Вектор Пойнтинга

Измерение направленного потока электромагнитной энергии Дипольное излучение диполя по вертикали на странице, показывающей напряженность электрического поля (цвет) и вектор Пойнтинга (стрелки) в плоскости страницы.

В физике вектор Пойнтинга представляет собой направленный поток энергии (перенос энергии на единицу площади в единицу времени) электромагнитного поля. Единицей СИ вектора Пойнтинга является ватт на квадратный метр (Вт / м). Он назван в честь первооткрывателя Джона Генри Пойнтинга, который первым получил его в 1884 году. Оливер Хевисайд также независимо открыл его в более общей форме, которая признает свободу добавления завитков произвольного векторное поле к определению.

• 1 Определение
• 2 Интерпретация
• 3 Формулировка в терминах микроскопических полей
• 4 Усредненный по времени вектор Пойнтинга
• 5 Примеры и приложения
  • 5.1 Коаксиальный кабель
  • 5.2 Резистивное рассеивание
  • 5.3 Плоские волны
  • 5.4 Радиационное давление
  • 5.5 Статические поля
• 6 Добавление изгиба векторного поля
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

В оригинальной статье Пойнтинга и во многих учебниках вектор Пойнтинга определяется как

$S\; =\; E\; \times \; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{H\},\}$

, где жирные буквы представляют векторы, а

• E- вектор электрического поля ;
• H- магнитное поле. вектор вспомогательного поля.

This exp рессион часто называют формой Авраама. Вектор Пойнтинга обычно обозначается S или N.

. В «микроскопической» версии уравнений Максвелла это определение должно быть заменено определением в терминах электрического поля E и магнитное поле B(описано далее в статье).

Также возможно объединить электрическое поле смещения Dс магнитным полем B, чтобы получить форму Минковского вектора Пойнтинга, или использовать D и H для построения еще одной версии. Выбор был спорным: Pfeifer et al. подытожить и в определенной степени разрешить многовековой спор между сторонниками форм Авраама и Минковского (см. спор между Абрахамом и Минковским ).

Вектор Пойнтинга представляет собой частный случай вектора потока энергии для электромагнитной энергии. Однако любой тип энергии имеет свое направление движения в пространстве, а также свою плотность, поэтому векторы потока энергии можно определить и для других типов энергии, например, для механической энергии. Вектор Умова – Пойнтинга, открытый Николаем Умовым в 1874 году, описывает поток энергии в жидких и упругих средах в полностью обобщенном виде.

Цепь постоянного тока, состоящая из батареи (В) и резистора (R), показывающая направление вектора Пойнтинга (S, синие стрелки) в окружающем его пространстве вместе с полями, из которых он получен; электрическое поле (E, красные стрелки) и магнитное поле (H, зеленые стрелки). В области вокруг батареи вектор Пойнтинга направлен наружу, указывая на то, что мощность, вытекающая из батареи в поля; в области вокруг резистора вектор направлен внутрь, указывая на мощность поля, протекающую в резистор. В любой плоскости P между батареей и резистором поток Пойнтинга направлен в сторону резистора. Величины (длины) векторов не показаны точно; только направления имеют значение.

Вектор Пойнтинга фигурирует в теореме Пойнтинга (вывод см. в этой статье), в законе сохранения энергии:

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; -\; \nabla \; \cdot \; S\; -\; J\; е\; \cdot \; E,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{J\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{f\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\}$

где Jf- плотность тока свободных зарядов, а u - плотность электромагнитной энергии для линейных, недисперсных материалов, заданных как

$u\; =\; 1\; 2\; (E\; \cdot \; D\; +\; B\; \cdot \; H),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; !,\}$

где

• E- электрическое поле;
• D- поле электрического смещения;
• B- магнитное поле;
• H- дополнительное магнитное поле.

Первый член в правой части представляет собой поток электромагнитной энергии в небольшой объем, а второй член вычитает работу, совершаемую полем над свободными электрическими токами, что, следовательно, y выходит из электромагнитной энергии в виде рассеяния, тепла и т.д. В этом определении связанные электрические токи не включены в этот термин, а вместо этого вносят вклад в S и u.

