Закон Гаусса для гравитации

редактировать

Эта статья о законе Гаусса о гравитационном поле. Для аналогичных законов, касающихся различных областей, см закона Гаусса и закона Гаусса для магнетизма. Чтобы узнать о теореме Гаусса, математической теореме, относящейся ко всем этим законам, см. Теорему о расходимости.

В физике, закон Гаусса для гравитации, также известный как теорема Гаусса для потока гравитации, это закон физики, что эквивалентно законом Ньютона всемирного тяготения. Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса. По закону тяготения Гаусса часто удобнее работать, чем по закону Ньютона.

Форма закона Гаусса для гравитации математически аналогична закону Гаусса для электростатики, одному из уравнений Максвелла. Закон Гаусса для гравитации имеет такое же математическое отношение к закону Ньютона, что и закон Гаусса для электростатики к закону Кулона. Это связано с тем, что и закон Ньютона, и закон Кулона описывают взаимодействие обратных квадратов в трехмерном пространстве.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Качественное изложение закона
2 Интегральная форма
3 Дифференциальная форма
- 3.1 Связь с интегральной формой
4 Связь с законом Ньютона
- 4.1 Вывод закона Гаусса из закона Ньютона
- 4.2 Вывод закона Ньютона из закона Гаусса и безвихревости
5 Уравнение Пуассона и гравитационный потенциал
6 приложений
- 6.1 Тарелка Буге
- 6.2 Цилиндрически симметричное распределение массы
- 6.3 Сферически-симметричное распределение массы
7 Вывод из лагранжиана
8 См. Также
9 ссылки
10 Дальнейшее чтение

Качественное изложение закона

Основная статья: Гравитационное поле

Гравитационное поле г (также называемое гравитационное ускорение ) векторное поле - вектор в каждой точке пространства (и времени). Он определяется таким образом, что гравитационная сила, испытываемая частицей, равна массе частицы, умноженной на гравитационное поле в этой точке.

Гравитационный поток - это поверхностный интеграл гравитационного поля над замкнутой поверхностью, аналогично тому, как магнитный поток является поверхностным интегралом магнитного поля.

Закон Гаусса для гравитации гласит:

Гравитационный поток через любую замкнутую поверхность пропорционален замкнутой массе.

Интегральная форма

Интегральная форма закона Гаусса для гравитации гласит:

$\ oiint$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\ scriptstyle \ частичный V$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}$ $\ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM$

куда

$\ oiint$

{\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}

\ scriptstyle \ частичный V

(также пишется) обозначает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности,

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V}}

\ oint _ {\ partial V}

∂ V - любая замкнутая поверхность ( граница произвольного объема V),

d A - вектор, величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности ∂ V, а направление - направленной наружу нормали к поверхности (подробнее см. интеграл по поверхности ),

g - гравитационное поле,

G - универсальная гравитационная постоянная, а

М представляет собой общую массу заключена в пределах поверхности ∂ V.

Левая часть этого уравнения называется потоком гравитационного поля. Обратите внимание, что по закону он всегда отрицательный (или ноль) и никогда не положительный. Это можно противопоставить закону Гаусса для электричества, где поток может быть как положительным, так и отрицательным. Разница в том, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, а масса может быть только положительной.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для гравитационных состояний

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,$

где обозначает дивергенцию, G - универсальная гравитационная постоянная, а ρ - плотность массы в каждой точке. ${\ Displaystyle \ набла \ cdot}$ $\ набла \ cdot$

Отношение к интегральной форме

Две формы закона Гаусса для гравитации математически эквивалентны. Теорема расходимости гласит:

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {g} \ dV}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {g} \ dV}

где V - замкнутая область, ограниченная простой замкнутой ориентированной поверхностью ∂ V, а dV - бесконечно малый кусок объема V (подробнее см. объемный интеграл ). Гравитационное поле г должен быть непрерывно дифференцируема векторное поле определено в окрестности V.

