Тождества векторного исчисления

редактировать

Ниже приведены важные тождества, включающие производные и интегралы в векторном исчислении.

Содержание

1 Обозначение оператора
- 1.1 Градиент
- 1.2 Дивергенция
- 1.3 Curl
- 1.4 Лапласиан
- 1.5 Специальные обозначения
2 Тождества первой производной
- 2.1 Распределительные свойства
- 2.2 Правила продукта для умножения на скаляр
- 2.3 Факторное правило для деления на скаляр
- 2.4 Правило цепочки
- 2.5 Правило точечного произведения
- 2.6 Правило перекрестного произведения
3 Тождества второй производной
- 3.1 Дивергенция локона равно нулю
- 3.2 Дивергенция градиента является лапласианской
- 3.3 Дивергенция дивергенции не определена
- 3.4 Изгиб градиента равен нулю
- 3.5 Изгиб изгиба
- 3.6 Изгиб дивергенции не определен
4 Заключение важных идентичностей
- 4.1 Дифференциация
  - 4.1.1 Градиент
  - 4.1.2 Дивергенция
  - 4.1.3 Curl
  - 4.1.4 Вторые производные
  - 4.1.5 Третьи производные
- 4.2 Интегра ция
  - 4.2.1 Интегралы поверхность – объем
  - 4.2.2 Интегралы кривая – поверхность
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Обозначения оператора

Градиент

Для функции $f (x, y, z) {\ displaystyle f (x, y, z)}$ $f(x,y,z)$ в трехмерной декартовой координате переменных, градиент представляет собой векторное поле:

grad ⁡ (f) = ∇ f = (∂ ∂ x, ∂ ∂ y, ∂ ∂ z) f = ∂ f ∂ xi + ∂ f ∂ yj + ∂ f ∂ zk {\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ partial f } {\ partial y}} \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {k}}

\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}

где i, j, k- стандартный единичные векторы для осей x, y, z. В более общем смысле, для функции n переменных $ψ (x 1,…, xn) {\ displaystyle \ psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $\psi (x_{1},\ldots,x_{n})$ , также называемая скалярное поле, градиент - это векторное поле :

∇ ψ = (∂ ∂ x 1,…, ∂ ∂ xn) ψ = ∂ ψ ∂ x 1 e 1 +… + ∂ ψ ∂ xnen. {\ displaystyle \ nabla \ psi = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, \ {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}} } \ end {pmatrix}} \ psi = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {n}}} \ mathbf {e} _ {n}.}

\nabla \psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots,\ {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\ldots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}.

где $ei {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ $\mathbf {e} _{i}$ ортогональные единицы векторы в произвольных направлениях.

Для векторного поля $A = (A 1,…, A n) {\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ right)}$ $\mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots,A_{n}\right)$ , записанный как вектор-строка 1 × n, также называемый тензорным полем порядка 1, градиент или ковариантная производная представляет собой n × n матрицу Якоби :

∇ A = JA = (∂ A i ∂ xj) ij. {\ displaystyle \ nabla \! \ mathbf {A} = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {A}} = \ left ({\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right) _ {\! ij}.}

\nabla \!\mathbf {A} =\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.

Для тензорного поля $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ любого порядка k градиент $grad ⁡ (A) = ∇ A {\ displaystyle \ operatorname {grad} (\ mathbf {A}) = \ nabla \! \ Mathbf {A}}$ $\operatorname {grad} (\mathbf {A})=\nabla \!\mathbf {A}$ - тензорное поле порядка k + 1.

Дивергенция

В декартовых координатах, дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля $F = F xi + F yj. + F zk {\ displaystyle \ mathbf {F} = F_ {x} \ mathbf {i} + F_ {y} \ mathbf {j} + F_ {z} \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ - это скалярная функция:

div ⁡ F = ∇ ⋅ F = (∂ ∂ x, ∂ ∂ y, ∂ ∂ z) ⋅ (F x, F y, F z) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z. {\ displaystyle \ operatorname {div} \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} F_ {x}, \ F_ {y}, \ F_ {z} \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial F_ {z}} {\ partial z}}.}

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.

