Электромагнитный тензор напряжения-энергии

редактировать

В релятивистской физике тензор электромагнитного напряжения-энергии является вклад в тензор энергии-импульса за счет электромагнитного поля . Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и количества движения в пространстве-времени. Электромагнитный тензор напряжения-энергии содержит отрицательный элемент классического тензора напряжений Максвелла, который управляет электромагнитными взаимодействиями.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Единицы СИ
- 1.2 Единицы CGS
2 Алгебраические свойства
3 Законы сохранения
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

единицы СИ

В свободном пространстве и плоском пространстве-времени, электромагнитное напряжение-энергия тензор в единицах СИ is

T μ ν = 1 μ 0 [ F μ α F ν α - 1 4 η μ ν F α β F α β]. {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha } - {\ frac {1} {4}} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ right] \,.}

T ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {\ mu_0} \ left [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ \ nu {} _ {\ alpha} - \ frac {1 } {4} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ right] \,.

где $F μ ν {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {\ mu \ nu}$ - тензор электромагнитного поля, а $η μ ν {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu }}$ $\ eta _ {\ mu \ nu}$ - это метрический тензор Минковского метрической сигнатуры (- + + +). При использовании метрики с подписью (+ - - -) выражение справа от уравнения будет иметь противоположный знак.

Явно в матричной форме:

T μ ν = [1 2 (ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2) S x / c S y / c S z / c S x / c - σ xx - σ xy - σ xz S y / c - σ yx - σ yy - σ yz S z / c - σ zx - σ zy - σ zz], {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ справа) S _ {\ text {x}} / c S _ {\ text {y}} / c S _ {\ text {z}} / c \\ S _ {\ text {x}} / c - \ sigma _ {\ text { xx}} - \ sigma _ {\ text {xy}} - \ sigma _ {\ text {xz}} \\ S _ {\ text {y}} / c - \ sigma _ {\ text {yx}} - \ sigma _ {\ text {yy}} - \ sigma _ {\ text {yz}} \\ S _ {\ text {z}} / c - \ sigma _ {\ text {zx}} - \ sigma _ {\ text {zy}} - \ sigma _ {\ text {zz}} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) S _ {\ text {x}} / c S _ {\ text {y}} / c S _ {\ text {z}} / c \\ S _ {\ text {x}} / c - \ sigma _ {\ text {xx}} - \ sigma _ {\ text {xy}} - \ sigma _ {\ text {xz}} \\ S _ {\ text {y}} / c - \ sigma _ {\ text {yx}} - \ sigma _ { \ text {yy}} - \ sigma _ {\ text {yz}} \\ S _ {\ text {z}} / c - \ sigma _ {\ text {zx}} - \ sigma _ {\ text { zy}} - \ sigma _ {\ text {zz}} \ end {bmatrix}},}

где

S = 1 μ 0 E × B, {\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B},}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B},}

- это вектор Пойнтинга,

σ ij = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j - 1 2 (ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2) δ ij {\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) \ delta _ {i j}}

\ sigma _ {{ij}} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {{\ mu _ {0}}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) \ delta _ {{ij}}

- тензор напряжений Максвелла, а c - скорость света. Таким образом, $T μ ν {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}$ $T ^ {\ mu \ nu}$ выражается и измеряется в единицах давления в системе СИ (паскалях ).

единиц СГС

диэлектрическая проницаемость свободного пространства и проницаемость свободного пространства в сгс-гауссовых единицах

ϵ 0 знак равно 1 4 π, μ 0 знак равно 4 π {\ displaystyle \ epsilon _ {0} = {\ frac {1} {4 \ pi}}, \ quad \ mu _ {0} = 4 \ pi \, }

\ epsilon_0 = \ frac {1} {4 \ pi}, \ quad \ mu_0 = 4 \ pi \,

тогда:

T μ ν = 1 4 π [F μ α F ν α - 1 4 η μ ν F α β F α β]. {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha} - {\ frac {1} {4}} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}] \,.}

T ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {4 \ pi} [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ { \ alpha} - \ frac {1} {4} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}] \,.

и в явной матричной форме:

T μ ν = [1 8 π (E 2 + B 2) S x / c S y / c S z / c S x / c - σ xx - σ xy - σ xz S y / c - σ yx - σ yy - σ yz S z / c - σ zx - σ zy - σ zz] {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {8 \ pi}} (E ^ {2 } + B ^ {2}) S _ {\ text {x}} / c S _ {\ text {y}} / c S _ {\ text {z}} / c \\ S _ {\ text {x}} / c - \ sigma _ {\ text {xx}} - \ sigma _ {\ text {xy}} - \ sigma _ {\ text {xz}} \\ S _ {\ text {y}} / c - \ sigma _ { \ text {yx}} - \ sigma _ {\ text {yy}} - \ sigma _ {\ text {yz}} \\ S _ {\ text {z}} / c - \ sigma _ {\ text { zx}} - \ sigma _ {\ text {zy}} - \ sigma _ {\ text {zz}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {8 \ pi }} (E ^ {2} + B ^ {2}) S _ {\ text {x}} / c S _ {\ text {y}} / c S _ {\ text {z}} / c \\ S _ {\ text { x}} / c - \ sigma _ {\ text {xx}} - \ sigma _ {\ text {xy}} - \ sigma _ {\ text {xz}} \\ S _ {\ text {y}} / c - \ sigma _ {\ text {yx}} - \ sigma _ {\ text {yy}} - \ sigma _ {\ text {yz}} \\ S _ {\ text {z}} / c - \ sigma _ {\ text {zx}} - \ sigma _ {\ text {zy}} - \ sigma _ {\ text {zz}} \ end {bmatrix}}}

где вектор Пойнтинга становится:

S = c 4 π E × B. {\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}.}

{\ displaystyl е \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}.}

Тензор напряжения-энергии для электромагнитного поля в диэлектрическая среда менее изучена и является предметом нерешенных споров между Абрахамом и Минковским.

Элемент $T μ ν {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \!}$ $T ^ { \ му \ ню} \!$ тензора энергии-импульса представляет собой поток μ-й компоненты четырехимпульса электромагнитного поля, $P μ {\ displaystyle P ^ {\ mu} \!}$ $P ^ {\ mu} \!$ , проходя через гиперплоскость ( $x ν {\ displaystyle x ^ {\ nu}}$ $x ^ {\ nu}$ постоянно). Он представляет вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (кривизну пространства-времени) в общей теории относительности.

Алгебраические свойства

Электромагнитный тензор напряжения-энергии имеет несколько алгебраических свойств:

Это симметричный тензор :

T μ ν = T ν μ {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ nu \ mu}}

T ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ nu \ mu}

Тензор $T ν α {\ displaystyle T ^ {\ nu} {} _ {\ alpha}}$ $T ^ {\ nu} {} _ {\ alpha }$ бесследно :

T α α = 0 {\ displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ { \ alpha} = 0}

T ^ {\ alpha} { } _ {\ alpha} = 0

Доказательство

Начиная с

T μ μ = η μ ν T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu } T ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} T ^ {\ mu \ nu}}

Используя явный вид тензора,

T μ μ = 1 4 π [η μ ν F μ α F ν α - η μ ν η μ ν 1 4 F α β F α β] {\ Displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [\ eta _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ alpha } F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha} - \ eta _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {1} {4}} F ^ {\ alpha \ beta } F _ {\ alpha \ beta}]}

{\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [\ eta _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha} - \ eta _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {1} {4}} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta}]}

Понижение индексов и использование того факта, что $η μ ν η μ ν = δ μ μ {\ displaystyle \ e ta ^ {\ mu \ nu} \ eta _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ eta _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu}}$

T μ μ = 1 4 π [F μ α F μ α - δ μ μ 1 4 F α β F α β] {\ Displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ mu \ alpha} - \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} {\ frac {1} {4}} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta}]}

{\ displaystyle T _ {\ mu} ^ { \ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ mu \ alpha} - \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} {\ frac {1 } {4}} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ a lpha \ beta}]}

Затем, используя $δ μ μ = 4 {\ Displaystyle \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} = 4}$ ${\ displaystyle \ дельта _ {\ му} ^ {\ му} = 4}$ ,

T μ μ = 1 4 π [F μ α F μ α - F α β F α β] {\ Displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ mu \ alpha} -F ^ {\ alpha \ beta } F _ {\ alpha \ beta}]}

{\ displaystyle T_ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ mu \ alpha} -F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ альфа \ бета}]}

Обратите внимание, что в первом члене μ и α и просто фиктивные индексы, поэтому мы переименовываем их в α и β соответственно.

T α α знак равно 1 4 π [F α β F α β - F α β F α β] = 0 {\ displaystyle T _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} -F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta}] = 0}

{\ displaystyle T _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {4 \ pi}} [F ^ {\ alpha \ beta} F_ { \ alpha \ beta} -F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta}] = 0}

Плотность энергии положительна -definite :

T 00 ≥ 0 {\ displaystyle T ^ {00} \ geq 0}

T ^ {00} \ ge 0

Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-напряжения в общей теории относительности. След тензора энергии-импульса - скаляр Лоренца ; электромагнитное поле (и в частности электромагнитные волны) не имеет лоренц-инвариантной шкалы энергии, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном итоге связана с безмассовостью фотона.

законов сохранения

Электромагнитный тензор энергии-напряжения позволяет компактно записать законы сохранения линейного импульс и энергия в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-напряжения равна: