Среднеквадратичное значение

редактировать

В математике и ее приложениях среднеквадратичное значение (RMS или rms ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата (среднее арифметическое из квадраты из набора чисел). Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно меняющейся функции в терминах интеграла квадратов мгновенных значений в течение цикла.

Для переменного электрического тока среднеквадратичное значение равно значению постоянного тока, которое привело бы к такому же среднему рассеиванию мощности в резистивной нагрузке.

В теории оценки, среднеквадратическое отклонение оценщика является мерой несовершенства соответствия оценщика данным.

Содержание

1 Определение
2 Общие формы сигналов
- 2.1 Комбинации сигналов
3 Использование
- 3.1 В электротехнике
  - 3.1.1 Напряжение
  - 3.1.2 Среднее электрическое мощность
- 3.2 Скорость
- 3.3 Ошибка
4 В частотной области
5 Связь с другой статистикой
6 См. также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определение

Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывное время сигнал ) - это квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функция, определяющая непрерывную форму волны. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».

В случае набора из n значений ${x 1, x 2,…, xn} {\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n } \}}$ $\ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \}$ , RMS составляет

x RMS = 1 n (x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2). {\ displaystyle x _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right)}}.}

{\ displaystyle x _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right)}}.}

Соответствующая формула для непрерывной функции (или формы сигнала) f (t), определенной в интервале $T 1 ≤ t ≤ T 2 {\ displaystyle T_ {1} \ leq t \ leq T_ {2}}$ $T_ {1} \ leq t \ leq T_ {2}$ равно

f RMS = 1 T 2 - T 1 ∫ T 1 T 2 [f (t)] 2 dt, {\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {[f ( t)]} ^ {2} \, dt}}},}

{\ displaystyle f _ {\ текст {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {[f (t)] } ^ {2} \, dt}}},}

и среднеквадратичное значение для функции за все время равно

f RMS = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T [f (t)] 2 дт. {\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {{1 \ over {T}} {\ int _ {0} ^ {T} {[f (t)]} ^ {2} \, dt}}}.}

{\ displaystyle f_ { \ text {RMS}} = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {{1 \ over {T}} {\ int _ {0} ^ {T} {[f (t)]} ^ { 2} \, dt}}}.}

Среднеквадратичное значение за все время периодической функции равно среднеквадратичному значению одного периода функции. Среднеквадратичное значение непрерывной функции или сигнала можно приблизительно оценить, взяв среднеквадратичное значение выборки, состоящей из равноудаленных наблюдений. Кроме того, среднеквадратичное значение различных форм сигналов также может быть определено без исчисления, как показано Картрайтом.

В случае среднеквадратичной статистики случайного процесса, ожидаемое значение используется вместо среднего.

Распространенные формы сигналов

Синус, квадрат, треугольник и пилообразная формы сигналов.

Прямоугольная импульсная волна рабочего цикла D - отношение длительности импульса (

τ {\ displaystyle \ tau}

\ tau

) к периоду (T); здесь показано с a = 1.

График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах (PP) напряжения.

Если форма волны представляет собой чистый синусоидальный сигнал, отношения между амплитудами (размахом, пиком) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любого непрерывного периодического волна. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоидальной волны с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:

размах

= 2 2 × RMS ≈ 2,8 × RMS. {\ displaystyle = 2 {\ sqrt {2}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 2,8 \ times {\ text {RMS}}.}

{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {2}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 2,8 \ times {\ текст {RM S}}.}

Для других сигналов отношения не такие, как они предназначены для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

размах

= 2 3 × RMS ≈ 3,5 × RMS. {\ displaystyle = 2 {\ sqrt {3}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 3,5 \ times {\ text {RMS}}.}

{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {3}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 3,5 \ times {\ text {RMS }}.}

