Подписаться

Специальная теория относительности

Последняя правка сделана 2021-06-09 02:05:01 Править
Теория переплетения пространства и времени Альберта Эйнштейна Альберта Эйнштейна около 1905 года, года его "Были опубликованы статьи Аннуса Мирабилиса ».

В физике используется специальная теория относительности, или, статья, основывающая специальную теорию относительности, статья Zur Elektrodynamik bewegter Körper. научная теория взаимосвязи между пространством и временем. В исходной трактовке Альберта Эйнштейна основан на двух постулатах :

  1. , законы физики инвариантны (т. Е. Идентичны) во всех инерциальных систем отсчета. ссылки (т. е. неускоряющиеся системы отсчета); и
  2. скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света или наблюдателя.

Содер жание

  • 1 Истоки и значение
  • 2 Традиционный подход «двух постулатов» к специальной теории относительности
  • 3 Принцип относительности
    • 3.1 Системы отсчета и относительное движение
    • 3.2 Стандартная конфигурация
    • 3.3 Отсутствие абсолютной системы отсчета
    • 3.4 Относ второго без постулата
  • 4 Лоренц-инвариантность как существенное ядро ​​специальной теории относительности
    • 4.1 Альтернативные подходы к специальной теории относительности
    • 4.2 Преобразование Лоренца и его обратное
    • 4.3 Графическое представление преобразования Лоренца
  • 5 Последствия преобразования Лоренца
    • 5.1 Инвариантный интервал
    • 5.2 Относительность одновременности
    • 5.3 Замедление времени
    • 5.4 Сокращение длины
    • 5.5 Преобразование Лоренца скоростей
    • 5.6 Вращение Томаса
    • 5.7 Причинность и запрет движения быстрее th свет
  • 6 Оптические эффекты
    • 6.1 Эффекты увлечения
    • 6.2 Релятивистская аберрация света
    • 6.3 Рел ятивистский эффект Доплера
      • 6.3.1 Релятивистский продольный эффект Доплера
      • 6.3.2 Поперечный эффект Доплера
    • 6.4 Измерение и внешний вид
  • 7 Динамика
    • 7.1 Эквивалентность массы и энергии
    • 7.2 Как далеко можно путешествовать от Земли?
  • 8 Относительность и объединяющий электромагнетизм
  • 9 Теории относительности и квантовые механика
  • 10 Статус
  • 11 Техническое обсуждение пространства-времени
    • 11.1 Геометрия пространства-времени
      • 11.1.1 Сравнение между евклидовым пространством и пространством Минковского
      • 11.1.2 Трехмерное пространство-время
      • 11.1.3 4D пространство-время
    • 11.2 Физика в пространстве-времени
      • 11.2.1 Преобразование физического величин между системами отсчета
      • 11.2.2 Метрика
      • 11.2.3 Релятивистская кинематика и инвариантность
      • 11.2.4 Релятивистская динамика и инвариантность
  • 12 См.
  • 13 Основные источники
  • 14 Ссылки
  • 15 Примечания
  • 16 Дополнительные сведения ding
    • 16.1 Учебники
    • 16.2 Журнальные статьи
  • 17 Внешние ссылки
    • 17.1 Оригинальные работы
    • 17.2 Специальная теория относительности для широкой аудитории (математические знания не требуются)
    • 17.3 Объяснение теории относительности (с использованием простых или более продвинутая математика)
    • 17.4 Визуализация

Истоки и значение

Специальная теория относительности была установлена ​​предложена Альбертом Эйнштейном в статье опубликованной 26 сентября 1905 года под названием «О электродинамике движущихся тел ». Несовместимость механики Ньютона с уравнениями Максвелла электромагнетизма и экспериментально нулевым результатом Майкельсона-Морли (и последующими аналогичными экспериментами) применили, что исторически предполагаемый светоносный эфир не существовал. Согласно этой специальной теории относительности, она корректирует механику, включающую все, особенно со скоростью, близкой к скорости света (известной как релятивистские скорости). Сегодня доказано, что специальная теория относительности является наиболее точной моделью движения с любой скоростью, когда гравитационные и квантовые незначительные незначительные эффекты. Даже в этом ньютоновская модель все еще действительна как простое и точное приближение при малых скоростях (относительно скорости света), например, при повседневных движениях на Земле.

Специальная теория относительности имеет широкий спектр следствий, подтвержденных экспериментально. Они включают в себя относительность одновременности, сокращение длины, замедление времени, релятивистскую формулу сложения скоростей, релятивистский эффект Доплера, релятивистскую массу, универсальное ограничение скорости, эквивалент Том массы и энергии, скорость причинности и прецессия прецессия. Это, например, заменить обычное понятие абсолютного универсального времени с понятием времени, которое зависит от системы отсчета и <822 пространственной>положения. Вместо инвариантного интервала времени между двумя событиями существует инвариантный пространственно-временной интервал. В сочетании с другими законами физики два постулата теории относительности предсказывают эквивалентность массы и энергии, что выражается в формуле эквивалентности массы и энергии E = mc 2 {\ displaystyle E = mc ^ {2}}E = mc ^ 2 , где c {\ displaystyle c}c - скорость света в вакууме. Это также объясняет, как связаны явления электричества и магнетизма.

Определяющей особенностью специальной теории относительности является замена преобразователя Галилея ньютоновской механики на преобразования Лоренца. Время и пространство не могут быть отдельно друг от друга (считалось ранее). Скорее, пространство и время сплетены в единый континуум, известный как «пространство-время». Это происходит в одно и то же время одного наблюдателя.

До тех пор, пока Эйнштейн не разработал общую теорию относительности, вводя искривленное пространство-время, включающее гравитацию, фраза «специальная теория относительности» не использовалась. Иногда используется перевод как «ограниченная теория относительности»; «Особый» на самом деле означает «особый случай». Некоторые работы Альберта Эйнштейна в области специальной теории относительности на ранних работах Хендрика Лоренца и Анри Пуанкаре. Теория стала по существу завершенной в 1907 году.

Теория «особенная» в том смысле, что она применима только в частном случае, когда пространство-время «плоское», то есть искривление пространства-времени, описываемое тензором энергии-импульса и вызывающее гравитацию, незначительно. Чтобы правильно учесть гравитацию, Эйнштейн сформулировал общую теорию в 1915 году. Специальная теория относительности, вопреки некоторым историческим описаниям, действительно учитывает ускорение, а также ускоряющие системы отсчета.

Так же, как Относительность Галилея теперь принята как приближение специальной теории относительности, которая действительна для малых скоростей, специальная теория считается слабой общей теории относительности, которая действительна для малых масштабов гравитационных полей, то есть при достаточно мелком масштабе (например, для приливных сил ) и в условиях свободного падения. Общая теория относительности, однако, включает неевклидову геометрию, чтобы представить гравитационные эффекты как геометрическую кривизну пространства-времени. Специальная теория относительности ограничена пространством-временем, известным как пространство Минковского. Пока Вселенная может быть смоделирована как псевдориманово многообразие, лоренц-инвариантная система отсчета, которая подчиняется стандартной теории относительности, может быть определена для достаточно малой окрестности каждой точки в этом искривленном пространстве-времени.

Галилео Галилей уже постулировал, что не существует абсолютного и определенного определенного состояния покоя (нет привилегированных систем отсчета ), принцип теперь называется принципом относительности Галилея. Эйнштейн расширил этот принцип, чтобы он объяснил постоянную скорость света - явление, которое наблюдалось в эксперименте Майкельсона - Морли. Он также считает, что это справедливо для всех современных физики, включая законы механики и электродинамики.

Традиционный подход «двух постулатов» к специальной теории относительности

Размышления этого типа дал мне понять, что уже вскоре после 1900 года, то есть вскоре после новаторской работы Планка, ни механика, ни электродинамика не могут (за исключением крайних случаев) претендовать на точную достоверность. Постепенно я отчаялся от возможности открыть возможности с помощью конструктивных усилий, основанных на известных фактах. Чем дольше и отчаяннее было доказано, что только открытие универсального принципа было гарантировано... Как же тогда можно было найти такой универсальный принцип?

— Альберт Эйнштейн: автобиографические заметки

Эйнштейн различил два фундаментальных положения, которые используются наиболее надежными, независимо от точной справедливости (тогда) современных механики или электродинамики. Эти заключаются в постоянстве скорости света в вакууме и физических положениях электрического положения (особенно постоянстве скорости света) от выбора инерциальной системы. В своем индивидуальном индивидуальном режиме относительности в 1905 году он выразил эти постулаты как:

  • Принцип относительности - законы, по состояниям физических претеерпвают изменения, независимо от того, относятся ли эти изменения состояния к одному или другому из двух систем, находящихся в равномерном движении относительно друг друга.
  • Принцип неизменной скорости света - «... свет всегда распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью, которая не зависит от состояния движения излучающего тела» (из предисловия). То есть свет в вакууме распространяется со скоростью c (фиксированная постоянная, не зависящая от направления) по крайней мере в одной системе инерциальных координат («стационарная система») независимо от состояния движения источника света.

Постоянство скорости света было мотивировано теорией электромагнетизма Максвелла и отсутствием доказательств светоносного эфира. Существуют противоречивые данные о том, в какой степени на Эйнштейна повлиял нулевой результат эксперимента Майкельсона-Морли. В любом случае, нулевой результат эксперимента Майкельсона - Морли помог широко распространенному и быстрому света принятию идеи о постоянстве скорости.

Вывод специальной теории относительности зависит не только от этих двух явных постулатов, но и от нескольких неявных предположений (, сделанных почти во всех теориях физики ), включая изотропию и однородность пространство и независимость измерительных стержней и часов от их прошлой истории.

После первоначального набора Эйнштейном специальной теории относительности в 1905 году в различных статьях было предложено множество различных наборов постулатов. альтернативные отведения. Однако наиболее распространенным набором постулатов остается постулат, используемый Эйнштейном в его оригинальной статье. Более математическое из принципа относительности, сделанное позднее Эйнштейном, которое вводит понятие простоты, не вводнутое выше:

Специальный принцип относительности: если система координат K выбрана так, что по отношению к нейологические законы сохраняются в своей простейшей форме, те же самые законы остаются в силе по отношению к любой другой системе K ', движущейся в единообразном перемещении относительно K.

Анри Пуанкаре заложил математическую основу для теории относительности, доказав, что Преобразования Лоренца являются подмножеством его группы Пуанкаре преобразований симметрии. Позднее Эйнштейн вывел эти преобразования из своих аксиом.

Во многих статьях Эйнштейна представлены выводы преобразования Лоренца, основанные на этих двух принципах.

Принцип относительности

Системы отсчета и относительное движение

Рисунок 2-1. Штриховая система движется относительно незаштрихованной системы с постоянной скоростью v только вдоль оси x с точки зрения наблюдателя, неподвижного в незаштрихованной системе. Согласно принципу относительности , наблюдатель, будет рассматривать конструкцию, за исключением того, что записанная скорость будет равна −v. Изменение скорости распространения с бесконечности в нерелятивистской механике до конечного значения потребует преобразования преобразования, отображающих события в одной системе отсчета в другую.

Системы отсчета играют решающую роль в теории относительности. теория. Термин «система отсчета», используется здесь, представляет собой перспективу наблюдения в пространстве, которое не претерпевает изменения в движении (ускорении), из которого можно измерить положение по 3 пространственным осям (то есть в состоянии покоя или с постоянной скоростью). Кроме того, опорный кадр имеет возможность определения времени событий с помощью «часы» (любая ссылка устройства с равномерной периодичностью).

Элемент событие является событием, которое может быть использовано как один уникальный момент и расположение в пространстве системы отсчета: это «точка» в пространстве-времени. Местонахождение положения света в пространстве, положительном значении, положительном значении..

Например, взрыв фейерверка может рассматриваться как «событие». Установить точку отсчета по его четырем пространственно-временным координатам: время возникновения и его трехмерное положение определяет точку отсчета. Назовем эту систему отсчета S.

В теории относительности мы часто хотим вычислить координаты события из различных систем отсчета. Уравнения, связывающие измерения, сделанные в разных системах отсчета, называются уравнениями преобразования.

Стандартная конфигурация

Чтобы понять, как пространственно-временные координаты, измеренными наблюдателями в разных опорных кадрах, сравниваются друг с другом, полезно работать с упрощенной настройкой с рамы в стандартной комплектации. С осторожностью это позволяет упростить математику без общности сделанных выводов. На рис. 2‑1 две галилеевы опорные кадры (т. Е. Обычные 3-пространственные кадры) в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S ′ (произносится как «S prime» или «S dash») принадлежит второму наблюдателю O ′.

  • Оси x, y, z кадра S ориентированы надлежащим штрихованным осям кадра S '.
  • Кадр S 'перемещается, для простоты, в одном направлении: x-направлении кадр S со скоростью v, измеренной в кадре S.
  • Начало кадров S и S ′ совпадают, когда время t = 0 для кадра S и t ′ = 0 для кадра S ′.