Дивергенция тензорного поля $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ из k ненулевого порядка записывается как $div ⁡ (A) = ∇ ⋅ A {\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {A}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ $\operatorname {div} (\mathbf {A})=\nabla \cdot \mathbf {A}$ , сокращение до тензорного поля порядка k - 1. В частности, дивергенция вектора является скаляром. Дивергенция тензорного поля более высокого порядка может быть найдена путем разложения тензорного поля на сумму внешних произведений и использования тождества

∇ ⋅ (B ⊗ A ^) = A ^ (∇ ⋅ B) + (B ⋅ ∇) A ^ {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {B} \ otimes {\ hat {\ mathbf {A}}} \ right) = {\ hat {\ mathbf {A}}} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) {\ hat {\ mathbf {A}}}}

\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \otimes {\hat {\mathbf {A} }}\right)={\hat {\mathbf {A} }}(\nabla \cdot \mathbf {B})+(\mathbf {B} \cdot \nabla){\hat {\mathbf {A} }}

где $B ⋅ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ nabla}$ $\mathbf {B} \cdot \nabla$ - производная по направлению в направлении $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\mathbf {B}$ , умноженная на ее величину. В частности, для внешнего произведения двух векторов

∇ ⋅ (b a T) = a (∇ ⋅ b) + (b ⋅ ∇) a. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ mathbf {a} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ mathbf {a} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {b} \ right) + \ left (\ mathbf {b} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {a}.}

\nabla \cdot \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {a} \left(\nabla \cdot \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {b} \cdot \nabla \right)\mathbf {a}.

Curl

В декартовых координатах для $F = F xi + F yj + F zk {\ displaystyle \ mathbf {F} = F_ {x} \ mathbf {i} + F_ {y} \ mathbf {j} + F_ {z} \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ локон - векторное поле:

curl ⁡ F = ∇ × F = (∂ ∂ x, ∂ ∂ y, ∂ ∂ z) × (F x, F y, F z) = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | Знак равно (∂ F z ∂ Y - ∂ F y ∂ Z) я + (∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x) j + (∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y) к {\ Displaystyle \ OperatorName {curl} \ mathbf {F} = \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, \ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} F_ {x}, \ F_ {y}, \ F_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left | {\ begin {matrix} \ mathbf {i} \ mathbf {j} \ mathbf {k} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\ F_ {x} F_ {y} F_ {z} \ end {matrix}} \ right | = \ left ({\ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial y}} \ right) \ mathbf {k}}

\operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}F_{y}F_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}

где i, jи k - это единичные векторы для осей x, y и z соответственно. В нотации Эйнштейна векторное поле $F = (F 1 F 2 F 3) {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ begin {pmatrix} F_ {1} F_ {2} F_ {3} \ end {pmatrix}}}$ $\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1}F_{2}F_{3}\end{pmatrix}}$ имеет локон, заданный следующим образом:

∇ × F = ε ijkei ∂ F k ∂ xj {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ varepsilon ^ {ijk} \ mathbf {e} _ {i} {\ frac {\ partial F_ {k}} {\ partial x ^ {j}}}}

\nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x^{j}}}

где $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ = ± 1 или 0 - символ четности Леви-Чивиты.

лапласиан

В декартовых координатах, лапласиан функция $f (x, y, z) {\ displaystyle f (x, y, z)}$ $f(x,y,z)$ is

Δ f = ∇ 2 f = (∇ ⋅ ∇) f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2. {\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} \! f = (\ nabla \ cdot \ nabla) f = {\ frac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial x ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial z ^ {2}} }.}

\Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla)f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.

Для тензорного поля , $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ лапласиан обычно записывается как:

Δ A = ∇ 2 A знак равно (∇ ⋅ ∇) A {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {A} = \ nabla ^ {2} \! \ Mathbf {A} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {A}}

\Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\!\mathbf {A} =(\nabla \cdot \nabla)\mathbf {A}

и является тензорным полем того же порядка.

Когда лапласиан равен 0, функция называется гармонической функцией. То есть,

Δ f = 0 {\ displaystyle \ Delta f = 0}

\Delta f=0

Специальные обозначения

В обозначении индекса Фейнмана

∇ B (A ⋅ B) = A × (∇ × B) + (A ⋅ ∇) B {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {B}} \! \ Left (\ mathbf {A {\ cdot} B} \ right) = \ mathbf {A} {\ times } \! \ left (\ nabla {\ times} \ mathbf {B} \ right) + \ left (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla \ right) \ mathbf {B}}

\nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B}

где обозначение ∇ Bозначает, что градиент с нижним индексом действует только на множитель B.

Менее общее, но похожее на нотацию Hestenes overdot в геометрической алгебре. Вышеупомянутая идентичность затем выражается как:

∇ ˙ (A ⋅ B ˙) = A × (∇ × B) + (A ⋅ ∇) B {\ displaystyle {\ dot {\ nabla}} \ left (\ mathbf {A} {\ cdot} {\ dot {\ mathbf {B}}} \ right) = \ mathbf {A} {\ times} \! \ Left (\ nabla {\ times} \ mathbf {B} \ right) + \ left (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla \ right) \ mathbf {B}}

{\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B}

, где точки определяют объем производной вектора. Пунктирный вектор, в данном случае B, дифференцируется, в то время как (без точек) A остается постоянным.