Учитывая также, что

{\ Displaystyle M = \ int _ {V} \ rho \ dV}

M = \ int _ {V} \ rho \ dV

мы можем применить теорему о расходимости к интегральной форме закона Гаусса для гравитации, которая принимает следующий вид:

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ набла \ cdot \ mathbf {g} \ dV = -4 \ pi G \ int _ {V} \ rho \ dV}

\ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {g} \ dV = -4 \ pi G \ int _ {V} \ rho \ dV

который можно переписать:

{\ displaystyle \ int _ {V} (\ nabla \ cdot \ mathbf {g}) \ dV = \ int _ {V} (- 4 \ pi G \ rho) \ dV.}

\ int _ {V} (\ nabla \ cdot \ mathbf {g}) \ dV = \ int _ {V} (- 4 \ pi G \ rho) \ dV.

Это должно выполняться одновременно для всех возможных объемов V ; это может произойти только в том случае, если подынтегральные выражения равны. Отсюда мы приходим к

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,}

\ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,

что является дифференциальной формой закона Гаусса для гравитации.

Можно получить интегральную форму из дифференциальной формы, используя обратный метод.

Хотя эти две формы эквивалентны, одна или другая может быть более удобной для использования в конкретных вычислениях.

Связь с законом Ньютона

Вывод закона Гаусса из закона Ньютона

Закон Гаусса для гравитации можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что гравитационное поле, обусловленное точечной массой, равно:

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}

\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}

куда

e r - радиальный единичный вектор,

r - радиус, | г |.

M - масса частицы, которая считается точечной массой, расположенной в начале координат.

Доказательство с использованием векторного исчисления показано в рамке ниже. Математически это идентично доказательству закона Гаусса (в электростатике ), исходя из закона Кулона.

Схема доказательства: (Нажмите кнопку [показать] справа.)
g ( r), гравитационное поле в точке r, может быть вычислено путем сложения вклада в g ( r) каждого бита массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, складывая вклад в g ( r), связанный с массой (если есть) в s, где этот вклад рассчитывается по закону Ньютона. Результат: ${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ int \ rho (\ mathbf {s}) {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {s} \| ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {s}.}$ $\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ int \ rho (\ mathbf {s}) {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {\| \ mathbf {r } - \ mathbf {s} \| ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {s}.$ ( d ³s обозначает ds x ds y ds z, каждый из которых интегрируется от −∞ до + ∞.) Если мы возьмем дивергенцию обеих частей этого уравнения относительно r и воспользуемся известной теоремой ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {r}} {\| \ mathbf {r} \| ^ {3}}} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r}) }$ $\ nabla \ cdot \ left (\ frac {\ mathbf {r}} {\| \ mathbf {r} \| ^ 3} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r})$ где δ ( r) - дельта-функция Дирака, результатом будет ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ int \ rho (\ mathbf {s}) \ \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s }) \ d ^ {3} \ mathbf {s}.}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ int \ rho (\ mathbf {s}) \ \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s}) \ г ^ {3} \ mathbf {s}.$ Используя "свойство просеивания" дельта-функции Дирака, мы приходим к ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {r})}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {r})$ что является дифференциальной формой закона Гаусса для гравитации, как и требовалось.

Схема доказательства: (Нажмите кнопку [показать] справа.)

g ( r), гравитационное поле в точке r, может быть вычислено путем сложения вклада в g ( r) каждого бита массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, складывая вклад в g ( r), связанный с массой (если есть) в s, где этот вклад рассчитывается по закону Ньютона. Результат:

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ int \ rho (\ mathbf {s}) {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {s} | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {s}.}

\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ int \ rho (\ mathbf {s}) {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {| \ mathbf {r } - \ mathbf {s} | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {s}.

( d ³s обозначает ds x ds y ds z, каждый из которых интегрируется от −∞ до + ∞.) Если мы возьмем дивергенцию обеих частей этого уравнения относительно r и воспользуемся известной теоремой

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r}) }

\ nabla \ cdot \ left (\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ 3} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r})

где δ ( r) - дельта-функция Дирака, результатом будет

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ int \ rho (\ mathbf {s}) \ \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s }) \ d ^ {3} \ mathbf {s}.}

\ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ int \ rho (\ mathbf {s}) \ \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s}) \ г ^ {3} \ mathbf {s}.

Используя "свойство просеивания" дельта-функции Дирака, мы приходим к

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {r})}

\ nabla \ cdot \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {r})

что является дифференциальной формой закона Гаусса для гравитации, как и требовалось.

Вывод закона Ньютона из закона Гаусса и безвихревости

Это невозможно математически доказать закон Ньютона из закона Гаусса только, потому что закон Гаусса определяет дивергенцию г, но не содержит никакой информации относительно завиток из г (см разложения Гельмгольца ). В дополнение к закону Гаусса используется предположение, что g является безвихревым (имеет нулевой ротор), поскольку гравитация является консервативной силой :

{\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {g} = 0}

\ nabla \ times \ mathbf {g} = 0

Даже этого недостаточно: граничные условия на g также необходимы для доказательства закона Ньютона, например, предположение, что поле равно нулю бесконечно далеко от массы.

Доказательство закона Ньютона из этих предположений выглядит следующим образом:

Схема доказательства
Начнем с интегральной формы закона Гаусса: ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM.}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM.}$ Применение этого закона к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса г с центром в точке масс М. Разумно ожидать, что гравитационное поле от точечной массы будет сферически симметричным. (Мы опускаем доказательство для простоты.) Сделав это предположение, g принимает следующий вид: ${\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = g (r) \ mathbf {e_ {r}}}$ $\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = g (r) \ mathbf {e_ {r}}$ (т.е. направление g параллельно направлению r, а величина g зависит только от величины, а не направления r). Подключив его и используя тот факт, что ∂ V представляет собой сферическую поверхность с постоянным r и площадью, ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ $4 \ pi r ^ {2}$ ${\ displaystyle g (r) \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {e_ {r}} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}$ ${\ displaystyle g (r) \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {e_ {r}} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}$ ${\ Displaystyle г (г) (4 \ пи г ^ {2}) = - 4 \ пи GM}$ $g (r) (4 \ pi r ^ {2}) = - 4 \ pi GM$ ${\ Displaystyle г (г) = - {\ гидроразрыва {GM} {г ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle г (г) = - {\ гидроразрыва {GM} {г ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}$ $\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}$ что является законом Ньютона.

Схема доказательства

Начнем с интегральной формы закона Гаусса:

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM.}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM.}

Применение этого закона к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса г с центром в точке масс М. Разумно ожидать, что гравитационное поле от точечной массы будет сферически симметричным. (Мы опускаем доказательство для простоты.) Сделав это предположение, g принимает следующий вид:

{\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = g (r) \ mathbf {e_ {r}}}

\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = g (r) \ mathbf {e_ {r}}

(т.е. направление g параллельно направлению r, а величина g зависит только от величины, а не направления r). Подключив его и используя тот факт, что ∂ V представляет собой сферическую поверхность с постоянным r и площадью, ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ $4 \ pi r ^ {2}$

{\ displaystyle g (r) \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {e_ {r}} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}

{\ displaystyle g (r) \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {e_ {r}} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}

{\ Displaystyle г (г) (4 \ пи г ^ {2}) = - 4 \ пи GM}

g (r) (4 \ pi r ^ {2}) = - 4 \ pi GM

{\ Displaystyle г (г) = - {\ гидроразрыва {GM} {г ^ {2}}}}

{\ Displaystyle г (г) = - {\ гидроразрыва {GM} {г ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}

\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}

что является законом Ньютона.

Уравнение Пуассона и гравитационный потенциал

Так как гравитационное поле имеет нулевой завиток ( что эквивалентно, сила тяжести является консервативной силой ), как указано выше, она может быть записана в виде градиента от более скалярного потенциала, называемого гравитационным потенциалом :

{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi.}

\ mathbf {g} = - \ nabla \ phi.

Тогда дифференциальная форма закона Гаусса для гравитации становится уравнением Пуассона :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.}

\ nabla ^ {2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.

Это обеспечивает альтернативный способ вычисления гравитационного потенциала и гравитационного поля. Хотя вычисление g через уравнение Пуассона математически эквивалентно вычислению g непосредственно из закона Гаусса, тот или иной подход может быть более простым вычислением в данной ситуации.

В радиально-симметричных системах гравитационный потенциал является функцией только одной переменной (а именно,), и уравнение Пуассона принимает вид (см. Del в цилиндрических и сферических координатах ): ${\ Displaystyle г = | \ mathbf {г} |}$ $r = | \ mathbf {r} |$

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} \, {\ frac {\ partial \ phi} { \ partial r}} \ right) = 4 \ pi G \ rho (r)}

{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} \, {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r }} \ right) = 4 \ pi G \ rho (r)

а гравитационное поле:

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ mathbf {e_ {r}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r}}.}

\ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ mathbf {e_ {r}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r}}.

При решении уравнения следует учитывать, что в случае конечных плотностей ∂ ϕ / ∂ r должно быть непрерывным на границах (разрывах плотности) и равным нулю при r = 0.

Приложения

Закон Гаусса можно использовать, чтобы легко вывести гравитационное поле в определенных случаях, когда прямое применение закона Ньютона было бы более трудным (но не невозможным). См. Статью Гауссова поверхность для получения более подробной информации о том, как выполняются эти выводы. Вот три таких приложения:

Тарелка буге

Основная статья: тарелка Буге

Мы можем сделать вывод (используя « гауссовский дот »), что для бесконечной плоской пластины (пластины Бугера ) любой конечной толщины гравитационное поле за пределами пластины перпендикулярно пластине по направлению к ней с величиной 2 πG, умноженной на массу. на единицу площади, независимо от расстояния до плиты (см. также аномалии силы тяжести ).

В более общем случае, для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z, сила тяжести для любого z равна 2 πG разности массы на единицу площади по обе стороны от этого значения z.

В частности, параллельная комбинация двух параллельных бесконечных пластин одинаковой массы на единицу площади не создает гравитационного поля между ними.

Цилиндрически симметричное распределение массы

В случае бесконечного равномерного (по z) цилиндрически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя цилиндрическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной в 2 Гс / г, умноженной на общую масса на единицу длины на меньшем расстоянии (от оси), независимо от масс на большем расстоянии.

Например, внутри бесконечного однородного полого цилиндра поле равно нулю.

Сферически-симметричное распределение массы

Основная статья: Теорема оболочек

В случае сферически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя сферическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной G / r, в ² раза превышающей общую массу на меньшем расстоянии. чем р. Вся масса на большем расстоянии, чем r от центра, не имеет никакого результирующего эффекта.

Например, полая сфера не создает внутри никакой чистой силы тяжести. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы там не было (т. Е. Результирующее поле - это поле всех масс, не включая сферу, которая может находиться внутри и вне сферы).

Хотя это в одной или двух строках алгебры следует из закона гравитации Гаусса, Исааку Ньютону потребовалось несколько страниц громоздких вычислений, чтобы вывести его непосредственно, используя свой закон всемирного тяготения; см. теорему о оболочке для этого прямого вывода.

Вывод из лагранжиана

Основная статья: лагранжиан (теория поля)

Плотность лагранжиана для ньютоновской гравитации равна

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}, t) = - \ rho (\ mathbf {x}, t) \ phi (\ mathbf {x}, t) - {1 \ более 8 \ pi G} (\ nabla \ phi (\ mathbf {x}, t)) ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}, t) = - \ rho (\ mathbf {x}, t) \ phi (\ mathbf {x}, t) - {1 \ более 8 \ pi G} (\ nabla \ phi (\ mathbf {x}, t)) ^ {2}}

Применяя принцип Гамильтона к этому лагранжиану, мы получаем закон Гаусса для гравитации:

{\ displaystyle 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {x}, t) = \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {x}, t).}

{\ displaystyle 4 \ pi G \ rho (\ mathbf {x}, t) = \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {x}, t).}

Подробнее см. Лагранжиан (теория поля).

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Об использовании термина «закон Гаусса для гравитации» см., Например, Moody, MV; Пайк, HJ (1 марта 1993 г.). «Проверка силы тяжести по закону Гаусса на близком расстоянии». Письма с физическим обзором. 70 (9): 1195–1198. Bibcode : 1993PhRvL..70.1195M. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.70.1195. PMID 10054315.