Положения в отношении относительности не существует, абсолютной системы отсчета, «движение» строго, поскольку все может двигаться относительно какой-либо другой системы отсчета. Вместо этого любые два кадра, которые движутся с одинаковой скоростью в одном направлении, считаются сопутствующими. Следовательно, S и S несовместимы.

Отсутствие абсолютной системы отсчета

принципов относительности, который гласит, что физические законы имеют одинаковую форму в каждой инерциальной системы отсчета, восходит к Галилею и был включен в ньютоновскую физику. Однако в конце 19 века существование электромагнитных волн привело физиков к предположению, что они назвали «эфиром », что, как постулировали, будет действовать как среда, через которую распространяют эти волны или колебания (во многих отношениях аналогично тому, как звук распространяется через воздух). Считается, что эфир является фиксированным абсолютной системой отсчета, относительно которой могут быть измерены все скорости, и может считаться неподвижным и неподвижным относительно Земли или какой-либо другой фиксированной точки отсчета. Эфир должен был быть достаточно эластичным, чтобы поддерживать электромагнитные волны, в то время как эти волны могли взаимодействовать с веществом, но не оказывать сопротивления телам, проходящим через него (его единственное свойство заключалось в том, что он позволял электромагнитным волнам распространяться). Результаты различных экспериментов, в том числе эксперимент Майкельсона-Морли в 1887 году (впоследствии подтвержденный более точными и новаторскими экспериментами), привели к специальной теории относительности, показав, что эфира не существует. Эйнштейн решил отказаться от понятия эфира и абсолютного состояния покоя. В теории относительности любая система отсчета, движущаяся с равномерным движением, будет соблюдать те же законы физики. В частности, скорость света в вакууме всегда измеряется как c, даже если она измеряется несколькими системами, движущимися с разными (но постоянными) скоростями.

Относительность без второго постулата

Из одного принципа относительности без предположения о постоянстве скорости света (т. Е. С использованием изотропии пространства и симметрии, подразумеваемых принципом специальной теории относительности) можно показать, что пространственно-временные преобразования между инерциальными системами отсчета являются либо евклидовыми, либо галилеевыми, либо лоренцевыми. Тогда в лоренцевом случае можно получить релятивистское интервальное сохранение и некоторую конечную предельную скорость. Эксперименты показывают, что эта скорость равна скорости света в вакууме.

Лоренц-инвариантность как существенное ядро ​​специальной теории относительности

Альтернативные подходы к специальной теории относительности

Эйнштейн последовательно обосновал вывод лоренц-инвариантности (существенное ядро ​​специальной теории относительности) только на двух основных принципах относительности и инвариантности скорости света. Он писал:

Основная идея специальной теории относительности заключается в следующем: предположения об относительности и инвариантности скорости света совместимы, если постулируются отношения нового типа («преобразование Лоренца») для преобразования координат и времени событий.... Универсальный принцип специальной теории относительности содержится в постулате: законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца (для перехода от одной инерциальной системы к любой другой произвольно выбранной инерциальной системе). Это ограничивающий принцип для естественных законов...

Таким образом, многие современные трактовки специальной теории относительности основывают ее на единственном постулате универсальной ковариантности Лоренца или, что то же самое, на единственном постулате пространства-времени Минковского.

Скорее, Вместо того, чтобы рассматривать универсальную ковариантность Лоренца как производный принцип, в данной статье она рассматривается как фундаментальный постулат специальной теории относительности. Традиционный двухпостулатный подход к специальной теории относительности представлен в бесчисленных университетских учебниках и популярных презентациях. Учебники, начинающиеся с единственного постулата пространства-времени Минковского, включают учебники Тейлора и Уиллера и Каллахана. Это также подход, которому следуют статьи Википедии Пространство-время и Диаграмма Минковского.

Преобразование Лоренца и его обратное

Определите событие, чтобы иметь координаты пространства-времени (t, x, y, z) в системе S и (t ', x', y ', z') в системе отсчета, движущейся со скоростью v относительно этой системы S '. Тогда преобразование Лоренца указывает, что эти координаты связаны следующим образом:

t ′ = γ (t - vx / c 2) x ′ = γ (x - vt) y ′ = yz ′ знак равно Z, {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} t '= \ gamma \ ( t-vx / c ^ {2}) \\ x '= \ gamma \ (x-vt) \\ y' = y \\ z '= z, \ end {align}}}\begin{align} t' = \gamma \ (t - vx/c^2) \\ x' = \gamma \ (x - v t) \\ y' = y \\ z' = z, \end{align}

где

γ = 1 1 - v 2 c 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} }}\ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}

- это фактор Лоренца, а c - скорость света в вакууме, а скорость v точки S ′ относительно S параллельна оси x. Для простоты координаты y и z не изменяются; преобразуются только координаты x и t. Эти преобразования Лоренца образуют однопараметрическую группу из линейных отображений, этот параметр называется быстротой.

. Решение четырех приведенных выше уравнений преобразования для незаштрихованных координат дает обратное преобразование Ленцаоренца. преобразование:

t = γ (t ′ + vx ′ / c 2) x = γ (x ′ + vt ′) y = y ′ z = z ′. {\ displaystyle {\ begin {align} t = \ gamma (t '+ vx' / c ^ {2}) \\ x = \ gamma (x '+ vt') \\ y = y '\\ z = z '. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}t=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x=\gamma (x'+vt')\\y=y'\\z=z'.\end{aligned}}}

Принуждение этого обратного преобразования Лоренца к совпадению с преобразованием Лоренца из системы со штрихом в системе без штриха показывает, что система отсчета без штриха движется со скоростью v ′ = −v, как измерено в грунтованный каркас.

В оси x нет ничего особенного. Преобразование может действовать к оси y или z, или даже в любом направлении, параллельном движении (которые искажаются фактором γ) и перпендикулярно; подробнее см. статья Преобразование Лоренца.

Величина, инвариантная относительно преобразований Лоренца, известна как скаляр Лоренца.

Запись преобразования Лоренца и его обратного в терминах разностей координат, где одно событие имеет координаты (x 1, t 1) и (x ′ 1, t ′ 1), другое событие имеет координаты (x 2, t 2) и (x ′ 2, t ′ 2), а также поддерживает как

Ур. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′, Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′. {\ displaystyle \ Delta x '= x' _ {2} -x '_ {1} \, \ \ Delta t' = t '_ {2} -t' _ {1} \.}{\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\.}
Ур. 2: Δ x = x 2 - x 1, Δ t = t 2 - t 1. {\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1} \, \ \ \ Delta t = t_ {2 } -t_ {1} \.}{\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1 } \, \ \ \ Delta t = t_ {2} -t_ {1} \.}

мы получаем

уравнение. 3: Δ x '= γ (Δ x - v Δ t), {\ displaystyle \ Delta x' = \ gamma \ (\ Delta xv \, \ Delta t) \, \ \}{\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\,\ \ }Δ t ′ = Γ (Δ t - v Δ x / c 2). {\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma \ \ left (\ Delta t-v \ \ Delta x / c ^ {2} \ right) \.}{\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\.}
Ур. 4: Δ x = γ (Δ x ′ + v Δ t ′), {\ displaystyle \ Delta x = \ gamma \ (\ Delta x '+ v \, \ Delta t') \, \}{\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\,\ }Δ t = γ (Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2). {\ displaystyle \ Delta t = \ gamma \ \ left (\ Delta t '+ v \ \ Delta x' / c ^ {2} \ right) \.}{\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\.}

Если мы берем дифференциалы вместо разностей, мы получаем

Ур. 5: dx ′ = γ (dx - vdt), {\ displaystyle dx '= \ gamma \ (dx-v \, dt) \, \ \}{\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\,\ \ }dt ′ = γ (dt - vdx / c 2). {\ displaystyle dt '= \ gamma \ \ left (dt-v \ dx / c ^ {2} \ right) \.}{\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\.}
Ур. 6: dx = γ (dx ′ + vdt ′), {\ displaystyle dx = \ gamma \ (dx '+ v \, dt') \, \}{\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\,\ }dt = γ (dt ′ + vdx ′ / с 2). {\ displaystyle dt = \ gamma \ \ left (dt '+ v \ dx' / c ^ {2} \ right) \.}{\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\.}

Графическое представление преобразования Лоренца

Рисунок 3-1. Построение диаграммы пространства-времени Минковского для преобразования Лоренца.

Диаграммы пространства-времени (диаграммы Минковского ) очень полезный помощник для визуализации того, как координаты преобразуются между различными системами отсчета. Хотя выполнить точные вычисления с их помощью не так просто, как с прямым вызовом преобразователей Ленцаор, их главная сила заключается в их способности обеспечить интуитивное понимание результатов релятивистского сценария.

Чтобы нарисовать диаграмму пространства-времени, Начнем с рассмотрения двух галилеевых опорных систем, S и S ', в стандартной конфигурации, как показано на рис. 2‑1.

Рис. 3‑1а. Нарисуйте оси x {\ displaystyle x}x и t {\ displaystyle t}t кадра S. x {\ displaystyle x}x ось горизонтальна, а ось t {\ displaystyle t}t (фактически ct {\ displaystyle ct}ct ) является вертикальным, что противоречит обычным правилам кинематики. Ось c t {\ displaystyle ct}ct масштабируется с коэффициентом c {\ displaystyle c}c , так что обе оси имеют общую длину. На показанной диаграмме линии сетки разнесены на единицу расстояния. Диагональные линии под углом 45 ° представляют мировые линии двух фотонов, проходящих через начало координат в момент t = 0. {\ displaystyle t = 0.}{\ displaystyle t = 0.} Наклон этих мировых линий равен 1, потому что фотоны продвигаются вперед на единицу. единица в визу за единицу времени. Два события, A {\ displaystyle {\ text {A}}}{\ displaystyle {\ text {A}}} и B, {\ displaystyle {\ text {B}},}{\ displaystyle {\ текст {B}},} , были нанесены на этот график, чтобы их координаты было сравнить в S и S 'кадрах.

Фиг. 3‑1b. Нарисуйте оси x ′ {\ displaystyle x '}x'и c t ′ {\ displaystyle ct'}{\displaystyle ct'}кадра S '. Ось ct ′ {\ displaystyle ct '}{\displaystyle ct'}представляет мировую линию начала системы S', измеренную в кадре S. На этом рисунке v = c / 2. {\ displaystyle v = c / 2.}{\ displaystyle v = c / 2.} И ct ′ {\ displaystyle ct '}{\displaystyle ct'}, и x ′ {\ displaystyle x'}x'оси наклонены от осей без штриха на угол α = загар - 1 ⁡ (β), {\ displaystyle \ alpha = \ tan ^ {- 1} (\ beta),}{\ displaystyle \ alpha = \ tan ^ {- 1 } (\ beta),} где β = v / c. {\ displaystyle \ beta = v / c.}{\ displaystyle \ beta = v / c.} Оси со штрихом и без него имеют общее происхождение, поскольку фреймы S и S 'были настроены в стандартной конфигурации, так что t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 , когда t ′ = 0. {\ displaystyle t '= 0.}{\displaystyle t'=0.}

Рис. 3‑1c. Единицы измерения на осях с грунтовкой имеют масштаб, отличные шкалы на осях без грунтовки. Из преобразований Лоренца мы видим, что (x ′, ct ′) {\ displaystyle (x ', ct')}{\displaystyle (x',ct')}координаты (0, 1) {\ displaystyle (0, 1)}(0,1) в системе координат со штрихом преобразовать в (β γ, γ) {\ displaystyle (\ beta \ gamma, \ gamma)}{\ displaystyle (\ beta \ gamma, \ gamma)} в системе координат без штриха. Аналогично, (x ′, ct ′) {\ displaystyle (x ', ct')}{\displaystyle (x',ct')}координаты (1, 0) {\ displaystyle (1,0)}(1, 0) в системе координат со штрихами преобразуйте в (γ, β γ) {\ displaystyle (\ gamma, \ beta \ gamma)}{\ displaystyle (\ gamma, \ beta \ gamma)} в системе без штрихов. Проведите линии параллельной оси ct ′ {\ displaystyle ct '}{\displaystyle ct'}через точку (k γ, k β γ) {\ displaystyle (k \ gamma, k \ beta \ gamma)}{\ displaystyle (k \ gamma, к \ бета \ гамма)} при измерении в кадре без штриха, где k {\ displaystyle k}k - целое число. Аналогичным образом нарисуйте линии сетки, параллельные оси x ′ {\ displaystyle x '}x'через (k β γ, k γ) {\ displaystyle (k \ beta \ gamma, k \ gamma))}{\ displaystyle (k \ beta \ gamma, k \ gamma)} при измерении в неподготовленном кадре. Используя теорему Пифагора, мы видим, что расстояние между ct ′ {\ displaystyle ct '}{\displaystyle ct'}единицами равно (1 + β 2) / (1 - β 2) {\ displaystyle {\ sqrt {(1+ \ beta ^ {2}) / (1- \ beta ^ {2})}}}{ \ displaystyle {\ sqrt {(1+ \ beta ^ {2}) / (1- \ beta ^ {2})}}} , умноженный на интервал между ct {\ displaystyle ct}ct единиц, как измерено в кадре S. Это отношение всегда больше 1, и в итоге оно приближается к бесконечности как β → 1. {\ Displaystyle \ beta \ rightarrow 1.}{\ displaystyle \ beta \ rightarrow 1. }

Рис. 3‑1d. Первая скорость света является инвариантом, мировые линии фотонов, проходящих через начало в момент t ′ = 0 {\ displaystyle t '= 0}{\displaystyle t'=0}, все еще строятся в виде диагональных линий 45 °. Координаты со штрихом A {\ displaystyle {\ text {A}}}{\ displaystyle {\ text {A}}} и B {\ displaystyle {\ text {B}}}{\ displaystyle {\ text {B}}} связаны с координатами без Оно дает нам геометрическое представление сценария, через преобразование Лоренца и может быть измерено по графику (при условии, что он нанесен точно), но реальное достоинство диаграммы Минковского заключается в том, что она дает нам геометрическое представление сценария. Например, на рисунке мы наблюдаем, что два разнесенных по времени события, которые имеют разные координаты x в незаштрихованном кадре, теперь находятся в одной и той же позиции в пространстве.