В оставшейся части этой статьи, где необходимо, будет использоваться индекс Фейнмана.

Тождества первой производной

Для скалярных полей $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\psi$ , $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ и векторных полей $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ , $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\mathbf {B}$ , у нас есть следующие производные тождества.

Распределительные свойства

∇ (ψ + ϕ) = ∇ ψ + ∇ ϕ ∇ (A + B) = ∇ A + ∇ B ∇ (A + B) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B ∇ × (A + B) знак равно ∇ × A + ∇ × B {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla (\ psi + \ phi) = \ nabla \ psi + \ nabla \ phi \\\ nabla (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ nabla \ mathbf {A} + \ nabla \ mathbf {B} \\\ nabla \ cdot (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ набла {\ cdot} \ mathbf {A} + \ nabla \ cdot \ mathbf {B} \\\ nabla \ times (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ nabla \ times \ mathbf {A} + \ nabla \ times \ mathbf {B} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi)=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla {\cdot }\mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}

Правило произведения для умножения на скаляр

У нас есть следующие обобщения правила произведения в одном переменная исчисление.

∇ (ψ ϕ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ ∇ (ψ A) = (∇ ψ) TA + ψ ∇ A = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A ∇ ⋅ (ψ A) = ψ ∇ ⋅ A + (∇ ψ) ⋅ A ∇ × (ψ A) = ψ ∇ × A + (∇ ψ) × A ∇ 2 (fg) = f ∇ 2 g + 2 ∇ f ⋅ ∇ g + g ∇ 2 е {\ Displaystyle {\ begin {align} \ nabla (\ psi \ phi) = \ phi \, \ nabla \ psi + \ psi \, \ nabla \ phi \\\ набла (\ psi \ mathbf {A }) = (\ nabla \ psi) ^ {\ mathbf {T}} \ mathbf {A} + \ psi \ nabla \ mathbf {A} \ = \ \ nabla \ psi \ otimes \ mathbf {A} + \ psi \, \ nabla \ mathbf {A } \\\ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {A}) = \ psi \, \ nabla {\ cdot} \ mathbf {A} + (\ nabla \ psi) \, {\ cdot} \ mathbf {A } \\\ nabla {\ times} (\ psi \ mathbf {A}) = \ psi \, \ nabla {\ times} \ mathbf {A} + (\ nabla \ psi) {\ times} \ mathbf {A } \\\ nabla ^ {2} (fg) = f \, \ nabla ^ {2 \!} g + 2 \, \ nabla \! f \ cdot \! \ nabla g + g \, \ nabla ^ { 2 \!} F \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla (\psi \phi)=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A})=(\nabla \psi)^{\mathbf {T} }\mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A})=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi)\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A})=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(fg)=f\,\nabla ^{2\!}g+2\,\nabla \!f\cdot \!\nabla g+g\,\nabla ^{2\!}f\end{aligned}}

Во второй формуле транспонированный градиент $(∇ ψ) T {\ displaystyle (\ nabla \ psi) ^ {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle (\ nabla \ psi) ^ {\ mathbf {T}}}$ - вектор-столбец размером n × 1, $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ - вектор-строка размером 1 × n, а их произведение - матрица n × n ( или, точнее, диада ); Это также можно рассматривать как тензорное произведение $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\otimes$ двух векторов или ковектора и вектора.

Факторное правило деления на скаляр

∇ (ψ ϕ) = ϕ ∇ ψ - ψ ∇ ϕ ϕ 2 ∇ ⋅ (A ϕ) = ϕ ∇ ⋅ A - ∇ ϕ ⋅ A ϕ 2 ∇ × (A ϕ) знак равно ϕ ∇ × A - ∇ ϕ × A ϕ 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ left ({\ frac {\ psi} {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ phi \, \ nabla \ psi - \ psi \, \ nabla \ phi} {\ phi ^ {2}}} \\ [1em] \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {A}) } {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ phi \, \ nabla {\ cdot} \ mathbf {A} - \ nabla \! \ phi \ cdot \ mathbf {A}} {\ phi ^ { 2}}} \\ [1em] \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ mathbf {A}} {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ phi \, \ nabla {\ times} \ mathbf {A} - \ nabla \! \ phi \, {\ times} \, \ mathbf {A}} {\ phi ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ left ({\ frac {\ psi} {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ phi \, \ nabla \ psi - \ psi \, \ nabla \ phi} {\ phi ^ {2}}} \\ [1em] \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {A}} {\ phi}} \ right) = { \ frac {\ phi \, \ nabla {\ cdot} \ mathbf {A} - \ nabla \! \ phi \ cdot \ mathbf {A}} {\ phi ^ {2}}} \\ [1em] \ nabla \ время s \ left ({\ frac {\ mathbf {A}} {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ phi \, \ nabla {\ times} \ mathbf {A} - \ nabla \! \ phi \, {\ times} \, \ mathbf {A}} {\ phi ^ {2}}} \ end {align}}}

Правило цепочки

Пусть $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f(x)$ будет функцией одной переменной от скаляров к скалярам, $r (t) = (r 1 (t),…, Rn (t)) {\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (r_ {1} (t), \ ldots, r_ {n} (t))}$ $\mathbf {r} (t)=(r_{1}(t),\ldots,r_{n}(t))$ a параметризованная кривая, и $F: R n → R {\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ функция от векторов до скаляров. У нас есть следующие частные случаи правила цепочки нескольких переменных .

∇ (f ∘ F) = (f ′ ∘ F) ∇ F (F ∘ r) ′ = (∇ F ∘ r) ⋅ r ′ ∇ (F ∘ A) знак равно (∇ F ∘ A) ∇ A {\ Displaystyle {\ begin {align} \ nabla (f \ circ F) = \ left (f '\ circ F \ right) \, \ nabla F \\ (F \ circ \ mathbf {r}) '= (\ nabla F \ circ \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {r}' \\\ nabla (F \ circ \ mathbf {A}) = (\ nabla F \ circ \ mathbf {A}) \, \ nabla \ mathbf {A} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla (f\circ F)=\left(f'\circ F\right)\,\nabla F\\(F\circ \mathbf {r})'=(\nabla F\circ \mathbf {r})\cdot \mathbf {r} '\\\nabla (F\circ \mathbf {A})=(\nabla F\circ \mathbf {A})\,\nabla \mathbf {A} \end{aligned}}

Для параметризации координат $Φ: R n → R n {\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\Phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ имеем:

∇ ⋅ (A ∘ Φ) = tr ((∇ A ∘ Φ) J Φ) {\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ circ \ Phi) = \ mathrm {tr} \ left ((\ nabla \ mathbf {A} \ circ \ Phi) \ mathbf {J} _ {\ Phi} \ right)}

\nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \Phi)=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {A} \circ \P hi)\mathbf {J} _{\Phi }\right)

Здесь мы берем след произведения двух матриц размера n × n: градиент A и Якобиан $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\Phi$ .

Правило точечного произведения

∇ (A ⋅ B) = (A ⋅ ∇) B + (B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) = A ⋅ JB + B ⋅ JA знак равно A ⋅ ∇ B + B ⋅ ∇ A {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) \ = \ (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} \, + \, (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \, + \, \ mathbf {A} {\ times} (\ nabla {\ раз} \ mathbf {B}) \, + \, \ mathbf {B} {\ times} (\ nabla {\ times} \ mathbf {A}) \\ \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {B}} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} \, + \, \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \! \ mathbf {A} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla)\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla)\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B})\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A})\\\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \,+\,\mathbf {B} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \end{aligned}}

где $JA = ∇ A = (∂ A i / ∂ xj) ij {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {A}} = \ nabla \! \ mathbf {A} = (\ partial A_ {i} / \ partial x_ {j}) _ {ij}}$ $\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\nabla \!\mathbf {A} =(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}$ обозначает матрицу Якоби векторного поля $A = (A 1,…, A n) {\ displaystyle \ mathbf {A} = (A_ {1}, \ ldots, A_ {n })}$ $\mathbf {A} =(A_{1},\ldots,A_{n})$ , и в последнем выражении считается, что операции $⋅ {\ displaystyle \ cdot}$ $\cdot$ не действуют на $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\nabla$ направления (некоторые или были бы указаны соответствующими скобками или транспонами).

В качестве альтернативы, используя обозначение индекса Фейнмана,

∇ (A ⋅ B) = ∇ A (A ⋅ B) + ∇ B (A ⋅ B). {\ displaystyle \ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) = \ nabla _ {\ mathbf {A}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) + \ nabla _ {\ mathbf {B}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) \.}

\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})\.

См. эти примечания.

В качестве особого случая, когда A= B,

1 2 ∇ (A ⋅ A) = A ⋅ JA = A ⋅ ∇ A = (A ⋅ ∇) A + A × (∇ × A). {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ { \ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {A} \ = \ (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, + \, \ mathbf {A} {\ times} (\ nabla {\ times} \ mathbf {A}).}

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ набла \ влево (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {A} \ = \ (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, + \, \ mathbf {A} {\ times} (\ nabla {\ times } \ mathbf {A}).}

Обобщение формулы скалярного произведения на римановы многообразия является определяющим свойством римановой связности, который дифференцирует векторное поле, чтобы дать векторнозначную 1-форму.

Правило перекрестного произведения

∇ ⋅ (A × B) = (∇ × A) ⋅ B - A ⋅ (∇ × B) ∇ × (A × B) = A (∇ ⋅ B) - B (∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇) A - (A ⋅ ∇) B = (∇ ⋅ B + B ⋅ ∇) A - (∇ ⋅ A + A ⋅ ∇) B = ∇ ⋅ (BAT) - ∇ ⋅ (ABT) = ∇ ⋅ (BAT - ABT) A × (∇ × B) = ∇ B (A ⋅ B) - (A ⋅ ∇) B = A ⋅ JB - (A ⋅ ∇) B = A ⋅ ∇ B - (A ⋅ ∇) B (A × ∇) × B = A ⋅ ∇ B - A (∇ ⋅ B) = A × (∇ × B) + (A ⋅ ∇) В - A (∇ ⋅ B) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ = \ (\ nabla {\ time s} \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {B} \, - \, \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla {\ times} \ mathbf {B}) \\ [5pt] \ nabla \ times ( \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ = \ \ mathbf {A} (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {B}) \, - \, \ mathbf {B} (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {A}) \, + \, (\ mathbf {B} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, - \, (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} \\ [2pt] \ = \ (\ nabla {\ cdot} \, \ mathbf {B} \, + \, \ mathbf {B} \, {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A } \, - \, (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {A} \, + \, \ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} \\ [2pt] \ = \ \ набла {\ cdot} \ left (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \ right) \, - \, \ nabla {\ cdot} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}} \ right) \\ [2pt] \ = \ \ nabla {\ cdot} \ left (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \, - \, \ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}} \ right) \\\ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) \ = \ \ nabla _ {\ mathbf {B}} (\ mathbf {A} {\ cdot} \ mathbf {B}) \, - \, (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} \ \ [2pt] \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {B}} \, - \, (\ mathbf { A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} = \ \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} \, - \, (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} \\ [5pt] (\ mathbf {A} \ times \ nabla) \ times \ mathbf {B} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} \, - \, \ mathbf {A} (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {B}) \\ \ = \ \ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) \, + \, (\ mathbf { A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {B} \, - \, \ mathbf {A} (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {B}) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B})\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A})\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B})\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B})\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B})\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A})\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla)\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} \\[2pt]\ =\ (\nabla {\cdot }\,\mathbf {B} \,+\,\mathbf {B} \,{\cdot }\nabla)\mathbf {A} \,-\,(\nabla {\cdot }\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} \\[2pt]\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\\[2pt]\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\\\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B})\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B})\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} \\[2pt]\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \, -\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} \\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla)\times \mathbf {B} \ =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B})\\\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B})\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla)\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B})\end{aligned}}

Обратите внимание на разницу между

A ⋅ ∇ B = A ⋅ JB = A я (∂ B i ∂ xj) {\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {B}} \ = \ A_ {i} \ left ({\ frac {\ partial B_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ mathbf {B}} \ = \ A_ {i} \ left ({\ frac {\ partial B_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right)}

(A ⋅ ∇) B = (A i ∂ ∂ xi) B j = A i (∂ B j ∂ xi). {\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} \ = \ \ left (A_ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ right) B_ { j} = \ A_ {i} \ left ({\ frac {\ partial B_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right) \,.}

(\mathbf {A} \cdot \nabla)\mathbf {B} \ =\ \left(A_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)B_{j}=\ A_{i}\left({\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\,.

Тождества второй производной

Дивергенция ротора равна нулю

Дивергенция ротора любого векторного поля Aвсегда равна нулю:

∇ ⋅ (∇ × A) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0}

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A})=0

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в De Rham цепной комплекс.

Дивергенция градиента - лапласиан

Лапласиан скалярного поля - это дивергенция его градиента:

∇ 2 ψ = ∇ ⋅ (∇ ψ) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = \ nabla \ cdot (\ nabla \ psi)}

\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi)

Результат - скалярная величина.

Дивергенция дивергенции не определена

Дивергенция векторного поля - это скаляр, и вы не можете принять расхождение скалярной величины. Следовательно:

∇ ⋅ (∇ ⋅ A) = undefined {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) = {\ text {undefined}}}

\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A})={\text{undefined}}

Изгиб градиента равен нулю

curl градиента любого непрерывно дважды дифференцируемого скалярного поля $ϕ {\ displaystyle \ \ phi}$ $\ \phi$ всегда нулевой вектор :

∇ × (∇ ϕ) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ phi) = \ mathbf {0}}

\nabla \times (\nabla \phi)=\mathbf {0}

Это особый случай обращения в нуль квадрата внешней производной в цепном комплексе Де Рама .

Curl of curl

∇ × (∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A) - ∇ 2 A {\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ nabla (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {A}) \, - \, \ nabla ^ {2 \!} \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ nabla (\ nabla {\ cdot} \ mathbf {A}) \, - \, \ nabla ^ {2 \!} \ mathbf {A}}

Здесь ∇ - векторный лапласиан, работающий с векторным полем A.

Curl дивергенции не определен

Дивергенция векторного поля A является скаляром, и вы не можете взять ротор скалярной величины. Следовательно,

∇ × (∇ ⋅ A) не определено {\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) \ {\ text {is undefined}}}

\nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A})\ {\text{is undefined}}

Сводка важных личностей

Дифференциация

Градиент

$∇ (ψ + ϕ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\ displaystyle \ nabla (\ psi + \ phi) = \ nabla \ psi + \ nabla \ phi}$ ${\ displaystyle \ nabla (\ psi + \ phi) = \ nabla \ psi + \ nabla \ phi}$
$∇ (ψ ϕ) знак равно ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\ displaystyle \ nabla (\ psi \ phi) = \ phi \ nabla \ psi + \ psi \ nabla \ phi}$ $\nabla (\psi \phi)=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi$
$∇ (ψ A) Знак равно ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\ displaystyle \ nabla (\ psi \ mathbf {A}) = \ nabla \ psi \ otimes \ mathbf {A} + \ psi \ nabla \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ nabla (\ psi \ mathbf {A}) = \ nabla \ psi \ otimes \ mathbf {A } + \ psi \ nabla \ mathbf {A}}$
$∇ (A ⋅ B) знак равно (A ⋅ ∇) B + (B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) {\ displaystyle \ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) = (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ times (\ nabla \ раз \ mathbf {B}) + \ mathbf {B} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})}$ $\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})=(\mathbf {A} \cdot \nabla)\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla)\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B})+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A})$

Дивергенция

$∇ ⋅ (A + B) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B { \ Displaystyle \ набла \ cdot (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {A} + \ nabla \ cdot \ mathbf {B} }$ $\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B}$
$∇ ⋅ (ψ A) = ψ ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ψ {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ psi \ mathbf {A} \ right) = \ psi \ nabla \ cdot \ mathbf { A} + \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ psi}$ $\nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi$
$∇ ⋅ (A × B) = (∇ × A) ⋅ B - (∇ × B) ⋅ A {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right) = (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {B} - (\ nabla \ times \ mathbf {B}) \ cdot \ mathbf {A}}$ $\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A})\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B})\cdot \mathbf {A}$

Curl

$∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B {\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = \ nabla \ times \ mathbf {A} + \ nabla \ times \ mathbf {B}}$ $\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B}$
$∇ × (ψ A) = ψ (∇ × A) + ∇ ψ × A {\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ psi \ mathbf {A} \ right) = \ psi \, (\ nabla \ times \ mathbf {A}) + \ nabla \ psi \ times \ mathbf {A}}$ $\nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A})+\nabla \psi \times \mathbf {A}$
$∇ × (ψ ∇ ϕ) = ∇ ψ × ∇ ϕ {\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ psi \ nabla \ phi \ right) = \ nabla \ psi \ times \ nabla \ phi}$ $\nabla \times \left (\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi$
$∇ × (A × B) = A (∇ ⋅ В) - В (∇ ⋅ A) + (В ⋅ ∇) A - (A ⋅ ∇) В {\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right) = \ mathbf {A} \ left (\ набла \ cdot \ mathbf {B} \ right) - \ mathbf {B} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) + \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {A} - \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {B}}$ $\nab la \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: некоторые правила для вторых производных.

$∇ ⋅ (∇ × A) знак равно 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0}$ $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A})=0$
$∇ × (∇ ψ) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ psi) = \ mathbf {0}}$ $\nabla \times (\nabla \psi)=\mathbf {0}$
$∇ ⋅ (∇ ψ) = ∇ 2 ψ {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ psi) = \ nabla ^ {2} \ psi}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ psi) = \ nabla ^ {2} \ psi}$ (скалярный лапласиан )
$∇ (∇ ⋅ A) - ∇ × (∇ × A) знак равно ∇ 2 A {\ displaystyle \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}}$ (векторный лапласиан )
$∇ ⋅ (ϕ ∇ ψ) = ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ phi \ nabla \ psi) = \ phi \ nabla ^ {2} \ psi + \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi}$ $\nabla \cdot (\phi \nabla \psi)=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi$
$ψ ∇ 2 ϕ - ϕ ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ (ψ ∇ ϕ - ϕ ∇ ψ) {\ Displaystyle \ psi \ nabla ^ {2} \ phi - \ phi \ nabla ^ {2} \ psi = \ nabla \ cdot \ left (\ psi \ nabla \ phi - \ phi \ nabla \ psi \ right)}$ ${\displ aystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
$∇ 2 (ϕ ψ) = ϕ ∇ 2 ψ + 2 (∇ ϕ) ⋅ (∇ ψ) + (∇ 2 ϕ) ψ {\ displaystyle \ nabla ^ {2} (\ phi \ psi) = \ phi \ nabla ^ {2} \ psi +2 (\ nabla \ phi) \ cdot (\ nabla \ psi) + \ left (\ nabla ^ {2} \ phi \ right) \ psi}$ $\nabla ^{2}(\phi \psi)=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi)\cdot (\nabla \psi)+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi$
$∇ 2 (ψ A) = A ∇ 2 ψ + 2 (∇ ψ ⋅ ∇) A + ψ ∇ 2 A {\ displaystyle \ nabla ^ {2} (\ psi \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ nabla ^ {2} \ psi +2 (\ nabla \ psi \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + \ psi \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}}$ $\nabla ^{2}(\psi \mathbf {A})=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla)\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A}$
$∇ 2 (A ⋅ B) знак равно A ⋅ ∇ 2 B - B ⋅ ∇ 2 A + 2 ∇ ⋅ ((B ⋅ ∇) A + B × (∇ × A)) {\ displaystyle \ nabla ^ {2 } (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) = \ mathbf {A} \ cdot \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} - \ mathbf {B} \ cdot \ nabla ^ {2} \! \ mathbf {A} +2 \ nabla \ cdot ((\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + \ mathbf {B} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}))}$ $\nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B})=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla)\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A}))$ (Векторная идентичность Грина )

Цифра справа - мнемоника некоторых из этих идентичностей. Используемые сокращения:

D: дивергенция,
C: локон,
G: градиент,
L: лапласиан,
CC: curl of curl.

Каждая стрелка помечена результатом идентичности, в частности, результатом применения оператора в хвосте стрелки к оператору в ее голове. Синий кружок в середине означает, что локон из локона существует, тогда как два других красных кружка (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Третьи производные

∇ 2 (∇ ψ) = ∇ (∇ ⋅ (∇ ψ)) = ∇ (∇ 2 ψ) ∇ 2 (∇ ⋅ A) = ∇ ⋅ (∇ (∇ ⋅ A)) Знак равно ∇ ⋅ (∇ 2 A) ∇ 2 (∇ × A) = - ∇ × (∇ × (∇ × A)) = ∇ × (∇ 2 A) {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} (\ nabla \ psi) = \ nabla (\ nabla \ cdot (\ nabla \ psi)) = \ nabla \ left (\ nabla ^ {2} \ psi \ right) \\\ nabla ^ {2} (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) = \ nabla \ cdot (\ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A})) = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A } \ right) \\\ nabla ^ {2} (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = - \ nabla \ times (\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})) = \ nabla \ times \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\nabla ^{2}(\nabla \psi)=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)\\\nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A})=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A}))=\nabla \cdot \l eft(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)\\\nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A})=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A}))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)\end{aligned}}

Интеграция

Ниже фигурный символ ∂ означает " граница "поверхности или твердого тела.

Интегралы поверхность – объем

В следующих интегральных теоремах поверхность – объем V обозначает трехмерный объем с соответствующей двумерной границей S = ∂V ( a закрытая поверхность ):

$\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $A ⋅ d S = ∭ V (∇ ⋅ A) d V {\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {S} \ = \ \ iiint _ {V} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) dV}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {S} \ = \ \ iiint _ { V} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) dV}$ (теорема о расходимости )
$\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ частичное V}$ $\scriptstyle \partial V$ $ψ d S знак равно ∭ V ∇ ψ d V {\ displaystyle \ psi \, d \ mathbf {S} \ = \ \ iiint _ {V} \ nabla \ psi \, dV}$ $\psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV$
$\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $A × d S = - ∭ V ∇ × A d V {\ displaystyle \ mathbf {A} \ times d \ mathbf {S} \ = \ - \ iiint _ { V} \ набла \ раз \ mathbf {A} \, dV}$ $\mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV$
$\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $ψ ∇ φ ⋅ d S = ∭ V (ψ ∇ 2 φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ) d V {\ displaystyle \ psi \ nabla \! \ Varphi \ cdot d \ mathbf {S} \ = \ \ iiint _ {V} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \! \ Varphi + \ набла \! \ varphi \ cdot \ nabla \! \ psi \ righ t) \, dV}$ ${\ дис стиль игры \ psi \ nabla \! \ varphi \ cdot d \ mathbf {S} \ = \ \ iiint _ {V} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \! \ varphi + \ nabla \! \ varphi \ cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ (первая идентичность Грина )
$\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $(ψ ∇ φ - φ ∇ ψ) ⋅ d S = {\ displaystyle \ left (\ psi \ nabla \! \ varphi - \ varphi \ nabla \! \ psi \ right) \ cdot d \ mathbf {S} \ = \}$ $\left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\$ $\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $(ψ ∂ φ ∂ N - φ ∂ ψ ∂ N) d S {\ displaystyle \ left (\ psi {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial n}} - \ varphi {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial n}} \ справа) dS}$ $\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS$ $= ∭ V (ψ ∇ 2 φ - φ ∇ 2 ψ) d V {\ displaystyle \ displaystyle \ = \ \ iiint _ {V} \ left (\ psi \ nabla ^ { 2} \! \ Varphi - \ varphi \ nabla ^ {2} \! \ Psi \ right) \, dV}$ $\displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV$ (вторая идентичность Грина )
$∭ VA ⋅ ∇ ψ d V = {\ displaystyle \ iiint _ { V} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ psi \, dV \ = \}$ $\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\$ $\oiint$ $∂ V {\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V}$ $\scriptstyle \partial V$ $ψ A ⋅ d S - ∭ V ψ ∇ ⋅ A d V {\ displaystyle \ psi \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {S} - \ iiint _ {V} \ psi \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \, dV}$ $\psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV$ (интегрирование по частям )
$∭ В ψ ∇ ⋅ A d V знак равно ∬ ∂ V ψ A ⋅ d S - ∭ V ∇ ψ ⋅ A d V {\ displaystyle \ iiint _ {V} \ psi \ nabla \ cdot \ m athbf {A} \, dV \ = \ \ iint _ {\ partial V} \ psi \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {S} - \ iiint _ {V} \ nabla \ psi \ cdot \ mathbf {A } \, dV}$ $\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ \iint _{\partial V}\psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\nabla \psi \cdot \mathbf {A} \,dV$ (интегрирование по частям )

Интегралы кривая – поверхность

В следующих интегральных теоремах кривая – поверхность S обозначает 2d открытую поверхность с соответствующей 1d границей C = ∂S (a замкнутая кривая ):

$∮ ∂ SA ⋅ d ℓ = ∬ S (∇ × A) ⋅ d S {\ displaystyle \ oint _ {\! \! \! \! \ Partial S} \ mathbf {A} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} \ = \ \ iint _ {S} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) \ cdot d \ mathbf {S}}$ $\oint _{\!\!\!\!\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S}$ (Теорема Стокса )
$∮ ∂ S ⁡ ψ d ℓ = - ∬ S ∇ ψ × d S {\ displaystyle \ oint _ {\! \! \! \! \ Partial S} \ psi \, d {\ boldsymbol {\ ell}} \ = \ - \ iint _ {S} \ nabla \ psi \ times d \ mathbf {S}}$ $\oint _{ \!\!\!\!\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S}$

Интегрирование вокруг замкнутой кривой в по часовой стрелке является отрицательным тот же линейный интеграл в направлении против часовой стрелки (аналогично замене пределов в определенном интеграле ):

$\ ointclockwise$

∂ S {\ displaystyle {\ scriptstyle \ partial S}}

{\scriptstyle \partial S}

A ⋅ d ℓ = - {\ displ aystyle \ mathbf {A} \ cdot {\ rm {d}} {\ boldsymbol {\ ell}} = -}

\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=-

$\ointctrclockwise$

∂ S {\ displaystyle {\ scriptstyle \ partial S}}

{\scriptstyle \partial S}

A ⋅ d ℓ. {\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot {\ rm {d}} {\ boldsymbol {\ ell}}.}

\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}.

См. также

Ссылки

Дополнительная литература