Закон Гаусса для магнетизма

редактировать

Эта статья о законе Гаусса о магнитном поле. Для аналогичных законов, касающихся различных областей, см закона Гаусса и закона Гаусса для тяжести. Чтобы узнать о теореме Гаусса, математической теореме, относящейся ко всем этим законам, см. Теорему о расходимости.

Электромагнетизм
Статьи о

Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

В физике, закон Гаусса для магнетизма является одним из четырех уравнений Максвелла, лежащих в основе классической электродинамики. Он утверждает, что магнитное поле B имеет расходимость, равную нулю, другими словами, что это соленоидальное векторное поле. Это эквивалентно утверждению, что магнитных монополей не существует. Основным элементом магнетизма является магнитный диполь, а не «магнитные заряды». (Если бы монополи когда-либо были обнаружены, закон пришлось бы изменить, как описано ниже.)

Закон Гаусса для магнетизма может быть записан в двух формах: дифференциальной и интегральной. Эти формы эквивалентны по теореме о расходимости.

Название «закон Гаусса для магнетизма» используется не повсеместно. Закон еще называют «Отсутствие свободных магнитных полюсов »; в одной ссылке даже прямо говорится, что у закона «нет названия». Это также называется «требованием поперечности», поскольку для плоских волн требуется, чтобы поляризация была поперечной направлению распространения.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Дифференциальная форма
2 Интегральная форма
3 Векторный потенциал
4 Полевые линии
5 Модификация при наличии магнитных монополей
6 История
7 Численные вычисления
8 См. Также
9 ссылки
10 Внешние ссылки

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для магнетизма:

${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0$

где ∇ обозначает расходимость, а B - магнитное поле.

Интегральная форма

Определение замкнутой поверхности. Слева: некоторые примеры замкнутых поверхностей включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Магнитный поток через любой из этих поверхностей равен нулю. Справа: некоторые примеры незамкнутых поверхностей включают поверхность диска, квадратную поверхность или поверхность полусферы. Все они имеют границы (красные линии) и не полностью охватывают трехмерный объем. Магнитный поток через эти поверхности не обязательно равен нулю.

Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма гласит:

$\ oiint$ ${\ displaystyle \ textstyle _ {S}}$ ${\ displaystyle \ textstyle _ {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$

где S - любая замкнутая поверхность (см. изображение справа), а d S - вектор, величина которого равна площади бесконечно малой части поверхности S, а направление - направленная наружу нормаль к поверхности (см. интеграл поверхности для более подробной информации.).

Левая часть этого уравнения называется чистым потоком магнитного поля от поверхности, а закон Гаусса для магнетизма утверждает, что он всегда равен нулю.

Интегральная и дифференциальная формы закона Гаусса для магнетизма математически эквивалентны из-за теоремы о расходимости. Тем не менее, один или другой может быть более удобным для использования в конкретных вычислениях.

Закон в этой форме гласит, что для каждого элемента объема в пространстве существует точно такое же количество «силовых линий магнитного поля», входящих и выходящих из объема. Никакой общий «магнитный заряд» не может накопиться ни в одной точке космоса. Например, южный полюс магнита имеет такую же силу, как и северный полюс, и свободно плавающие южные полюса без сопровождающих северных полюсов (магнитные монополи) не допускаются. Напротив, это неверно для других полей, таких как электрические поля или гравитационные поля, где общий электрический заряд или масса могут накапливаться в объеме пространства.

Векторный потенциал

Основная статья: Магнитный векторный потенциал

В связи с теоремой разложения Гельмгольца, Ряд Гаусса эквивалентно следующему утверждению:

Существует такое векторное поле A, что

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ набла \ раз \ mathbf {A}}

{\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}

Векторное поле A называется векторным магнитным потенциалом.

Обратите внимание, что существует более одного возможного A, которое удовлетворяет этому уравнению для данного поля B. Фактически, их бесконечно много: любое поле вида ∇ ϕ может быть добавлено на A, чтобы получить альтернативный выбор для A посредством тождества (см. Тождества векторного исчисления ):

{\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {A} = \ набла \ раз (\ mathbf {A} + \ набла \ фи)}

\ nabla \ times {\ mathbf {A}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ phi)

поскольку локон градиента является нулевым векторным полем :

{\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ phi = {\ boldsymbol {0}}}

\ nabla \ times \ nabla \ phi = {\ boldsymbol {0}}

Этот произвол в A называется калибровочной свободой.

Полевые линии

Основная статья: Полевая линия

Магнитное поле В может быть изображена с помощью силовых линий (называемых также линий потока) - то есть, набор кривых, направление соответствует направлению B, и поверхностная плотность которого пропорциональна величине B. Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутую петлю, вечно петляет, никогда не соединяясь полностью с собой, либо простирается до бесконечности.

Модификация при наличии магнитных монополей

Основная статья: Магнитный монополь

Если бы магнитные монополи были открыты, то закон Гаусса для магнетизма утверждал бы, что расходимость B была бы пропорциональна плотности магнитного заряда ρ m, аналогично закону Гаусса для электрического поля. Для нулевой чистой плотности магнитного заряда ( ρ m = 0) результатом является исходная форма закона магнетизма Гаусса.

Модифицированная формула в единицах СИ не является стандартной; в одном варианте, магнитный заряд имеет единицы Webers, в другом она имеет единицы ампер - метры.

Единицы измерения	Уравнение
единицы cgs	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 4 \ pi \ rho _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 4 \ pi \ rho _ {\ mathrm {m}}}$
Единицы СИ ( веберовское соглашение)	${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = \ rho _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = \ rho _ {\ mathrm {m}}}$
Единицы СИ ( ампер - метр конвенция)	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ rho _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ rho _ {\ mathrm {m}}}$

где μ 0 - проницаемость вакуума.

Пока что примеры магнитных монополей оспариваются в ходе обширного поиска, хотя в некоторых статьях сообщается о примерах, соответствующих такому поведению.

История

Идея отсутствия магнитных монополей возникла в 1269 году Петрусом Перегринусом де Марикуром. Его работы сильно повлияли на Уильяма Гилберта, чья работа Де Магнете 1600 года распространила идею дальше. В начале 1800-х годов Майкл Фарадей повторно ввел этот закон, и впоследствии он вошел в уравнения электромагнитного поля Джеймса Клерка Максвелла.

Численный расчет

При численных вычислениях численное решение может не удовлетворять закону Гаусса для магнетизма из-за ошибок дискретизации численных методов. Однако во многих случаях, например, для магнитогидродинамики, важно точно (с точностью до машинной точности) сохранить закон Гаусса для магнетизма. Нарушение закона Гаусса для магнетизма на дискретном уровне приведет к появлению сильной нефизической силы. Ввиду сохранения энергии нарушение этого условия приводит к неконсервативному интегралу энергии, а ошибка пропорциональна расходимости магнитного поля.

Существуют различные способы сохранения закона Гаусса для магнетизма в численных методах, включая методы очистки расходимости, метод ограниченного переноса, формулы на основе потенциала и методы конечных элементов на основе комплекса де Рама, в которых стабильные и сохраняющие структуру алгоритмы строятся на неструктурированных сетках. с конечно-элементными дифференциальными формами.

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки

СМИ, связанные с законом Гаусса для магнетизма, на Викискладе?