Форма волны	Переменные и операторы	RMS
DC	$y = A 0 {\ displaystyle y = A_ {0} \,}$ ${\ displaystyle y = A_ {0} \,}$	$A 0 {\ displaystyle A_ {0} \,}$ ${\ displaystyle A_ {0} \,}$
Синусоидальная волна	$y = A 1 грех ⁡ (2 π ft) {\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (2 \ pi ft) \,}$ ${\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (2 \ pi ft) \, }$	$A 1 2 {\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt { 2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}$
Прямоугольная волна	$y = {A 1 frac ⁡ (ft) < 0.5 − A 1 frac ⁡ ( f t)>0,5 {\ displaystyle y = {\ begin {cases} A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) <0.5\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0,5 \ end {cases}}}$ $y={\begin{cases}A_{1}\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0,5 \ end {cases}}$	$A 1 {\ displaystyle A_ {1} \,}$ ${\ displaystyle A_ {1 } \,}$
прямоугольная волна со смещением постоянного тока	$y = A 0 + {A 1 frac ⁡ (футы) < 0.5 − A 1 frac ⁡ ( f t)>0,5 {\ displaystyle y = A_ {0} + {\ begin {cases} A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) <0.5\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0,5 \ end {cases}}}$ $y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0.5 \ end {cases}}$	$A 0 2 + A 1 2 {\ displaystyle {\ sqrt {A_ {0} ^ {2} + A_ {1} ^ {2}}} \,}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {A_ {0} ^ {2} + A_ {1} ^ {2}}} \,}$
Модифицированная синусоида	$y = {0 frac ⁡ (фут) < 0.25 A 1 0.25 < frac ⁡ ( f t) < 0.5 0 0.5 < frac ⁡ ( f t) < 0.75 − A 1 frac ⁡ ( f t)>0,75 {\ displaystyle y = {\ begin {cases} 0 \ operatorname {frac} (ft) <0.25\\A_{1}0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\00.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0,75 \ end {cases}}}$ $y={\begin{cases}0\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\00.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}\operatorname {frac} (ft)>0,75 \ end {cases}}$	$A 1 2 {\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}$
Волна треугольника	$y = \| 2 A 1 гидроразрыв ⁡ (f t) - A 1 \| {\ displaystyle y = \ left \| 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \ right \|}$ ${\ displaystyle y = \ left \| 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \ right \|}$	$A 1 3 {\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3} }}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}$
Пилообразная волна	$y = 2 A 1 frac ⁡ (футы) - A 1 {\ displaystyle y = 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \,}$ ${\ displaystyle y = 2A_ {1 } \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \,}$	$A 1 3 {\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}$
Пульсовая волна	$y = {A 1 гидроразрыв ⁡ (фут) < D 0 frac ⁡ ( f t)>D {\ displaystyle y = {\ begin {case} A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) D \ end {cases}}}$ $y={\begin{cases}A_{1}\operatorname {frac} (ft)<D\\0\operatorname {frac} (ft)>D \ end {cases}}$	$A 1 D {\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {D}} }$ ${\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {D}}}$
Междуфазное напряжение	$y = A 1 sin ⁡ (t) - A 1 sin ⁡ (t - 2 π 3) {\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (t) -A_ {1} \ sin \ left (t - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \,}$ ${\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (t) -A_ {1} \ sin \ left (t - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \,}$	$A 1 3 2 {\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {\ frac {3 } {2}}}}$ ${\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}}$
где: y - смещение, t - время, f - частота, Ai- амплитуда (пиковое значение), D - рабочий цикл или про часть периода времени (1 / f), проведенная на высоком уровне, frac (r) - это дробная часть r.

В комбинациях сигналов

Созданные формы сигналов путем суммирования известных простых сигналов имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов являются ортогональными (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала с другим - ноль для всех пар, кроме самого сигнала).