Для линейных, недисперсных и изотропных (для простоты) материалов определяющие соотношения можно записать как

$D\; =\; \epsilon \; E,\; H\; =\; 1\; \mu \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\},\}$

где

• ε - диэлектрическая проницаемость материала;
• μ - проницаемость материала.

Здесь ε и μ - скалярные действительные постоянные, не зависящие от положения, направления и частоты.

В принципе, это ограничивает теорему Пойнтинга в такой форме полями в вакууме и недисперсными линейными материалами. Обобщение на дисперсные материалы возможно при определенных обстоятельствах за счет дополнительных условий.

«Микроскопическая» (дифференциальная) версия уравнений Максвелла допускает только фундаментальные поля E и B, без встроенной модели материального носителя. Используются только диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вакуума, а не D или H . При использовании этой модели вектор Пойнтинга определяется как

$S\; =\; 1\; \mu \; 0\; E\; \times \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\},\}$

где

• μ0- проницаемость вакуума, ;
• E- электрическое поле;
• B- магнитное поле.

На самом деле это общее выражение вектора Пойнтинга. Соответствующая форма теоремы Пойнтинга -

$\partial \; u\; \partial \; t\; =\; -\; \nabla \; \cdot \; S\; -\; J\; \cdot \; E,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\}$

где J - общая плотность тока и плотность энергии u дается выражением

$u\; =\; 1\; 2\; (\epsilon \; 0\; E\; 2\; +\; 1\; \mu \; 0\; B\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; !,\}$

где ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Оно может быть получено непосредственно из уравнений Максвелла только в терминах полного заряда и тока и закона силы Лоренца.

Два альтернативных определения вектора Пойнтинга равны в вакууме или в немагнитных материалах, где B = μ 0H. Во всех остальных случаях они отличаются тем, что S = (1 / μ 0) E× Bи соответствующие u являются чисто радиационными, поскольку диссипативный член - J⋅ Eпокрывает полный ток, а E× Hопределение имеет вклады от связанных токов, которые затем исключаются из члена диссипации.

Так как только микроскопические поля E и B встречаются при выводе S = (1 / μ 0) E× B, предположения о любом имеющемся материале полностью исключены, а вектор Пойнтинга и теорема универсальны, как в вакууме, так и во всех видах материалов. Это особенно верно для плотности электромагнитной энергии в контраст с "макроскопической" формой E× H.

Силовые линии усредненного по времени вектора Пойнтинга электрического диполя вблизи зеркала создают сложные структуры.

Вышеупомянутая форма для вектора Пойнтинга представляет собой мгновенный поток энергии из-за мгновенных электрических и магнитных полей. Чаще всего проблемы в электромагнетизме решаются выражено в терминах синусоидально изменяющихся полей с заданной частотой. Затем результаты можно применять в более общем плане, например, представляя некогерентное излучение как суперпозицию таких волн на разных частотах и ​​с флуктуирующими амплитудами.

Таким образом, мы бы не рассматривали мгновенные E (t) и H (t), использованные выше, а скорее комплексную (векторную) амплитуду для каждого, которая описывает фаза когерентной волны (а также амплитуда) с использованием обозначения вектор. Эти комплексные векторы амплитуды не являются функциями времени, поскольку они понимаются как относящиеся к колебаниям за все время. Под вектором, например $E\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\}$, понимается синусоидально изменяющееся поле, мгновенная амплитуда которого E ( t) следует действительной части $E\; mej\; \omega \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\; e\; ^\; \{j\; \backslash \; omega\; t\}\}$, где ω - (радиан) частота рассматриваемой синусоидальной волны.

Во временной области видно, что мгновенный поток мощности будет колебаться с частотой 2ω. Но обычно представляет интерес средний поток мощности, в котором эти колебания не учитываются. В приведенной ниже математике это достигается путем интегрирования за полный цикл $T\; =\; 2\; \pi \; /\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; /\; \backslash \; omega\}$. Следующая величина, все еще называемая «вектором Пойнтинга», выражается непосредственно через векторы как:

$S\; m\; =\; 1\; 2\; E\; m\; \times \; H\; m\; \ast ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; ^\; \{*\},\}$

где обозначает комплексное сопряжение. Усредненный по времени поток мощности (например, согласно мгновенному вектору Пойнтинга, усредненному за полный цикл) затем определяется действительной частью $S\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\; \}\}$. Мнимая часть обычно игнорируется, однако она означает «реактивную мощность», такую ​​как помехи из-за стоячей волны или ближнего поля антенны. В единственной электромагнитной плоской волне (а не в стоячей волне, которую можно описать как две такие волны, распространяющиеся в противоположных направлениях), E и H находятся точно в фазы, поэтому $S\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}$- это просто действительное число в соответствии с приведенным выше определением.

