Ускорение свободного падения

редактировать

В физике, гравитационное ускорение - свободное падение ускорение объекта в вакууме - без какого-либо перетаскивания. Это постоянное увеличение скорости, вызванное исключительно силой гравитационного притяжения. При заданных координатах GPS на поверхности Земли и заданной высоте все тела ускоряются в вакууме с одинаковой скоростью. Это равенство верно независимо от массы или состава тел.

В разных точках поверхности Земли ускорение свободного падения колеблется от 9,764 м / с до 9,834 м / с в зависимости от высоты и широта с условным стандартным значением, равным 9,80665 м / с (приблизительно 32,17405 фут / с). При этом не учитываются другие эффекты, такие как плавучесть или сопротивление.

Содержание

1 Отношение к Всемирному закону
2 Модель гравитации для Земли
3 Общая теория относительности
4 См. Также
5 Ссылки

Связь с Универсальным Законом

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что между любыми двумя массами существует гравитационная сила, равная по величине для каждой массы, и выровнен так, чтобы притягивать две массы друг к другу. Формула:

F = G m 1 m 2 r 2 {\ displaystyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \}

F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \

где $m 1 {\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ и $m 2 {\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ - любые две массы, $G {\ displaystyle G}$ $G$ - это гравитационная постоянная, а $r {\ displaystyle r}$ $r$ - расстояние между двумя точечными массами.

Два тела, вращающиеся вокруг своего центра масс (красный крест)

Используя интегральную форму закона Гаусса, эту формулу можно распространить на любую пару объектов, один из которых чрезвычайно массивнее, чем прочее - как планета относительно любого артефакта человеческого масштаба. Расстояния между планетами и между планетами и Солнцем (на много порядков) больше, чем размеры Солнца и планет. Следовательно, и Солнце, и планеты могут рассматриваться как точечные массы, и одна и та же формула применяется к движениям планет. (Поскольку планеты и естественные спутники образуют пары сравнимой массы, расстояние 'r' измеряется от общих центров масс каждой пары, а не от прямого общего расстояния между центрами планет.)

Если одна масса намного больше другой, ее удобно использовать в качестве эталона для наблюдений и определить как источник гравитационного поля, величина и ориентация которого задаются следующим образом:

g = - GM r 2 r ^ {\ displaystyle \ mathbf {g} = - {GM \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}}}

\ mathbf {g} = - {GM \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}}

где ' $M {\ displaystyle M}$ $M$ ' - это масса источника поля (большего размера), а $r ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$ $\ mathbf {\ hat {r}}$ - единичный вектор, направленный от источника поля к массе образца (меньшей).. Отрицательный знак просто указывает на то, что сила притягивает (указывает назад, к источнику).

Затем сила притяжения $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ вектор на образец массы ' $m {\ displaystyle m}$ $m$ 'может быть выражено как:

F = mg {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g}}

Здесь $g {\ displaystyle \ mathbf {g}}$ $\ mathbf {g}$ - это ускорение свободного падения без трения, которое поддерживается массой образца ' $m {\ displaystyle m}$ $m$ ' под действием гравитационного источника. Это вектор, ориентированный к источнику поля, величина которого измеряется в единицах ускорения. Вектор гравитационного ускорения зависит только от того, насколько массивен источник поля ' $M {\ displaystyle M}$ $M$ ' и от расстояния 'r' до массы образца ' $m {\ displaystyle m }$ $m$ '. Это не зависит от величины малой массы образца.

Эта модель представляет гравитационное ускорение "дальнего поля", связанное с массивным телом. Когда размеры тела нетривиальны по сравнению с интересующими расстояниями, принцип суперпозиции может быть использован для дифференциальных масс для предполагаемого распределения плотности по всему телу, чтобы получить более подробную модель гравитационного поля «ближнего поля». ускорение. Для спутников на орбите модели дальнего поля достаточно для грубых расчетов зависимости высоты от периода, но не для точной оценки будущего местоположения после нескольких орбит.

Более подробные модели включают (среди прочего) выпуклость на экваторе Земли и нерегулярные концентрации массы (из-за ударов метеоров) Луны. Миссия Gravity Recovery and Climate Experiment, запущенная в 2002 году, состоит из двух зондов по прозвищам «Том» и «Джерри», находящихся на полярной орбите вокруг Земли и измеряющих разницу в расстояниях между двумя зондами, чтобы более точно определять гравитационное поле вокруг Земли и отслеживать изменения, происходящие с течением времени. Точно так же миссия Gravity Recovery and Interior Laboratory с 2011 по 2012 год состояла из двух зондов ("Ebb" и "Flow") на полярной орбите вокруг Луны для более точного определения гравитационного поля для будущих навигационных целей. и получить информацию о физическом составе Луны.

Модель гравитации для Земли

Тип гравитационной модели, используемой для Земли, зависит от степени точности, необходимой для данной задачи. Для многих задач, таких как моделирование самолета, может быть достаточно рассматривать силу тяжести как постоянную величину, определяемую как:

g = {\ displaystyle g =}

g=

9,80665 метров (32,1740 футов) в секунду

на основе данных Всемирной геодезической системы 1984 (WGS-84 ), где $g {\ displaystyle g}$ $g$ понимается как указывающий «вниз» в локальной системе координат Справка.

Если нужно смоделировать вес объекта на Земле как функцию широты, можно использовать следующее (стр. 41):

g = g 45 - 1 2 (gpoles - gequator) cos ⁡ (2 φ ⋅ π 180) {\ displaystyle g = g_ {45} - {\ tfrac {1} {2}} (g _ {\ mathrm {poles}} -g _ {\ mathrm {экватор }}) \ cos \ left (2 \, \ varphi \ cdot {\ frac {\ pi} {180}} \ right)}

{\ displaystyle g = g_ {45} - {\ tfrac {1} {2}} (g _ {\ mathrm {poles}} -g _ {\ mathrm {экватор}}) \ соз \ left (2 \, \ varphi \ cdot {\ frac {\ pi} {180}} \ right)}

где

$gpoles {\ displaystyle g _ {\ mathrm {poles}}}$ $g _ {\ mathrm {poles}}$ = 9,832 метра (32,26 фута) в секунду
$g 45 {\ displaystyle g_ {45}}$ $g _ {{45}}$ = 9,806 метра (32,17 фута) в секунду
$gequator {\ displaystyle g _ {\ mathrm {экватор}}}$ $g _ {\ mathrm {equator}}$ = 9,780 метров (32,09 фута) на с
$φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ = широта, от -90 до 90 градусов

Ни один из них не учитывает изменения силы тяжести при изменении высоты, но модель с функцией косинуса учитывает центробежный рельеф, который создается вращением Земли. Что касается самого эффекта притяжения массы, гравитационное ускорение на экваторе примерно на 0,18% меньше, чем на полюсах, из-за того, что оно расположено дальше от центра масс. Если включить вращательную составляющую (как указано выше), сила тяжести на экваторе примерно на 0,53% меньше, чем на полюсах, при этом сила тяжести на полюсах не зависит от вращения. Таким образом, вращательная составляющая изменения из-за широты (0,35%) примерно вдвое значительнее, чем изменение притяжения массы из-за широты (0,18%), но и то, и другое снижает силу гравитации на экваторе по сравнению с силой тяжести на полюсах.

Обратите внимание, что для спутников орбиты не связаны с вращением Земли, поэтому период обращения по орбите не обязательно равен одному дню, но также то, что ошибки могут накапливаться на нескольких орбитах, поэтому важна точность. Для таких задач вращение Земли было бы несущественным, если не моделировать вариации с долготой. Кроме того, изменение силы тяжести с высотой становится важным, особенно для высокоэллиптических орбит.

Гравитационная модель Земли 1996 г. (EGM96 ) содержит 130 676 коэффициентов, которые уточняют модель гравитационного поля Земли (стр. 40). Самый значительный поправочный член примерно на два порядка значительнее, чем следующий по величине член (стр. 40). Этот коэффициент называется членом $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ и учитывает сглаживание полюсов или сжатие Земли.. (Форма, вытянутая на оси симметрии, как в американском футболе, будет называться вытянутой.) Функция гравитационного потенциала может быть записана для изменения потенциальной энергии для единицы массы, перенесенной из бесконечности в близость к Земле. Взятие частных производных этой функции по системе координат затем разрешит компоненты направления вектора гравитационного ускорения как функцию местоположения. Затем, при необходимости, можно включить компонент, связанный с вращением Земли, на основе сидерического дня относительно звезд (≈366,24 дня / год), а не солнечного дня ( ≈365,24 дня / год). Этот компонент перпендикулярен оси вращения, а не поверхности Земли.

Аналогичную модель с поправкой на геометрию и гравитационное поле Марса можно найти в публикации NASA SP-8010.

барицентрическое гравитационное ускорение в точке в космосе равно задается:

g = - GM r 2 r ^ {\ displaystyle \ mathbf {g} = - {GM \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}}}

\ mathbf {g} = - {GM \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}}

где:

M - масса притягивающего объекта, $r ^ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ hat {r}}}$ $\ scriptstyle \ mathbf {\ hat {r}}$ - единичный вектор от центра масс притягивающего объекта до центра масс ускоряемого объекта, r - расстояние между двумя объектами, а G - гравитационная постоянная.

Когда этот расчет выполняется для объекты на поверхности Земли или летательные аппараты, которые вращаются вместе с Землей, необходимо учитывать тот факт, что Земля вращается, и из этого следует вычесть центробежное ускорение. Например, приведенное выше уравнение дает ускорение на уровне 9,820 м / с, когда GM = 3,986 × 10 м / с и R = 6,371 × 10 м. Центростремительный радиус равен r = R cos (φ), а единица центростремительного времени составляет приблизительно (день / 2π), уменьшает его для r = 5 × 10 метров до 9,79379 м / с, что ближе к наблюдаемому значению.

Общая теория относительности

Согласно теории Эйнштейна общей теории относительности, гравитация - это атрибут искривленного пространства-времени, а не силы, распространяемой между телами.. В теории Эйнштейна массы искажают пространство-время в непосредственной близости от них, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Гравитационная сила - это фиктивная сила. Ускорение свободного падения отсутствует, поскольку собственное ускорение и, следовательно, четырехкратное ускорение объектов в свободном падении равны нулю. Вместо ускорения объекты в свободном падении движутся по прямым линиям (геодезические ) в искривленном пространстве-времени.

Ускорение свободного падения

Содержание

Связь с Универсальным Законом

Модель гравитации для Земли

Общая теория относительности

См. Также

Ссылки