В то время как рамка без штриха нарисована с осями пространства и времени, которые пересекаются под прямым углом, рамка с штрихом нарисована с осями, которые пересекаются под острыми или туп углами. Эта асимметрия из-за неизбежных искажений в том, как координаты пространства-времени на декартовую плоскость, но кадры фактически эквивалентны.

Последствия преобразования Лоренца

Следующие специальные теории относительности могут быть получены из продуктов преобразования Лоренца. Эти преобразования и, следовательно, специальная теория относительности приводят к физическим предсказаниям, отличным от предсказаний ньютоновской механики для всех относительных скоростей, и наиболее ярко проявляются, когда относительные скорости становятся сопоставимыми со скоростью света. Скорость света настолько превосходит все, с чем сталкивается большинство людей, что некоторые из эффектов предсказывают теорией относительности, изначально нелогичны.

Инвариантный интервал

В теории относительности Галилея длина (Δ r {\ displaystyle \ Delta r}\ Delta r ) и временное разделение между двумя событиями (Δ t {\ displaystyle \ Delta t}\ Delta t ) являются инвариантами, значения которых не меняются при наблюдении из разных систем отсчета.

Однако в специальной теории относительности переплетение пространственных и временных координат порождает концепцию инвариантного интервала, обозначаемого как Δ s 2 {\ Displaystyle \ Delta s ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}} :

Δ s 2 знак равно defc 2 Δ T 2 - (Δ Икс 2 + Δ Y 2 + Δ Z 2) {\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \; {\ overset {def} {=}} \; c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - (\ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2})}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \; {\ overset {def} {=}} \; c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - (\ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2})}

Переплетение пространства и времени отменяет неявно предполагаемые концепции абсолютной одновременности и сравнения между несовместимыми кадрами.

Δ s 2, {\ displaystyle \ Delta s ^ {2},}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2},} , представляющая собой разность квадрата времени и квадрата пространственного расстояния, демонстрирует фундаментальное несоответствие между евклидовыми и пространственно-временными расстояниями. Инвариантность этого интервала является своим общим преобразованием Лоренца (также называемого преобразованием Пуанкаре ), что делает его изометрией пространства-времени. Общее преобразование Лоренца расширяет стандартное преобразование Лоренц (которое имеет дело с преобразованием без вращения, то есть Лоренц увеличивает в направлении x) всеми другими переводами, отражениями и вращения между любой декартовой инерциальной системой отсчета.

При анализе упрощенных сценариев, таких как пространственно-временные диаграммы, часто используется форма инвариантного интервала с уменьшенной размерностью:

Δ s 2 знак равно с 2 Δ T 2 - Δ x 2 {\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2}}

Продемонстрировать, что интервал инвариантен, просто для случая уменьшенной размерности и с фреймами в стандартной конфигурации :

c 2 Δ t 2 - Δ x 2 {\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2}}{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2}} = c 2 γ 2 (Δ t '+ v Δ x ′ c 2) 2 - γ 2 (Δ x ′ + v Δ t ′) 2 {\ displaystyle = c ^ {2} \ gamma ^ {2} \ left (\ Delta t '+ {\ dfrac {v \ Delta x '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ gamma ^ {2} \ (\ Delta x' + v \ Delta t ') ^ {2}}{\displaystyle =c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}}
= γ 2 (с 2 Δ t ′ 2 + 2 v Δ x ′ Δ t ′ + v 2 Δ x ′ 2 c 2) - {\ displaystyle = \ gamma ^ {2} \ left (c ^ {2} \ Delta t ' ^ {\, 2} + 2v \ Delta x '\ Delta t' + {\ dfrac {v ^ {2} \ Delta x '^ {\, 2}} {c ^ {2}}} \ right) -}{\displaystyle =\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-}γ 2 (Δ x '2 + 2 v Δ x' Δ t '+ v 2 Δ t' 2) {\ displaystyle \ gamma ^ {2} \ (\ Delta x '^ {\, 2} + 2v \ Delta x' \ Delta t '+ v ^ {2} \ Delta t' ^ {\, 2})}{\displaystyle \gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})}
= γ 2 c 2 Δ t ′ 2 - γ 2 v 2 Δ t ′ 2 - γ 2 Δ x ′ 2 + γ 2 v 2 Δ x ′ 2 c 2 {\ displaystyle = \ gamma ^ {2} c ^ {2} \ Delta t '^ {\, 2} - \ gamma ^ {2} v ^ {2} \ Delta t' ^ {\, 2} - \ gamma ^ {2} \ Delta x '^ {\, 2} + \ gamma ^ {2} {\ dfrac {v ^ {2} \ Delta x '^ {\, 2}} {c ^ {2}}}}{\displaystyle =\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}}= γ 2 c 2 Δ t ′ 2 (1 - v 2 c 2) - γ 2 Δ x ′ 2 (1 - v 2 c 2) {\ displaystyle = \ gamma ^ {2} c ^ {2} \ Delta t '^ {\, 2} \ left (1- {\ dfrac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) - \ gamma ^ {2} \ Delta x '^ {\, 2} \ left (1 - {\ dfrac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}} \ right)}{\displaystyle =\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}
= c 2 Δ t ′ 2 - Δ x ′ 2 {\ displaystyle = c ^ {2} \ Delta t '^ {\, 2} - \ Delta x '^ {\, 2}}{\displaystyle =c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}}

Следовательно, значение Δ s 2 {\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}} не зависит от кадра, в котором оно измеряется.

При рассмотрении физического значения Δ s 2 {\ displaystyle \ Delta s ^ {2}}{\ displaystyle \ Delta s ^ {2}} следует отметить три случая:

  • Δs>0: В этом случае два события разделены больше временем, чем пространством, и поэтому говорят, что они разделены подобно времени. Это означает, что | Δ x / Δ t | < c, {\displaystyle |\Delta x/\Delta t|{\ displaystyle | \ Delta x / \ Delta t | <c,} и с учетом преобразования Лоренца Δ x '= γ (Δ x - v Δ t), {\ displaystyle \ Delta x' = \ gamma \ (\ Delta xv \, \ Delta t),}{\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t),}очевидно, что существует v {\ displaystyle v}v меньше, чем c {\ displaystyle c}c , для которого Δ x ′ = 0 {\ displaystyle \ Delta x '= 0}{\displaystyle \Delta x'=0}(в частности, v = Δ x / Δ t {\ displaystyle v = \ Delta x / \ Delta t}{\ displaystyle v = \ Delta x / \ Delta t} ). Другими словами, учитывая два события, разделенных по времени, можно найти кадр, в котором эти два события происходят в одном месте. В этом кадре разделение во времени, Δ s / c, {\ displaystyle \ Delta s / c,}{\ displaystyle \ Delta s / c,} называется собственным временем.
  • Δs <0: In В этом случае два события разделены большим пространством, чем временем, и поэтому говорят, что они пространственно разделены. Это означает, что | Δ x / Δ t |>c, {\ displaystyle | \ Delta x / \ Delta t |>c,}{\displaystyle |\Delta x/\Delta t|>c,} и с учетом преобразования Лоренца Δ t '= γ (Δ t - v Δ x / c 2), {\ displaystyle \ Delta t' = \ gamma \ (\ Delta tv \ Delta x / c ^ {2}),}{\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}существует v {\ displaystyle v}v меньше, чем c { \ displaystyle c}c , для которого Δ t ′ = 0 {\ displaystyle \ Delta t '= 0}{\displaystyle \Delta t'=0}(в частности, v = c 2 Δ t / Δ x {\ displaystyle v = c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x}{\ displaystyle v = c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x} ). Другими словами, для двух событий, разделенных пространственным разделением, можно найти кадр, в котором два события происходят одновременно. В этом кадре разделение в пространстве, - Δ s 2, {\ displaystyle {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}},}{\ displaystyle {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}},} называется правильным расстоянием или надлежащей длиной. v {\ displaystyle v}v больше и меньше c 2 Δ t / Δ x, {\ d isplaystyle c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x,}{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x,} знак Δ t ′ {\ displayst yle \ Delta t '}\Delta t'изменяется, означает временной порядок разделенных пространством событий изменяется в зависимости от кадра, в котором события просматриваются. Однако временной порядок разделенных на время событий является абсолютным, поскольку может быть единственным способом, при котором v {\ displaystyle v}v может больше, чем c 2 Δ t / Δ x {\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x}{\ displaystyle c ^ {2} \ Delta t / \ Delta x} будет, если v>c. {\ displaystyle v>c.}{\displaystyle v>c.}
  • Δs = 0: В этом случае говорят, что два события разделены светоподобно. Это означает, что | Δ x / Δ t | = c, {\ displaystyle | \ Delta x / \ Delta t | = c,}{\ displaystyle | \ Delta x / \ Delta t | = c,} , и это отношение не зависит от кадра из-за добавления s 2. {\ displaystyle s ^ {2}.}{\ displaystyle s ^ {2}.} Отсюда мы видим, что скорость света в каждой инерциальной системе отсчета c {\ displaystyle c}c . Другими словами, исходя из предположения об универсальной ковариации Лоренца, постоянная скорость света производным результатом, а не

Относительность одновременности

Рисунок 4-1. Три события (A, B, C) параллны в системе отсчета некоторого наблюдателя O . при v = 0,3c, как измерено с помощью O, происходят события в порядке C, B, A. В системе отсчета, движущейся при v = −0,5c относительно O, события происходят в порядке A, B, C. Белые линии, линии одновременности, перемещаются из прошлого в будущем в соответствующих кадрах (зеленые оси координат), выделяются события, находящиеся на нем. Они являются локусом всех событий, происходящих одновременно в соответствующем кадре. Серая область - это световой конус относительно начала всех рассматриваемых кадров.

Рассмотрим два события, происходящие в двух разных местах, которые происходят одновременно в системе отсчета одного инерциального наблюдателя. Они могут возникать одновременно в системе отсчета другого инерциального наблюдателя (отсутствие абсолютной одновременности ).

Из Уравнения 3 (прямое преобразование Лоренца в терминах разностей координат)

Δ t ′ = γ (Δ t - v Δ xc 2) {\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - {\ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}}} \ right)}\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \,\Delta x}{c^{2}} \right)

Очевидно, что два события, которые связаны в системе отсчета S (удовлетворяющей Δt = 0), не обязательно одновременны в другой инерциальной системе отсчета S '(удовлетворяющей Δt' = 0). Только если эти особенности совмещены в кадре (удовлетворяющем Δx = 0), они будут другими в кадре S '.

Эффект Саньяка можно рассматривать как проявление относительности одновременности. Совместимость является эффектом первого порядка в v {\ displaystyle v}v , инструменты, основанные на эффекте Саньяка для своей работы, такие как кольцевые лазерные гироскопы и волоконно-оптические гироскопы экстремальными уровнями чувствительности.

Замедление времени

Промежуток времени между двумя событиями не является неизменным от одного наблюдателя к другому, но зависит от относительной скорости систем отсчета наблюдателей (например, парадокс близнецов, который касается близнеца, улетает на космическом корабле, движется со скоростью, близкой к скорости света, и возвращается, который не движется брат-то сильно постарел, что при постоянной скорости мы можем различить, какой из близнецов не движется, а какой из них движется).

Предположим, что часы находятся в состоянии покоя в незаштрихованной системе S. Расположение часов на двух разных тактах тогда показывает Δx = 0. Чтобы найти связь между временами между ними тиков, измеренных в системах, Уравнение 3 можно использовать, чтобы найти:

Δ t '= γ Δ t {\ displaystyle \ Delta t' = \ gamma \, \ Дельта t}\Delta t' = \gamma\, \Delta t для событий, удовлетворяющих Δ x = 0. {\ displaystyle \ Delta x = 0 \.}\ Delta x = 0 \.

Это показывает, что время (Δt ′) между двумя тактами, как видно в кадре, в котором движутся часы (S ′), больше, чем время (Δt) между этими отметками, как измерено в кадре покоя часов (S). Замедление времени объясняет ряд физических явлений; например, время жизни высокоскоростных мюонов, созданных столкновением космических лучей с частями во внешней атмосфере Земли и движущихся к поверхности, больше, чем время жизни движущихся мюонов, созданных и распадающихся в лаборатории..

Сокращение длины

Размеры (например, длина) измеренным одним наблюдателем может быть меньше, чем результаты измерений того же объекта, выполненные другими наблюдателем (например, парадокс лестницы включает в себя длинную лестницу, движущуюся со скоростью, близкую к скорости света, и находящуюся в небольшом гараже).

Точно так же предположим, что измерительный стержень находится в состоянии покоя и выровнен по оси x в незаштрихованной системе S. В этой системе длина этого стержня записывается как Δx. Для измерения длины стержня в системе S ', в которой стержень движется, расстояния x' до концевых точек стержня должны быть измерены одновременно в этой системе S '. Другими словами, характеризует Δt ′ = 0, которое можно комбинировать с Уравнением 3, чтобы найти соотношение между длинами Δx и Δx ′:

Δ x ′ = Δ x γ { \ displaystyle \ Delta x '= {\ frac {\ Delta x} {\ gamma}}}\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma} для событий, удовлетворяющих Δ t ′ = 0. {\ displaystyle \ Delta t' = 0 \.}\Delta t' = 0 \.

Это показывает, что длина (Δx ′) стержня, измеренная в кадре, в котором он движется (S ′), короче, чем его длина (Δx) в его собственной раме покоя (S).

Замедление времени и сокращение - это не просто видимость. Замедление времени явно связано с нашим временным интервалом между событиями, которые происходят в одном и том же месте в данной системе координат (так называемые «колокальные» события). Эти временные интервалы, которые наблюдаются в другой системе, наблюдаются в другой системе координат. Точно так же длина относится к нашим измеренным расстояниям между отдельными, но одинаковыми событиями в заданной выбранной системе координат. Эти события не совмещены между собой, а разделены расстояниями (пространством), они не происходят на одном и том же пространственном расстоянии от друга, если смотреть из другой движущейся системы координат.

Преобразование Лоренца скоростей

Рассмотрим две системы отсчета S и S 'в стандартной конфигурации. Частица в S движется в направлении x с вектором скорости u. {\ displaystyle \ mathbf {u}.}{\ mathbf {u}}. Какова его скорость u ′ {\ displaystyle \ mathbf {u '}}{\displaystyle \mathbf {u'} }в кадре S ′?

Мы можем написать

Ур. 7: | u | = и = д х / д т. {\ displaystyle \ mathbf {| u |} = u = dx / dt \.}{\ displaystyle \ mathbf {| u |} = u = dx / dt \.}
Ур. 8: | u ′ | = u ′ = d x ′ / d t ′. {\ displaystyle \ mathbf {| u '|} = u' = dx '/ dt' \.}{\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\.}

Подстановка выражений для dx ′ {\ displaystyle dx '}{\displaystyle dx'}и dt ′ {\ displaystyle dt' }{\displaystyle dt'}из Уравнение 5 в Уравнение 8, с последующими простыми математическими вычислениями и обратная подстановка из Уравнения 7 дает преобразование Лоренца скорости u {\ displaystyle u}u в u ′ {\ displaystyle u '}u':

Ур. 9: u ′ = dx ′ dt ′ = γ (dx - vdt) γ (dt - vdxc 2) = {\ displaystyle u '= {\ frac {dx'} {dt '}} = {\ frac { \ gamma (dx-vdt)} {\ gamma \ left (dt - {\ frac {vdx} {c ^ {2}}} \ right)}} =}{\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}}=}dxdt - v 1 - (vc 2) ( dxdt) = u - v 1 - uv / c 2. {\ displaystyle {\ frac {{\ frac {dx} {dt}} - v} {1- \ left ({\ frac {v} {c ^ {2 }}} \ right) \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right)}} = {\ frac {uv} {1-uv / c ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ frac {{\ frac {dx} {dt}} - v} {1- \ left ({\ frac {v} {c ^ {2 }}}) \ right) \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right)}} = {\ frac {uv} {1-uv / c ^ {2}}}.}

Обратное соотношение получается перестановкой символов со штрихом и без штриха и заменой v {\ displaystyle v}v с - v. {\ displaystyle -v \.}{\ displaystyle -v \.}

Ур. 10: u = u ′ + v 1 + u ′ v / c 2. {\ displaystyle u = {\ frac {u '+ v} {1 + u'v / c ^ {2}}}.}{\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}

Для u {\ displaystyle \ mathbf {u}}\ mathbf {u} не выровнен по оси x, мы пишем:

Ур. 11: u = (u 1, u 2, u 3) = {\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, \ u_ {2}, \ u_ {3}) =}{\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, \ u_ { 2}, \ u_ {3}) =} (dx / dt, dy / dt, dz / dt). {\ displaystyle (dx / dt, \ dy / dt, \ dz / dt) \.}{\ displaystyle (dx / dt, \ dy / dt, \ dz / dt) \.}
Ур. 12: u '= (u 1', u 2 ', u 3') = {\ displaystyle \ mathbf {u '} = (u_ {1}', \ u_ {2} ', \ u_ {3 } ') =}{\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=}(dx ′ / dt ′, dy ′ / dt ′, dz ′ / dt ′). {\ displaystyle (dx '/ dt', \ dy '/ dt', \ dz '/ dt') \.}{\displaystyle (dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\.}

Прямые и обратные преобразования для этого случая:

Ур. 13: u 1 ′ = u 1 - v 1 - u 1 v / c 2, {\ displaystyle u_ {1} '= {\ frac {u_ {1} -v} {1-u_ {1} v / c ^ {2}}} \,}{\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\,}u 2 ′ = u 2 γ (1 - u 1 v / c 2), {\ displaystyle u_ {2} '= {\ frac {u_ {2}} {\ gamma \ left (1-u_ {1} v / c ^ {2} \ right)}} \,}{\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\,}u 3 ′ = u 3 γ (1 - u 1 v / c 2). {\ displaystyle u_ {3} '= {\ frac {u_ {3}} {\ gamma \ left (1-u_ {1} v / c ^ {2} \ right)}} \.}{\displaystyle u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\.}
Ур. 14: u 1 = u 1 ′ + v 1 + u 1 ′ v / c 2, {\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {u_ {1} '+ v} {1 + u_ {1} 'v / c ^ {2}}} \,}{\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\,}u 2 = u 2 ′ γ (1 + u 1 ′ v / c 2), {\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {u_ {2))} '} {\ gamma \ left (1 + u_ {1}' v / c ^ {2} \ right)}} \,}{\displaystyle u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\,}u 3 = u 3 ′ γ (1 + u 1 ′ v / в 2). {\ displaystyle u_ {3} = {\ frac {u_ {3} '} {\ gamma \ left (1 + u_ {1}' v / c ^ {2} \ right)}} \.}{\displaystyle u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\.}

Уравнение 10 и Уравнение 14 можно интерпретировать как дающий результат u {\ displaystyle \ mathbf {u}}{\ mathbf {u}} две скорости v {\ displaystyle \ mathbf {v}}\ mathbf { v} и u ', {\ displaystyle \ mathbf {u'},}{\displaystyle \mathbf {u'},}, и они заменяют формулу u = u ′ + v {\ displaystyle \ mathbf {u = u '+ v}}{\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }, что справедливо в теории относительности Галилея. Интерпретированные таким образом, они обычно называются формулами сложения (или композиции) релятивистских скоростей, действительными для трех осей S и S ', выровненных друг с другом (хотя и не обязательно в стандартной конфигурации).

Отметил следующие моменты:

  • Если объект (например, фотон ) двигался со скоростью света в одном кадре (т.е. u = ± c или u ′ = ± c), то он также будет двигаться со скоростью света в любой другой системе отсчета, двигаясь с | v | < c.
  • Результирующая скорость двух скоростей с величиной меньше c всегда является скоростью с величиной меньше c.
  • Если обе | u | и | v | (а также | u ′ | и | v ′ |) малы относительно скорости света (то есть, например, | u / c | ≪ 1), тогда интуитивные преобразования Галилея восстанавливаются из уравнений преобразования для специальной теории относительности
  • Присоединение кадра к фотону (движущемуся лучом, как считает Эйнштейн) требует специальной обработки преобразований.

В стандартной конфигурации нет ничего особенного в направлении x. Приведенный выше формализм применим к любому направлению; и три ортогональных направления позволяют работать со всеми направлениями в визуальном представлении векторов скорости на их компонентах в этих направлениях. Подробнее см. Формула сложения скорости.

Вращение Томаса

Рисунок 4-2. Вращение Томаса - Вигнера

Комбинация двух неколлинеарных повышений Лоренца (т. Е. Двух неколлинеарных преобразователей Лоренца, ни одно из которых не связано с поворотом) приводит к преобразованию Лоренца, которое не является чистым повышением, которое представляет собой композицию повышения и вращения.

Вращение Томаса является результатом относительности одновременности. На рис. 4-2а, стержень длины L {\ displaystyle L}L в системе покоя (то есть, имея правильную длину о L {\ displaystyle L}L ) поднимается вертикально по оси Y в кадре земли.

На рис. 4‑2b такой же стержень виден из рамы ракеты, движущейся вправо со скоростью v {\ displaystyle v}v . Часы в правый конец стержня продвигается во времени на <, когда мы представим два часа, расположенные на левом и правом концах стержня, которые синхронизированы в рамке стержня, относительность одновременности заставляет наблюдателя в кадре ракеты наблюдать (не см.). 575>L v / c 2, {\ displaystyle Lv / c ^ {2},}{\ displaystyle Lv / c ^ {2},} и соответственно, стержень наклонен.

отличие от релятивистских эффектов второго порядка, таких как сокращение длины или замедление времени, этот эффект весьма значительным при довольно низких скоростях. Например, это можно увидеть в спине движущихся частиц, где прецессия Томаса - это релятивистская поправка, которая применяется к спину элементарной частицы или вращение макроскопического гироскопа, связывающее угловую скорость частиц, следующую по криволинейной орбите, с угловой скоростью орбитального движения.

Вращение Томаса обеспечивает разрешение хорошо известного «парадокса измерителя и дырки».

Причинная связь и запрет движения со скоростью, превышающей скорость света

Рисунок 4-3. Световой конус

На рис. 4‑3 временной интервал между событиями A («причина») и B («следствие») подобен времени; то есть существует система отсчета, в которой происходит процесс в одном месте. Если A предшествует в этом кадре, то A предшествует B во всех кадрах, доступных для преобразования Лоренца. Материя (или информация) может перемещаться (ниже света) от местоположения A, начиная с момента A, к местоположению B, прибывая во время B, поэтому может быть причинно-следственная связь (с причиной А и следствием В).

Интервал AC на диаграмме «подобен пространству»; то есть система отсчета, в котором происходит одновременно, разделенные только пространством. Существуют также кадры, в которых предшествуют C (как показано), в которых переданы следующие кадры A. Однако нет кадров, доступных для преобразования Лоренца, в события A и C происходят в одном месте. Это было между событиями A и C, произошла причинно-следственная связь, это произошло к парадоксуно-следственной связи.

Например, если сигналы могут посылаться быстрее света, тогда сигналы могут быть отправлены в прошлое отправителя (наблюдатель B на диаграммах). Тогда можно было бы построить систему причинных парадоксов.

Три маленьких белых и желтых цветы перед зеленым листом фона Рисунок 4-4. Нарушение причинно-следственной связи с использованием фиктивных. «мгновенных коммуникаторов»

Рассмотрим пространственно-временные диаграммы на рис. 4‑4. A и B стоят рядом с железнодорожным полотном, когда проезжает высокоскоростной поезд, C едет в последнем вагоне поезда. Мировые линии A и B вертикальны (ct), что указывает на неподвижное положение наблюдателей на земле, в то время как мировые линии C и D наклонены вперед (ct ′), отражая движение наблюдателей C и D. неподвижно в своем поезде, если смотреть с земли.

  1. Фиг. 4‑4а. Событие «B передает сообщение D», когда ведущий автомобиль проезжает мимо, находится в начале кадра D. D отправляет сообщение по поезду к C в заднем вагоне, используя фиктивный «мгновенный коммуникатор». Мировая линия этого сообщения - это жирная красная стрелка вдоль оси - x ′ {\ displaystyle -x '}-x', которая представляет собой линию параллельности в выделенных кадрах C и D. (незаштрихованный) наземный кадр сигнал приходит раньше, чем был отправлен.
  2. Рис. 4‑4b. Событие «C передает сообщение A», который стоит у железнодорожных путей, находится в начале их кадров. Теперь A отправляет сообщение по дорожкам к B через «мгновенный коммуникатор». Мировая линия этого сообщения - синяя толстая стрелка вдоль оси + x {\ displaystyle + x}{\ displaystyle + x} , которая представляет собой линию одновременности для кадров A и B. Как видно из пространственно-временной диаграмме, B получает сообщение до того, как отправит его, нарушение причинной связи.

