Распределение Максвелла – Больцмана

Максвелл – Больцманн

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle agt; 0}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в (0; \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / \ left (2a ^ {2} \ right)}} {a ^ {3}}}}$
CDF	${\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {{\ sqrt {2}} a}} \ right) - {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {xe ^ {- x ^ {2} / \ left (2a ^ {2} \ right)}} {a}}}$где erf - функция ошибок
Иметь в виду	${\ displaystyle \ mu = 2a {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}}$
Режим	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} а}$
Дисперсия	${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} (3 \ pi -8)} {\ pi}}}$
Асимметрия	${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} (16-5 \ pi)} {(3 \ pi -8) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 4 {\ frac {\ left (-96 + 40 \ pi -3 \ pi ^ {2} \ right)} {(3 \ pi -8) ^ {2}}} }$
Энтропия	${\ displaystyle \ ln \ left (a {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) + \ gamma - {\ frac {1} {2}}}$

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла – Больцмана - это частное распределение вероятностей, названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана.

Впервые он был определен и использовался для описания скоростей частиц в идеализированных газах, где частицы свободно перемещаются внутри стационарного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень коротких столкновений, в которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия. Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла – Больцмана, а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергии частиц к кинетической энергии.

Математически распределение Максвелла-Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компоненты вектора скорости в евклидовом пространстве ) с параметром масштаба, измеряющим скорости в единицах, пропорциональных квадратному корню из (отношения температуры и массы частицы). ${\ displaystyle T / m}$

Распределение Максвелла – Больцмана является результатом кинетической теории газов, которая обеспечивает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла – Больцмана в основном применяется к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости ( величины скорости) частиц. Распределение вероятности скорости частицы указывает, какие скорости более вероятны: частица будет иметь скорость, выбранную случайным образом из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу, который представляет собой идеализацию реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, ван-дер-ваальсовы взаимодействия, вихревой поток, релятивистские ограничения скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут сделать их распределение скоростей отличным от формы Максвелла – Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя почти как идеальный газ, и распределение Максвелла по скоростям является отличным приближением для таких газов. Идеальная плазма, которая представляет собой ионизированный газ достаточно низкой плотности, часто также имеет распределение частиц, частично или полностью максвелловское.

Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. Позже, в 1870-х годах, Больцман провел значительные исследования физических причин этого распределения. Распределение может быть получено на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:

1. Распределение вероятностей максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии ;${\ displaystyle \ langle H \ rangle = E}$
2. Канонический ансамбль.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Функция распределения
• 2 Связь с двумерным распределением Максвелла – Больцмана
• 3 Типичные скорости
• 4 Деривация и связанные распределения
  • 4.1 Статистика Максвелла – Больцмана
  • 4.2. Распределение вектора импульса
  • 4.3 Распределение энергии
  • 4.4 Распределение вектора скорости
  • 4.5 Распределение по скорости
• 5 В n -мерном пространстве
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Функция распределения

Предполагая, что интересующая система содержит большое количество частиц, доля частиц в бесконечно малом элементе трехмерного пространства скоростей, с центром на векторе скорости величины, равна: ${\ displaystyle d ^ {3} v}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle f (v) \, d ^ {3} v}$

$${\ Displaystyle f (v) ~ d ^ {3} v = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac { mv ^ {2}} {2kT}}} ~ d ^ {3} v,}$$ где - масса частицы, - постоянная Больцмана и термодинамическая температура. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle T}$ Плотность вероятности скорости зависит от скоростей некоторых благородных газов при температуре 298,15 К (25 ° C). У оси х в с / м, так что площадь под любой части кривой (которая представляет собой вероятность того, что скорость, которая была в этом диапазоне) является безразмерным.

Можно записать элемент пространства скоростей как, для скоростей в стандартной декартовой системе координат или как в стандартной сферической системе координат, где - элемент телесного угла. Здесь дана функция распределения вероятностей, должным образом нормированная так, чтобы по всем скоростям равнялась единице. В физике плазмы распределение вероятностей часто умножается на плотность частиц, так что интеграл полученной функции распределения равен плотности. ${\ Displaystyle d ^ {3} v = dv_ {x} \, dv_ {y} \, dv_ {z}}$${\ Displaystyle d ^ {3} v = v ^ {2} \, dv \, d \ Omega}$${\ displaystyle d \ Omega}$${\ Displaystyle f (v)}$${\ textstyle \ int е (v) \, d ^ {3} v}$