Эквивалент $Re\; \; (S\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\})\}$Среднее по времени мгновенного вектора Пойнтинга S может быть показано следующим образом.

$S (t) = E (t) × H (t) = Re (E mej ω t) × Re (H mej ω t) = 1 2 (E mej ω t + E m ∗ e - j ω t) × 1 2 (H mej ω t + H m ∗ e - j ω t) = 1 4 (E m × H m ∗ + E m ∗ × H m + E m × H me 2 j ω t + E m ∗ × H m ∗ e - 2 j ω t) = 1 2 Re (E m × H m ∗) + 1 2 Re (E m × H me 2 j ω t). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {S} (t) = \ mathbf {E} (t) \ times \ mathbf {H} (t) \\ = \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} e ^ {j \ omega t} \ right) \ times \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e ^ {j \ omega t} \ right) \\ = {\ tfrac {1} {2}} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} e ^ {j \ omega t } + \ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} e ^ {- j \ omega t} \ right) \ times {\ tfrac {1} {2}} \! \ left (\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e ^ {j \ omega t} + \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} e ^ {- j \ omega t} \ right) \ \ = {\ tfrac {1} {4}} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} + \ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} + \ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e ^ {2j \ omega t} + \ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm { m}} ^ {*} e ^ {- 2j \ omega t} \ right) \\ = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ { \ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} ^ {*} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m} } \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e ^ {2j \ omega t} \ right) \!. \ end {align}}}$

Среднее значение мгновенного вектора Пойнтинга S с течением времени определяется как:

$⟨S⟩\; =\; 1\; T\; \int \; 0\; TS\; (t)\; dt\; =\; 1\; T\; \int \; 0\; T\; [1\; 2\; Re\; (E\; m\; \times \; H\; m\; \ast )\; +\; 1\; 2\; Re\; (E\; m\; \times \; H\; me\; 2\; j\; \omega \; t)]\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; [\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; m\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{\; E\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\; e\; ^\; \{2j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; dt.\}$

Второй член представляет собой двухчастотную составляющую, имеющую среднее значение ноль, поэтому мы находим:

$⟨S⟩\; =\; Re\; (1\; 2\; E\; m\; \times \; H\; m\; \ast )\; =\; Re\; (S\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{\; S\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\}$

Согласно некоторым соглашениям, коэффициент 1/2 в приведенном выше определении можно не учитывать. Умножение на 1/2 требуется для правильного описания потока мощности, поскольку величины $E\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}$и $H\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}$относятся к пиковым полям осциллирующих величин. Если, скорее, поля описаны в терминах их среднеквадратичных (rms) значений (каждое из которых меньше в $2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\}$), то правильный средний поток мощности получается без умножения на 1/2.

Коаксиальный кабель

Вектор Пойнтинга в коаксиальном кабеле, показан красным.

Например, вектор Пойнтинга в диэлектрике изолятор коаксиального кабеля почти параллелен оси провода (при условии отсутствия полей вне кабеля и длины волны, превышающей диаметр кабеля, включая постоянный ток). Электрическая энергия, подаваемая на нагрузку, полностью проходит через диэлектрик между проводниками. В самих проводниках протекает очень мало энергии, поскольку напряженность электрического поля почти равна нулю. Энергия, протекающая в проводниках, течет в проводники радиально и учитывает потерю энергии на резистивный нагрев проводника. За пределами кабеля энергия также не течет, так как там магнитные поля внутренних и внешних проводников сокращаются до нуля.

Резистивное рассеивание

Если проводник имеет значительное сопротивление, то вблизи поверхности этого проводника вектор Пойнтинга будет наклонен к проводнику и столкнется с ним. Как только вектор Пойнтинга входит в проводник, он изгибается в направлении, почти перпендикулярном поверхности. Это следствие закона Снеллиуса и очень низкой скорости света внутри проводника. Можно дать определение и вычисление скорости света в проводнике. Внутри проводника вектор Пойнтинга представляет поток энергии от электромагнитного поля в провод, вызывая резистивный Джоулев нагрев в проводе. Для вывода, который начинается с закона Снеллиуса, см. Reitz стр. 454.

Плоские волны

В распространяющейся синусоидальной линейно поляризованной электромагнитной плоской волне При фиксированной частоте вектор Пойнтинга всегда указывает в направлении распространения, колеблясь по величине. Усредненная по времени величина вектора Пойнтинга находится, как указано выше:

$⟨S⟩\; =\; 1\; 2\; \eta \; |\; E\; m\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; eta\}\}\; |\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}$

где E m - комплексная амплитуда электрического поля, а η - характеристический импеданс передающей среды, или просто η0 $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\}$377 Ом для плоской волны в свободном пространстве. Это непосредственно следует из приведенного выше выражения для среднего вектора Пойнтинга с использованием векторных величин и того факта, что в плоской волне магнитное поле $H\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}$равно электрическому полю $E\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}$, деленному на η (и, следовательно, точно в фазе).

В оптике усредненное по времени значение излучаемого потока технически известно как энергетическая освещенность, чаще просто интенсивность.

Радиационное давление

Плотность импульса электромагнитного поля равна S / c, где S - величина вектора Пойнтинга, а c - скорость света в свободном пространстве. Радиационное давление , оказываемое электромагнитной волной на поверхность цели, определяется как

$P\; r\; a\; d\; =\; ⟨S⟩\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rad\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\}.\}$

Статические поля

Вектор Пойнтинга в статическом поле, где E - электрическое поле, H - магнитное поле, и S вектор Пойнтинга.

Рассмотрение вектора Пойнтинга в статических полях показывает релятивистский характер уравнения Максвелла и позволяет лучше понять магнитную составляющую силы Лоренца, q (v× B). В качестве иллюстрации рассматривается сопроводительное изображение, которое описывает вектор Пойнтинга в цилиндрическом конденсаторе, который находится в поле H (указывает на страницу), создаваемом постоянным магнитом. Хотя существуют только статические электрические и магнитные поля, вычисление вектора Пойнтинга создает круговой поток электромагнитной энергии по часовой стрелке без начала и конца.

Хотя циркулирующий поток энергии может показаться бессмысленным или парадоксальным, необходимо поддерживать сохранение количества движения. Плотность импульса пропорциональна плотности потока энергии, поэтому циркулирующий поток энергии содержит угловой момент. Это причина магнитной составляющей силы Лоренца, которая возникает при разряде конденсатора. Во время разряда угловой момент, содержащийся в потоке энергии, истощается, поскольку он передается зарядам разрядного тока, пересекающим магнитное поле.

Вектор Пойнтинга встречается в теореме Пойнтинга только благодаря его дивергенции ∇ ⋅ S, то есть Требуется только, чтобы поверхностный интеграл вектора Пойнтинга вокруг замкнутой поверхности описывал чистый поток электромагнитной энергии в замкнутый объем или из него. Это означает, что добавление соленоидального векторного поля (одно с нулевой дивергенцией) к S приведет к другому полю, которое удовлетворяет этому требуемому свойству векторного поля Пойнтинга согласно теореме Пойнтинга. Поскольку дивергенция любого curl равна нулю, можно добавить curl любого векторного поля к вектору Пойнтинга, и результирующее векторное поле S 'по-прежнему будет удовлетворять Теорема Пойнтинга.

Однако теория специальной теории относительности, в которой энергия и импульс определяются локально и инвариантно с помощью тензора энергии-импульса, показывает, что приведенное выше - данное выражение для вектора Пойнтинга является уникальным.

Викицитатная цитата имеет цитаты, связанные с: вектором Пойнтинга

• Беккер, Ричард (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия (1-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Эдминистер, Джозеф; Нахви, Махмуд (2013). Электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-183149-9.