Электрический потенциал

Линейный интеграл электрического поля

Электрический потенциал вокруг двух противоположно заряженных проводящих сфер. Фиолетовый представляет наивысший потенциал, желтый ноль, а голубой - самый низкий потенциал. Линии электрического поля показаны перпендикулярно поверхности каждой сферы.

электрический потенциал
Общие символы	В, φ
единица СИ	вольт
Другое единицы	статвольт
В основных единицах СИ	В = кг⋅м⋅А⋅с
Обширный ?	да
Размерность	MLTI

электрический потенциал (также называемый потенциалом электрического поля, падением потенциала или электростатическим потенциалом ) - это количество работы, необходимое для перемещения единицы электрического заряда из контрольная точка к определенной точке в электрическом поле без ускорения. Как правило, опорная точка является Земли или точка бесконечность, хотя любая точка может быть использована.

В классической электростатике электростатическое поле представляет собой векторную величину, которая выражается как градиент электростатического потенциала, который представляет собой скалярную величину, обозначенную V или иногда φ, равная электрической потенциальной энергии любой заряженной частицы в любом месте (измеряется в джоулях ), деленной на заряд этой частица (измеряется в кулонах ). Разделив заряд частицы, получается частное, которое является свойством самого электрического поля. Вкратце, электрический потенциал - это электрическая потенциальная энергия на единицу заряда.

Это значение может быть вычислено либо в статическом (неизменном во времени), либо в динамическом (меняющемся во времени) электрическом поле в определенное время в единицах джоулей на кулон (Дж⋅С) или вольт (В). Предполагается, что электрический потенциал на бесконечности равен нулю.

В электродинамике, когда присутствуют изменяющиеся во времени поля, электрическое поле не может быть выражено только через скалярный потенциал. Вместо этого электрическое поле может быть выражено как скалярным электрическим потенциалом, так и векторным магнитным потенциалом. Электрический потенциал и магнитный векторный потенциал вместе образуют четыре вектора, так что два вида потенциала смешиваются при преобразованиях Лоренца.

На практике электрический потенциал всегда является непрерывной функцией. в космосе; В противном случае его пространственная производная даст поле бесконечной величины, что практически невозможно. Даже идеализированный точечный заряд имеет потенциал 1 / r, который непрерывен везде, кроме источника. электрическое поле не является непрерывным через идеализированный поверхностный заряд, но оно не является бесконечным в любой точке. Следовательно, электрический потенциал непрерывен на идеализированном поверхностном заряде. Идеализированный линейный заряд имеет потенциал ln (r), который непрерывен везде, кроме линейного заряда.

Содержание

1 Введение
2 Электростатика
- 2.1 Электрический потенциал из-за точечного заряда
3 Обобщение на электродинамику
4 Единицы
5 Гальванический потенциал в зависимости от электрохимического потенциала
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Введение

Классическая механика исследует такие понятия, как сила, энергия, потенциал и др. Сила и потенциальная энергия напрямую связаны. Чистая сила, действующая на любой объект, вызовет ускорение. По мере того как объект движется в направлении, в котором сила ускоряет его, его потенциальная энергия уменьшается. Например, гравитационная потенциальная энергия пушечного ядра на вершине холма больше, чем у основания холма. По мере того, как он скатывается вниз, его потенциальная энергия уменьшается, переводя в движение кинетическую энергию.

Можно определить потенциал определенных силовых полей так, чтобы потенциальная энергия объекта в этом поле зависела только от положения объекта по отношению к полю. Два таких силовых поля - это гравитационное поле и электрическое поле (в отсутствие изменяющихся во времени магнитных полей). Такие поля должны влиять на объекты из-за внутренних свойств объекта (например, масса или заряд) и положения объекта.

Объекты могут обладать свойством, известным как электрический заряд, и электрическое поле воздействует на заряженные объекты. Если заряженный объект имеет положительный заряд, сила будет направлена в направлении вектора электрического поля в этой точке, а если заряд отрицательный, сила будет в противоположном направлении. Величина силы определяется величиной заряда, умноженной на величину вектора электрического поля.

Электростатика

Электрический потенциал отдельных положительных и отрицательных точечных зарядов показан в цветном диапазоне от пурпурного (+) до желтого (0) и голубого (-). Круговые контуры - это эквипотенциальные линии. Линии электрического поля покидают положительный заряд и переходят в отрицательный.

Электрический потенциал вблизи двух противоположных точечных зарядов.

Электрический потенциал в точке r в статическом электрическом поле Eзадается линейным интегралом

$VE = - ∫ CE ⋅ d ℓ {\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}} = - \ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \,}$ $V_ \ mathbf {E} = - \ int_C \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ boldsymbol {\ ell} \,$

где C - произвольный путь, соединяющий точку с нулевым потенциалом с r . Когда curl ∇× Eравен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C, а только от его конечных точек. В этом случае электрическое поле является консервативным и определяется градиентом потенциала:

$E = - ∇ V E. {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V _ {\ mathbf {E}}. \,}$ $\ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V_ \ mathbf {E}. \,$

Тогда по закону Гаусса потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона уравнение :

∇ ⋅ E = ∇ ⋅ (- ∇ VE) = - ∇ 2 VE = ρ / ε 0, {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (- \ mathbf {\ nabla} V _ {\ mathbf {E}} \ right) = - \ nabla ^ {2} V _ {\ mathbf {E}} = \ rho / \ varepsilon _ {0}, \,}

\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (- \ mathbf {\ nabla} V_ \ mathbf {E} \ right) = - \ nabla ^ 2 V_ \ mathbf { E} = \ rho / \ varepsilon_0, \,

где ρ - общая плотность заряда (включая связанный заряд ), а ∇ · обозначает расхождение.

Концепция электрический потенциал тесно связан с потенциальной энергией. испытательный заряд q имеет электрическую потенциальную энергию UE, заданную как

U E = q V. {\ displaystyle U _ {\ mathbf {E}} = q \, V. \,}

U_ \ mathbf {E} = q \, V. \,

Потенциальная энергия, а следовательно, и электрический потенциал определяется только с точностью до аддитивной константы: нужно произвольно выбрать положение, в котором потенциал энергия и электрический потенциал равны нулю.

Эти уравнения нельзя использовать, если rot ∇× E≠ 0, т. Е. В случае неконсервативного электрического поля (вызванного изменяющимся магнитным полем ; см. Уравнения Максвелла ). Обобщение электрического потенциала на этот случай описано ниже.

Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом

Электрический потенциал, создаваемый зарядом Q, равен V = Q / (4πε o r). Разные значения Q будут давать разные значения электрического потенциала V (показано на изображении).

Наблюдается, что электрический потенциал, возникающий из точечного заряда Q на расстоянии r от заряда, составляет

VE = 1 4 π ε 0 Q р, {\ Displaystyle V _ {\ mathbf {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}}, \,}

V_ \ mathbf {E} = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {Q} {r}, \,

где ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. $VE {\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}}}$ известен как Кулоновский потенциал .

Электрический потенциал для системы точечных зарядов равен сумме индивидуальных потенциалов точечных зарядов. Этот факт значительно упрощает расчеты, поскольку сложение потенциальных (скалярных) полей намного проще, чем добавление электрических (векторных) полей. В частности, потенциал набора дискретных точечных зарядов q i в точках riстановится

V E (r) = 1 4 π ε 0 ∑ i q i | г - г я |, {\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {i} {\ frac {q_ { i}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} |}}, \,}

{\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ sum _ {i} {\ frac {q_ {i}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} |}}, \,}

и потенциал непрерывного распределения заряда ρ (r ) становится

VE (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r ′) | г - г '| d 3 r ′. {\ displaystyle V _ {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r } ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} d ^ {3} r '. \,}

V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'.\,

Уравнения, приведенные выше для электрического потенциала (и все используемые здесь уравнения) имеют формы, требуемые единицами СИ. В некоторых других (менее распространенных) системах единиц, таких как CGS-Gaussian, многие из этих уравнений будут изменены.

Обобщение на электродинамику

Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что верно, когда есть изменяющиеся во времени электрические поля, и наоборот), невозможно просто описать электрическое поле в терминах скалярного потенциала V, потому что электрическое поле больше не консервативное : $∫ CE ⋅ d ℓ {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}}}$ $\ textstyle \ int_C \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ boldsymbol {\ ell}$ зависит от пути, потому что $∇ × E ≠ 0 {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E} \ neq \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E} \ neq \ mathbf {0}$ (Закон индукции Фарадея ).

Вместо этого можно по-прежнему определять скалярный потенциал, также включая магнитный векторный потенциал A. В частности, A определяется для удовлетворения:

B = ∇ × A, {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}, \,}

\ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}, \,

, где B - магнитное поле. Поскольку расходимость магнитного поля всегда равна нулю из-за отсутствия магнитных монополей, такое A всегда можно найти. Учитывая это, величина

F = E + ∂ A ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {E} + {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

\ mathbf {F} = \ mathbf {E} + \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}

является консервативным полем по закону Фарадея, поэтому можно написать

E = - ∇ V - ∂ A ∂ t, {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla } V - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}, \,}

\ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}, \,

где V - скалярный потенциал, определяемый консервативным полем F.

Электростатический потенциал - это просто частный случай этого определения, где A не зависит от времени. С другой стороны, для изменяющихся во времени полей

- ∫ ab E ⋅ d ℓ ≠ V (b) - V (a), {\ displaystyle - \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {E } \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ neq V _ {(b)} - V _ {(a)}, \,}

- \ int_a ^ b \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ b oldsymbol {\ ell} \ neq V _ {(b)} - V _ {(a)}, \,

в отличие от электростатики.

Единицы

Производная единица СИ электрического потенциала - это вольт (в честь Алессандро Вольта ), который Вот почему разница в электрическом потенциале между двумя точками известна как напряжение. Старые агрегаты сегодня используются редко. Варианты системы единиц сантиметр – грамм – секунда включали ряд различных единиц для электрического потенциала, включая абвольт и статвольт.

потенциал Гальвани в зависимости от электрохимического потенциала.

Внутри металлов (и других твердых тел и жидкостей) на энергию электрона влияет не только электрический потенциал, но и конкретная атомная среда, в которой он находится. Когда вольтметр связан между двумя разными типами металла, он измеряет не разность электрических потенциалов, а вместо этого разность потенциалов, скорректированную для различных атомных сред. Величина, измеренная вольтметром, называется электрохимическим потенциалом или уровнем Ферми, а чистый нескорректированный электрический потенциал V иногда называют потенциалом Гальвани $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Термины «напряжение» и «электрический потенциал» несколько неоднозначны, поскольку на практике они могут относиться к любому из них в разных контекстах.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

На Викискладе есть материалы, связанные с Электрический потенциал.