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление есть, равна ${\ displaystyle x}$

$${\ displaystyle f (v_ {x}) ~ dv_ {x} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {1/2} \, e ^ {- {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {2kT}}} ~ dv_ {x},}$$ который может быть получен путем интегрирования трехмерной формы, указанной выше, по и. ${\ displaystyle v_ {y}}$${\ displaystyle v_ {z}}$

Признавая симметрию, можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции ${\ Displaystyle f (v)}$

$${\ Displaystyle f (v) ~ dv = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \, 4 \ pi v ^ {2} e ^ {- { \ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} ~ dv,}$$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости найти частицу с близкой скоростью. Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла – Больцмана (указанное в информационном окне) с параметром распределения. Распределение Максвелла – Больцмана эквивалентно

распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба. ${\ displaystyle v}$${\ textstyle а = {\ sqrt {кТ / м}}}$ ${\ textstyle а = {\ sqrt {кТ / м}}}$

Самое простое обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение:

$${\ Displaystyle kTvf '(v) + f (v) \ left (mv ^ {2} -2kT \ right) = 0,}$$ $${\ displaystyle f (1) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} e ^ {- {\ frac {m} {2kT}}} \ left ({\ frac {m} {kT} } \ right) ^ {3/2}}$$

или в безразмерном представлении:

$${\ displaystyle a ^ {2} xf '(x) + \ left (x ^ {2} -2a ^ {2} \ right) f (x) = 0,}$$ $${\ displaystyle f (1) = {\ frac {{\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} e ^ {- {1} / {2a ^ {2}}}} {a ^ {3} }}.}$$ С помощью метода средних значений Дарвина – Фаулера распределение Максвелла – Больцмана получается как точный результат.

Связь с двумерным распределением Максвелла – Больцмана.

Моделирование 2D-газа, релаксирующего к распределению Максвелла – Больцмана по скоростям.

Для частиц, ограниченных движением в плоскости, распределение скоростей дается выражением

$${\ Displaystyle P (s lt;| {\ vec {v}} | lt;s + ds) = {\ frac {ms} {kT}} \ exp \ left (- {\ frac {ms ^ {2}} {2kT }} \ right) ds}$$

Это распределение используется для описания равновесных систем. Однако большинство систем не запускаются в равновесном состоянии. Эволюция системы по направлению к состоянию равновесия регулируется уравнением Больцмана. Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа находится модель молекулярной динамики (МД), в которой 900 твердых сферических частиц вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений. Система инициализируется из состояния равновесия, но распределение скоростей (выделено синим цветом) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (выделено оранжевым цветом).

Типичные скорости

Распределение Максвелла – Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Масс частиц являются одним массой протона, и температура эффективной температура фотосферы солнца,. отметить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости соответственно. Их значения - и.${\ displaystyle m = 1 {\ text {amu}} = 1,67 \ times 10 ^ {- 24} {\ text {g}}}$ ${\ displaystyle T = 5800 {\ text {K}}}$${\ displaystyle {\ tilde {V}}, {\ bar {V}}, {\ text {and}} V _ {\ text {rms}}}$${\ displaystyle {\ tilde {V}} \ около 9,79 {\ text {км / с,}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {V}} \ около 11,05 {\ text {км / с,}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {rms}} \ около 12,00 {\ text {км / с}}}$

Средняя скорость, наиболее вероятная скорость (

режим ) v р, и корень среднеквадратичной скорость могут быть получены из свойств распределения Максвелла. ${\ Displaystyle \ langle v \ rangle}$ ${\ textstyle {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}}}$

Это хорошо работает для почти идеальных, одноатомных газов, таких как гелий, но также и для молекулярных газов, таких как двухатомный кислород. Это связано с тем, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего количества степеней свободы, их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) не изменяется.