Нет необходимости, чтобы сигналы были мгновенными, чтобы нарушить причинность. Даже если сигнал от D до C был немного меньше, чем ось x ′ {\ displaystyle x '}x'(а сигнал от A до B немного круче, чем по оси x {\ displaystyle x}x ось), для B все еще будет возможно получить свое сообщение до того, как он его отправил. Увеличивая скорость поезда до скоростей, близких к скорости света, оси ct ′ {\ displaystyle ct '}{\displaystyle ct'}и x ′ {\ displaystyle x'}x'может быть сжатым очень близко к пунктирной линии, представляющей скорость света. С помощью этой модифицированной установки можно установить, что даже сигналы, которые лишь немного превышают скорость света, приведут к причинно-следственной связи.

Следовательно, ifпричинно-следственная связь должна быть сохранена, что является одним из последствий Специальной теории теории, состоящей в том, что никакой информационный сигнал или материальный объект не может перемещаться быстрее света в вакууме.

Нельзя сказать, что все выше скорости скорости света невозможны. Можно описать различные тривиальные ситуации, когда некоторые «вещи» (не реальная материя или энергия) движутся быстрее света. Например, если луч прожектора попадает в нижнюю часть облака, может перемещаться быстрее света при быстром повороте прожектора (хотя это не нарушаетно-следственную связь или любое другое релятивистское явление).

Оптические эффекты

Эффекты перетаскивания

Рисунок 5-1. Сильно упрощенная схема эксперимента Физо 1851 года.

В 1850 году Ипполит Физо и Леон Фуко независимо друг от друга установили, что свет движется в воде медленнее, чем в воздухе, тем самым подтвердив предсказание волновая теория света Френеля и опровержение соответствующего предсказания корпускулярной теории Ньютона. Скорость света измерялась в стоячей воде. Какая была бы скорость в текущей воде?

В 1851 году Физо провел эксперимент, чтобы ответить на этот вопрос, упрощенное представление на рис. 5‑1. Луч света разделяется светоделителем, и разделенные лучи проходят в противоположных направлениях через трубку с текущей водой. Они рекомбинированы, чтобы сформировать интерференционные полосы, указывающие на разницу в длине оптического пути, которую может видеть наблюдатель. Эксперимент показал, что перетаскивание света текущей водой вызывает смещение полос, показывая, что движение воды влияет на скорость света.

Согласно преобладающим в то время теориям, свет, проходящий через движущуюся среду, был бы простой суммой его скорости в среде плюс скорость среды. Вопреки ожиданиям, Физо обнаружил, что, хотя свет, казалось, увлекался водой, величина затягивания была намного ниже, чем ожидалось. Если u ′ = c / n {\ displaystyle u '= c / n}{\displaystyle u'=c/n}- скорость света в стоячей воде, а v {\ displaystyle v}v - это скорость воды, а u ± {\ displaystyle u _ {\ pm}}{\ displaystyle u _ {\ pm}} - это скорость света, переносимая водой в лабораторном кадре, когда поток воды прибавляет или вычитает от скорости света, то

u ± = cn ± v (1 - 1 n 2). {\ displaystyle u _ {\ pm} = {\ frac {c} {n}} \ pm v \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) \.}{\ displaystyle u _ {\ pm} = {\ frac {c} {n}} \ pm v \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) \.}

Результаты Физо, хотя и согласуются с более ранней гипотезой Френеля о частичном увлечении эфира, крайне сбивали с толку физиков того времени. Среди прочего, наличие показателя преломления означало, что, поскольку n {\ displaystyle n}n зависит от длины волны, эфир должен быть способен выдерживать разные движения одновременно. Для объяснения коэффициента увлечения Френеля было предложено множество теоретических объяснений, которые полностью противоречили друг другу. Еще до эксперимента Майкельсона – Морли экспериментальные результаты Физо были среди ряда наблюдений, которые создали критическую ситуацию в объяснении оптики движущихся тел.

С точки зрения специальной теории относительности., Результат Физо есть не что иное, как приближение к Уравнению 10, релятивистской формуле для композиции скоростей.

u ± = u ′ ± v 1 ± u ′ v / c 2 = {\ displaystyle u _ {\ pm} = {\ frac {u '\ pm v} {1 \ pm u'v / c ^ {2}}} =}{\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}c / n ± v 1 ± v / cn ≈ {\ displaystyle {\ frac {c / n \ pm v} {1 \ pm v / cn}} \ приблизительно}{\ displaystyle {\ frac {c / n \ pm v} {1 \ pm v / cn}} \ приблизительно} c (1 n ± vc) (1 ∓ vcn) ≈ {\ displaystyle c \ left ( {\ frac {1} {n}} \ pm {\ frac {v} {c}} \ right) \ left (1 \ mp {\ frac {v} {cn}} \ right) \ приблизительно}{\ displaystyle c \ left ({\ frac {1} {n}} \ pm {\ frac {v} {c}) } \ right) \ left (1 \ mp {\ frac {v} {cn}} \ right) \ приблизительно} сп ± v (1 - 1 n 2) {\ displaystyle {\ frac {c} {n}} \ pm v \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right)}{\ displaystyle {\ frac {c} {n}} \ pm v \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right)}

Релятивистская аберрация света

Рис. 5-2. Иллюстрация звездной аберрации

Из-за конечной скорости света, если относительные движения источника и приемника включают поперечный компонент, то направление, из которого свет достигает приемника, будет смещено от геометрического положения в пространстве источник относительно приемника. Классический расчет смещения принимает две формы и дает разные прогнозы в зависимости от того, движутся ли приемник, источник или оба они по отношению к среде. (1) Если приемник находится в движении, смещение будет следствием аберрации света. Угол падения луча относительно приемника можно вычислить из векторной суммы движений приемника и скорости падающего света. (2) Если источник находится в движении, смещение будет следствием коррекции светового времени. Смещение видимого положения источника от его геометрического положения было бы результатом движения источника в течение времени, которое его свету требуется, чтобы достичь приемника.

Классическое объяснение провалило экспериментальную проверку. Поскольку угол аберрации зависит от соотношения между скоростью приемника и скоростью падающего света, прохождение падающего света через преломляющую среду должно изменить угол аберрации. В 1810 году Араго использовал это ожидаемое явление в неудачной попытке измерить скорость света, а в 1870 году Джордж Эйри проверил гипотезу с помощью телескопа, заполненного водой, и обнаружил, что, вопреки ожиданиям, измеренная аберрация была идентична аберрации, измеренной с помощью телескопа, заполненного воздухом. «Громоздкая» попытка объяснить эти результаты использовала гипотезу частичного сопротивления эфира, но была несовместима с результатами эксперимента Майкельсона-Морли, который, по-видимому, требовал полного сопротивления эфира.

Предполагая инерциальную систему отсчета, релятивистское выражение для аберрации света применимо как для случая перемещения приемника, так и для случая перемещения источника. Было опубликовано множество тригонометрически эквивалентных формул. Выраженные в терминах переменных на рис. 5‑2, они включают

cos ⁡ θ ′ = cos ⁡ θ + v / c 1 + (v / c) cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta '= { \ frac {\ cos \ theta + v / c} {1+ (v / c) \ cos \ theta}}}{\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}ORsin ⁡ θ ′ = sin ⁡ θ γ [1 + (v / c) cos ⁡ θ ] {\ displaystyle \ sin \ theta '= {\ frac {\ sin \ theta} {\ gamma [1+ (v / c) \ cos \ theta]}}}{\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}ORзагар ⁡ θ ′ 2 = (c - vc + v) 1/2 загар ⁡ θ 2 {\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta '} {2}} = \ left ({\ frac {cv} {c + v}} \ right) ^ {1 / 2} \ tan {\ frac {\ theta} {2}}}{\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}

Релятивистский эффект Доплера

Релятивистский продольный эффект Доплера

Классический эффект Доплера зависит от того, является ли источник, приемник, или оба находятся в движении относительно среды. Релятивистский эффект Доплера не зависит от какой-либо среды. Тем не менее, релятивистский доплеровский сдвиг для продольного случая, когда источник и приемник движутся прямо навстречу друг другу или от них, может быть получен, как если бы это было классическое явление, но модифицированное добавлением члена замедления времени, и это процедура, описанная здесь.

Предположим, что приемник и источник удаляются друг от друга с относительной скоростью v {\ displaystyle v \,}v \, , как измерено наблюдателем на приемнике или источнике (принятое здесь соглашение о знаках состоит в том, что v {\ displaystyle v \,}v \, отрицательно, если приемник и источник движутся навстречу друг другу). Предположим, что источник неподвижен в среде. Тогда

fr = (1 - v / cs) fs {\ displaystyle f_ {r} = (1-v / c_ {s}) f_ {s}}{\ displaystyle f_ {r} = (1-v / c_ {s}) f_ {s}}

где cs {\ displaystyle c_ { s}}c_ {s} - скорость звука.

Для света, когда приемник движется с релятивистской скоростью, часы на приемнике растянуты по времени по сравнению с часами в источнике. Приемник будет измерять принимаемую частоту как

fr = γ (1 - β) fs {\ displaystyle f_ {r} = \ gamma (1- \ beta) f_ {s}}{\ displaystyle f_ {r} = \ gamma (1- \ beta) f_ {s}} = 1 - β 1 + β фс. {\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \, f_ {s}.}{\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \, f_ {s }.}

где

β = v / c {\ displaystyle \ beta = v / c}{\ displaystyle \ beta = v / c} и
γ = 1 1 - β 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}\ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} - фактор Лоренца.

Идентичное выражение для релятивистского доплеровского сдвига получается при выполнении анализа в системе отсчета приемника с движущимся зрителем.

Поперечный эффект Доплера

Рисунок 5-3. Поперечный эффект Доплера для двух сценариев: (а) приемник движется по кругу вокруг источника; (б) источник движется по кругу вокруг приемника.

Поперечный эффект Доплера - одно из главных новых предсказаний специальной теории относительности.

Классически можно было бы ожидать, что если источник и приемник движутся поперек друга без продольной составляющей их относительных движений, то не должно быть доплеровского сдвига в свете, поступающем на приемник.

Специальная теория относительности предсказывает. На рис. 5‑3 показаны два распространенных варианта этой сценария. Оба варианта можно проанализировать, используя простые аргументы, связанные с замедлением времени. На рис. 5‑3a приемник видит свет от источника с синим смещением в γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma . На рис. 5‑3b свет смещен в красную сторону с тем же коэффициентом.

Измерение и внешний вид

Замедление времени и сокращение длины - это не оптические иллюзии, а подлинные эффекты. Измерения этих эффектов не являются артефактом доплеровского сдвига и не являются результатом пренебрежения с учетом времени, требуется свету, чтобы пройти от события до наблюдателя.

Ученые проводят фундаментальное различие между измерением или наблюдением, с одной стороны, и визуальным внешним видом или тем, что человек видит. Измеренная форма объекта - это гипотетический снимок всех точек объекта, использование в один момент времени. Однако на внешний вид влияет различная продолжительность времени, которое требуется свету, чтобы пройти от разных точек объекта к глазу.

Рисунок 5-4. Сравнение измеренной длины куба с его визуальным внешним видом.

в течение многих лет различие между ними не ценилось в целом, и обычно считалось, что объект с сокращенной длиной, проходящий мимо наблюдателя, на самом деле будет на самом деле рассматривать как сокращенную длину. В 1959 году Джеймс Террелл и Роджер Пенроуз независимо друг от друга указали, что эффекты дифференциальной задержки сигналов, поступающих к наблюдателю из разных частей движущегося объекта, приводят к тому, что внешний вид быстро движущегося объекта сильно отличается от измеренной формы. Например, удаляющийся объект будет перемещаться, приближающийся объект будет казаться удлиненным, а проходящий объект будет иметь вид перекоса, который можно сравнить с вращением. Движущаяся сфера поддерживает вид сферы, хотя изображения на поверхности изображения искажаться.

Рис. 5-5. Галактика M87 испускает струю электронов и других субатомных частиц, движущуюся через черную дыру, которая движется почти со скоростью света.

Рис. 5‑4 показанного с расстояния, в четыре раза превышающего длину его сторон. На высоких скоростях стороны куба, перпендикулярные направления, выглядят гиперболическими. Куб фактически не вращается. Скорее, свету задней части куба требуется больше времени, чтобы достичь глаз по сравнению со светом спереди, в течение которого куба переместился вправо. Эта иллюзия стала известна как вращение Террелла или эффект Террелла-Пенроуза.

Другой пример, когда внешний вид расходится с измерением, получен при наблюдении видимого сверхсветового движения в различных радиогалактиках, объектов BL Lac, квазарах и других астрономических объектов, выбрасывающих струи материи с релятивистской скоростью под узкими углами по отношению к зрителю. В результате возникает кажущаяся оптическая иллюзия, создающая впечатление движения быстрее скорости света. На рис. 5‑5 галактика M87 излучает высокоскоростную струю субатомных частиц почти прямо к нам, но вращение Пенроуза-Террел заставляет струю двигаться вбок таким же образом, как и струя Внешний вид куба на рис. 5‑4 был растянут.

Динамика

Раздел Последствия преобразования Лоренца строго касались кинематики, изучение точек движения, тел и систем тел без учета сил, вызвавших это движение. В этом разделе обсуждаются массы, силы, энергия и так далее, и поэтому используются физические эффекты, выходящие за рамки тех, которые охватываются преобразованием Лоренца.

Эквивалентность массы и энергии

По мере приближения скорости объекта к скорости света с точки зрения наблюдателя, релятивистская масса увеличивается, что усложняет задачу. чтобы ускорить его изнутри системы отсчета наблюдателя.

Энергосодержание покоящегося объекта с массой m равно mc. Сохранение энергии. Точно так же массу объекта можно увеличить, высокую эффективность.

В дополнение к упомянутым выше статьям, в которых представлены параметры преобразования Лоренца и описанные крайней мере четыре меры теории относительности, Эйнштейн также написал по крайней мере четыре меры теории относительности. трансмутируемость) массы и энергии при E = mc.

Эквивалентность массы и энергии является следствием специальной теории относительности. Энергия и импульс, которые разделены в механике Ньютона, образуют четырехвектор теории относительности, и это связывает компонент времени (энергию) с компонентами пространства (импульсом) нетривиальным образом.. Для объекта в состоянии покоя четырехвектор энергии-импульса равен (E / c, 0, 0, 0): он имеет компонент времени который, и три компонента пространства, которые равны нулю. Изменяя системы отсчета с преобразованием Лоренца в направлении x с малым значением скорости v, четырехвектор и энергииса становится (E / c, Ev / c, 0, 0). Импульс количества энергии, умноженной на скорость, деленную на c. Таким образом, ньютоновская масса объекта, которая представляет собой отношение количества движения к скорости для медленных скоростей, равна E / c.

Энергия и импульс имеют свойства материи и излучения, что они образуют четырехвекторную, только из двух основных постулатов теории относительности сами по себе, потому что они не говорят о материи. или радиация, они говорят только о пространстве и времени. Поэтому вывод требует некоторых физических рассуждений. В своей статье 1905 года Эйнштейн использовал дополнительные принципы, которые ньютоновская механика должна соблюдать для медленных скоростей, так что существует один скаляр энергии и один трехвекторный импульс для медленных скоростей, и что закон сохранения энергии и импульса в точности верен в теории относительности.. Кроме того, он предположил, что энергия света преобразуется тем же фактором доплеровского сдвига, что и его частота, что он ранее доказал на основе уравнений Максвелла. Первой из статей Эйнштейна на эту тему была «Зависит ли инерция тела от его энергоемкости?» в 1905 году. Хотя аргументы Эйнштейна в этой статье почти повсеместно признаются физиками как правильные и даже самоочевидные, многие авторы на протяжении многих лет полагали, что это неверно. Другие авторы предполагают, что этот аргумент был просто неубедительным, потому что он опирался на некоторые неявные предположения.

Эйнштейн признал разногласия по поводу своего вывода в своей обзорной статье 1907 года по специальной теории относительности. Там он отмечает, что полагаться на уравнения Максвелла для эвристического аргумента масса – энергия проблематично. Аргументация в его статье 1905 года может быть проведена с использованием излучения любых безмассовых частиц, но уравнения Максвелла неявно используются, чтобы сделать очевидным, что излучение света, в частности, может быть достигнуто только путем выполнения работы. Чтобы испустить электромагнитные волны, все, что вам нужно сделать, это встряхнуть заряженную частицу, и она явно выполняет свою работу, так что излучение имеет энергию.

Как далеко можно улететь от Земли?

Поскольку человек не может путешествовать быстрее света, можно сделать вывод, что человек никогда не сможет путешествовать дальше от Земли, чем на 40 световых лет, если путешественник активен в возрасте от 20 до 60 лет. Легко подумать, что человек путешественник никогда не смог бы достичь большего, чем очень немногие солнечные системы, которые существуют в пределах 20–40 световых лет от Земли. Но это было бы ошибочным выводом. Из-за замедления времени гипотетический космический корабль может путешествовать на тысячи световых лет в течение 40 лет активности пилота. Если можно построить космический корабль, который ускоряется с постоянным ускорением 1g, то менее чем через год он будет лететь почти со скоростью света, если смотреть с Земли. Это описывается следующим образом:

v (t) = at 1 + a 2 t 2 c 2 {\ displaystyle v (t) = {\ frac {at} {\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2))} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}}{\ displaystyle v (t) = {\ frac {at} {\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2)} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}}

где v (t) - скорость в момент времени t, a - ускорение 1g, а t - время, измеренное людьми. на земле. Следовательно, после одного года ускорения со скоростью 9,81 м / с космический корабль будет двигаться со скоростью v = 0,77c относительно Земли. Замедление времени увеличит продолжительность жизни путешественника, как видно из системы отсчета Земли, до 2,7 лет, но продолжительность его жизни, измеренная часами, путешествующими с ним, не изменится. Во время своего путешествия люди на Земле проведут больше времени, чем он. Пятилетний полет туда и обратно займет 6,5 земных лет и преодолеет расстояние более 6 световых лет. 20-летний полет туда и обратно (5 лет с ускорением, 5 замедлением, двойным ударом) вернет его обратно на Землю, пройдя 335 земных лет и расстояние в 331 световой год. Полное 40-летнее путешествие на 1g на Земле продлится 58 000 лет и покроет расстояние 55 000 световых лет. 40-летний полет на 1,1g займет 148 000 земных лет и покрывает около 140 000 световых лет. Путешествие в один конец 28 лет (14 лет с ускорением, 14 лет с замедлением по часам астронавта) с ускорением в 1 г может достичь 2000000 световых лет до Галактики Андромеды. Это же замедление времени является причиной того, что мюон, путешествующий близко к точке c, проходит дальше, чем c, умноженное на период полураспада (в состоянии покоя).

Относительность и объединяющий электромагнетизм

Теоретические исследования в классическом электромагнетизме привели к открытию распространения волн. Уравнения обобщающие электромагнитные эффекты показали, что конечная скорость распространения полей E и B требует определенного поведения заряженных частиц. Общее исследование движущихся зарядов формирует потенциал Льенара - Вихерта, который является шагом к специальной теории относительности.

Преобразование Лоренца электрического поля движущегося заряда в системе отсчета неподвижного наблюдателя приводит к появлению математического терминала, обычно называемого магнитным полем. И наоборот, магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, исчезает и становится чисто электростатическим полем в общей системе отсчета. Уравнения Максвелла, таким образом, просто эмпирически соответствуют специальным релятивистским эффектам в классической модели Вселенной. Электрическое и магнитное поля зависят от системы отсчета и, таким образом, взаимосвязаны, говорят об электромагнитных полях. Специальная теория относительности правил преобразования того, как электромагнитное поле в одной инерциальной системе отображается в другой системе отсчета.

Уравнения Максвелла в трехмерной форме уже существуют с помощью физической специальной теории относительности, хотя они легче манипулировать в явно ковариантной форме, то есть на языке тензорное исчисление.

Теории относительности и квантовая механика

Специальная теория относительности может быть объединена с квантовой механикой, образуя релятивистскую квантовую механику и квантовая электродинамика. Как общая теория относительности и квантовая механика могут быть объединены - одна из нерешенных проблем физики ; квантовая гравитация и «теория всего », которые требуют объединения, включая общую теорию относительности, являются активными и постоянными областями теоретических исследований.

Ранняя модель атома Бора-Зоммерфельда объясняла тонкую преобразовать атомы щелочного металла, используя специальную теорию относительности, так и предварительные знания по квантовая механика того времени.

В 1928 году Поль Дирак построил влиятельное релятивистское волновое уравнение, теперь известное как уравнение Дирака в его честь, что полностью совместимо как со специальной теорией относительности, так и с последней версией квантовой теории, существовавшей после 1926 года. Это уравнение не только содержит собственный угловой момент электронов, называемый спином, оно также приводит к предсказанию античастицы электрона (позитрон ) и тонкой структуры можно полностью объяснить только с помощью специальной теории относительности. Это первое было основание релятивистской квантовой механики.

. С другой стороны, существование античастиц приводит к выводу, что релятивистской квантовой механики недостаточно для более точной и полной теории взаимодействий частиц. Вместо этой необходимой теории частиц, интерпретируемая как квантованные поля, называемая квантовой теорией поля ; в котором частицы могут быть созданы и уничтожены в простран и времени.

Статус

Специальная теория относительности в ее пространстве-времени Минковского точна только тогда, когда абсолютное значение гравитационного потенциала намного меньше чем c в интересующей области. В сильном гравитационном поле нужно использовать общую теорию относительности. Общая теория относительности становится специальной теорией относительности на пределе слабого поля. В очень малых масштабах, таких как планковская длина и ниже, необходимо учитывать квантовые эффекты, приводящие к квантовой способности. Современная классическая теория экспериментально проверена с высокой степенью точности (10) и, таким образом, принята сообществом физиков. Экспериментальные результаты, которые кажутся противоречащими этому, не воспроизводятся таким образом, широко считаются, что они вызваны экспериментальными ошибками.

Специальная теория относительности математически самосогласована и является органической частью всех современных физических теорий, в первую очередь квантовой теории поля, теории струн и общей теории относительности. (в предельном случае пренебрежимо малых гравитационных полей).

Ньютоновская механика математически следует из специальной теории относительности при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) - таким образом, ньютоновскую механику можно рассматривать как специальную теорию относительности медленно движущихся тел. См. классическая механика для более подробного обсуждения.

Несколько экспериментов, предшествовавших работе Эйнштейна 1905 года, теперь интерпретируются как свидетельство относительности. Известно, что Эйнштейн знал об эксперименте Физо до 1905 года, и историки пришли к выводу, что Эйнштейн знал об эксперименте Майкельсона-Морли еще в 1899 году, несмотря на заявления, которые он делал в более поздние годы, что он не играл никакой роли в его развитие. развитие теории.

  • Эксперимент Физо (1851, повторенный Майкельсоном и Морли в 1886 году) измерял скорость света в движущихся средах, с результатами, которые согласуются с релятивистским сложением коллинеарных скоростей.
  • Известный Майкельсона-Морли (1881, 1887) дал дальнейшую поддержку постулата, что определение абсолютного опорного скорость была не достижима. Здесь следует указать, что, вопреки многим альтернативным утверждением, он мало говорит об инвариантности света относительно скорости и наблюдателя, поскольку и источник, и наблюдатель все время движутся вместе с одной и той же скоростью. 900>
  • Эксперимент Траутона-Нобла (1903) показал, что крутящий момент на конденсаторе не зависит от положения и инерциальной системы отсчета.
  • Эксперименты Рэлея и Брейса (1902, 1904) показали, что сокращение не приводит к двулучепреломлению для движущегося вместе наблюдателя, в соответствии с принципом относительности.

Ускорители элементарных частиц обычно ускоряют и измеряют свойства частиц, движущихся на близком расстоянии. скорость света, где их поведение полностью согласуется с теорией относительности и несовместимо с более ранней механикой Ньютона. Эти машины просто не работали бы, если бы они не были спроектированы в соответствии с релятивистскими принципами. Кроме того, было проведено значительное количество современных экспериментов для специальной теории относительности. Некоторые примеры:

Техническое обсуждение пространства-времени

Геометрия пространства-времени

Сравнение плоского евклидова пространства и Пространство Минковского

Рис. 10-1. Ортогональность и вращение систем координат по сравнению между влево: евклидовым пространством через круговой угол φ, вправо: в пространстве-времени Минковского <От 822>до гиперболический угол φ (красные линии с меткой c обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален сам себе, если он лежит на этой линии).

Специальная теория относительности использует «плоское» 4-мерное пространство Минковского - пример пространства-времени. Пространство-время Минковского кажется очень похожим на стандартное трехмерное евклидово пространство, но есть существенное различие во времени.

В космическом пространстве дифференциал расстояние (линейный элемент) ds определяется как

ds 2 = dx ⋅ dx = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} = dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2},}ds ^ 2 = d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2,

где d x = (dx 1, dx 2, dx 3) - разности трех пространственных Габаритных размеров. В геометрии Минковского есть дополнительное измерение с координатой X, полученной из времени, так что дифференциал радиусний удовлетворяет

ds 2 = - d X 0 2 + d X 1 2 + d X 2 2 + d X 3 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = - dX_ {0} ^ {2} + dX_ {1} ^ {2} + dX_ {2} ^ {2} + dX_ {3} ^ {2},}ds ^ 2 = -dX_0 ^ 2 + dX_1 ^ 2 + dX_2 ^ 2 + dX_3 ^ 2,

где d X = (dX 0, dX 1, dX 2, dX 3) - разности четыре измерения пространства-времени. Это предполагает глубокое теоретическое понимание: специальная теория относительности - это просто вращательная симметрия нашего пространства-времени, аналогичная вращательной симметрии евклидова пространства (см. Рис. 10‑1). Как евклидово пространство использует евклидову метрику, так и пространство-время использует метрику Минковского. По, теории относительности может быть основа как инвариантность любого пространственно-временного интервала (то есть четырехмерного расстояния между любыми двумя событиями) при просмотре из любой инерциальной системы отсчета. Все уравнения и специальные теории относительности могут быть выведены из этой вращательной симметрии (группа Пуанкаре ) пространства-времени Минковского.

Фактическая форма приведенных выше ds зависит от метрики и от выбора координат X. Чтобы координата времени выглядела как пространственные координаты, ее можно рассматривать как мнимую : X 0 = ict (это называется вращением фитиля ). Согласно Миснеру, Торну и Уиллеру (1971, §2.3), в итоге более глубокое понимание как специальной, так и общей теории относительности придет из изучения метрики Минковского (описанной ниже) и принятия X = ct, вместо « замаскированной »евклидовой метрики, использующей ict в качестве временных координат.

Некоторые используют X = t с коэффициентами c в другом месте для компенсации; например, пространственные координаты делятся на c или множители c включаются в метрический тензор. Эти многочисленные обозначения можно заменить, используя натуральные единицы, где c = 1. Тогда пространство и время имеют эквивалентные единицы, и никакие условные множители c нигде не появляются.

Трехмерное пространство-время

Рисунок 10-2. Трехмерный двойной конус.

Если мы уменьшим пространственное изображение до 2, чтобы мы могли разместить физическое в космическом пространстве

ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 - c 2 dt 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = dx_ {1 } ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2},}ds ^ 2 знак равно dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2,

мы видим, что null геодезические лежат вдоль двойного конуса (см. Рис. 10‑2), определяемого уравнением;

ds 2 = 0 = dx 1 2 + dx 2 2 - c 2 dt 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = 0 = dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2}}ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2

или просто

dx 1 2 + dx 2 2 = c 2 dt 2, {\ displaystyle dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2 } = c ^ {2} dt ^ {2},}dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2,

что является уравнением окружности радиуса c dt.

4D пространство-время

Если мы расширим это до трех пространственных измерений, нулевые геодезические будут 4-мерным конусом:

ds 2 = 0 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 - c 2 dt 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = 0 = dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2}}ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2

поэтому

dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 = c 2 dt 2. {\ displaystyle dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2}.}dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2.
Рисунок 10-3. Концентрические сферы, иллюстрирующие в 3-м пространстве нулевые геодезические 4-мерного конуса в визу-времени.

Как показано на рис. 10‑3, нулевые геодезические могут быть визуализированы как набор непрерывных концентрических сфер с радиусом = c dt.

Этот нулевой двойной конус представляет собой «линию обзора» точки в пространстве. То есть, когда мы смотрим на звезды и говорим: «Свету этой звезды, который я получаю, X лет», мы смотрим вниз по этому лучу зрения: нулевая геодезическая. Мы смотрим на событие на расстоянии d = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 {\ displaystyle d = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}}}}d = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2} далеко и время в прошлом. По этой причине нулевой двойной конус также известен «световой конус». (Точка в нижнем левом представлении области. 10‑2 представляет собой звезду, начало координат наблюдателя, линия представляет собой нулевую геодезическую «обзор».)

Конус в −t область - это информация, которую точка «принимает» », А конус в разделе + t - это информация, которую точка« отправляет ».

Геометрия пространства Минковского может быть изображена с помощью диаграмм Минковского, которые также полезны для понимания многих мысленных экспериментов в специальной теории относительности.

Обратите внимание, что в 4-м визу-времени концепция центра масс становится более сложной, см. Центр масс (релятивистский).

Физика в пространстве-времени

Преобразования физических величин между системами отсчета

Выше преобразование Лоренца для временных координат и трех пространственных координатных измерений показывает, что они взаимосвязаны. Это верно в более общем смысле: пары «времениподобных» и «пространственноподобных» величин естественно объединяются на равных основаниях при одном и том же преобразовании Лоренца.

Преобразование Лоренца в стандартной конфигурации, приведенной выше, то есть для повышения в направлении x, может быть преобразовано в матричную форму следующим образом:

(ct ′ x ′ y ′ z ′) = (γ - β γ 0 0 - β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) (ctxyz) = (γ ct - γ β x γ x - β γ ctyz). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma - \ beta \ gamma 0 0 \\ - \ beta \ gamma \ gamma 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \\ y \ \ z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct - \ gamma \ beta x \\\ gamma x- \ beta \ gamma ct \\ y \\ z \ end {pmatrix}}.}\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma -\beta\gamma 0 0\\ -\beta\gamma \gamma 0 0\\ 0 0 1 0\\ 0 0 0 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma ct- \gamma\beta x\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}.

В ньютоновской механике, имеющей значение и направление, математически описываются как трехмерные в евклидовом пространстве, и в целом они параметрыризованы временем. В пространственно-временной векторной величине, или «четыре вектора », в пространстве-времени Минковского, используется специальная теория относительности. Компоненты векторов записываются с использованием нотации тензорного индекса, так как это дает множество преимуществ. Обозначения дают понять, что уравнения явно ковариантны относительно группы Пуанкаре, что позволяет избежать утомительных вычислений для проверки этого факта. При построении таких систем часто используются уравнения, которые ранее считались несвязанными, на самом деле связаны, являясь частью одного и того же тензорного уравнения. Признание других физических величин тензорами упрощает их законы преобразования. Повсюду верхние индексы (верхние индексы) являются контравариантными индексами, не показательными показателями, за исключением тех случаев, когда они указаны на квадрат (это должно быть ясно из контекста), а нижние индексы (индексы) являются ковариантными индексами. Для простоты и согласованности с предыдущими уравнениями будут задания декартовы координаты.

Простейшим примером четырехвектора является положение в пространстве-времени, которое представляет собой подобный компонент времени и пространственноподобный компонент x = (x, y, z) в контравариант позиция четыре инструмента с компонентами:

X ν = (X 0, X 1, X 2, X 3) = (ct, x, у, z) = (ct, Икс). {\ displaystyle X ^ {\ nu} = (X ^ {0}, X ^ {1}, X ^ {2}, X ^ {3}) = (ct, x, y, z) = (ct, \ mathbf {x}).}X ^ {\ nu} = (X ^ {0}, X ^ {1}, X ^ {2}, X ^ {3}) = (ct, x, y, z) = (ct, {\ mathbf {x}}).

где мы определяем X = ct, чтобы координаты расстояния как и другие пространственные измерения; так что пространство и время рассматривается одинаково. Теперь преобразование контравариантных компонентов 4-положения положения можно компактно записать как:

X μ ′ = Λ μ ′ ν X ν {\ displaystyle X ^ {\ mu '} = \ Lambda ^ {\ mu'} {} _ {\ nu} X ^ {\ nu}}X^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu X^\nu

где имеется подразумеваемое суммирование на ν {\ displaystyle \ nu}\ nu от 0 до 3, и Λ μ ′ ν {\ displaystyle \ Lambda ^ {\ mu '} {} _ {\ nu}}\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}представляет собой матрицу .

В более общем смысле, все контравариантные компоненты преобразования четырехвектора T ν {\ displaystyle T ^ {\ nu}}T^\nuиз одного кадра в другой с помощью преобразования Лоренца :

T μ ′ = Λ μ ′ ν T ν {\ displaystyle T ^ {\ mu '} = \ Lambda ^ {\ mu'} {} _ {\ nu} T ^ {\ nu}}T^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} T^\nu

Примеры других 4- векторы включают четыре скорости U μ, {\ displaystyle U ^ {\ mu},}{\ displaystyle U ^ {\ mu},} , определенные как производные 4-вектора положения относительно собственное время :

U μ = d X μ d τ = γ (v) (c, vx, vy, vz) = γ (v) (c, v). {\ Displaystyle U ^ {\ mu} = {\ frac {dX ^ {\ mu}} {d \ tau}} = \ gamma (v) (c, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ gamma (v) (c, \ mathbf {v}).}U ^ {\ mu} = {\ frac {dX ^ {\ mu}} {d \ tau}} = \ gamma (v) (c, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ gamma (v) (c, {\ mathbf {v}}).

где коэффициент Лоренца равен:

γ (v) = 1 1 - (vc) 2 v 2 = vx 2 + vy 2 + vz 2. {\ displaystyle \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} \ qquad v ^ {2 } = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}.}{\ displaystyle \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} \ qquad v ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z } ^ {2}.}

релятивистская энергия E = γ (v) mc 2 {\ displaystyle E = \ gamma (v) mc ^ {2}}E = \ gamma (v) mc ^ 2 и релятивистский импульс p = γ (v) mv {\ displaystyle \ mathbf { p} = \ gamma (v) m \ mathbf {v}}\ mathbf {p} = \ gamma (v) m \ mathbf {v} объекта - соответственно времениподобные и пространственноподобные компоненты контрастного вектора импульса :

P μ = m U μ = m γ (v) (c, vx, vy, vz) = (E c, px, py, pz) = (E c, p). {\ displaystyle P ^ {\ mu} = mU ^ {\ mu} = m \ gamma (v) (c, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ left ({\ frac {E } {c}}, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right) = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right).}{\ displaystyle P ^ {\ mu } = mU ^ {\ mu} = m \ gamma (v) (c, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ left ({\ frac {E} {c}}, p_ { x}, p_ {y}, p_ {z} \ right) = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right).}

где m - инвариантная масса.

. Ускорение с четырьмя ускорениями - это производная по собственному времени от 4-скорости:

A μ = d U μ d τ. {\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ frac {dU ^ {\ mu}} {d \ tau}}.}{\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ frac {dU ^ {\ mu}} {d \ tau}}. }

Правила преобразования для трехмерных скоростей и ускорений очень неудобны; даже выше, в стандартной конфигурации уравнения скорости довольно сложны из-за их нелинейности. С другой стороны, преобразование четырехскоростного и четырехскоростного ускорений проще с помощью матрицы преобразования Лоренца.

четырехградиент скалярного поля φ преобразуется ковариантно, а не контравариантно:

(1 c ∂ ϕ ∂ t ′ ∂ ϕ ∂ x ′ ∂ ϕ ∂ y ′ ∂ ϕ ∂ z ′) = (1 c ∂ ϕ ∂ t ∂ ϕ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ ϕ ∂ z) (γ + β γ 0 0 + β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t '}} и {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x' }} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y '}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z'}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} { \ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} и {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} и {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ gamma + \ beta \ gamma 0 0 \\ + \ beta \ gamma \ gamma 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}}.}{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t'}}{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}{\frac {\partial \phi }{\partial y'}}{\frac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma +\beta \gamma 00\\+\beta \gamma \gamma 00\\0010\\0001\end{pmatrix}}.}

который является транспонированным из:

(∂ μ ′ ϕ) = Λ μ ′ ν (∂ ν ϕ) ∂ μ ≡ ∂ ∂ x μ. {\ Displaystyle (\ partial _ {\ mu '} \ phi) = \ Lambda _ {\ mu'} {} ^ {\ nu} (\ partial _ {\ nu} \ phi) \ qquad \ partial _ {\ mu } \ Equiv {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}}.}{\displaystyle (\partial _{\mu '}\phi)=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi)\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}

только в декартовых координатах. Это ковариантная производная , которая преобразуется в явную ковариацию, в декартовых координатах это происходит с уменьшением до частных производных, но не в других координатах.

В более общем смысле, ковариантные компоненты 4-векторного преобразования согласно обратному преобразованию Лоренца:

T μ ′ = Λ μ ′ ν T ν, {\ displaystyle T _ {\ mu '} = \ Lambda _ {\ mu '} {} ^ {\ nu} T _ {\ nu},}{\displaystyle T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },}

где Λ μ ′ ν {\ displaystyle \ Lambda _ {\ mu'} {} ^ {\ nu} }{\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}- матрица, обратная Λ μ ′ ν {\ displaystyle \ Lambda ^ {\ mu '} {} _ {\ nu}}\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}.

Постулаты специальной теории относительности ограничивают точную форму матрицы преобразования Лоренца принимают.

В более общем смысле, большинство физических величин лучше всего описывать как (компоненты) тензоров. Поэтому для перехода от одной системы отсчета к другой мы используем хорошо известный закон преобразования тензора

T θ ′ ι ′ ⋯ κ ′ α ′ β ′ ⋯ ζ ′ = Λ α ′ μ Λ β ′ ν Λ ζ ′ ρ Λ θ ′ σ Λ ι ′ υ ⋯ Λ κ ′ ϕ T σ υ ⋯ ϕ μ ν ⋯ ρ {\ displaystyle T _ {\ theta '\ iota' \ cdots \ kappa '} ^ {\ alpha' \ beta ' \ cdots \ zeta '} = \ Lambda ^ {\ alpha'} {} _ {\ mu} \ Lambda ^ {\ beta '} {} _ {\ nu} \ cdots \ Lambda ^ {\ zeta'} {} _ {\ rho} \ Lambda _ {\ theta '} {} ^ {\ sigma} \ Lambda _ {\ iota'} {} ^ {\ upsilon} \ cdots \ Lambda _ {\ kappa '} {} ^ {\ phi } T _ {\ sigma \ upsilon \ cdots \ phi} ^ {\ mu \ nu \ cdots \ rho}}{\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }}

где Λ χ ′ ψ {\ displaystyle \ Lambda _ {\ chi '} {} ^ { \ psi}}\Lambda_{\chi'}{}^{\psi}- матрица, обратная Λ χ ′ ψ {\ displaystyle \ Lambda ^ {\ chi '} {} _ {\ psi}}\Lambda^{\chi'}{}_{\psi}. Все тензоры преобразуются по этому правилу.

Примером четырехмерного антисимметричного тензора второго порядка является релятивистский угловой момент, который имеет шесть компонентов: три - классический угловой момент, а остальные три связаны с разгоном центра масс системы. Производная релятивистского углового момента по собственному времени - это релятивистский момент, а также антисимметричный тензор второго порядка.

Тензор электромагнитного поля - это еще один антисимметричный тензор второго порядка, с шестью компонентами: тремя для электрического поля и еще тремя для магнитного поля. Существует также тензор энергии-напряжения для электромагнитного поля, а именно тензор электромагнитного напряжения-энергии.

Метрический

Метрический тензор позволяет для определения внутреннего произведения двух векторов, что, в свою очередь, позволяет присвоить вектору величину. Учитывая четырехмерную природу пространства-времени, метрика Минковского η имеет компоненты (действительные с подходящим образом выбранными координатами), которые могут быть расположены в матрице 4 × 4:

η α β = (- 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) {\ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}} }\ eta _ {\ alpha \ beta} = \ begin {pmatrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}

, что равно его обратной величине, η α β {\ displaystyle \ eta ^ {\ alpha \ beta}}\ eta ^ {\ alpha \ beta} в этих кадрах. Повсюду мы используем указанные выше знаки, разные авторы используют разные соглашения - см. метрика Минковского альтернативные знаки.

Группа Пуанкаре является наиболее общей группой преобразований, сохраняющей метрику Минковского:

η α β = η μ ′ ν ′ Λ μ ′ α Λ ν ′ β {\ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ mu '\ nu'} \ Lambda ^ {\ mu '} {} _ {\ alpha} \ Lambda ^ {\ nu'} {} _ {\ beta}}{\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }}

и это физическая симметрия, лежащая в основе специальной теории относительности.

Метрика может использоваться для повышения и понижения индексов векторов и тензоров. Инварианты могут быть построены с использованием метрики, внутреннее произведение 4-вектора T на другой 4-вектор S:

T α S α = T α η α β S β = T α η α β S β = инвариант скаляр {\ displaystyle T ^ {\ alpha} S _ {\ alpha} = T ^ {\ alpha} \ eta _ {\ alpha \ beta} S ^ {\ beta} = T _ {\ alpha} \ eta ^ {\ alpha \ beta} S _ {\ beta} = {\ text {инвариантный скаляр}}}T ^ {\ alpha} S _ {\ alpha} = T ^ {\ alpha} \ eta _ {\ alpha \ beta} S ^ {\ beta} = T _ {\ alpha} \ eta ^ {\ alpha \ beta} S _ {\ beta} = \ text {инвариантный скаляр}

Инвариант означает, что он принимает одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета, потому что это скаляр (тензор 0 ранга), и поэтому Λ не появляется в его тривиальное преобразование. Величина 4-вектора T представляет собой положительный квадратный корень из внутреннего произведения с самим собой:

| Т | = T α T α {\ displaystyle | \ mathbf {T} | = {\ sqrt {T ^ {\ alpha} T _ {\ alpha}}}}| \ mathbf {T} | = \ sqrt {T ^ {\ alpha} T _ {\ alpha}}

Эту идею можно распространить на тензоры более высокого порядка для тензор второго порядка, мы можем сформировать инварианты:

T α α, T α β T β α, T α β T β γ T γ α = инвариантные скаляры, {\ displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ {\ alpha}, T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} T ^ {\ beta} {} _ {\ alpha}, T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} T ^ {\ beta} { } _ {\ gamma} T ^ {\ gamma} {} _ {\ alpha} = {\ text {инвариантные скаляры}},}{\ displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ {\ alpha}, T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} T ^ {\ beta} {} _ {\ alpha}, T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} T ^ {\ beta} {} _ {\ gamma} T ^ {\ gamma} {} _ {\ alpha} = {\ text {инвариантные скаляры} },}

аналогично для тензоров более высокого порядка. Инвариантные выражения, особенно скалярные произведения 4-векторов на самих себя, предоставляют уравнения, которые полезны для вычислений, потому что не нужно выполнять преобразования Лоренца для определения инвариантов.

Релятивистская кинематика и инвариантность

Координатные дифференциалы также преобразуются контрвариантно:

d X μ ′ = Λ μ ′ ν d X ν {\ displaystyle dX ^ {\ mu '} = \ Lambda ^ {\ mu '} {} _ {\ nu} dX ^ {\ nu}}dX^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu dX^\nu

, поэтому квадрат длины дифференциала позиционного четырехвектора dX, построенного с использованием

d X 2 = d X μ d Икс μ знак равно η μ ν d Икс μ d Икс ν = - (cdt) 2 + (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 {\ displaystyle d \ mathbf {X} ^ {2} = dX ^ {\ mu} \, dX _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dX ^ {\ mu} \, dX ^ {\ nu} = - (cdt) ^ {2} + (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2} \,}d \ mathbf {X} ^ 2 = dX ^ \ mu \, dX_ \ mu = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dX ^ \ mu \, dX ^ \ nu = - (c dt) ^ 2+ ( дх) ^ 2 + (ду) ^ 2 + (дз) ^ 2 \,

- инвариант. Обратите внимание, что когда элемент строки dXотрицателен, √ − d X представляет собой разность собственного времени, а когда d X положительно, √d X - дифференциал собственного расстояния.

4-скорость U имеет инвариантную форму:

U 2 = η ν μ U ν U μ = - c 2, {\ Displaystyle {\ mathbf {U}} ^ {2} = \ eta _ {\ nu \ mu} U ^ {\ nu} U ^ {\ mu} = - c ^ {2} \,,}{\ mathbf U} ^ 2 = \ eta _ {\ ню \ му} U ^ \ ню U ^ \ му = -c ^ 2 \,,

что означает, что все четыре вектора скорости имеют величину c. Это выражение того факта, что в теории относительности не бывает координатного покоя: по крайней мере, вы всегда движетесь вперед во времени. Дифференциация приведенного выше уравнения на τ дает:

2 η μ ν A μ U ν = 0. {\ displaystyle 2 \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ {\ mu} U ^ {\ nu} = 0. }2 \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ \ mu U ^ \ nu = 0.

Итак, в специальной теории относительности четырехвектор ускорения и четырехвектор скорости ортогональны.

Релятивистская динамика и инвариантность

Инвариантная величина 4-вектора импульса порождает соотношение энергия-импульс :

P 2 = η μ ν P μ P ν = - (E c) 2 + p 2. {\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {2} = \ eta ^ {\ mu \ nu} P _ {\ mu} P _ {\ nu} = - \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} + p ^ {2}.}{\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2} = \ eta ^ {\ mu \ nu} P _ {\ mu} P _ {\ nu} = - \ left ({\ frac {E} {c }} \ right) ^ {2} + p ^ {2}.}

Мы можем выяснить, что это за инвариант, сначала аргументируя это тем, что, поскольку это скаляр, не имеет значения, в какой системе отсчета мы его вычисляем, а затем преобразование в систему отсчета, где полный импульс равен нулю.

P 2 = - (E r e s t c) 2 = - (m c) 2. {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2} = - \ left ({\ frac {E _ {\ mathrm {rest}}} {c}} \ right) ^ {2} = - (mc) ^ {2}.}{\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2} = - \ left ({\ frac {E _ {\ mathrm {rest}}} {c}} \ right) ^ {2 } = - (mc) ^ {2}.}

Мы видим, что энергия покоя является независимым инвариантом. Энергию покоя можно вычислить даже для движущихся частиц и систем путем перевода в систему отсчета, в которой импульс равен нулю.

Энергия покоя связана с массой согласно знаменитому уравнению, обсужденному выше:

E r e s t = m c 2. {\ displaystyle E _ {\ mathrm {rest}} = mc ^ {2}.}E_ \ mathrm {re st} = mc ^ 2.

Масса систем, измеренная в их системе отсчета центра импульса (где полный импульс равен нулю), определяется как полная энергия системы в этот кадр. Он может не совпадать с суммой масс отдельных систем, измеренных в других кадрах.

Чтобы использовать третий закон движения Ньютона, обе силы должны быть определены как скорость изменения количества движения относительно одной и той же временной координаты. То есть для этого требуется трехмерная сила, определенная выше. К сожалению, в 4D нет тензора, который содержит среди своих компонентов компоненты трехмерного вектора силы.

Если частица не движется в точке c, можно преобразовать трехмерную силу из системы координат, движущейся вместе с частицей, в систему координат наблюдателя. Это дает 4-вектор, называемый четырехсиловым. Это скорость изменения вышеуказанного четырехвектора энергии импульса относительно собственного времени. Ковариантная версия четырехсилового уравнения:

F ν = d P ν d τ = m A ν{\ displaystyle F _ {\ nu} = {\ frac {dP _ {\ nu}} {d \ tau}} = mA _ {\ nu}}F_ \ nu = \ frac {d P _ {\ nu}} {d \ тау} = м A_ \ nu

В кадре покоя объекта временная составляющая четырех сил равна нулю, если только "инвариантная масса " объекта не меняется (для этого требуется не- замкнутая система, в которой энергия / масса напрямую добавляется или удаляется из объекта) и в этом случае это отрицательное значение скорости изменения массы, умноженное на c. В общем, однако, компоненты четырех сил не равны компонентам трех сил, потому что три силы определяются скоростью изменения количества движения относительно координатного времени, то есть dp / dt, в то время как Четыре силы определяются скоростью изменения количества движения относительно собственного времени, то есть dp / dτ.

В сплошной среде трехмерная плотность силы комбинируется с плотностью мощности, образуя ковариантный 4-вектор. Пространственная часть - результат деления силы, действующей на маленькую ячейку (в 3-м пространстве), на объем этой ячейки. Компонент времени равен -1 / c, умноженному на мощность, передаваемую в эту ячейку, деленную на ее объем. Это будет использовано ниже в разделе по электромагнетизму.

См. Также

Люди : Хендрик Лоренц | Анри Пуанкаре | Альберт Эйнштейн | Макс Планк | Герман Минковский | Макс фон Лауэ | Арнольд Зоммерфельд | Макс Родился | Густав Херглотц | Ричард К. Толмен
Относительность : Теория относительности | История специальной теории относительности | Принцип относительности | Двойная специальная теория относительности | Общая теория относительности | Круг ведения | Инерциальная система отсчета | Преобразования Лоренца | Бонди к-исчисление | Синхронизация Эйнштейна | Аргумент Ритдейка – Патнэма | Специальная теория относительности (альтернативные формулировки) | Критика теории относительности | Спор о приоритете теории относительности
Физика : Мысленные эксперименты Эйнштейна | Ньютоновская механика | пространство-время | скорость света | одновременность | центр масс (релятивистский) | физическая космология | Эффект Доплера | релятивистские уравнения Эйлера | Гипотеза сопротивления эфира | Теория эфира Лоренца | Проблема с подвижным магнитом и проводником | Формы волн | Релятивистская теплопроводность | Релятивистский диск | Прецессия Томаса | Прирожденная жесткость | Координаты рождения
Математика : Вывод преобразований Лоренца | Пространство Минковского | четырехвекторный | мировая линия | световой конус | Группа Лоренца | Группа Пуанкаре | геометрия | тензоры | комплексное число с разбиением | Относительность в формализме APS
Философия : актуализм | условность | формализм
Парадоксы : Парадокс близнецов | Парадокс Эренфеста | Лестничный парадокс | Парадокс космического корабля Белла | Парадокс скоростной композиции | Парадокс маяка

Первоисточники

Ссылки

Примечания

Дополнительная литература

Учебники

Журнальные статьи

Внешние ссылки

Wikisource содержит оригинальный текст, относящийся к этой статье: Теория относительности: специальная и общая теория
В Википедии есть оригинальные работы по теме: Относительность
В Викиучебнике есть книга по теме: Специальная теория относительности
В Викиверситете есть учебные ресурсы по Специальной теории относительности
Найдите специальную теорию относительности в Wiktionary, бесплатном словаре.

Оригинальные работы

Специальная теория относительности для широкой аудитории (математические знания не требуются)

  • Einstein Light награда - нетехническое введение (видеоклипы и демонстрации) при поддержке doz На страницах с дополнительными пояснениями и анимациями на уровнях с математикой или без нее.
  • Einstein Online Введение в теорию относительности, от Института гравитационной физики Макса Планка.
  • Аудио: Cain / Gay ( 2006) - Astronomy Cast. Специальная теория относительности Эйнштейна

Объяснение специальной теории относительности (с использованием простой или более сложной математики)

Визуализация

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: mail@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте
Список материалов:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26