Потенциальная энергия

Энергия, удерживаемая объектом из-за его положения относительно других объектов

Потенциальная энергия
В случае лук и стрела, когда лучник действительно работает с луком, оттягивая тетиву назад, часть химической энергии тела лучника преобразуется в упругую потенциальную энергию в согнутой конечности лука. лук. Когда струна отпускается, сила между струной и стрелкой действует на стрелку. Потенциальная энергия в конечностях лука преобразуется в кинетическую энергию стрелы в полете.
Общие символы	PE, U или V
единица СИ	джоуль (J)
Производные от. других величин	U = m · g · h (гравитационного ). U = ½ · k · x (упругого ). U = ½ · C · V (электрический ). U = - m · B (магнитный ) U = $\int \; F\; (r)\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; F\; (r)\; dr\}$

В физике потенциальная энергия - это энергия, удерживаемая объектом из-за его положения относительно других объектов, внутренних напряжений, его электрического заряда или других факторов.

Общие типы потенциальной энергии включают гравитационную потенциальную энергию объекта, которая зависит от его массы и его расстояния от центра масс другого объекта, упругая потенциальная энергия растянутой пружины и электрическая потенциальная энергия электрического заряда в электрическом поле. Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, который имеет символ J.

Термин потенциальная энергия был введен 19-м. шотландский инженер и физик Уильям Рэнкин, хотя это имеет связь с концепцией потенциальности греческого философа Аристотеля. Потенциальная энергия связана с силами, которые действуют на тело таким образом, что общая работа, выполняемая этими силами над телом, зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве. Эти силы, которые называются консервативными силами, могут быть представлены в каждой точке пространства векторами, выраженными как градиенты определенной скалярной функции, называемой потенциалом.

Поскольку работа потенциальных сил, действующих на тело, которое движется из начального положения в конечное, определяется только этими двумя положениями и не зависит от траектории тела, существует функция, известная как потенциал, который можно оценить по двум позициям для определения этой работы.

Содержание

• 1 Обзор
• 2 Работа и потенциальная энергия
  • 2.1 Полученная из потенциала
  • 2.2 Вычисление потенциальной энергии
• 3 Потенциальная энергия для гравитации, сближающейся с Землей
• 4 Потенциальная энергия для линейная пружина
• 5 Потенциальная энергия гравитационных сил между двумя телами
  • 5.1 Вывод
• 6 Потенциальная энергия электростатических сил между двумя телами
• 7 Контрольный уровень
• 8 Гравитационная потенциальная энергия
  • 8.1 Локальное приближение
  • 8.2 Общая формула
  • 8.3 Отрицательная гравитационная энергия
  • 8.4 Использует
• 9 Химическая потенциальная энергия
• 10 Электрическая потенциальная энергия
  • 10.1 Электростатическая потенциальная энергия
  • 10.2 Магнитная потенциальная энергия
• 11 Ядерная потенциальная энергия
• 12 Силы и потенциальная энергия
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Внешние ссылки

Обзор

Существуют различные типы потенциальной энергии, каждый из которых связан с определенным тип силы. Например, работа упругой силы называется упругой потенциальной энергией; работа силы тяжести называется потенциальной энергией гравитации; работа кулоновской силы называется электрической потенциальной энергией ; работа сильной ядерной силы или слабой ядерной силы, действующей на барион заряд, называется ядерной потенциальной энергией; Работа межмолекулярных сил называется межмолекулярной потенциальной энергией. Химическая потенциальная энергия, такая как энергия, запасенная в ископаемом топливе, является работой кулоновской силы во время перестройки конфигураций электронов и ядер в атомах и молекулах. Тепловая энергия обычно состоит из двух составляющих: кинетической энергии случайных движений частиц и потенциальной энергии их конфигурации.

Силы, производные от потенциала, также называются консервативными силами. Работа, выполняемая консервативной силой, равна

$W\; =\; -\; \Delta \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; W\; =\; -\; \backslash \; Delta\; U\}$

, где $\Delta \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\}$изменение потенциальной энергии, связанной с силой. Отрицательный знак означает, что работа, совершаемая против силового поля, увеличивает потенциальную энергию, а работа, совершаемая силовым полем, уменьшает потенциальную энергию. Обычные обозначения для потенциальной энергии: PE, U, V и E p.

