, опубликованной Ховардом Колом и Джоэлем Толайном. Вышеупомянутая формула также известна в инженерном сообществе. Например, статья, опубликованная в журнале Journal of Applied Physics в томе 18 за 1947 год, страницы 562-577, показывает, что Н.Г. Де Брёйн и К.Дж. Букамп знали об упомянутой выше взаимосвязи. Фактически, практически вся математика, найденная в недавних статьях, уже была выполнена Честером Сноу. Это можно найти в его книге « Гипергеометрические и Лежандровские функции с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала», Национальное бюро стандартов прикладной математики, серия 19, 1952 г. См. Особенно страницы 228–263. Статья Честера Сноу «Магнитные поля цилиндрических катушек и кольцевых катушек» (Национальное бюро стандартов, Applied Mathematical Series 38, 30 декабря 1953 г.) четко показывает взаимосвязь между функцией Грина в свободном пространстве в цилиндрических координатах и ​​Q -функция выражение. Точно так же см. Еще одну работу Сноу, озаглавленную «Формулы для вычисления емкости и индуктивности», Циркуляр 544 Национального бюро стандартов, 10 сентября 1954 г., стр. 13–41. Действительно, в последнее время было опубликовано не так много публикаций по тороидальным функциям и их приложениям в технике или физике. Однако существует ряд инженерных приложений. Опубликована одна заявка; статья была написана JP Selvaggi, S. Salon, O. Kwon и MVK Chari, "Расчет внешнего магнитного поля от постоянных магнитов в двигателях с постоянными магнитами - альтернативный метод", IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40, No. 5, September 2004. Эти авторы проделали обширную работу с функциями Лежандра второго рода и полуцелыми степенями или тороидальными функциями нулевого порядка. Они решили множество задач, которые демонстрируют круговую цилиндрическую симметрию, используя тороидальные функции.

Вышеупомянутые выражения для функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными являются примерами выражений единственного суммирования для этой функции Грина. Существуют также одноинтегральные выражения для этой функции Грина. Можно увидеть, что их примеры существуют во вращательных цилиндрических координатах как интегральное преобразование Лапласа в разности вертикальных высот, ядро ​​которого дается в терминах функции Бесселя первого рода нулевого порядка как

1 | Икс - Икс | знак равно 0 J 0 ( k р 2 + р 2 - 2 р р потому что ( φ - φ ) ) е - k ( z gt; - z lt; ) d k , {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {0} {\ biggl (} k {\ sqrt {R ^ {2} + {R ^ {\ prime}} ^ {2} -2RR ^ {\ prime} \ cos (\ varphi - \ varphi ^ {\ prime})}} {\ biggr)} e ^ {-k (z _ {gt;} - z _ {lt;})} \, dk,}

где - большие (меньшие) переменные и. Точно так же функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными может быть задана как интегральное косинусное преобразование Фурье разности вертикальных высот, ядро ​​которого дается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка как z gt; ( z lt; ) {\ Displaystyle \, \! z _ {gt;} (г _ {lt;})} z {\ Displaystyle \, \! z} z {\ Displaystyle \, \! z ^ {\ prime}}

1 | Икс - Икс | знак равно 2 π 0 K 0 ( k р 2 + р 2 - 2 р р потому что ( φ - φ ) ) потому что k ( z - z ) d k . {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} K_ {0} {\ biggl (} k {\ sqrt {R ^ {2} + {R ^ {\ prime}} ^ {2} -2RR ^ {\ prime} \ cos (\ varphi - \ varphi ^ {\ prime })}} {\ biggr)} \ cos {k (zz ^ {\ prime})} \, dk.}

Вращательно-инвариантные функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Разложения функций Грина существуют во всех вращательно-инвариантных системах координат, которые, как известно, дают решения уравнения Лапласа с тремя переменными с помощью техники разделения переменных.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ТекстДжексона Классическая электродинамика 3-е изд. страницы 125–127
  2. ^ The Astrophysical Journal, 527, 86-101, опубликованное Говарда Co и Джоэл Tohline
Последняя правка сделана 2023-03-19 11:31:15
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте