Ньютоновский потенциал

В математике, Ньютоновский потенциал или Ньютоновский потенциал является оператором в векторном исчислении , который действует как обратный к отрицательному лапласиану для функций, которые являются гладкими и достаточно быстро затухают на бесконечности. Таким образом, это фундаментальный объект исследования теории потенциала. По своей общей природе, это сингулярный интегральный оператор, определяемый сверткой с функцией, имеющей математическую особенность в начале координат, ядро ​​Ньютона Γ, которое является фундаментальное решение уравнения уравнения Лапласа. Он назван в честь Исаака Ньютона, который первым открыл его и доказал, что это была гармоническая функция в частном случае трех переменных, где она служила фундаментальный гравитационный потенциал в законе всемирного тяготения Ньютона. В современной теории потенциала ньютоновский потенциал вместо этого рассматривается как электростатический потенциал.

Ньютоновский потенциал компактно поддерживаемой интегрируемой функции ƒ определяется как свертка

$u\; (x)\; =\; \Gamma \; \ast \; f\; (x)\; =\; \int \; R\; d\; \Gamma \; (x\; -\; y)\; f\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; \backslash \; Gamma\; *\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; (xy)\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$

где ядро ​​Ньютона Γ в размерности d определяется как

$\Gamma \; (x)\; =\; \{1\; 2\; \pi \; журнал\; \; |\; х\; |\; d\; =\; 2\; 1\; d\; (2\; -\; d)\; \omega \; d\; |\; х\; |\; 2\; -\; дд\; \ne \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; log\; \{|\; x\; |\}\; d\; =\; 2\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{d\; (2-d)\; \backslash \; omega\; \_\; \{d\}\}\}\; |\; x\; |\; ^\; \{2-d\}\; d\; \backslash \; neq\; 2.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Здесь ω d равно объем блока d-ball (иногда условные обозначения могут отличаться; сравните (Evans 1998) и (Gilbarg Trudinger 1983)). Например, для $d\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; 3\}$мы имеем $\Gamma \; (x)\; =\; -\; 1\; /\; (4\; \pi \; |\; x\; |).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; -\; 1\; /\; (4\; \backslash \; pi\; |\; x\; |).\}$

.

Ньютоновский потенциал w уравнения ƒ является решением уравнения Пуассона

$\Delta \; w\; =\; f,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; w\; =\; f,\; \backslash ,\}$

что означает, что операция взятия ньютоновского потенциала функции является частично обратной по отношению к оператору Лапласа. Решение не является единственным, так как добавление любой гармонической функции к w не повлияет на уравнение. Этот факт может быть использован для доказательства существования и единственности решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона в подходящих регулярных областях и для функций с подходящим хорошим поведением ƒ: сначала применяется ньютоновский потенциал для получения решения, а затем корректирует, добавляя гармоническую функцию, чтобы получить правильные граничные данные.

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка

$\Gamma \; \ast \; \mu \; (x)\; =\; \int \; R\; d\; \Gamma \; (x\; -\; y)\; d\; \mu \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; *\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}\; \backslash \; Gamma\; (xy)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (y)\}$

, когда μ - это мера Радона с компактным носителем. Он удовлетворяет уравнению Пуассона

$\Delta \; w\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; w\; =\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$

в смысле распределений. Более того, когда мера положительна, ньютоновский потенциал субгармонический на R.

Если ƒ является компактно поддерживаемой непрерывной функцией ( или, в более общем смысле, конечная мера), которая инвариантна относительно вращения, то свертка матрицы с Γ удовлетворяет для x вне носителя

$f\; \ast \; \Gamma \; (x)\; =\; \lambda \; \Gamma \; (x),\; \lambda \; =\; \int \; R\; df\; (y)\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; *\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; Gamma\; (x),\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy.\}$

В размерности d = 3 это сводится к теореме Ньютона о том, что потенциальная энергия малой массы вне гораздо большего сферически-симметричного распределения масс такая же, как если бы вся масса большего объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мера μ связана с распределением массы на достаточно гладкой гиперповерхности S (a из класса Гельдера C), которое разделяет R на две области D + и D -, то ньютоновский потенциал μ называется потенциалом простого слоя . Потенциалы простого слоя являются непрерывными и решают уравнение Лапласа, за исключением S. Они естественным образом появляются при исследовании электростатики в контексте электростатического потенциала, связанного с распределение заряда по замкнутой поверхности. Если dμ = ƒ dH - произведение непрерывной функции на S с (d - 1) -мерной мерой Хаусдорфа, то в точке y множества S нормальная производная претерпевает скачок (y) при пересечении слоя. Кроме того, нормальная производная w является четко определенной непрерывной функцией на S. Это делает простые слои особенно подходящими для исследования задачи Неймана для уравнения Лапласа.

• Потенциал двойного слоя
• Функция Грина
• Потенциал Рисса
• Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

• Evans, LC ( 1998), Уравнения в частных производных, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 3-540-41160-7.
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press