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная положением объекта относительно других объектов. Потенциальная энергия часто связана с восстановлением сил, таких как пружина или сила гравитации. Действие растяжения пружины или подъема массы осуществляется внешней силой, которая действует против силового поля потенциала. Эта работа сохраняется в силовом поле, которое, как говорят, сохраняется как потенциальная энергия. Если внешняя сила устранена, силовое поле действует на тело, чтобы выполнить работу, поскольку оно перемещает тело обратно в исходное положение, уменьшая растяжение пружины или заставляя тело падать.

Рассмотрим шар, масса которого равна m, а высота - h. Ускорение свободного падения g приблизительно постоянно, поэтому весовая сила шара mg постоянна. Сила × смещение дает проделанную работу, которая равна гравитационной потенциальной энергии, поэтому

$U\; g\; =\; mgh\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{g\}\; =\; mgh\}$

Более формальное определение состоит в том, что потенциальная энергия - это разность энергий между энергией объекта в данной позиции и его энергией в исходной позиции.

Работа и потенциальная энергия

Потенциальная энергия тесно связана с силами. Если работа, совершаемая силой над телом, движущимся из точки A в точку B, не зависит от пути между этими точками (если работа выполняется за счет консервативной силы), то работа этой силы, измеренная от точки A, задает скалярное значение к любой другой точке пространства и определяет поле скалярного потенциала . В этом случае сила может быть определена как отрицательное значение вектора градиента потенциального поля.

Если работа приложенной силы не зависит от траектории, то работа, совершаемая силой, оценивается в начале и в конце траектории точки приложения. Это означает, что существует функция U (x ), называемая «потенциалом», которую можно оценить в двух точках xAи xB, чтобы получить работу по любой траектории между этими двумя точками.. По традиции эту функцию определяют с отрицательным знаком, так что положительная работа означает уменьшение потенциала, то есть

$W\; =\; \int \; CF\; \cdot \; dx\; =\; U\; (x\; A)\; -\; U\; (x\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{A\})\; -\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{B\})\}$

где C - траектория, взятая из A в B. Поскольку проделанная работа не зависит от пройденного пути, то это выражение истинно для любой траектории C из A в B.

Функция U (x ) называется потенциальной энергией, связанной с приложенной силой. Примерами сил, имеющих потенциальную энергию, являются сила тяжести и силы пружины.

Производится из потенциала

В этом разделе более подробно представлена ​​взаимосвязь между работой и потенциальной энергией. Линейный интеграл , определяющий работу вдоль кривой C, принимает особую форму, если сила F связана со скалярным полем Φ (x ), так что

$F\; =\; \nabla \; \Phi \; =\; (\partial \; \Phi \; \partial \; x,\; \partial \; \Phi \; \partial \; y,\; \partial \; \Phi \; \partial \; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right).\}$

В этом случае работа вдоль кривой определяется как

$W\; =\; \int \; CF\; \cdot \; dx\; =\; \int \; C\; \nabla \; \Phi \; \cdot \; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\}$

, которые могут быть вычислены с использованием градиентной теоремы , чтобы получить

$W\; =\; \Phi \; (x\; B)\; -\; \Phi \; (x\; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{B\})\; -\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{A\}).\}$

Это показывает, что когда силы выводятся из скалярного поля, Работа этих сил вдоль кривой C вычисляется путем оценки скалярного поля в начальной точке A и конечной точке B кривой. Это означает, что рабочий интеграл не зависит от пути между A и B и считается независимым от пути.

Потенциальная энергия U = -Φ (x ) традиционно определяется как отрицательная величина этого скалярного поля, так что работа силового поля уменьшает потенциальную энергию, то есть

$W\; =\; U\; (х\; А)\; -\; U\; (х\; В).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{A\})\; -\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{B\}).\}$

В этом случае применение оператора del к работе выхода дает,

$\nabla \; W\; =\; -\; \nabla \; U\; =\; -\; (\partial \; U\; \partial \; x,\; \partial \; U\; \partial \; y,\; \partial \; U\; \partial \; z)\; =\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; nabla\; W\}\; =\; -\; \{\backslash \; nabla\; U\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\},\}$

, а сила F называется «производной от потенциала». Это также обязательно подразумевает, что F должно быть консервативным векторным полем. Потенциал U определяет силу F в каждой точке x в пространстве, поэтому набор сил называется силовым полем.

Вычисление потенциальной энергии

Учитывая силовое поле F(x), вычисление интеграла работы с использованием градиентной теоремы может использоваться для нахождения скалярной функции, связанной с потенциальной энергией. Это делается путем введения параметризованной кривой γ (t) = r (t) от γ (a) = A до γ (b) = B и вычисления

$\int \; \gamma \; \nabla \; \Phi \; (r)\; \cdot \; dr\; =\; \int \; ab\; \nabla \; \Phi \; (r\; (t))\; \cdot \; r\; \prime \; (t)\; dt,\; =\; \int \; abddt\; \Phi \; (r\; (t))\; dt\; =\; \Phi \; (r\; (b))\; -\; \Phi \; (r\; (a))\; =\; Ф\; (х\; В)\; -\; Ф\; (х\; А).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t))\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}(t)\; dt,\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t))\; dt\; =\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (b))\; -\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (a))\; =\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\; B\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{A\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Для силового поля F, пусть v = d r / dt, тогда теорема градиента дает,

$\int \; \gamma \; F\; \cdot \; dr\; =\; \int \; ab\; F\; \cdot \; vdt,\; =\; -\; \int \; abddt\; U\; (r\; (t))\; dt\; =\; U\; (x\; A)\; -\; U\; (x\; B).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; dt,\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t))\; dt\; =\; U\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \_\; \{A\}\; \backslash \; right)\; -U\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Сила, приложенная к телу силовым полем, получается из градиент работы или потенциала в направлении скорости v точки приложения, то есть

$P\; (t)\; =\; -\; \nabla \; U\; \cdot \; v\; =\; F\; \cdot \; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; =\; -\; \{\backslash \; nabla\; U\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}.\}$

Примеры работы, которую можно вычислить из потенциальных функций: силы тяжести и силы пружины.

Потенциальная энергия силы тяжести, сближаемой с Землей

A требушет использует гравитационную потенциальную энергию противовеса для метания снарядов на расстояние более двухсот метров

Для малых изменения высоты, гравитационная потенциальная энергия может быть вычислена с использованием

$U\; g\; =\; mgh,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{g\}\; =\; mgh,\}$

где m - масса в кг, g - местное гравитационное поле (9,8 метра на второй квадрат на Земле), h - высота над контрольным уровнем в метрах, а U - энергия в джоулях.

В классической физике гравитация оказывает постоянную направленную вниз силу F = (0, 0, F z) на центр масс тела, движущегося вблизи поверхности земли. Работа силы тяжести над телом, движущимся по траектории r (t) = (x (t), y (t), z (t)), например след американских горок, рассчитывается с использованием его скорость, v = (v x, v y, v z), чтобы получить

$W\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; F\; \cdot \; vdt\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; F\; zvzdt\; =\; F\; z\; \Delta \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{\; 1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; F\_\; \{z\}\; v\_\; \{z\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; F\_\; \{z\}\; \backslash \; Delta\; z.\}$

где интеграл вертикальной составляющей скорости - это расстояние по вертикали. Работа силы тяжести зависит только от вертикального движения кривой r (t).

Потенциальная энергия линейной пружины

Пружины используются для хранения упругой потенциальной энергии Стрельба из лука - одно из старейших применений человечества в области упругой потенциальной энергии

A горизонтальная пружина оказывает силу F = (-kx, 0, 0), которая пропорциональна ее деформации в осевом направлении или направлении x. Работа этой пружины над телом, движущимся по пространственной кривой s (t) = (x (t), y (t), z (t)), рассчитывается с использованием его скорости, v = (v x, v y, v z), чтобы получить

$W\; =\; \int \; 0\; t\; F\; \cdot \; vdt\; =\; -\; \int \; 0\; tkxvxdt\; =\; -\; \int \; 0\; tkxdxdtdt\; =\; \int \; x\; (t\; 0)\; x\; (t)\; kxdx\; =\; 1\; 2\; kx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\; \}\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash ,\}\; \{d\}\; t\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; kxv\_\; \{x\}\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash ,\}\; \{d\}\; t\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; kx\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\; (t\_\; \{0\})\}\; ^\; \{x\; (t)\}\; kx\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kx\; ^\; \{2\}\}$

Для удобства рассмотрим, что контакт с пружиной происходит при t = 0, тогда интеграл от произведения расстояния x и скорости x, xv x, равно x / 2.

Функция

$U\; (x)\; =\; 1\; 2\; kx\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kx\; ^\; \{2\},\}$

является называется потенциальной энергией линейной пружины.

Упругая потенциальная энергия - это потенциальная энергия упругого объекта (например, лука или катапульты), который деформируется при растяжении или сжатии (или подчеркнуто в формальной терминологии). Он возникает как следствие силы, которая пытается вернуть объекту его первоначальную форму, которая чаще всего является электромагнитной силой между атомами и молекулами, составляющими объект. Если растяжение высвобождается, энергия преобразуется в кинетическую энергию.

потенциальную энергию для гравитационных сил между двумя телами

Функция гравитационного потенциала, также известная как потенциальная энергия гравитации, это:

$U\; =\; -\; GM\; mr,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\}\},\}$

Знак минус соответствует условию, согласно которому работа достигается за счет потери потенциальной энергии.

Вывод

Сила тяжести между двумя телами масс M и m, разделенными расстоянием r, задается законом Ньютона

$F\; =\; -\; GM\; mr\; 2\; r\; ^,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\},\}$

где $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$- вектор длины 1, направленный от M к m, а G - гравитационная постоянная.

Пусть масса m движется со скоростью v тогда работа силы тяжести над этой массой при ее перемещении из положения r(t1) в r(t2) определяется как

$W\; =\; -\; \int \; r\; (t\; 1)\; r\; (t\; 2)\; GM\; mr\; 3\; r\; \cdot \; dr\; =\; -\; \int \; т\; 1\; т\; 2\; ГМ\; мр\; 3\; р\; \cdot \; вдт.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t\_\; \{1\})\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t\_\; \{2\})\}\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Положение и скорость массы m задаются как

$r\; =\; rer,\; v\; =\; r\; \dot{}\; er\; +\; r\; \theta \; \theta \; et,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; r\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\}\; +\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{t\},\}$

где erи et- радиальный и тангенциальный единичные векторы, направленные относительно вектора от M к m. Используйте это, чтобы упростить формулу работы силы тяжести до,

$W\; =\; -\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; G\; m\; M\; r\; 3\; (rer)\; \cdot \; (r\; \dot{}\; er\; +\; r\; \theta \; \dot{}\; et)\; dt\; =\; -\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; G\; m\; M\; r\; 3\; rr\; \dot{}\; dt\; =\; GM\; mr\; (t\; 2)\; -\; GM\; mr\; (t\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{GmM\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; (r\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\})\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\}\; +\; r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{t\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{GmM\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; r\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; (t\_\; \{2\})\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; (t\_\; \{1\})\}\}.\}$

В этом расчете используется тот факт, что

$ddtr\; -\; 1\; =\; -\; r\; -\; 2\; r\; \dot{}\; =\; -\; r\; \dot{}\; г\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; r\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; -\; r\; ^\; \{-\; 2\}\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Потенциальная энергия электростатических сил между двумя телами

Электростатическая сила, оказываемая зарядом Q на другой заряд q, находящийся на расстоянии r, равна задано законом Кулона

$F\; =\; 1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; Q\; qr\; 2\; r\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{Qq\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\},\}$

где $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$- вектор длиной 1, направленный от Q к q, а ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Это также можно записать с помощью постоянной Кулона ke= 1 ⁄ 4πε 0.

Работа W, необходимая для перемещения q из A в любую точку B в электростатическом силовом поле, задается потенциальной функцией

$U\; (\; r)\; =\; 1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; Q\; qr.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{Qq\}\; \{r\}\}.\}$

Контрольный уровень

Потенциальная энергия является функцией состояния, в котором находится система, и определяется относительно этого состояния. Это эталонное состояние не всегда является реальным состоянием; он также может быть пределом, например, с расстояниями между всеми телами, стремящимися к бесконечности, при условии, что энергия, участвующая в стремлении к этому пределу, конечна, например, в случае сил по закону обратных квадратов. Может использоваться любое произвольное ссылочное состояние; поэтому его можно выбрать исходя из удобства.

Обычно потенциальная энергия системы зависит только от относительного положения ее компонентов, поэтому эталонное состояние также может быть выражено в терминах относительных положений.

Гравитационная потенциальная энергия

Гравитационная энергия - это потенциальная энергия, связанная с гравитационной силой, поскольку требуется работа, чтобы поднять объекты против гравитации Земли. Потенциальная энергия, возникающая из-за возвышения, называется потенциальной энергией гравитации, и о ней свидетельствует вода в приподнятом резервуаре или сохраненная за плотиной. Если объект падает из одной точки в другую точку внутри гравитационного поля, сила тяжести будет оказывать положительное воздействие на объект, и гравитационная потенциальная энергия уменьшится на ту же величину.

Сила гравитации удерживает планеты на орбите вокруг Солнца

Рассмотрим книгу, положенную на стол. Когда книгу поднимают с пола на стол, некоторая внешняя сила действует против силы тяжести. Если книга падает обратно на пол, "падающая" энергия, которую получает книга, обеспечивается силой гравитации. Таким образом, если книга падает со стола, эта потенциальная энергия идет на ускорение массы книги и преобразуется в кинетическую энергию. Когда книга ударяется об пол, кинетическая энергия при ударе преобразуется в тепло, деформацию и звук.

Факторами, влияющими на гравитационную потенциальную энергию объекта, являются его высота относительно некоторой контрольной точки, его масса и сила гравитационного поля, в котором он находится. Таким образом, книга, лежащая на столе, имеет меньший гравитационный потенциал. энергии, чем та же книга на более высоком шкафу, и меньшей гравитационной потенциальной энергии, чем более тяжелая книга, лежащая на том же столе. Объект на определенной высоте над поверхностью Луны имеет меньшую потенциальную гравитационную энергию, чем на той же высоте над поверхностью Земли, потому что гравитация Луны слабее. «Высота» в обычном смысле этого слова не может использоваться для расчетов потенциальной энергии гравитации, если гравитация не считается постоянной. В следующих разделах представлена ​​более подробная информация.

Локальное приближение

Сила гравитационного поля зависит от местоположения. Однако, когда изменение расстояния мало по сравнению с расстояниями от центра источника гравитационного поля, этим изменением напряженности поля можно пренебречь, и мы можем предположить, что сила тяжести на конкретном объекте постоянна. Например, вблизи поверхности Земли мы предполагаем, что ускорение свободного падения является постоянным g = 9,8 м / с («стандартная сила тяжести »). В этом случае простое выражение для гравитационной потенциальной энергии может быть получено с использованием уравнения W = Fd для работа и уравнения

$W\; F\; =\; -\; \Delta \; U\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; Delta\; U\_\; \{F\}.\; \backslash !\}$

Количество гравитационной потенциальной энергии, удерживаемой поднятым объектом, равно работе, совершаемой против силы тяжести при его подъеме. Проделанная работа равна силе, необходимой для его перемещения вверх, умноженной на вертикальное расстояние, на которое он перемещается (помните, что W = Fd). Сила, направленная вверх при движении с постоянной скоростью, равна весу объекта mg, поэтому работа, выполняемая при его подъеме на высоту h, равна произведению mgh. Таким образом, при учете только массы, силы тяжести и высоты уравнение выглядит следующим образом:

$U\; =\; mgh\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; mgh\; \backslash !\}$

где U - потенциальная энергия объекта относительно его нахождения на поверхности Земли, m - масса объекта, g - ускорение свободного падения, а h - высота объекта. Если m выражено в килограммах, g в м / с и h в метрах, то U будет вычисляться в джоулях.

Следовательно, разность потенциалов

$\Delta \; U\; =\; мг\; \Delta \; ч.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; U\; =\; mg\; \backslash \; Delta\; h.\; \backslash \}$

Общая формула

Однако при больших изменениях расстояния приближение, что g является постоянным, больше не действует, и мы должны используйте исчисление и общее математическое определение работы для определения гравитационной потенциальной энергии. Для вычисления потенциальной энергии мы можем интегрировать гравитационную силу, величина которой задается законом тяготения Ньютона, относительно расстояния r между двумя телами. Используя это определение, гравитационная потенциальная энергия системы масс m 1 и M 2 на расстоянии r с использованием гравитационной постоянной G равна

$U\; =\; -\; G\; m\; 1\; M\; 2\; r\; +\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -G\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\; M\_\; \{2\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; +\; K\}$,

где K - произвольная константа, зависящая от выбора данных, от которых измеряется потенциал. Выбор соглашения, согласно которому K = 0 (то есть относительно бесконечно удаленной точки), упрощает вычисления, хотя и за счет отрицательного значения U; о том, почему это физически разумно, см. ниже.

По этой формуле для U полная потенциальная энергия системы из n тел находится путем суммирования для всех $n\; (n\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n-\; 1)\}\; \{2\}\}\}$пары двух тел, потенциальная энергия системы этих двух тел.

Суммирование гравитационного потенциала $U\; =\; -\; m\; (GM\; 1\; r\; 1\; +\; GM\; 2\; r\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -m\; (G\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{1\}\}\; \{r\_\; \{1\}\}\}\; +\; G\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{2\}\}\; \{r\_\; \{2\}\}\})\}$

Рассматривая систему тел как объединенный набор малых частиц, из которых состоят тела, и применяя предыдущее на уровне частиц, мы получаем отрицательная гравитационная энергия связи. Эта потенциальная энергия является более отрицательной, чем полная потенциальная энергия системы тел как таковой, поскольку она также включает отрицательную гравитационную энергию связи каждого тела. Потенциальная энергия системы тел как таковая - это отрицательная энергия, необходимая для разделения тел друг от друга на бесконечность, в то время как гравитационная энергия связи - это энергия, необходимая для разделения всех частиц друг от друга на бесконечность.

$U\; =\; -\; m\; (GM\; 1\; r\; 1\; +\; GM\; 2\; r\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -m\; \backslash \; left\; (G\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{1\}\}\; \{r\_\; \{1\}\}\}\; +\; G\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{2\}\}\; \{r\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

следовательно,

$U\; =\; -\; m\; \sum \; GM\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -m\; \backslash \; sum\; G\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; \}\}\}$,

Отрицательная гравитационная энергия

Как и все потенциальные энергии, для большинства физических целей существуют только различия в гравитационной потенциальной энергии, и выбор нулевой точки является произвольным. Учитывая, что не существует разумного критерия для предпочтения одного конкретного конечного r перед другим, кажется, есть только два разумных выбора для расстояния, на котором U становится равным нулю: $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$и $r\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; infty\}$. Выбор $U\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; 0\}$на бесконечности может показаться странным, и последствия того, что гравитационная энергия всегда отрицательна, может показаться нелогичным, но этот выбор позволяет значениям потенциальной энергии гравитации изменяться. быть конечным, хотя и отрицательным.

сингулярность в $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$в формуле для гравитационной потенциальной энергии означает, что единственный другой, по-видимому, разумный альтернативный выбор условно, с $U\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; 0\}$для $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$, приведет к тому, что потенциальная энергия будет положительный, но бесконечно большой для всех ненулевых значений r, и будет производить вычисления с использованием сумм или разностей потенциальных энергий, превышающих то, что возможно с системой вещественных чисел. Поскольку физики терпеть не могут бесконечности в своих вычислениях, а на практике r всегда не равно нулю, выбор $U\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; 0\}$на бесконечности намного более предпочтительный выбор, даже если идея отрицательной энергии в гравитационном колодце поначалу кажется странной.

Отрицательное значение гравитационной энергии также имеет более глубокие последствия, которые заставляют его казаться более разумным в космологических расчетах, где можно осмысленно рассматривать полную энергию Вселенной; см. теорию инфляции для получения дополнительной информации.

Использование

Гравитационная потенциальная энергия имеет ряд практических применений, в частности, для выработки гидроэлектроэнергии с накачиваемым аккумулятором. Например, в Динорвиг, Уэльс, есть два озера, одно на большей высоте, чем другое. Иногда, когда избыточное электричество не требуется (и поэтому оно сравнительно дешево), вода перекачивается в более высокое озеро, таким образом преобразуя электрическую энергию (работающую в насосе) в гравитационную потенциальную энергию. Во время пикового спроса на электроэнергию вода течет обратно через турбины электрического генератора, преобразовывая потенциальную энергию в кинетическую, а затем обратно в электричество. Этот процесс не совсем эффективен, и некоторая часть первоначальной энергии излишков электричества фактически теряется на трение.

Гравитационная потенциальная энергия также используется для питания часов, в которых механизм приводится в действие падающими грузами.

Это также используется противовесами для подъема лифта, крана или створчатого окна.

Роликовые горки - интересный способ использования потенциальной энергии - используются цепи двигать машину вверх по склону (наращивать гравитационную потенциальную энергию), чтобы затем эта энергия преобразовывалась в кинетическую энергию при падении.

Другое практическое применение - использование потенциальной энергии гравитации для спуска (возможно, по берегу) под гору при транспортировке, такой как спуск автомобиля, грузовика, железнодорожного поезда, велосипеда, самолета или жидкости в трубопроводе. В некоторых случаях кинетическая энергия, полученная из потенциальной энергии спуска, может быть использована для начала подъема на следующий уровень, например, что происходит, когда дорога является холмистой и имеет частые спуски. Коммерциализация накопленной энергии (в виде железнодорожных вагонов, поднятых на большую высоту), которая затем преобразуется в электрическую энергию, когда она необходима электросети, осуществляется в Соединенных Штатах в системе под названием Advanced Rail Energy Storage (ARES).

Дополнительная информация: Гравитационный накопитель потенциальной энергии

Химическая потенциальная энергия

Химическая потенциальная энергия - это форма потенциальной энергии, связанная со структурным расположением атомов или молекул. Такое расположение может быть результатом химических связей внутри молекулы или иным образом. Химическая энергия химического вещества может быть преобразована в другие формы энергии с помощью химической реакции. Например, при сжигании топлива химическая энергия превращается в тепло, так же обстоит дело с перевариванием пищи, метаболизируемой в биологическом организме. Зеленые растения преобразуют солнечную энергию в химическую энергию посредством процесса, известного как фотосинтез, а электрическая энергия может быть преобразована в химическую энергию посредством электрохимических реакций.

Аналогичный термин химический потенциал используется для обозначения способности вещества претерпевать изменение конфигурации, будь то в форме химической реакции, пространственного переноса, обмена частицами с резервуар и т.д.

Электрическая потенциальная энергия

Объект может обладать потенциальной энергией благодаря своему электрическому заряду и нескольким силам, связанным с их присутствием. Существует два основных типа этой потенциальной энергии: электростатическая потенциальная энергия, электродинамическая потенциальная энергия (также иногда называемая магнитной потенциальной энергией).

Плазма, образованная внутри сферы, заполненной газом

Электростатическая потенциальная энергия

Электростатическая потенциальная энергия между двумя телами в космосе получается из силы, прилагаемой зарядом Q к другому заряду q. по

$F\; e\; =\; -\; 1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; Q\; qr\; 2\; r\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{e\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{Qq\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\},\}$

где $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$- вектор длиной 1, направленный от Q к q, а ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Это также можно записать с использованием постоянной Кулона ke= 1 ⁄ 4πε 0.

Если можно предположить, что электрический заряд объекта находится в состоянии покоя, то он имеет потенциальную энергию из-за своего положения относительно других заряженных объектов.. электростатическая потенциальная энергия - это энергия электрически заряженной частицы (в состоянии покоя) в электрическом поле. Он определяется как работа, которая должна быть выполнена, чтобы переместить его с бесконечного расстояния в его текущее местоположение, с поправкой на неэлектрические силы, действующие на объект. Эта энергия обычно будет отличной от нуля, если поблизости есть другой электрически заряженный объект.

Работа W, необходимая для перемещения q из A в любую точку B в поле электростатических сил, определяется выражением

$\Delta \; UAB\; (r)\; =\; -\; \int \; ABF\; e\; \cdot \; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\_\; \{AB\; \}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; ^\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\_\; \{e\}\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$

обычно выражается в Дж для Джоулей. Связанная величина, называемая электрическим потенциалом (обычно обозначаемая буквой V для напряжения), равна электрической потенциальной энергии на единицу заряда.

Магнитная потенциальная энергия

Энергия магнитного момента $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\}$в создаваемое извне магнитное B-поле Bимеет потенциальную энергию

$U\; =\; -\; \mu \; \cdot \; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}.\}$

намагниченность Mв поле

$U\; =\; -\; 1\; 2\; \int \; M\; \cdot \; B\; d\; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V,\}$

где интеграл может быть больше весь пробел или, что то же самое, где M отлично от нуля. Магнитная потенциальная энергия - это форма энергии, связанная не только с расстоянием между магнитными материалами, но также с ориентацией или выравниванием этих материалов в поле. Например, стрелка компаса имеет самую низкую потенциальную магнитную энергию, когда она совмещена с северным и южным полюсами магнитного поля Земли. Если игла перемещается под действием внешней силы, на магнитный диполь иглы воздействует магнитное поле Земли, заставляя его двигаться обратно в выравнивание. Магнитная потенциальная энергия иглы наивысшая, когда ее поле совпадает с направлением магнитного поля Земли. Два магнита будут обладать потенциальной энергией по отношению друг к другу и расстоянию между ними, но это также зависит от их ориентации. Если противоположные полюса разделены, потенциальная энергия будет тем выше, чем дальше они друг от друга, и тем ниже, чем ближе они находятся. И наоборот, одинаковые полюса будут иметь самую высокую потенциальную энергию, когда они прижаты друг к другу, и самую низкую, когда они разлетаются.