• Наиболее вероятная скорость, v р, является скоростью, скорее всего, обладать любой молекулой (такими же массами м) в системе и соответствует значению максимального или режим из F  ( об). Чтобы найти его, мы вычисляем производную df / dv, устанавливаем ее равной нулю и решаем относительно v: $${\ displaystyle {\ frac {df (v)} {dv}} = - 8 \ pi \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \ v \ e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2kT}} - 1 \ right) = 0}$$ с решением: $${\ displaystyle {\ frac {mv_ {p} ^ {2}} {2kT}} = 1}$$ $${\ displaystyle v_ {p} = {\ sqrt {\ frac {2kT} {m}}} = {\ sqrt {\ frac {2RT} {M}}}}$$ R является газовая постоянная, а М представляет молярная масса вещества, и, таким образом, может быть вычислена как произведение массы частицы, м, и постоянной Авогадро, N A: $${\ displaystyle M = mN_ {A}}$$ Для двухатомного азота (N 2, основной компонент воздуха ) при комнатной температуре (300 К), это дает $${\ displaystyle v_ {p} \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot 8.31 \ {\ text {J}} \ cdot {\ text {mol}} ^ {- 1} {\ text {K}} ^ {-1} \ 300 \ {\ text {K}}} {0,028 \ {\ text {kg}} \ cdot {\ text {mol}} ^ {- 1}}}} \ приблизительно 422 \ {\ text { РС}}.}$$
• Средняя скорость - это ожидаемое значение распределения скорости, устанавливая:${\ textstyle b = {\ frac {1} {2a ^ {2}}} = {\ frac {m} {2kT}}}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle v \ rangle amp; = \ int _ {0} ^ {\ infty} v \, f (v) \, dv \\ amp; = 4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {3} e ^ {- bv ^ {2}} dv \ \ amp; = 4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ frac {1} {2b ^ {2}}} = { \ sqrt {\ frac {4} {\ pi b}}} \\ amp; = {\ sqrt {\ frac {8kT} {\ pi m}}} ​​= {\ sqrt {\ frac {8RT} {\ pi M} }} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} \ end {align}}}$$
• Среднеквадратичная скорость - это

необработанный момент второго порядка распределения скоростей. «Среднеквадратичная скорость» - это квадратный корень из среднеквадратичной скорости, соответствующей скорости частицы со средней кинетической энергией, при условии, что:${\ Displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {rms}}}$ ${\ textstyle b = {\ frac {1} {2a ^ {2}}} = {\ frac {m} {2kT}}}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} v _ {\ mathrm {rms}} amp; = {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}} = \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {2} \, f (v) \, dv \ right) ^ {1/2} \\ amp; = \ left (4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {3/2} \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {4} e ^ {- bv ^ {2}} dv \ right) ^ {1/2} \\ amp; = \ left (4 \ pi \ left ({\ frac {b} {\ pi}} \ right) ^ {3/2} {\ frac {3} {8}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {b ^ {5} }}} \ right) ^ {1/2} = \ left ({\ frac {3} {2b}} \ right) ^ {1/2} \\ [4pt] amp; = {\ sqrt {\ frac {3kT } {m}}} = {\ sqrt {\ frac {3RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} v_ {p} \ end {align}}}$$

Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом:

$${\ displaystyle v_ {p} \ приблизительно 88,6 \% \ \ langle v \ rangle lt;\ langle v \ rangle lt;108,5 \% \ \ langle v \ rangle \ приблизительно v _ {\ mathrm {rms}}.}$$

Среднеквадратичная скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе следующим образом:

$${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {\ gamma} {3}}} \ v _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ frac {f + 2} {3f}}} \ v _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ frac {f + 2} {2f}}} \ v_ {p},}$$ где - показатель адиабаты, f - число степеней свободы отдельной молекулы газа. В приведенном выше примере двухатомный азот (приблизительно воздух ) при${\ textstyle \ gamma = 1 + {\ frac {2} {f}}}$ 300 К, а ${\ displaystyle f = 5}$ $${\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {7} {15}}} v _ {\ mathrm {rms}} \ приблизительно 68 \% \ v _ {\ mathrm {rms}} \ приблизительно 84 \% \ v_ {p } \ приблизительно 353 \ \ mathrm {м / с},}$$ истинное значение для воздуха можно приблизительно определить, используя среднюю молярную массу воздуха (29 г / моль), давая347 м / с при300 K (поправки на переменную влажность составляют от 0,1% до 0,6%).

Средняя относительная скорость

$${\ displaystyle v _ {\ rm {rel}} \ Equiv \ langle | {\ vec {v}} _ {1} - {\ vec {v}} _ {2} | \ rangle = \ int \! d ^ { 3} v_ {1} \, d ^ {3} v_ {2} \ left | {\ vec {v}} _ {1} - {\ vec {v}} _ {2} \ right | f ({\ vec {v}} _ {1}) f ({\ vec {v}} _ {2}) = {\ frac {4} {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt {\ frac {kT} { m}}} = {\ sqrt {2}} \ langle v \ rangle}$$ где трехмерное распределение скорости $${\ displaystyle f ({\ vec {v}}) \ Equiv {\ frac {1} {\ left (2 \ pi kT / m \ right) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac { 1} {2}} m {\ vec {v}} ^ {2} / kT}.}$$

Интеграл легко сделать, перейдя в координаты и${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {v}} _ {1} - {\ vec {v}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {U}} = {\ frac {{\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {2}} {2}}.}$

Деривация и связанные распределения

Статистика Максвелла – Больцмана

Основные статьи: статистика Максвелла – Больцмана § Выводы и распределение Больцмана.

Первоначальный вывод, сделанный в 1860 году Джеймсом Клерком Максвеллом, был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов, а также на определенных симметриях в функции распределения по скоростям; Максвелл также дал ранний аргумент, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. После Максвелла Людвиг Больцман в 1872 г. также вывел это распределение на основании механических оснований и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже (1877 г.) он снова вывел это распределение в рамках статистической термодинамики. Выводы в этом разделе соответствуют выводам Больцмана 1877 г., начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла – Больцмана дает среднее количество частиц, обнаруженных в данном одночастичном микросостоянии. При определенных предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии пропорционален отношению энергии этого состояния к температуре системы:

$${\ displaystyle - \ log \ left ({\ frac {N_ {i}} {N}} \ right) \ propto {\ frac {E_ {i}} {T}}.}$$ Предположения этого уравнения таковы, что частицы не взаимодействуют, и что они классические; это означает, что состояние каждой частицы можно рассматривать независимо от состояний других частиц. Кроме того, предполагается, что частицы находятся в тепловом равновесии.

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

${\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {\ exp (-E_ {i} / kT)} {\ sum _ {j} \ exp (-E_ {j} / kT)}}}$

( 1)

где:

• N i - ожидаемое количество частиц в одночастичном микросостоянии i,
• N - общее количество частиц в системе,
• E i - энергия микросостояния i,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• T - равновесная температура системы,
• k - постоянная Больцмана.

Знаменатель в уравнении ( 1) является нормирующим множителем, так что отношения в сумме дают единицу - другими словами, это своего рода

статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы). ${\ displaystyle N_ {i}: N}$

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1) можно использовать для получения взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, - это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области равного размера.

Распределение вектора импульса

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Связь между кинетической энергией и импульсом массивных нерелятивистских частиц имеет вид

${\ displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

( 2)

где p ² - квадрат вектора импульса p = [ p x, p y, p z ]. Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1) как:

${\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {1} {Z}} \ exp \ left [- {\ frac {p_ {i, x} ^ {2} + p_ { i, y} ^ {2} + p_ {i, z} ^ {2}} {2mkT}} \ right]}$

( 3)

где Z - статистическая сумма, соответствующая знаменателю в уравнении ( 1). Здесь m - молекулярная масса газа, T - термодинамическая температура, а k - постоянная Больцмана. Такое распределение является

пропорционально к плотности вероятности функции ф р для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, так что: ${\ displaystyle N_ {i}: N}$

${\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}) \ propto \ exp \ left [- {\ frac {p_ {x} ^ {2} + p_ { y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}} {2mkT}} \ right]}$

( 4)

Константа нормализующее может быть определена путем признания того, что вероятность того, что молекулы, имеющей некоторый импульс должен быть равен 1. Интегрирование экспоненту в ( 4) по всем р х, р у и р г дает фактор

$${\ displaystyle \ iiint _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp \ left [- {\ frac {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}} {2mkT}} \ right] dp_ {x} \, dp_ {y} \, dp_ {z} = \ left ({\ sqrt {\ pi}} {\ sqrt {2mkT}} \ right) ^ {3}}$$

Итак, нормализованная функция распределения:

${\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}) = \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {- 3/2} \ exp \ left [ - {\ frac {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}} {2mkT}} \ right]}$   ( 6)

Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных, и, с дисперсией. Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределена как распределение Максвелла – Больцмана с. Распределение Максвелла – Больцмана для импульса (или, в равной степени, для скоростей) может быть получено более фундаментально, используя

H-теорему в состоянии равновесия в рамках кинетической теории газов. ${\ displaystyle p_ {x}}$${\ displaystyle p_ {y}}$${\ displaystyle p_ {z}}$${\ displaystyle mkT}$${\ displaystyle a = {\ sqrt {mkT}}}$

Распределение энергии

Распределение энергии оказалось впечатляющим.

${\ displaystyle f_ {E} (E) dE = f_ {p} ({\ textbf {p}}) \, d ^ {3} {\ textbf {p}},}$

( 7)

где - бесконечно малый фазовый объем импульсов, соответствующий интервалу энергий. Используя сферической симметрии энергии-импульса дисперсионного соотношения, это может быть выражено в терминах, как ${\ displaystyle d ^ {3} {\ textbf {p}}}$${\ displaystyle dE}$${\ displaystyle E = | {\ textbf {p}} | ^ {2} / 2m}$${\ displaystyle dE}$

${\ displaystyle d ^ {3} {\ textbf {p}} = 4 \ pi | {\ textbf {p}} | ^ {2} d | {\ textbf {p}} | = 4 \ pi m {\ sqrt {2mE}} \, dE.}$

( 8)

Используя тогда ( 8) в ( 7) и выражая все через энергию, мы получаем ${\ displaystyle E}$

$${\ displaystyle f_ {E} (E) dE = {\ frac {1} {(2 \ pi mkT) ^ {3/2}}} e ^ {- E / kT} 4 \ pi m {\ sqrt {2mE }} dE = 2 {\ sqrt {\ frac {E} {\ pi}}} \ left ({\ frac {1} {kT}} \ right) ^ {3/2} \ exp \ left ({\ frac {-E} {kT}} \ right) dE}$$ и наконец

${\ displaystyle f_ {E} (E) = 2 {\ sqrt {\ frac {E} {\ pi}}} \ left ({\ frac {1} {kT}} \ right) ^ {3/2} \ ехр \ влево ({\ frac {-E} {kT}} \ right)}$   ( 9)

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно записать в виде что эквивалентно гамма - распределения, используя параметр формы, и параметр масштаба,. ${\ displaystyle k _ {\ text {shape}} = 3/2}$${\ displaystyle \ theta _ {\ text {scale}} = kT}$

Используя теорему о

равнораспределении, учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить на набор распределений хи-квадрат, где энергия на одну степень свободы распределяется как хи-квадрат. распределение с одной степенью свободы, ${\ displaystyle f_ {E} (E) dE}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $${\ displaystyle f _ {\ epsilon} (\ epsilon) \, d \ epsilon = {\ sqrt {\ frac {1} {\ pi \ epsilon kT}}} ~ \ exp \ left [{\ frac {- \ epsilon} {kT}} \ right] \, d \ epsilon}$$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы являются твердыми массовыми диполями с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описана в соответствии с вышеупомянутым распределением хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределена в соответствии с распределением хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории теплоемкости газа.

Распределение Максвелла-Больцмана также можно получить, рассматривая газ быть тип квантового газа, для которых приближение ε gt;gt; к Т может быть сделано.

Распределение вектора скорости

Признавая, что плотность вероятности скорости f v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле

$${\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} d ^ {3} v = f _ {\ mathbf {p}} \ left ({\ frac {dp} {dv}} \ right) ^ {3} d ^ {3 } v}$$

и используя p = m v, получаем

${\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3 / 2} \ exp \ left [- {\ frac {m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})} {2kT}} \ right] }$

которое является распределением скоростей Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv x, dv y, dv z ] около скорости v = [ v x, v y, v z ] равна

$${\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) \, dv_ {x} \, dv_ {y} \, dv_ {z}. }$$

Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных, и, но с дисперсией. Также можно видеть, что распределение Максвелла – Больцмана для векторной скорости

[ v x, v y, v z ] является произведением распределений для каждого из трех направлений: ${\ displaystyle v_ {x}}$${\ displaystyle v_ {y}}$${\ displaystyle v_ {z}}$${\ textstyle {\ frac {kT} {m}}}$ $${\ displaystyle f _ {\ mathbf {v}} \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) = f_ {v} (v_ {x}) f_ {v} (v_ {y }) f_ {v} (v_ {z})}$$ где распределение для одного направления равно $${\ displaystyle f_ {v} (v_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \ exp \ left [{\ frac {-mv_ {i} ^ {2}} {2kT}} \ right].}$$

Каждый компонент вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением, поэтому вектор имеет 3-мерное нормальное распределение, особый вид

многомерного нормального распределения со средним значением и ковариацией, где - единичная матрица. ${\ displaystyle \ mu _ {v_ {x}} = \ mu _ {v_ {y}} = \ mu _ {v_ {z}} = 0}$${\ textstyle \ sigma _ {v_ {x}} = \ sigma _ {v_ {y}} = \ sigma _ {v_ {z}} = {\ sqrt {\ frac {kT} {m}}}}$ ${\ Displaystyle \ му _ {\ mathbf {v}} = \ mathbf {0}}$${\ textstyle \ Sigma _ {\ mathbf {v}} = \ left ({\ frac {kT} {m}} \ right) I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle 3 \ times 3}$

Раздача по скорости

Распределение Максвелла – Больцмана для скорости непосредственно следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость

$${\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}$$ и элемент объема в сферических координатах $${\ Displaystyle dv_ {x} \, dv_ {y} \, dv_ {z} = v ^ {2} \ sin \ theta \, dv \, d \ theta \, d \ phi = v ^ {2} dv \, d \ Omega}$$ где и - сферические координатные углы вектора скорости. Интегрирование функции плотности вероятности скорости по телесным углам дает дополнительный множитель. Распределение скорости с заменой скорости на сумму квадратов компонент вектора: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle d \ Omega}$${\ displaystyle 4 \ pi}$

${\ displaystyle f (v) = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {m} {kT}} \ right) ^ {3 / 2} v ^ {2} \ exp \ left [- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}} \ right].}$

В n -мерном пространстве

В n -мерном пространстве распределение Максвелла – Больцмана принимает вид:

$${\ Displaystyle f (v) ~ d ^ {n} v = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {n / 2} \, e ^ {- {\ frac { m | v | ^ {2}} {2kT}}} ~ d ^ {n} v}$$

Распределение скорости становится:

$${\ Displaystyle f (v) ~ dv = {\ text {const.}} \ times e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} \ times v ^ {n-1} ~ dv }$$

Полезен следующий интегральный результат:

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} v ^ {a} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} dv amp; = \ left [ {\ frac {2kT} {m}} \ right] ^ {(a + 1) / 2} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x} x ^ {\ frac {a} { 2}} dx ^ {\ frac {1} {2}} \\ amp; = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] ^ {(a + 1) / 2} \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} e ^ {- x} x ^ {\ frac {a} {2}} {\ frac {x ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {2}} dx \\ amp; = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] ^ {(a + 1) / 2} {\ frac {\ Gamma ({\ frac {a + 1} {2}}) } {2}} \ end {выровнены}}}$$ где - гамма-функция. Этот результат можно использовать для вычисления моментов функции распределения скорости: ${\ Displaystyle \ Gamma (г)}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle v \ rangle amp; = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} v \ cdot v ^ {n-1} e ^ {- {\ гидроразрыв {mv ^ {2}} {2kT}}} dv} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} v ^ {n-1} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2} } {2kT}}} dv}} \\ [4pt] amp; = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] ^ {1/2} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ end {align}}}$$ что и есть средняя скорость. ${\ textstyle v _ {\ text {avg}} = \ langle v \ rangle = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] ^ {1/2} {\ frac {\ Gamma \ left ({ \ frac {n + 1} {2}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}}}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle v ^ {2} \ rangle amp; = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} v ^ {2} \ cdot v ^ {n- 1} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} dv} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} v ^ {n-1} e ^ {- { \ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} dv}} \\ amp; = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 2} {2}})} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \\ amp; = \ left [{\ frac {2kT} {m}} \ right] {\ frac {n } {2}} = {\ frac {nkT} {m}} \ end {align}}}$$ что дает среднеквадратичную скорость. ${\ textstyle v _ {\ text {rms}} = {\ sqrt {\ langle v ^ {2} \ rangle}} = \ left [{\ frac {nkT} {m}} \ right] ^ {1/2} }$

Производная функции распределения скорости:

$${\ displaystyle {\ frac {df (v)} {dv}} = {\ text {const.}} \ times \ e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT}}} \ left ( - {\ frac {mv} {kT}} v ^ {n-1} + (n-1) v ^ {n-2} \ right) = 0}$$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ). ${\ textstyle v _ {\ text {p}} = \ left [{\ frac {(n-1) kT} {m}} \ right] ^ {1/2}}$

Смотрите также

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Распределение Максвелла – Юттнера
• Распределение Больцмана
• Фактор Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П.А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008, ISBN   0-7167-8964-7
• Термодинамика, от концепций к приложениям (2-е издание), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, США), 2009, ISBN   978-1-4200-7368-3
• Химическая термодинамика, DJG Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN   0-356-03736-3
• Элементы статистической термодинамики (2-е издание), LK Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN   0-201-05229-6
• Уорд, Калифорния, и Фанг, Г. 1999, «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости», Physical Review E, vol. 59, нет. 1. С. 429–40.
• Рахими, П и Уорд, Калифорния, 2005 г., «Кинетика испарения: подход к статистической теории скорости», Международный журнал термодинамики, т. 8, вып. 9. С. 1–14.

Внешние ссылки

• "Распределение скорости Максвелла" из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld