Плотность заряда

редактировать

Электрический заряд на объем, длину или площадь

В электромагнетизме, заряд плотность - это количество электрического заряда на единицу длины, площади или объема. Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) - это количество заряда на единицу объема, измеренное в системе SI в кулонах на кубический метр (См · м) в любой точке объема. Плотность поверхностного заряда (σ) - это количество заряда на единицу площади, измеренное в кулонах на квадратный метр (См · м), в любой точке поверхностного распределения заряда на двумерной поверхности. Линейная плотность заряда (λ) - это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (См · м), в любой точке линейного распределения заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и массовая плотность, плотность заряда может изменяться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения $x {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ ${\ boldsymbol {x}}$ , как жидкость, и $ρ (x) {\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {x}})}$ ${\ displaystyle \ rho ( {\ boldsymbol {x}})}$ , $σ (x) {\ displaystyle \ sigma ({\ boldsymbol {x }})}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ boldsymbol {x}})}$ и $λ (x) {\ displaystyle \ lambda ({\ boldsymbol {x}})}$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ boldsymbol {x}})}$ обычно рассматриваются как непрерывные распределения заряда., хотя все реальные распределения заряда состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может изменяться только в том случае, если электрический ток заряда течет в объем или из него. Это выражается уравнением неразрывности, которое связывает скорость изменения плотности заряда $ρ (x) {\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {x}})}$ ${\ displaystyle \ rho ( {\ boldsymbol {x}})}$ и плотность тока $J (x) {\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} ({\ boldsymbol {x}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} ({\ boldsymbol {x}})}$ .

Поскольку весь заряд переносится субатомными частиц, которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным при малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. Например, заряд в электрически заряженном металлическом объекте состоит из электронов проводимости, беспорядочно движущихся в кристаллической решетке металла. Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из ионов на поверхности объектов, а пространственный заряд в вакуумной трубке складывается облака свободных электронов, беспорядочно движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна количеству мобильных носителей заряда (электронов, ионов и т. Д.) На единицу. объем. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд частиц. Однако поскольку элементарный заряд на электроне настолько мал (1,6⋅10 Кл) и их так много в макроскопическом объеме (в кубическом сантиметре меди содержится около 10 электронов проводимости), Непрерывное приближение очень точное при применении к макроскопическим объемам и даже микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.

На атомных масштабах, из-за принципа неопределенности из квантовой механики заряженная частица не имеет точного положения, но представлена распределением вероятностей , поэтому заряд отдельной частицы не концентрируется в одной точке, а «размазывается» в пространстве и действует как истинное непрерывное распределение заряда. Это значение терминов «распределение заряда» и «плотность заряда», используемых в химии и химическом связывании. Электрон представлен волновой функцией $ψ (x) {\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {x}})}$ ${\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {x}})}$ , квадрат которой пропорционален вероятности обнаружения электрон в любой точке $x {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ ${\ boldsymbol {x}}$ в пространстве, поэтому $| ψ (x) | 2 {\ displaystyle | \ psi ({\ boldsymbol {x}}) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ psi ({\ boldsymbol {x}}) | ^ {2}}$ пропорционально плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями, которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Непрерывные заряды
2 Свободный, связанный и общий заряд
- 2.1 Общие плотности заряда
- 2.2 Связанный заряд
- 2.3 Плотность свободного заряда
3 Однородный заряд плотность
4 Дискретные заряды
5 Плотность заряда в специальной теории относительности
6 Плотность заряда в квантовой механике
7 Применение
8 См. также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определения

Непрерывные заряды

Непрерывное распределение заряда. Объемная плотность заряда ρ - это количество заряда на единицу объема (трехмерное), поверхностная плотность заряда σ - это количество на единицу площади поверхности (кружок) с внешней единичной нормалью n̂, d- дипольный момент между двумя точечными зарядами, их объемная плотность - это плотность поляризации P. Вектор положения r- точка для вычисления электрического поля ; r′- точка в заряженном объекте.

Ниже приведены определения для непрерывного распределения заряда.

Линейная плотность заряда - это отношение бесконечно малого электрического заряда dQ (единица СИ: C ) к бесконечно малому линейному элементу,

λ q = d Q d ℓ, {\ displaystyle \ lambda _ {q} = {\ frac {dQ} {d \ ell}} \,, \ quad}

\ lambda _ {q} = {\ frac {dQ} {d \ ell}} \,, \ quad

аналогично поверхностная плотность заряда использует площадь поверхности элемент dS

σ q = d Q d S, {\ displaystyle \ sigma _ {q} = {\ frac {dQ} {dS}} \,, \ quad}

\ sigma _ {q} = {\ frac {dQ} {dS}} \,, \ quad

и объемная плотность заряда использует элемент volume dV

ρ q = d Q d V, {\ displaystyle \ rho _ {q} = {\ frac {dQ} {dV} } \,, \ quad}

\ rho _ {q} = {\ frac {dQ} {dV}} \,, \ quad

Интегрирование определений дает полный заряд Q области в соответствии с интегралом по линии линейной плотности заряда λ q(r) по линии или 1d кривой C,

Q = ∫ L λ q (r) d ℓ {\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {L} \ lambda _ {q} (\ mathbf {r}) \, d \ ell}

{\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {L} \ лямбда _ {q} (\ mathbf {r}) \, d \ ell}

аналогично a поверхностный интеграл плотности поверхностного заряда σ q(r) над поверхностью S,

Q = ∫ S σ q (r) d S {\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {S} \ sigma _ {q} (\ mathbf {r}) \, dS}

{\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {S} \ sigma _ {q} (\ mathbf {r}) \, dS}

и объемный интеграл от объемной плотности заряда ρ q(r) по объему V,

Q = ∫ V ρ q (r) d V {\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {V} \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, dV}

{\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {V} \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, dV}

, где нижний индекс q указывает, что плотность предназначена для электрического заряда, а не других плотностей, таких как массовая плотность, числовая плотность, плотность вероятности, и предотвращает конфликт со многими другими использованиями λ, σ, ρ в электромагнетизме для длины волны, удельное электрическое сопротивление и проводимость.

В пределах c В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ, σ, ρ. Другие обозначения могут включать: ρ ℓ, ρ s, ρ v, ρ L, ρ S, ρ V и т. д.

Общий заряд, разделенный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда:

⟨λ q⟩ = Q ℓ, ⟨σ q⟩ = QS, ⟨ρ q⟩ = QV. {\ displaystyle \ langle \ lambda _ {q} \ rangle = {\ frac {Q} {\ ell}} \,, \ quad \ langle \ sigma _ {q} \ rangle = {\ frac {Q} {S} } \,, \ quad \ langle \ rho _ {q} \ rangle = {\ frac {Q} {V}} \,.}

\ langle \ lambda _ { q} \ rangle = {\ frac {Q} {\ ell}} \,, \ quad \ langle \ sigma _ {q} \ rangle = {\ frac {Q} {S}} \,, \ quad \ langle \ rho _ {q} \ rangle = {\ frac {Q} {V}} \,.

Свободный, связанный и общий заряд

В диэлектрические материалы, общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды создают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле Eи поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выровнять их, общее накопление заряда от ориентации диполей является связанный заряд. Они называются связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрическом материале заряды - это электроны, связанные с ядрами.

Свободные заряды - это избыточные заряды, которые могут перемещаться в электростатическое равновесие, т.е. когда заряды не движутся, а результирующее электрическое поле не зависит от времени или составляет электрические токи.

Общие плотности заряда

С точки зрения объемных плотностей заряда, общая плотность заряда составляет:

ρ = ρ f + ρ b. {\ displaystyle \ rho = \ rho _ {f} + \ rho _ {b} \,.}

\ rho = \ rho _ {f} + \ rho _ {b} \,.

для поверхностных плотностей заряда:

σ = σ f + σ b. {\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {f} + \ sigma _ {b} \,.}

\ sigma = \ sigma _ {f} + \ sigma _ {b} \,.

где нижние индексы «f» и «b» обозначают «свободный» и «связанный» соответственно.

Связанный заряд

Связанный поверхностный заряд - это заряд, накопленный на поверхности диэлектрика, определяемый дипольным моментом, перпендикулярным поверхности:

qb = d ⋅ n ^ | s | {\ displaystyle q_ {b} = {\ frac {\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} {| \ mathbf {s} |}}}

{\ displaystyle q_ {b} = {\ frac {\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {\ hat {n) }}} {| \ mathbf {s} |}}}

где s - расстояние между точечными зарядами, составляющими диполь, $d {\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ - электрический дипольный момент, $n ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ ${\ mathbf {{\ hat {n}}}}$ - это единичный вектор нормали к поверхности.

Принимая бесконечно малые :

d q b = d d | s | ⋅ n ^ {\ displaystyle dq_ {b} = {\ frac {d \ mathbf {d}} {| \ mathbf {s} |}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}}

{\ displaystyle dq_ {b} = {\ frac {d \ mathbf { d}} {| \ mathbf {s} |}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}}

и разделив на дифференциальный элемент поверхности dS дает плотность связанного поверхностного заряда:

σ b = dqbd S = dd | s | d S ⋅ n ^ знак равно d d d V ⋅ n ^ = P ⋅ n ^. {\ displaystyle \ sigma _ {b} = {\ frac {dq_ {b}} {dS}} = {\ frac {d \ mathbf {d}} {| \ mathbf {s} | dS}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = {\ frac {d \ mathbf {d}} {dV}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n} } \,.}

{\ displaystyle \ sigma _ {b} = {\ frac {dq_ {b}} {dS}} = {\ frac {d \ mathbf {d}} {| \ mathbf {s} | dS}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = {\ frac {d \ mathbf {d}} {dV}} \ cdot \ mathbf {\ hat { n}} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \,.}

где P - плотность поляризации, то есть плотность электрических дипольных моментов в материале, а dV - дифференциал элемент объема.

Используя теорему о расходимости, плотность связанного объемного заряда в материале равна

$qb = ∭ ρ bd V = - {\ displaystyle q_ {b} = \ iiint \ rho _ {b} dV = -}$ $q_ {b} = \ iiint \ rho _ {b} dV = -$ $\ oiint$ $S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}$ ${\ scriptstyle S}$ $P ⋅ n ^ d S = - ∭ ∇ ⋅ P d V {\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf { \ hat {n}} dS = - \ iiint \ nabla \ cdot \ mathbf {P} dV}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} dS = - \ iiint \ nabla \ cdot \ mathbf {P} dV}$

, следовательно:

ρ b = - ∇ ⋅ P. {\ displaystyle \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \,.}

\ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot {\ mathbf {P}} \,.

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях, один конец находится в объеме объект, другой на поверхности.

Более строгий вывод дается ниже.

Выведение связанной поверхностной и объемной плотности заряда из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)
электрический потенциал, обусловленный дипольным моментом d : $φ = 1 4 π ϵ 0 (r - r ′) ⋅ d \| г - г '\| 3 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ cdot \ mathbf {d} } {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\| ^ {3}}}}$ $\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{3}}}$ Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечно много бесконечно малых диполей $dd = п d V = P d 3 r {\ displaystyle d \ mathbf {d} = \ mathbf {P} dV = \ mathbf {P} d ^ {3} \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {d} = \ mathbf {P} dV = \ mathbf {P} d ^ {3} \ mathbf {r}}$ где dV = d r ′ - элемент объема, поэтому потенциал - это интеграл объема над объектом: $φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ (r - r ′) ⋅ P \| г - г '\| 3 d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ cdot \ mathbf {P}} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\| ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r'}}$ $\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}$ Поскольку $∇ ′ ( 1 \| r - r ′ \|) ≡ (ex ∂ ∂ x ′ + ey ∂ ∂ y ′ + ez ∂ ∂ z ′) (1 \| r - r ′ \|) = r - r ′ \| г - г '\| 3 {\ displaystyle \ nabla '\ left ({\ frac {1} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|}} \ right) \ Equiv \ left (\ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x '}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ partial} {\ partial y'}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z '}} \ right) \ left ({\ frac {1} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|}} \ right) = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \| ^ {3}}}}$ $\nabla '\left({\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{3}}}$ где ∇ ′ - градиент в координаты r ′, $φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ P ⋅ ∇ ′ (1 \| r - r ′ \|) d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 } {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint \ mathbf {P} \ cdot \ nabla '\ left ({\ frac {1} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|} } \ right) d ^ {3} \ mathbf {r '}}$ $\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\right)d^{3}\mathbf {r'}$ интегрируя по частям $φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ [∇ ′ ⋅ (P \| r - r ′ \|) - 1 r - r ′ (∇ ′ ⋅ P)] d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint \ left [\ nabla '\ cdot \ left ( {\ frac {\ mathbf {P}} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\|}} \ right) - {\ frac {1} {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}' }} (\ nabla '\ cdot \ mathbf {P}) \ right] d ^ {3} \ mathbf {r '}}$ $\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P})\right]d^{3}\mathbf {r'}$ с использованием теоремы о расходимости: $φ = 1 4 π ϵ 0 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}$ $\ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}$ $\ oiint$ $S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}$ ${\ scriptstyle S}$ $P ⋅ n ^ d S '\| г - г '\| - 1 4 π ϵ 0 ∭ ∇ ′ ⋅ P \| г - г '\| d 3 r ′ {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} dS '} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|}} - {\ гидроразрыв {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {P}} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|}} d ^ {3} \ mathbf {r '}}$ ${\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}d^{3}\mathbf {r'}$ который разделяется на потенциал поверхностного заряда (поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл): $φ знак равно 1 4 π ϵ 0 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}$ $\ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}$ $\ oiint$ $S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}$ ${\ scriptstyle S}$ $σ bd S ′ \| г - г '\| + 1 4 π ϵ 0 ∭ ρ b \| г - г '\| d 3 r ′ {\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {b} dS '} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \|}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {b}} {\| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\|}} d ^ {3} \ mathbf {r'}}$ ${\frac {\sigma _{b}dS'}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}d^{3}\mathbf {r'}$ то есть $σ b = п ⋅ n ^, ρ b = - ∇ ⋅ P {\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \,, \ quad \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \,, \ quad \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$

Выведение связанной поверхностной и объемной плотности заряда из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)

электрический потенциал, обусловленный дипольным моментом d :

φ = 1 4 π ϵ 0 (r - r ′) ⋅ d | г - г '| 3 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ cdot \ mathbf {d} } {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '| ^ {3}}}}

\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}

Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечно много бесконечно малых диполей

dd = п d V = P d 3 r {\ displaystyle d \ mathbf {d} = \ mathbf {P} dV = \ mathbf {P} d ^ {3} \ mathbf {r}}

{\ displaystyle d \ mathbf {d} = \ mathbf {P} dV = \ mathbf {P} d ^ {3} \ mathbf {r}}

где dV = d r ′ - элемент объема, поэтому потенциал - это интеграл объема над объектом:

φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ (r - r ′) ⋅ P | г - г '| 3 d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {(\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ cdot \ mathbf {P}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '| ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r'}}

\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}

Поскольку

∇ ′ ( 1 | r - r ′ |) ≡ (ex ∂ ∂ x ′ + ey ∂ ∂ y ′ + ez ∂ ∂ z ′) (1 | r - r ′ |) = r - r ′ | г - г '| 3 {\ displaystyle \ nabla '\ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \ right) \ Equiv \ left (\ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x '}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ partial} {\ partial y'}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z '}} \ right) \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \ right) = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {3}}}}

\nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}

где ∇ ′ - градиент в координаты r ′,

φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ P ⋅ ∇ ′ (1 | r - r ′ |) d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 } {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint \ mathbf {P} \ cdot \ nabla '\ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |} } \ right) d ^ {3} \ mathbf {r '}}

\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'}

интегрируя по частям

φ = 1 4 π ϵ 0 ∭ [∇ ′ ⋅ (P | r - r ′ |) - 1 r - r ′ (∇ ′ ⋅ P)] d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint \ left [\ nabla '\ cdot \ left ( {\ frac {\ mathbf {P}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ right) - {\ frac {1} {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}' }} (\ nabla '\ cdot \ mathbf {P}) \ right] d ^ {3} \ mathbf {r '}}

\varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P})\right]d^{3}\mathbf {r'}

с использованием теоремы о расходимости:

φ = 1 4 π ϵ 0 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}

\ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}

$\ oiint$

S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}

{\ scriptstyle S}

P ⋅ n ^ d S '| г - г '| - 1 4 π ϵ 0 ∭ ∇ ′ ⋅ P | г - г '| d 3 r ′ {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} dS '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} - {\ гидроразрыв {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {\ nabla '\ cdot \ mathbf {P}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} d ^ {3} \ mathbf {r '}}

{\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}

который разделяется на потенциал поверхностного заряда (поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл):

φ знак равно 1 4 π ϵ 0 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}

\ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}

$\ oiint$

S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}

{\ scriptstyle S}

σ bd S ′ | г - г '| + 1 4 π ϵ 0 ∭ ρ b | г - г '| d 3 r ′ {\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {b} dS '} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {b}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r'}}

{\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}

то есть

σ b = п ⋅ n ^, ρ b = - ∇ ⋅ P {\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \,, \ quad \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \,, \ quad \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}

Плотность свободного заряда

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением в законе Гаусса на электричество; его объемный интеграл - это свободный заряд, заключенный в заряженном объекте, равный чистому потоку поля электрического смещения D, выходящего из объекта:

Φ D = {\ displaystyle \ Phi _ {D} =}

\ Phi _ {D} =

$\ oiint$

S {\ displaystyle {\ scriptstyle S}}

{\ scriptstyle S}

D ⋅ n ^ d S = ∭ ρ fd V {\ displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} dS = \ iiint \ rho _ {f} dV}

{\ displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} dS = \ iiint \ rho _ {f} dV }

Подробнее см. уравнения Максвелла и определяющее соотношение.

Однородная плотность заряда

Для особого случая однородной плотности заряда ρ 0, независимо от положения, т.е. постоянной во всей области материала., уравнение упрощается до:

Q = V ρ 0. {\ displaystyle Q = V \ cdot \ rho _ {0}.}

Q = V \ cdot \ rho _ {0}.

Доказательство этого сразу. Начнем с определения заряда любого объема:

Q = ∫ V ρ q (r) d V. {\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {V} \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, dV.}

{\ displaystyle Q = \ int \ limits _ {V} \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, dV.}

Тогда, по определению однородности, ρ q(r) является константой, обозначенной на ρ q, 0 (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и, таким образом, по свойствам интеграла можно вывести за пределы интеграла, что приведет к:

Q = ρ q, 0 ∫ В d В знак равно ρ 0 В {\ Displaystyle Q = \ rho _ {q, 0} \ int \ limits _ {V} \, dV = \ rho _ {0} V}

Q = \ rho _ {{q, 0}} \ int \ limits _ { V} \, dV = \ rho _ {0} V

итак,

Q = V ρ q, 0. {\ displaystyle Q = V \ cdot \ rho _ {q, 0}.}

Q = V \ cdot \ rho _ {{q, 0}}.

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные заряды

Для одиночного точечного заряда q в позиции r0внутри области трехмерного пространства R, как электрон, объемная плотность заряда может быть выражена с помощью дельта-функции Дирака :

ρ q (r) = q δ (r - r 0) {\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = q \ delta (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} _ {0})}

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = q \ дельта (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0})}

где r - позиция для расчета заряда.

Как всегда, интеграл плотности заряда по области пространства - это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция имеет свойство просеивания для любой функции f:

∫ R d 3 rf (r) δ (r - r 0) = f (r 0) {\ displaystyle \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} f (\ mathbf {r}) \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = f (\ mathbf {r} _ {0})}

\ int _ {R } d ^ {3} {\ mathbf {r}} f ({\ mathbf {r}}) \ delta ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} _ {0}) = f ({ \ mathbf {r}} _ {0})

так дельта-функция гарантирует, что при интегрировании плотности заряда по R общий заряд в R равен q:

Q = ∫ R d 3 r ρ q = ∫ R d 3 rq δ (r - r 0) = q ∫ Р d 3 р δ (г - р 0) знак равно Q {\ Displaystyle Q = \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} \, \ rho _ {q} = \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} \, q \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = q \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = q}

Q = \ int _ {R} d ^ {3} {\ mathbf {r}} \, \ rho _ {q} = \ int _ {R} d ^ {3} {\ mathbf {r}} \, q \ delta ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} _ {0}) = q \ int _ {R} d ^ {3} {\ mathbf {r}} \, \ delta ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} _ {0}) = q

Это можно распространить на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей зарядов для каждого заряда q i в позиции ri, где i = 1, 2,..., N:

ρ Q (r) знак равно ∑ я знак равно 1 N qi δ (r - ri) {\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \!}

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \!}

Дельта-функция для каждого заряда q i в сумма, δ (r− ri), гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает общий заряд в R:

Q = ∫ R d 3 r ∑ i = 1 N qi δ (r - ri) = ∑ i Знак равно 1 N qi ∫ р d 3 р δ (р - ри) знак равно ∑ я знак равно 1 N qi {\ displaystyle Q = \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} \ sum _ {i = 1 } ^ {N} \ q_ {i} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} \ int _ {R} d ^ {3} \ mathbf {r} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} }

Q = \ int _ {R} d ^ {3} {\ mathbf {r}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ q_ {i} \ delta ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r }} _ {i}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ q_ {i} \ int _ {R} d ^ {3} {\ mathbf {r}} \ delta ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} _ {i}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ q_ {i}

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = −e, заряд электрона ), плотность заряда можно выразить через количество носителей заряда в единице объема, n (r ), на

ρ q (r) = q n (r). {\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = qn (\ mathbf {r}) \,.}

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = QN (\ mathbf {r}) \,.}

Подобные уравнения используются для линейной и поверхностной плотности заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности

В специальной теории относительности длина отрезка провода зависит от скорости наблюдателя из-за сокращение длины, поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч описал, как сила магнитного поля токоведущего провода возникает из этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского, чтобы показать «как кажется, что нейтральный провод с током несет чистую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе координат». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, это называется надлежащей плотностью заряда .

. Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока Jпреобразуются вместе как вектор четырех токов при преобразованиях Лоренца.

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда ρ q равна связанной с волновой функцией ψ(r) уравнением

ρ q (r) = q | ψ (r) | 2 {\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = q | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = q | \ psi ( \ mathbf {r}) | ^ {2}}

, где q - заряд частицы, а | ψ ( r ) | = ψ * (r ) ψ (r ) - это функция плотности вероятности, т.е. вероятность на единицу объема частицы, находящейся в r.

. Когда волновая функция нормирована - средний заряд в области r ∈ R равен

Q = ∫ R q | ψ (r) | 2 d 3 р {\ displaystyle Q = \ int _ {R} q | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} \, {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r}}

{\ displaystyle Q = \ int _ {R} q | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} \, {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r}}

где d r - мера интегрирования в трехмерном пространстве позиций.

Приложение

Плотность заряда появляется в уравнении неразрывности для электрического тока, а также в уравнениях Максвелла. Это главный член источника электромагнитного поля, когда распределение заряда перемещается, это соответствует плотности тока. Плотность заряда молекул влияет на химические процессы и процессы разделения. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь. Для процессов разделения, таких как нанофильтрация, плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной.

См. Также

уравнение непрерывности, связывающее плотность заряда и плотность тока
Ионный потенциал
Волна зарядовой плотности

Ссылки

A. Хальперн (1988). 3000 решенных задач по физике. Серия Шаум, Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4.
G. Вон (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
стр. А. Типлер, Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фримен. ISBN 978-0-7167-8964-2.
R.G. Лернер, Г.Л. Тригг (1991). Физическая энциклопедия (2-е изд.). Издатели СКЗ. ISBN 978-0-89573-752-6.
C.B. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Издатели СКЗ. ISBN 978-0-07-051400-3.

Внешние ссылки

[1] - Распределения пространственного заряда