Ядерная потенциальная энергия

Ядерная потенциальная энергия - это потенциальная энергия частиц внутри атомного ядра. Ядерные частицы связаны друг с другом сильным ядерным взаимодействием. Слабые ядерные силы обеспечивают потенциальную энергию для определенных видов радиоактивного распада, таких как бета-распад.

Ядерные частицы, такие как протоны и нейтроны, не разрушаются в процессах деления и синтеза, но их скопления могут имеют меньшую массу, чем если бы они были по отдельности свободными, и в этом случае эта разница масс может высвобождаться в виде тепла и излучения в ядерных реакциях (тепло и излучение имеют недостающую массу, но часто уходят из системы, где не измеряются). Энергия Солнца является примером этой формы преобразования энергии. На Солнце процесс синтеза водорода преобразует около 4 миллионов тонн солнечного вещества в секунду в электромагнитную энергию, которая излучается в космос.

Силы и потенциальная энергия

Потенциальная энергия тесно связана с силами. Если работа, совершаемая силой над телом, движущимся из точки A в точку B, не зависит от пути между этими точками, то работа этой силы, измеренная от точки A, присваивает скалярное значение каждой другой точке пространства и определяет поле скалярного потенциала. В этом случае сила может быть определена как отрицательное значение вектора градиента потенциального поля.

Например, сила тяжести - это консервативная сила. Связанный потенциал - это гравитационный потенциал, часто обозначаемый $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$или $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, соответствует энергии на единицу массы как функции положения. Гравитационная потенциальная энергия двух частиц масс M и m, разделенных расстоянием r, равна

$U\; =\; -\; GM\; mr,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\}\},\}$

Гравитационная потенциал (удельная энергия ) двух тел равен

$\varphi \; =\; -\; (GM\; r\; +\; G\; mr)\; =\; -\; G\; (M\; +\; m)\; r\; =\; -\; GM\; m\; \mu \; r\; =\; U\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{G\; (M\; +\; m)\}\; \{r\}\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{\backslash \; mu\; r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{\backslash \; mu\}\}.\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- уменьшенная масса.

Работа, выполняемая против силы тяжести путем перемещения бесконечно малой массы из точки A с помощью $U\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; a\}$в точку B с $U\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; b\}$равно $(b\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (ba)\}$, и работа, проделанная до другой способ - $(a\; -\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; (ab)\}$, так что общая работа, проделанная при перемещении из A в B и возвращении в A, составляет

$UA\; \to \; B\; \to \; A\; =\; (b\; -\; a)\; +\; (a\; -\; b)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displayst\; yle\; U\_\; \{A\; \backslash \; to\; B\; \backslash \; to\; A\}\; =\; (ba)\; +\; (ab)\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Если потенциал переопределен в A на $a\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; c\}$и потенциал в B должен быть $b\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; +\; c\}$, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$равно константа (например, $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$может быть любым числом, положительным или отрицательным, но оно должно быть таким же, как в A, так и в B), то выполненная работа идет от A к B равно

$UA\; \to \; B\; =\; (b\; +\; c)\; -\; (a\; +\; c)\; =\; b\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{A\; \backslash \; to\; B\}\; =\; (b\; +\; c)\; -\; (a\; +\; c)\; =\; ba\; \backslash ,\; \}$

как раньше.

На практике это означает, что можно установить ноль для $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$Все кому угодно. Можно установить его равным нулю на поверхности Земли, или может оказаться более удобным установить ноль на бесконечности (как в выражениях, приведенных ранее в этом разделе).

Консервативная сила может быть выражена на языке дифференциальной геометрии как замкнутая форма. Поскольку евклидово пространство является стягиваемым, его когомология де Рама исчезает, поэтому каждая замкнутая форма также является точной формой и может быть выражена как градиент скалярного поля. Это дает математическое обоснование того факта, что все консервативные силы являются градиентами потенциального поля.

Примечания

Ссылки

• Serway, Raymond A.; Джуэтт, Джон В. (2010). Физика для ученых и инженеров (8-е изд.). Брукс / Коул Сенсагаж. ISBN 978-1-4390-4844-3.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0809-4.

Внешние ссылки

• Что такое потенциальная энергия?