RMS Total = RMS 1 2 + RMS 2 2 + ⋯ + RMS n 2 {\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {Total }} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {1} ^ {2} + {\ text {RMS}} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {\ text {RMS}} _ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {Total}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {1} ^ {2} + {\ text {RMS}} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {\ text {RMS}} _ {n} ^ {2}}}}

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или "синфазны" друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Использует

В электротехнике

Напряжение

Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является:

СКЗ переменного тока + постоянного тока = СКЗ постоянного тока 2 + RMS AC 2 {\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {AC + DC}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {\ text {DC}} ^ {2} + { \ text {RMS}} _ {\ text {AC}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {AC + DC}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {\ text {DC }} ^ {2} + {\ text {RMS}} _ {\ text {AC}} ^ {2}}}}

где $RMS DC {\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {DC}}}$ ${\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {DC}}}$ относится к постоянному току или среднему компоненту сигнала и $среднеквадратичному значению переменного тока {\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {AC}}}$ ${\ displaystyle { \ text {RMS}} _ {\ text {AC}}}$ - это компонент переменного тока сигнала.

Средняя электрическая мощность

Инженерам-электрикам часто требуется знать мощность, P, рассеиваемую на электрическом сопротивлении, R. Легко выполнить расчет при наличии постоянного тока, I через сопротивление. Для нагрузки R Ом мощность определяется просто как:

P = I 2 R. {\ displaystyle P = I ^ {2} R.}

P = I ^ {2} R.

Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I (t), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенное мощность) меняется со временем. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все еще имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:

P av = (I (t) 2 R) av, где (⋯) av обозначает временное среднее значение функции = (I (t) 2) av R (поскольку R не меняется со временем, его можно вычесть) = I RMS 2 R по определению среднеквадратичного - квадрат {\ displaystyle {\ begin {align} P_ {av} = \ left (I (t) ^ {2} R \ right) _ {av} {\ text {where}} \ left (\ cdots \ right) _ {av} {\ text {обозначает временное среднее значение функции}} \\ [3pt] = \ left (I (t) ^ {2} \ right) _ {av} R {\ text {(как }} R {\ text {не меняется со временем, это можно вычесть)}} \\ [3pt] = I _ {\ text {RMS}} ^ {2} R {\ text {по определению root- среднеквадратическое}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {av} = \ left (I (t) ^ {2} R \ right) _ {av} {\ text {where}} \ left (\ cdots \ right) _ {av} {\ text {обозначает временное среднее значение функция}} \\ [3pt] = \ left (I (t) ^ {2} \ right) _ {av} R {\ text {(as}} R {\ text {не меняется со временем, это можно вынести за скобки)}} \\ [3pt] = I _ {\ text {RMS}} ^ {2} R {\ text {по определению среднеквадратичного}} \ end {align}}}

Итак, среднеквадратичное значение, I RMS, функции I (t) - это постоянный ток, который дает такое же рассеивание мощности, что и время -средняя мощность рассеивания тока I (t).

Среднюю мощность также можно найти, используя тот же метод, что и в случае изменяющегося во времени напряжения, V (t), со среднеквадратичным значением V RMS,

P Avg = V RMS 2 R. {\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = {V _ {\ text {RMS}} ^ {2} \ over R}.}

{\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = {V _ {\ text {RMS}} ^ {2} \ над R}.}

Это уравнение можно использовать для любого периодического сигнала , например, синусоидальный или пилообразный сигнал, позволяющий рассчитать среднюю мощность, подаваемую на заданную нагрузку.

Путем извлечения квадратного корня из обоих этих уравнений и их умножения получается мощность:

P Avg = V RMS I RMS. {\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = V _ {\ text {RMS}} I _ {\ text {RMS}}.}

{\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = V _ {\ text {RMS}} I _ {\ text {RMS}}.}

Оба значения зависят от пропорциональности напряжения и тока (т. е. нагрузки R, является чисто резистивным). Реактивные нагрузки (то есть нагрузки, способные не только рассеивать энергию, но и накапливать ее) обсуждаются в разделе Питание переменного тока.

В общем случае переменный ток когда I (t) - это синусоидальный ток, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I p определяется как пиковый ток, тогда:

I RMS = 1 T 2 - T 1 ∫ T 1 T 2 [I p sin ⁡ (ω t)] 2 dt, { \ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} \ left [ I _ {\ text {p}} \ sin (\ omega t) \ right] ^ {2} dt}},}

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1) }}} \ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} \ left [I _ {\ text {p}} \ sin (\ omega t) \ right] ^ {2} dt}},}

где t - время, а ω - угловая частота (ω = 2π / T, где T - период волны).

Поскольку I p является положительной константой:

I RMS = I p 1 T 2 - T 1 ∫ T 1 T 2 sin 2 ⁡ (ω t) d t. {\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {\ sin ^ {2} (\ omega t)} \, dt}}}.}

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p }} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {\ sin ^ {2} (\ omega t)} \, dt}}}.}

Использование тригонометрического тождества для исключения возведения в квадрат функции триггера:

I RMS = I p 1 T 2 - T 1 ∫ T 1 T 2 1 - cos ⁡ (2 ω t) 2 dt = I p 1 T 2 - T 1 [t 2 - sin ⁡ (2 ω t) 4 ω ] T 1 T 2 {\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}) }} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {1- \ cos (2 \ omega t) \ over 2} \, dt}}} \\ [3pt] = I _ {\ текст {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} - {\ sin (2 \ omega t) \ over 4 \ omega}) \ right] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выравнивается} I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over { T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {1- \ cos (2 \ omega t) \ over 2} \, dt}}} \ \ [3pt] = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} - {\ sin (2 \ omega t) \ более 4 \ omega} \ right] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} \ end {align}}}

, но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), термин sin будет отменено, оставив:

I RMS = I p 1 T 2 - T 1 [t 2] T 1 T 2 = I p 1 T 2 - T 1 T 2 - T 1 2 = I p 2. {\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} \ справа] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {{T_ {2} -T_ {1}} \ over 2}}} = {I _ {\ text {p}} \ over {\ sqrt {2}}}.}

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_) {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} \ right] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {{T_ {2} -T_ {1}} \ over 2}}} = {I _ {\ text {p}} \ over {\ sqrt {2}}}.}

Аналогичный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжение:

V RMS = V p 2, {\ displaystyle V _ {\ text {RMS}} = {V _ {\ text {p}} \ over {\ sqrt {2}}},}

{\ displaystyle V _ {\ text {RMS}} = {V _ {\ text {p }} \ over {\ sqrt {2}}},}

где I P представляет пиковый ток, а V P представляет пиковое напряжение.

Из-за их полезности при расчете мощности перечисленные напряжения для электрических розеток (например, 120 В в США или 230 В в Европе) почти всегда указываются в среднеквадратических значениях., а не пиковые значения. Пиковые значения могут быть рассчитаны из значений RMS по приведенной выше формуле, которая подразумевает V P = V RMS × √2, предполагая, что источником является чисто синусоидальная волна. Таким образом, пиковое значение сетевого напряжения в США составляет около 120 × √2, или около 170 вольт. Размах напряжения, увеличенный вдвое, составляет около 340 вольт. Аналогичный расчет показывает, что пиковое напряжение сети в Европе составляет около 325 вольт, а максимальное напряжение сети - около 650 вольт.

Среднеквадратичные величины, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампера в долгосрочной перспективе.

Термин RMS-мощность иногда ошибочно используется в аудиоиндустрии как синоним средней мощности или средней мощности (она пропорциональна квадрату RMS-напряжения или RMS-тока в резистивной нагрузке). Для обсуждения измерений мощности звука и их недостатков см. Мощность звука.

Скорость

В физике молекул газа, Среднеквадратичная скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа вычисляется с использованием следующего уравнения:

v RMS = 3 RTM {\ displaystyle v _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {3RT \ over M}} }

{\ displaystyle v _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {3RT \ over M}}}

где R представляет собой газовую постоянную, 8,314 Дж / (моль · K), T представляет собой температуру газа в кельвинах, а M представляет собой молярный масса газа в килограммах на моль. Общепринятая терминология для обозначения скорости по сравнению со скоростью состоит в том, что первая является скалярной величиной последней. Следовательно, хотя средняя скорость находится между нулем и среднеквадратичной скоростью, средняя скорость для неподвижного газа равна нулю.

