Интеграл по объему

редактировать

В математике, в частности, в многомерном исчислении - объемный интеграл относится к интегралу в 3- размерной области, то есть это частный случай множественных интегралов. Объемные интегралы особенно важны в физике для многих приложений, например, для расчета плотности потока.

Содержание

1 В координатах
2 Пример 1
3 См. Также
4 Внешние ссылки

В координатах

Это также может означать тройной интеграл внутри области $D ⊂ R 3 {\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${ \ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ функции $f (x, y, z), {\ displaystyle f (x, y, z),}$ $f (x, y, z),$ и обычно записывается как:

∭ D f (x, y, z) dxdydz. {\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}

{\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}

Объемный интеграл в цилиндрических координатах равен

∭ D f (ρ, φ, z) ρ d ρ d φ dz, {\ displaystyle \ iiint _ {D} f (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}

{\ displaystyle \ iiint _ {D} f (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}

и интеграл объема в сферических координатах (с использованием соглашения ISO для углов с $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ в качестве азимута и $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , измеренный от полярной оси (подробнее см. соглашения )) имеет вид

∭ D f (r, θ, φ) r 2 sin ⁡ θ drd θ d φ. {\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}

{\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}

Пример 1

Интегрирование уравнения $f (x, y, z) = 1 {\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$ $f(x,y,z)=1$ по единичному кубу дает следующий результат:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 dxdydz = ∫ 0 1 ∫ 0 1 (1–0) dydz = ∫ 0 1 (1–0) dz = 1–0 = 1 {\ displaystyle \ int _ {0 } ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ { 0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ { 1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

Таким образом, объем блока куб равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности на единичном кубе, тогда объемный интеграл даст полную массу куба. Например, для функции плотности:

{f: R 3 → R (x, y, z) ⟼ x + y + z {\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ (x, y, z) \ longmapsto x + y + z \ end {ases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ (x, y, z) \ longmapsto x + y + z \ end {cases}}}

общая масса куба:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 (Икс + Y + Z) dxdydz знак равно ∫ 0 1 ∫ 0 1 (1 2 + Y + Z) dydz = ∫ 0 1 (1 + Z) dz = 3 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ { 1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({ \ frac {1} {2}} + y + z \ right) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2 }}}

См. также

Математический портал

Внешние ссылки

, Энциклопедия of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. «Интеграл по объему». MathWorld.