Ошибка

Когда сравниваются два набора данных - например, один набор из теоретического прогноза, а другой из фактического измерения какой-либо физической переменной, RMS парных разностей двух данных наборы могут служить мерой того, насколько далеко в среднем ошибка от нуля. среднее парных разностей не измеряет изменчивость разницы, а изменчивость, на что указывает стандартное отклонение около среднего, а не 0. Следовательно, среднеквадратичное значение различий является значимой мерой ошибки.

В частотной области

Среднеквадратичное значение может быть вычислено в частотной области, используя теорему Парсеваля. Для дискретизированного сигнала $x [n] = x (t = n T) {\ displaystyle x [n] = x (t = nT)}$ ${\ displaystyle x [n] = x (t = nT)}$ , где $T {\ displaystyle T }$ $T$ - период выборки,

∑ n = 1 N x 2 [n] = 1 N ∑ m = 1 N | X [м] | 2, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} {x ^ {2} [n]} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {m = 1} ^ {N} \ left | X [m] \ right | ^ {2},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} {x ^ {2} [n]} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {m = 1} ^ {N} \ left | X [m] \ right | ^ {2},}

где $X [m] = FFT ⁡ {x [n]} {\ displaystyle X [m] = \ operatorname {FFT} \ {x [n] \}}$ ${\ displaystyle X [m] = \ operatorname {FFT} \ {x [n] \}}$ и N - размер выборки, то есть количество наблюдений в выборке и коэффициенты БПФ.

В этом случае RMS, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:

RMS {x [n]} = 1 N ∑ nx 2 [n] = 1 N 2 ∑ м | X [м] | 2 = ∑ m | X [м] N | 2. {\ displaystyle {\ text {RMS}} \ {x [n] \} = {\ sqrt {{\ frac {1} {N}} \ sum _ {n} {x ^ {2} [n]}} } = {\ sqrt {{\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {m} {{\ bigl |} X [m] {\ bigr |}} ^ {2}}} = { \ sqrt {\ sum _ {m} {\ left | {\ frac {X [m]} {N}} \ right | ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle {\ text {RMS}} \ {x [n] \} = {\ sqrt {{\ frac {1} {N}} \ sum _ {n} {x ^ {2} [n]}}} = {\ sqrt {{\ frac {1 } {N ^ {2}}} \ sum _ {m} {{\ bigl |} X [m] {\ bigr |}} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {m} {\ left | {\ frac {X [m]} {N}} \ rig ht | ^ {2}}}}.}

Связь с другой статистикой

Геометрический доказательство без слов, что max (a, b)>среднее квадратичное или среднеквадратичное (QM)>среднее арифметическое (AM)>геометрическое среднее (GM)>гармоническое среднее (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b

Если $x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ - среднее арифметическое, а $σ x {\ displaystyle \ sigma _ {x}}$ $\ sigma _ {x}$ - стандартное отклонение для совокупность или сигнал, тогда:

x rms 2 = x ¯ 2 + σ x 2 = x 2 ¯. {\ displaystyle x _ {\ text {rms}} ^ {2} = {\ overline {x}} ^ {2} + \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ overline {x ^ {2}}}.}

{\ displaystyle x _ {\ text {rms}} ^ {2} = {\ overline {x}} ^ {2} + \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ overline {x ^ {2}}}.}

Из этого ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает "ошибку" / квадратное отклонение.

Ученые-физики часто используют термин «среднеквадратичный» как синоним для стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднего квадратичное отклонение сигнала от заданной базовой линии или соответствия. Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала "только переменный ток". Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала от среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть RMS (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки